Vincolo: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua}}

{{F|fisica|maggio 2015}}

Un '''vincolo''' è qualsiasiuna condizione che limita il [[moto (fisica)|moto]] di un [[Corpo (fisica)|corpo]]. In [[Meccanica (fisica)|meccanica]], essendo solo le [[forza|forze]] capaci di modificare lo stato di quiete o di moto di un sistema, l'azione dei vincoli si esplicaapplica attraverso un insieme di forze, dette '''forze vincolari''' o '''reazioni vincolari,''' che agisconoagisce sui punti del sistema, limitandone il moto.

==Tipi di vincolo==

La presenza di vincoli si traduce in relazioni funzionali tra le [[coordinate (generalizzate]], non necessariamente le [[Sistema di coordinate|coordinate cartesiane]]), che descrivonogenerano lo [[spazio delle configurazioni]] al cui interno è descritto il moto del sistema.

A seconda del tipo di legame delle coordinate i vincoli si distinguono in:

*vincoli ''olonomi'' e ''bilateri'': qualora la relazione funzionale èsia del tipo <math>f(\vec r_1, \vec r_2, ..., \vec r_n, t) = 0</math>, ossia il vincolo dipende dalla [[posizione]] ed, eventualmente, dal [[tempo]],;
*vincoli olonomi ''integrabili'': se dipendedipendono dadalle [[velocità]] che, tramite [[Integrale|integrali]],e possono essere ricondottericondotti alle posizioni, a meno di una costante, iltramite vincolo[[Integrale|integrali]]; si diceesempio: un''integrabile'';asta rigida fissata a un estremo

*vincoli ''anolonomi'': tutti quelli che non soddisfano relazioni funzionali del tipo sopra. esempio: La velocità del punto di contatto di una sfera che rotola senza scivolare lungo una superficie stazionaria scabra è pari a zero.<!-- In realtà, l'esempio della sfera in moto di puro rotolamento costituisce sì un sistema in cui il vincolo è espresso in forma differenziale, ma essa risulta chiusa e esatta, e per questo integrabile, ed esprimibile quindi attraverso una relazione funzionale, a meno di una costante. Si tratta quindi di fatti di un vincolo olonomo integrabile. -->

*vincoli ''anolonomi'': tutti quelli che non soddisfano una relazione funzionale del tipo sopra.

*vincoli ''unilateri'' o ''unilaterali'' qualora la relazione funzionale èsia del tipo <math>f(\vec r_1, \vec r_2, ..., \vec r_n, t) \le 0</math> oppure valevalga la disuguaglianza opposta. TaleQuesta [[disequazione]] definisce un dominio che ha come frontiera la rispettiva equazione per vincoli bilateri; nel caso di una superficie chiusa il dominio può essere esterno o interno a seconda del segno della disuguaglianza. Combinando equazioni e disequazioni si ottengono ancora vincoli unilaterali olonomi, (ovvero che limitano lo spazio delle configurazioni accessibile), costituiti da una superficie con bordo o da un arco di curva. Esempio: il suolo.

A seconda della dipendenza dal tempo i vincoli si distinguono in:

*vincoli ''scleronomi'' o ''fissi'' se non dipendono dal tempo; esempio: un'asta rigida fissata a un estremo

*vincoli ''reonomi'' o ''mobili'' se dipendono dal tempo. Esempio: un anello che ruota a [[velocità angolare]] fissata.

A seconda della reazione vincolare che producono:

*vincoli ''lisci'' se la reazione vincolare è sempre diretta lungo la direzione della componente [[cinematica]] vincolata;

*vincoli ''scabri'' se la reazione vincolare ha anche componenti lungo direzioni delle componenti cinematiche non vincolate.

In [[meccanica razionale]] i vincoli sono descritti da relazioni funzionali che legano le coordinate <math>\vec x</math> del sistema meccanico.

==Sistemi vincolati==

{{Vedi anche|sezione=s|[[Coordinate generalizzate]]|[[Statica delle strutture#Sistemi vincolati|Sistemi vincolati]]}}

Un sistema vincolato è un sistema meccanico soggetto a vincoli cinematici. Le condizioni di vincolo si rappresentano attraverso relazioni funzionali che possono essere interpretate in senso geometrico. Nel caso di un sistema meccanico costituito da ''N'' punti materiali, un sistema di ''m'' '''vincoli olonomi e bilateri''' ha la seguente rappresentazione

:<math>f_1(\vec x) = 0, \dots , \vec f_m(\vec x) = 0</math>

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Questa è interpretabile geometricamente come la rappresentazione matematica di una [[Superficie cartesiana implicita|superficie in forma implicita]] immersa nello spazio ''3N''-dimensionale delle coordinate del sistema

<math>\vec x = (x_1,y_1,z_1, \dots \, x_N, y_N, z_N) \in \mathbb{R}^{3N}</math>

Tale superficie ha dimensione <math>n = 3N - m</math>, ed ''n'' è il numero dei gradi di libertà del sistema. La superficie stessa viene detta [[Spazio delle configurazioni|spazio delle configurazioni del sistema]].

