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--[[Utente:Unit|Unit]] ([[Discussioni utente:Unit|msg]])In [[analisi funzionale]], un '''operatore unitario''' è un [[operatore lineare]] ''U'' su uno [[spazio di Hilbert]] che soddisfa le seguenti richieste:
L' '''operatore densità''', o '''matrice densità''', è utilizzato in [[Meccanica quantistica]] per descrivere lo stato statistico di un [[sistema quantistico]]. Il formalismo venne introdotto da [[John von Neumann]] (altre fonti sostengono che venne introdotto indipendentemente anche da [[Lev Landau]] e [[Felix Bloch]] ) nel 1927.
E' l'analogo quantistico della [[distribuzione di probabilità]] nello [[spazio delle fasi]] in [[meccanica classica]].
La necessità di una descrizione statistica emerge perchè non è possibile descrivere un sistema quantistico che sia sottoposto ad una generica [[operazione quantistica]], come ad esempio una [[misura]], usando esclusivamente stati rappresentati da [[notazione bra-ket|vettori ket]]. Un sistema in generale è detto essere in uno [[stato misto]], eccetto nel caso lo stato non sia riducibile ad una [[combinazione convessa]] di altri stati. In questo caso lo stato è detto [[stato puro]].
:''U*U=UU*=I''
Situazioni tipiche in cui un operatore densità è richiesto includono: uno stato quantistico in equilibrio termico ( a temperature finite) e nel caso di [[entanglement quantistico| entanglement]] tra due sistemi, in tal caso ogni sistema è in uno stato misto anche se lo stato del sistema complessivo può essere puro. Si veda [[meccanica statistica quantistica]].
:Il dominio di U coincide con l'intero spazio di Hilbert
La proprietà è euqivalente a una qualunque delle seguenti:
== Formalismo ==
* ''U'' è una [[isometria]] [[suriettiva]]
L'operatore densità, comunemente chiamato ρ, è un operatore sullo [[Spazio di Hilbert]] del sistema in questione. Nel caso speciale
di uno stato puro è dato dall'[[operatore di proiezione]] dello stato. Per uno stato misto , dove il sistema
è nello stato <math> |\psi_j \rang </math> con probabilità p<sub>j</sub>, l'operatore densità è la somma dei proiettori, pesata con le appropriate probabilità:
* ''U'' è [[suriettiva]] e preserva il [[prodotto interno]] sullo spazio di Hilbert, così che per tutti i [[Vettore (matematica)|vettori]] ''x'' e ''y'' dello spazio di hilbert vale
:<math> \rho = \sum_j p_j |\psi_j \rang \lang \psi_j| </math>
:<math>\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle.</math>
== Esempi ==
''Ogni matrice unitaria è un operatore unitario ''
The density matrix (commonly designated by ρ) is an operator acting on the [[Hilbert space]] of the system in question. For the special case
of a pure state, it is given by the [[projection operator]] of this
state. For a mixed state, where the system is in the
quantum-mechanical state <math> |\psi_j \rang </math> with probability p<sub>j</sub>,
the density matrix is the sum of the projectors, weighted
with the appropriate probabilities (see [[bra-ket notation]]):
:<math> \rho = \sum_j p_j |\psi_j \rang \lang \psi_j| </math>
In [[functional analysis]], a '''unitary operator''' is a [[bounded linear operator]] ''U'' on a [[Hilbert space]] satisfying
The density matrix is used to calculate the expectation
value of any operator A of the system, averaged over the
different states <math> |\psi_j \rang </math>. This is done by taking the
trace of the product of ρ and A:
:''U*U=UU*=I''
:<math> \operatorname{tr}[\rho A]=\sum_j p_j \lang \psi_j|A|\psi_j \rang </math>
where ''I'' is the [[identity]] operator. This property is equivalent to any of the following:
The probabilities p<sub>j</sub> are nonnegative and normalized (i.e.
their sum gives one). For the density matrix, this means
that ρ is a positive semidefinite [[hermitian operator]] (its [[eigenvalue]]s are nonnegative) and the trace of ρ
(the sum of its eigenvalues) is equal to one.
* ''U'' is a [[surjective]] [[isometry]]
== C*-algebraic formulation of density states ==
* ''U'' is [[surjective]] and preserves the [[inner product]] on the Hilbert space, so that for all [[vector]]s ''x'' and ''y'' in the Hilbert space,
It is now generally accepted that the description of quantum mechanics in which all [[self-adjoint operator]]s represent
:<math>\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle. t= p \cdot x'</math>
observables is untenable. For this reason, observables are identified to elements of an abstract [[C*-algebra]] ''A'' (that is one without a distinguished representation as an algebra of operators) and states are positive linear functionals on ''A''. In this formalism, [[pure state]]s are [[extreme point]]s of the set of states. Note that using the [[GNS construction]], we can recover Hilbert spaces which realize ''A'' as an algebra of operators.
[[category:quantum mechanics]][[Category:functional analysis]]
[[Unitary matrix|Unitary matrices]] are precisely the unitary operators on finite-dimensional Hilbert spaces, so the notion of a unitary operator is a generalisation of the notion of a unitary matrix.
[[de:Dichtematrix]]
Unitary operators implement [[isomorphism]]s between [[operator algebra]]s.
--[[Utente:Unit|Unit]] ([[Discussioni utente:Unit|msg]]) --[[Utente:Unit|Unit]] ([[Discussioni utente:Unit|msg]]) 22:21, 8 gen 2012 (CET) --22:21, 8 gen 2012 (CET)
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