Solido di Johnson: differenze tra le versioni

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[[Immagine:Elongated square gyrobicupola.pngsvg|thumb|right|128pxupright=0.6|La [[girobicupola quadrata elongata]], il solido di Johnson con sigla ''J''₃₇]]

In [[geometria]] un '''solido di Johnson''' è un [[poliedro convesso]] le cui facce sono tutte costituite da [[poligono regolare|poligoni regolari]], ma che non è né un [[solido platonico]], né un [[solido archimedeo]], né un [[prisma]], né un [[antiprisma]]. Le diverse facce possono essere poligoni con numeri diversi di lati. Il più semplice esempio di solido di Johnson è la [[piramide (geometria)|piramide]] a base quadrata; essa ha una faccia quadrata e quattro facce triangolari.

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I solidi di Johnson sono 92, e vengono generalmente indicati con una sigla che va da <math>J_1</math> fino a <math>J_{92}</math>.

== Cenni storiciStoria ==

Nel [[1966]], [[Norman Johnson]] ha pubblicato una lista di poliedri che include tutti i 92 solidi e ha dato loro i nomi e i numeri da allora entrati nell'uso. Egli non ha dimostrato che di tali solidi ce ne fossero solo 92, ma ha avanzato questa congettura. La dimostrazione che la lista trovata da Johnson fosse completa è stata fornita da [[Victor Zalgaller]] nel [[1969]].

==Proprietà ==

=== Valenze ai vertici ===

Come in ogni solido strettamente convesso, in ogni vertice incidono almeno tre facce e l'ampiezza totale dei loro angoli deve essere inferiore a 360&deg;. Dato che un poligono regolare possiede angoli di almeno 60&deg;, accade che in ogni vertice incidono al più cinque facce. La [[Piramide (geometria)|piramide pentagonale]] (''J''₂) costituisce un esempio di solido con un vertice di valenza 5.

Tra i solidi di Johnson la [[girobicupola quadrata elongata]] (''J''₃₇) è l'unica che risulta essere localmente regolare sui vertici: in ogni vertice incidono quattro facce e la composizione di queste quaterne è sempre la stessa: tre quadrati e un triangolo.

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==Nomi==

A prima vista i nomi dei poliedri di Johnson sembrano complicate bizzarrie; in realtà sono stati scelti in modo da risultare il più possibile descrittivi. Per padroneggiare i significati dei nomi bisogna osservare che gran parte dei solidi di Johnson si possono costruire con elaborazioni relativamente semplici a partire da poliedri piuttosto semplici: le prime [[piramide|piramidi]], le [[cupola (geometria)|cupole]], le [[rotunda|rotunde]], i [[solidi platonici]], i [[solidi archimedei]], i [[prisma|prismi]] e gli [[antiprisma|antiprismi]]. Vediamo quindi il significato degli elementi lessicali utilizzati nei nomi.

*Il prefisso ''bi-'' significa che vengono unite per le basi due copie del solido richiamato successivamente. Le cupole e le rotunde si possono unire facendo incontrare o facce simili (si usa il prefisso (''orto-'') o facce dissimili (si usa il prefisso ''giro-''). Secondo questa nomenclatura, un [[ottaedro]] viene chiamato ''bipiramide quadrata'', un [[cubottaedro]] viene detto ''girobicupola'' e un [[icosidodecaedro]] viene chiamato ''girobirotundagirobirotonda pentagonale''.

*L'aggettivo ''elongato'' significa che è stato incollato un prisma alla base del solido richiamato o tra le basi dei solidi richiamati. Un [[rombicubottaedro]] diventa anche una ''ortobicupola quadrata elongata''.

*L'aggettivo ''giroelongato'' viene usato quando è stato incollato un antiprisma alla base del solido in questione o tra le basi di due solidi in questione. Un [[icosaedro]] sarebbe una ''bipiramide pentagonale giroelongata''.

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== Nomi e numeri di Johnson ==

I nomi e i numeri di Johnson per i solidi in esame sono i seguenti.

{| class="prettytablewikitable"

|style="background: lightblue;" colspan="14"|

====Piramidi, cupole e rotunda=rotonda===

|-

! J_n

Riga 125:

|-

| 6

| [[RotundaRotonda pentagonale]]

| [[Immagine:Pentagonal rotunda.png|80px]]

| [[RotundaRotonda pentagonale(geometria)|RotundaRotonda]]

| 20

| 35

Riga 140:

|-

|style="background: lightblue;" colspan="14"|

====Piramidi modificate====

|-

! J_n

Riga 263:

|-

| 14

| [[Dipiramide elongataBipiramide triangolare elongata]]

| [[Immagine:Elongated triangular dipyramid.png|80px]]

| [[DipiramideBipiramide elongata]]

| 8

| 15

Riga 278:

|-

| 15

| [[Dipiramide elongataBipiramide quadrata elongata]]

| [[Immagine:Elongated square dipyramid.png|80px]]

| DipiramideBipiramide elongata

| 10

| 20

Riga 293:

|-

| 16

| [[Dipiramide elongataBipiramide pentagonale elongata]]

| [[Immagine:Elongated pentagonal dipyramid.png|80px]]

| DipiramideBipiramide elongata

| 12

| 25

Riga 308:

|-

| 17

| [[Dipiramide giroelongataBipiramide quadrata giroelongata]]

| [[Immagine:Gyroelongated square dipyramid.png|80px]]

| [[DipiramideBipiramide giroelongata]]

| 10

| 24

Riga 324:

|style="background: lightblue;" colspan="14"|

====Cupole e rotunderotonde modificate====

|-

! J_n

Riga 387:

|-

| 21

| [[RotundaRotonda pentagonale elongata]]