TaleQuesta superficie ha dimensione <math>n = 3N - m</math>, ed ''n'' è il numero dei gradi di libertà del sistema. La superficie stessa viene detta [[Spazio delle configurazioni|spazio delle configurazioni del sistema]].

Un sistema con ''n'' gradi di libertà ha ''n'' coordinate indipendenti che, nel [[Meccanica lagrangiana|formalismo lagrangiano]], rappresentano le <math>n = 3N - r</math> [[coordinate generalizzate]] del sistema.

{{Vedi anche|sezione=s|[[Coordinate generalizzate]]|[[Statica delle strutture#Sistemi vincolati|Sistemi vincolati]]}}

==Esempi di vincolo==

# Una particella vincolata a muoversi su una [[retta]], le sue coordinate ''x'' e ''y'' (per esempio [[Coordinate cartesiane|cartesiane]]) sarannosono legate da una relazione del tipo: <math>y=m x + p</math>. Vincolo tipicamente olonomo.

# Una particella vincolata a muoversi su una superficie dello spazio: <math>f(x,y,z) = 0</math>.

# Una particella che può muoversi nello spazio al di sopra di un piano è un tipo di vincolo unilatero rappresentato da un'ovvia disuguaglianza.

# Il [[carrello (meccanica)|carrello]] (o '''appoggio semplice'''), un vincolo semplice che impedisce lo spostamento del punto vincolato lungo l'asse ortogonale al piano di scorrimento del carrello. Lascia al corpo due [[Grado di libertà (meccanica classica)|libertà]] di movimento: la traslazione lungo il piano di scorrimento del carrello e la rotazione attorno al punto vincolato. La reazione vincolare corrisponde ada ununa forza applicata nel punto vincolato e diretta lungo la direzione ortogonale al piano di scorrimento. Il centro di istantanea rotazione può essere uno qualsiasi dei punti che appartengono all'asse ortogonale al piano di scorrimento.

# La [[Cerniera (meccanica)|cerniera]], un vincolo doppio che impedisce lo spostamento del punto vincolato lungo una qualsiasi direzione del piano del problema. Lascia il corpo libero di ruotare intorno al punto stesso. Reagisce con una [[forza]] applicata al punto e diretta secondo una qualsiasi direzione appartenente al piano del problema: talequesta forza può essere rappresentata dalle sue due componenti su due assi ortogonali. Il centro di istantanea rotazione coincide con la cerniera stessa.

# L'[[Incastro (meccanica)|incastro]], un vincolo triplo che impedisce al [[Corpo (fisica)|corpo]] sia le due componenti di traslazione chesia la rotazione. Reagisce attraverso due componenti di forza su due diverse direzioni e una coppia. Non c'è centro di istantanea rotazione perché l'incastro non permette movimenti.

# Il '''[[Pendolo (vincolo)|pendolo''']] (o '''biella''') è un vincolo semplice equivalente delal carrello: impedisce gli spostamenti del punto vincolato lungo l'asse della biella e permette al corpo gli spostamenti ortogonali a talequesto asse e la rotazione attorno al punto. Reagisce con una forza applicata al punto e diretta lungo l'asse della biella. Il centro di istantanea rotazione, ècome ilnel puntocaso impropiodel carrello, nellapuò direzioneessere uno qualsiasi dei punti che appartengono all'asse ortogonale al piano di scorrimento del bipendolo.

# Il '''[[doppio doppio pendolo''']] (o '''doppio bipendolo''' o '''quadripendolo''' o '''pendolo improprio''' o '''pantografo''') è un vincolo semplice che impedisce le rotazioni del corpo. Lascia libero il corpo di traslare. Reagisce tramite una coppia. Il centro di istantanea rotazione sono tutti i punti impropri del piano.

# <s>Il vincolo di [[puro rotolamento]] è un esempio di vincolo olonomo integrabile, in quanto anche se impone che la velocità nel punto di istantanea rotazione sia nulla si può comunque dedurre una relazione tra le sole coordinate del sistema a meno di una costante</s>.<!-- il puro rotolamento è un esempio di vincolo anolonomo -->

Il centro di istantanea rotazione sono tutti i punti impropri del piano.

# Il vincolo di [[puro rotolamento]] è un esempio di vincolo olonomo integrabile in quanto anche se impone che la velocità nel punto di istantanea rotazione sia nulla si può comunque dedurre una relazione tra le sole coordinate del sistema a meno di una costante.

