Integrale di linea: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua|il metodo di integrazione funzionale usato in meccanica quantistica|Integrale sui cammini}}

{{Avvisounicode}}

{{nota disambigua|il metodol'integrale di integrazionelinea funzionalenel usatocampo in meccanica quantisticacomplesso|[[Integrale suidi cammini]]contorno}}

[[File:Line-Integral.gif|rightthumb|Integrale di linea]]

In [[matematica]], un '''integrale di linea''' (da non confondere con il calcolo della lunghezza di una curva usando l'integrazione) o ''integrale curvilineo'' è un [[integrale]] in cui la [[funzione (matematica)|funzione]] da integrare è valutata lungo un cammino o una [[Curva (matematica)|curva]]. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato '''integrale di contorno'''.

La funzione da integrare può essere un [[campo scalare]] o un [[campo vettoriale]]. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la [[lunghezza di un arco]] o, nel campo vettoriale, il [[prodotto scalare]] del campo scalarevettoriale con il vettore [[Differenziale_Differenziale (matematica)|differenziale]] nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su [[intervallo (matematica)|intervalli]]. Molte relazioni in fisica sono formulate in termini di integrali di linea: ad esempio, il [[lavoro (fisica)|esempiolavoro]] compiuto dalle forze del campo su un oggetto spostato attraverso un campo, elettrico o gravitazionale, lungo una traiettoria.

== CalcoloAnalisi vettoriale ==

In termini qualitativi, un L'integrale di linea neldi calcoloun vettoriale[[campo puòscalare]] essereè pensatotalvolta comedetto la"di misuraprima dispecie", unmentre effettol'integrale di un dato [[campo vettoriale]] lungoè una"di certaseconda curvaspecie".

In termini qualitativi, un integrale di linea nel [[calcolo vettoriale]] può essere pensato come la misura di un effetto di un dato [[campo vettoriale]] lungo una certa curva.

=== Definizione ===

{{Vedi anche|integrale di linea di prima specie|Integrale di linea di seconda specie}}

=== Integrale di prima specie ===

{{Vedi anche|Integrale di linea di prima specie}}

Dato un [[campo scalare]] <math> f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, si definisce l'integrale di linea su una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math>, con <math>t \in [a, b]</math>, come:<ref>{{Cita web

|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Curvilinear_integral

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}}</ref>

:<math>\int_C f \, \operatornamemathrm ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \, \mathrm{d}t dt</math>

dove il termine <math>\mathrm{d}s</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]. Se il dominio della funzione <math>f</math> è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo <math>[r(a),r(b)]</math> (o <math>[r(b),r(a)]</math>, qualora fosse <math>r(b)<r(a)</math>). Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli [[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della [[Indice_di_concentrazioneIndice di concentrazione#Curva_di_LorenzCurva di Lorenz|curva di Lorenz]].

=== Integrale di seconda specie ===

dove il termine <math>\mathrm{d}s</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]. Se il dominio della funzione <math>f</math> è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo <math>[r(a),r(b)]</math> (o <math>[r(b),r(a)]</math>, qualora fosse <math>r(b)<r(a)</math>). Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli [[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della [[Indice_di_concentrazione#Curva_di_Lorenz|curva di Lorenz]].

{{Vedi anche|integrale di linea di prima specie|Integrale di linea di seconda specie}}

Similmente, per un [[campo vettoriale]] <math>\mathbf{F} : \R^n \to \R^n</math>, l'integrale di linea lungo una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math> con <math>t \in [a, b]</math>, è definito da:<ref name=mathworld>{{Cita web

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=== Indipendenza dal cammino ===

{{Vedi anche|Teorema del gradiente}}

Se un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> è il [[gradiente]] di un campo scalare <math>G</math>, cioè:

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A parole, l'integrale di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math> dipende solamente dai valori nei punti <math>\mathbf{r}(b)</math> e <math>\mathbf{r}(a)</math>, ed è quindi indipendente dal cammino particolare. Per questa ragione, un campo vettoriale che è il gradiente di un campo scalare è detto ''cammino indipendente''.

L'integrale di linea è spessolargamente usato in fisica, spesso nella descrizione di [[campo di forze|campi di forze]] [[Campo vettoriale conservativo|conservativi]]. Per esempio, il lavoro <math>W=\vecmathbf F\cdot\vecmathbf s</math> svolto su una particella che si muove su una curva <math>C</math> in un campo di forze rappresentato da un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> è l'integrale di linea di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math>:

:<math>W=\int_C \vecmathbf F\cdot \operatorname d\vecmathbf s</math>

== Analisi complessa ==

{{Vedi anche|Integrale di contorno}}

L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'[[analisi complessa]]. Vedendo i numeri complessi come vettori in due dimensioni, l'integrale di linea nel piano di un [[campo vettoriale]] corrisponde alla parte reale dell'integrale di linea del coniugato della funzione complessa corrispondente di variabile complessa. Per l'[[equazione di Cauchy-Riemann]] il [[rotore (matematica)|rotore]] del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una [[funzione olomorfa]] è nullo.