| [[Immagine:Elongated pentagonal rotunda.png|80px]]

| [[RotundaRotonda elongata]]

| 30

| 55

Riga 447:

|-

| 25

| [[RotundaRotonda pentagonale giroelongata]]

| [[Immagine:Gyroelongated pentagonal rotunda.png|80px]]

| [[RotundaRotonda giroelongata]]

| 30

| 65

Riga 552:

|-

| 32

| [[OrtocupolarotundaOrtocupolarotonda pentagonale]]

| [[Immagine:Pentagonal orthocupolarotunda.png|80px]]

| [[CupolarotundaCupolarotonda]]

| 25

| 50

Riga 567:

|-

| 33

| [[GirocupolarotundaGirocupolarotonda pentagonale]]

| [[Immagine:Pentagonal gyrocupolarotunda.png|80px]]

| Cupolarotonda

| Cupolarotunda

| 25

| 50

Riga 582:

|-

| 34

| [[OrtobirotundaOrtobirotonda pentagonale]]

| [[Immagine:Pentagonal orthobirotunda.png|80px]]

| [[BirotundaBirotonda]]

| 30

| 60

Riga 628:

| 37

| [[Girobicupola quadrata elongata]]

| [[Immagine:Elongated square gyrobicupola.pngsvg|80px]]

| Bicupola elongata

| 24

Riga 672:

|-

| 40

| [[OrtocupolarotundaOrtocupolarotonda pentagonale elongata]]

| [[Immagine:Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png|80px]]

| [[CupolarotundaCupolarotonda elongata]]

| 35

| 70

Riga 687:

|-

| 41

| [[GirocupolarotundaGirocupolarotonda pentagonale elongata]]

| [[Immagine:Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png|80px]]

| [[CupolarotundaCupolarotonda elongata]]

| 35

| 70

Riga 702:

|-

| 42

| [[OrtobirotundaOrtobirotonda pentagonale elongata]]

| [[Immagine:Elongated pentagonal orthobirotunda.png|80px]]

| [[BirotundaBirotonda elongata]]

| 40

| 80

Riga 717:

|-

| 43

| [[GirobirotundaGirobirotonda pentagonale elongata]]

| [[Immagine:Elongated pentagonal gyrobirotunda.png|80px]]

| BirotundaBirotonda elongata

| 40

| 80

Riga 777:

|-

| 47

| [[CupolarotundaCupolarotonda pentagonale giroelongata]]

| [[Immagine:Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png|80px]]

| [[CupolarotundaCupolarotonda giroelongata]]

| 35

| 80

Riga 792:

|-

| 48

| [[BirotundaBirotonda pentagonale giroelongata]]

| [[Immagine:Gyroelongated pentagonal birotunda.png|80px]]

| [[BirotundaBirotonda giroelongata]]

| 40

| 90

Riga 808:

|style="background: lightblue;" colspan="14"|

====Prismi aumentati====

|-

! J_n

Riga 962:

|style="background: lightblue;" colspan="14"|

====Solidi platonici modificati====

|-

! J_n

Riga 1 070:

|-

| 64

| [[Icosaedro aumentato tridiminuito aumentato]]

| [[Immagine:Augmented tridiminished icosahedron.png|80px]]

| -

Riga 1 086:

|style="background: lightblue;" colspan="14"|

====Solidi di Archimede modificati====

|-

! J_n

Riga 1 239:

|-

| 74

| [[Rombicosidodecaedro parabigiratometabigirato]]

| [[Immagine:Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png|80px]]

| Rombicosidodecaedro girato

Riga 1 284:

|-

| 77

| [[Rombicosidodecaedro diminuito paragirato diminuito]]

| [[Immagine:Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png|80px]]

| Rombicosidodecaedro diminuito girato

Riga 1 299:

|-

| 78

| [[Rombicosidodecaedro diminuito metagirato diminuito]]

| [[Immagine:Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png|80px]]

| Rombicosidodecaedro diminuito girato

Riga 1 314:

|-

| 79

| [[Rombicosidodecaedro diminuito bigirato diminuito]]

| [[Immagine:Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png|80px]]

| Rombicosidodecaedro diminuito girato

Riga 1 390:

|style="background: lightblue;" colspan="14"|

====Misti====

|-

! J_n

Riga 1 513:

|-

| 91

| [[BilunabirotundaBilunabirotonda]]

| [[Immagine:Bilunabirotunda.png|80px]]

| -

Riga 1 521:

| 8

| 2

| 04

| 0

| 0

Riga 1 528:

|-

| 92

| [[EbesfenorotundaEbesfenorotonda triangolare]]

| [[Immagine:Triangular hebesphenorotunda.png|80px]]

| -

Riga 1 544:

== Bibliografia ==

*[[Norman Johnson]] (1966): ''Convex Solids with Regular Faces'', Canadian Journal of Mathematics, '''18''', pp. 169-200&nbsp;169–200. Contiene la enumerazione originale dei 92 solidi e la congettura che non ve ne siano altri.

*Victor A. Zalgaller (1969): ''Convex Polyhedra with Regular Faces'' Consultants Bureau, New York. Traduzione dal russo: originale nei Seminari di matematica dell'istituto V.A. Steklov. Contiene la prima dimostrazione dell'esistenza di solo 92 solidi di Johnson.

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/JohnsonSolid.html Johnson Solid] - Da [[MathWorld]].

* {{en}} [http://www.korthalsaltes.com/ Modelli di poliedri di carta].

* {{en}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/johnson-info.html Johnson Solids] - Di George W. Hart.

* {{en}} [https://web.archive.org/web/20130601082835/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/johnsonp.htm Johnson Polyhedra] - Immagini dei 92 solidi

{{Poliedri}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Solidi di Johnson| ]]