Fenomeno di Runge: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

[[Immagine:Rungesphenomenon.png|right|thumb|300pxupright=1.4|La curva rossa è la funzione di Runge, la curva blu è un polinomio di quinto grado, e la curva verde è un polinomio di nono grado. L'approssimazione, in prossimità degli estremi dell'intervallo, peggiora all'aumentare del grado.]]

In [[Analisianalisi numerica]] il '''Fenomenofenomeno di Runge''' è un problema relativo all'[[interpolazione polinomiale]] su nodi equispaziati con [[polinomio|polinomi]] di grado elevato. Esso consiste nell'aumento di ampiezza dell'errore in prossimità degli estremi dell'intervallo.

È stato scoperto da [[Carl David Tolmé Runge]] mentre studiava il comportamento degli errori dell'[[interpolazione polinomiale]] per [[approssimazione|approssimare]] alcune [[Funzione_(matematica)|funzioni]].

== Problema ==

ConsideriamoSi consideri la [[Funzione_(matematica)|funzione]]:

:<math>f(x) = \frac{1}{1+25x^2}.</math>

Consideriamo la [[Funzione_(matematica)|funzione]]:

Runge trovò che interpolando questa [[Funzione_(matematica)|funzione]] in un insieme di punti <math>x_i</math> equidistanti nell'intervallo <math>\left[-1, 1 \right]</math>,

<math>f(x) = \frac{1}{1+25x^2}</math>

Runge trovò che interpolando questa [[Funzione_(matematica)|funzione]] in un insieme di punti <math>x_i</math> equidistanti nell'intervallo <math>\left[-1, 1 \right]</math>,

<!-- <math>x_i = \sum_{i=1}^{n+1} (-1+(i-1)\frac{2}{n})</math> -->

con un [[polinomio]] <math>P_n(x)</math> di grado al più <math>\leq n</math>, l'interpolazione risultante oscilla in [[ampiezza]] verso gli estremi dell'intervallo (in questo caso <math>-1</math> e <math>+1</math>).

È inoltre possibile provare che tale errore tende all'infinito all'aumentare del grado del polinomio:

:<math>\lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \max_{x \in \left[-1,1\right]} \left| f(x) - P_n(x) \right| \right) = +\infty</math>

== Soluzione ==

Il controesempio di Runge dimostròmostra che non è conveniente usare polinomi di grado elevato su nodi equispaziati per interpolare una funzione. Tuttavia,Per lottenere su funzioni di questo tipo uno schema di interpolazione il cui errore diminuisca all'oscillazioneaumentare puòdel numero di nodi, esseresi ridottapossono usandoutilizzare i [[nodi di Čebyšëv]] inanziché alternativa aii punti equidistanti,. cheAltre permettonoalternative disono diminuirel'uso dell'[[interpolazione spline]] o l'erroreuso massimodell'interpolazione allcomposita, suddividendo l'aumentareintervallo deldi gradointerpolazione delin più parti [[polinomio]].

e calcolando su ciascun sottointervallo un polinomio interpolante di grado non elevato (ad esempio grado 1 o 2).

Un'altra alternativa è l'uso dell'[[interpolazione spline]], suddividendo la [[curva_(matematica)|curva]] in più parti abbassando il grado del [[polinomio]], di solito al terzo grado per quattro [[punto_(geometria)|punti]].

== Voci correlate ==

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* [[Spline cubica di Hermite]]

== Altri progetti ==

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