In [[Meccanicameccanica razionale]] ede in [[Meccanicameccanica delle strutture]], i vincoli più importanti sono: [[Cerniera (meccanica)|cerniera]], [[Incastro (meccanica)|incastro]], [[Carrello (meccanica)|appoggio semplice o carrello]], [[puro rotolamento]], [[doppio pendolo]], [[doppio doppio pendolo]].

<gallery>

Immagine:carrello.jpg|<center>[[Carrello (meccanica)|Carrello]]</center>

Immagine:cerniera.jpg|<center>[[Cerniera (meccanica)|Cerniera]]</center>

Immagine:statica_incastro.jpg|<center>[[Incastro (meccanica)|Incastro]]</center>

Immagine:statica_pendolo.jpg|<center>[[Pendolo]] o [[Biella (meccanica)|Biella]]</center>

Immagine:statica_doppiopendolo.jpg|<center>[[Doppio pendolo]]</center>

Immagine:statica_doppiodoppiopendolo.jpg|<center>[[Doppio doppio pendolo]]</center>

</gallery>

==Sistemi vincolati==

Un sistema vincolato è un sistema meccanico soggetto a [[Vincolo cinematico|vincoli cinematici]]. Le condizioni di vincolo si rappresentano attraverso relazioni funzionali che possono essere interpretate in senso geometrico.

Le condizioni di vincolo si rappresentano attraverso relazioni funzionali che possono essere interpretate in senso geometrico.

Nel caso di un sistema meccanico costituito da ''N'' punti materiali, un sistema di ''m'' '''vincoli olonomi e bilateri''' avrà ''n'' gradi di libertà determinati tramite la legge <math>n = 3N - m</math>.

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La superficie dove poggia il sistema viene detta [[Spazio delle configurazioni|spazio delle configurazioni del sistema]].

==Vincoli perfetti==

Nel caso di un sistema composto da un'unica particella P, se il vincolo è liscio e bilaterale, in ogni istante t, la reazione vincolare Φ su P è ortogonale al vincolo in P.

In particolare:

* se il '''vincolo è fisso''' la velocità <math>\bar\mathbf{v}</math> di P, in ogni istante t, è tangente al vincolo in P, questo implica che la potenza esercitata dalla reazione vincolare è nulla poiché: <math>W^\Phi = \phi \cdot \bar\mathbf{v} = 0</math>

* se il '''vincolo è mobile''' la velocità <math>\bar\mathbf{v}</math> di P è data dalla somma tra velocità di trascinamento del vincolo e velocità virtuale (<math>\bar\mathbf{v}= \bar\mathbf{v}^* + \widehat{\mathbf{v}}</math>); rispetto al caso precedente sarà la velocità virtuale ad essere perpendicolare alla reazione vincolare rendendo la potenza virtuale nulla: <math>\widehat{W}^\Phi = \phi \cdot \widehat{\mathbf{v}} = 0</math>

Sia dato questa volta un sistema di n particelle <math>P_\alpha </math> tale che <math>\alpha = 1,2,...,N</math> soggette a vincoli bilaterali che causano sulle n particelle le reazioni vincolari <math>\phi_\alpha</math> con <math>\alpha = 1,2,...,N</math>, I vincoli del sistema sono detti '''perfetti''' (o '''ideali''') se vale la condizione seguente:

<math>\widehat{W}^\phi = \sum_{k=1}^N \phi_k . \widehat{\mathbf{v}} = 0</math>

Quindi se la '''somma''' delle potenze virtuali del sistema generata dalle reazioni vincolari è nulla (non serve che tutte le potenze siano nulle e che quindi tutti i vincoli siano lisci, ma solo che la somma sia nulla).

In tutti i [[Corpo rigido|corpi rigidi]] i vincoli di rigidità sono perfetti.

== Bibliografia ==

* ''Feliks Ruvimovič Gantmacher'', Lezioni di Meccanica Analitica - 1ª edizione 1980 - [[Editori Riuniti]] Edizioni Mir, Roma

* ''Vittorino Talamini, Luisa Arlotti'', Corso di meccanica razionale - 1998 - [[Forum Edizioni]]

* Yavorsky, Detlaf, Handbook in Physics - 1ª edizione 1972 - Edizioni Mir

==Voci correlate==

* [[Meccanica lagrangiana]]

* [[Meccanica hamiltoniana]]

* [[Principio variazionale di Hamilton]]

* [[Parentesi di Poisson]]

* [[Statica delle strutture]]

* [[Spazio delle configurazioni]]

* [[Metodo dei moltiplicatori di Lagrange]]

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