L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'[[analisi complessa]]. Sia <math>U \subset \CComplex</math> un [[insieme aperto]], sia <math>\gamma : [a,b] \to U</math> una [[curva rettificabile]] e <math>f : uU \to \CComplex</math> una funzione. Allora l'integrale di linea:

Sia <math>U \subset \C</math> un [[insieme aperto]], sia <math>\gamma : [a,b] \to U</math> una [[curva rettificabile]] e <math>f : u \to \C</math> una funzione. Allora l'integrale di linea:

:<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z</math>

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è spesso usata per l'integrale di linea di <math>f</math> su <math>\gamma</math>.

L'integraleVedendo dii linea è uno strumento fondamentale nell'[[analisi complessa]]. Vedendo iNumero complesso|numeri complessi]] come vettori in due dimensioni, l'integrale di linea nel piano di un [[campo vettoriale]] corrisponde alla parte reale dell'integrale di linea del coniugato della funzione complessa corrispondente di variabile complessa. PerNello l'[[equazionespecifico, di Cauchy-Riemann]] il [[rotore (matematica)|rotore]] del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una [[funzione olomorfa]] è nullo.se:

Importanti risultati riguardo agli integrali di linea sono il [[teorema integrale di Cauchy]] e la [[formula integrale di Cauchy]].

:<math>\mathbf{r} (t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j} \qquad f(z)=u(z)+iv(z)</math>

Per il [[teorema dei residui]], spesso si usa un integrale di contorno nel piano complesso per trovare l'integrale di una funzione reale di variabile reale (vedi [[teorema dei residui]] per esempi).

allora:

:<math>\int_L \overline{f(z)}\,dz = \int_L (u-iv)\,dz = \int_L (u\mathbf{i}+v\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r} - i\int_L (v\mathbf{i}-u\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r}</math>

a condizione che gli integrali alla destra esistono e che la parametrizzazione <math>\gamma</math> di <math>L</math> abbia la stessa orientazione di <math>\mathbf{r}</math>.

Per l'[[equazione di Cauchy-Riemann]], il [[rotore (matematica)|rotore]] del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una [[funzione olomorfa]] è nullo. Per il [[teorema dei residui]], inoltre, spesso si usa un integrale di contorno nel piano complesso per trovare l'integrale di una funzione reale di variabile reale. Importanti risultati riguardo agli integrali di linea sono il [[teorema integrale di Cauchy]] e la [[formula integrale di Cauchy]].

=== Esempi ===

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== Meccanica quantistica ==

La L'"[[integrale sui cammini|integrazione sui cammini]]" usata in [[meccanica quantistica]] si riferisce non agli integrali trattati in questa voce ma a un metodo di [[integrazione funzionale]], che è l'integrazione su uno spazio di cammini, di una funzione ''di'' un possibile cammino. Gli integrali di linea nel senso di questa voce sono tuttavia importanti in meccanica quantistica; per esempio, l'integrazione complessa lungo una curva chiusa è spesso utilizzata nel valutare l'[[ampiezza di probabilità]] nella teoria quantistica dello [[scattering]].

==Note==

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==Bibliografia==

* {{en}} Krantz, S. G. ''The Complex Line Integral.'' §2.1.6 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. &nbsp;22, 1999.

== Voci correlate ==

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* [[Integrale di volume]]

* [[Teorema del rotore]]

==Altri progetti==

{{interprogetto|v=Integrali curvilinei}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}} [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals Problemi risolti su integrali di linea]

* {{cita web|1=http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals|2=Problemi risolti su integrali di linea|lingua=en|accesso=12 gennaio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20080115102010/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals|dataarchivio=15 gennaio 2008|urlmorto=sì}}

{{analisi matematica}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi complessa]]

[[Categoria:Calcolo integrale|Linea, integrale di]]

[[ar:تكامل خطي]]

[[ca:Integral curvilínia]]

[[cs:Křivkový integrál]]

[[de:Kurvenintegral]]

[[en:Line integral]]

[[eo:Kurba integralo]]

[[es:Integral de línea]]

[[fa:انتگرال خطی]]

[[fi:Viivaintegraali]]

[[fr:Intégrale curviligne]]

[[he:אינטגרל קווי]]

[[is:Ferilheildi]]

[[ja:線積分]]

[[ko:선적분]]

[[nl:Lijnintegraal]]

[[pl:Całka krzywoliniowa]]

[[pt:Integral de linha]]

[[ro:Integrală curbilinie]]

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[[zh:曲线积分]]