Algoritmo greedy: differenze tra le versioni

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Un '''algoritmo greedy''' è un [[algoritmo]] che cerca di ottenere una soluzione ottima da un punto di vista globale attraverso la scelta della soluzione più ''golosa'' (aggressiva o avida, a seconda della traduzione preferita del termine ''greedy'' dall'inglese) ad ogni passo locale. Questa tecnica consente, dove applicabile (infatti non sempre si arriva ad una soluzione ottima), di trovare soluzioni ottimali per determinati problemi in un tempo polinomiale (cfr. [[NP-Completo|Problemi NP-Completi]], cioè problemi di soluzione non deterministica polinomiale).

Un '''algoritmo ''greedy''''' o '''algoritmo goloso'''<ref>{{cita libro|citazione=È opportuno sottolineare che [[Algoritmo di Kruskal|quello di Kruskal]] è un algoritmo che appartiene alla famiglia degli algoritmi "golosi", in gergo ''greedy''.|url=https://www.google.it/books/edition/Programmare_in_C_Guida_al_linguaggio_att/BybdDwAAQBAJ?hl=it&gbpv=1&dq=algoritmi+golosi&pg=PA279&printsec=frontcover|isbn=9788835807896|cognome=Liverani|nome=Marco|titolo=Programmare in C. Guida al linguaggio attraverso esercizi svolti e commentati|editore=Società Editrice Esculapio|anno=2020|p=279}}</ref><ref>{{cita libro|cognome1=Berardi|nome1=Luigia|cognome2=Beutelspacher|nome2=Albrecht|titolo=Matematica discreta. Dai fondamenti alle applicazioni|editore=Franco Angeli|anno=2003|lingua=it|p=62|url=https://www.google.it/books/edition/Matematica_discreta_Dai_fondamenti_alle/JrFOKxhi1DQC?hl=it&gbpv=1&dq=algoritmo+goloso&pg=PA62&printsec=frontcover|isbn=9788846449207}}</ref><ref>{{cita libro|cognome=Cerasoli|nome=Mauro|titolo=Elementi di matematica discreta|editore=Zanichelli|anno=1988|lingua=it|p=244|url=https://www.google.it/books/edition/Elementi_di_matematica_discreta/N-3uAAAAMAAJ?hl=it&gbpv=1&bsq=algoritmo+goloso&dq=algoritmo+goloso&printsec=frontcover|isbn=9788808038586}}</ref> è un [[paradigma algoritmico]] in base al quale la ricerca di una soluzione ottimale avviene seguendo una strategia euristica di problem-solving in cui l'[[algoritmo]], a ogni passaggio, opta per la soluzione ottimale a livello locale (come definita in precedenza dal programmatore). Quando applicabili, questi algoritmi consentono di trovare soluzioni ottimali per determinati problemi in un [[tempo polinomiale]]; in molti casi, non si può garantire la convergenza verso un ottimo globale. In particolare, questi algoritmi cercano di mantenere una proprietà di ''sottostruttura ottima'', quindi cercano di risolvere i sottoproblemi in maniera "avida" (da cui la traduzione letterale ''algoritmi avidi'' in italiano) considerando una parte definita migliore nell'input per risolvere tutti i problemi.

Per fare ciò, di solito, viene applicata una tecnica ''cut and paste'' (quindi scelgo l'input migliore per poter risolvere il sottoproblema).

Un tipo di strategia greedy può essere applicata al [[problema del commesso viaggiatore]] (che è un problema ad alta [[Teoria della complessità computazionale|complessità computazionale]]): essa può essere, ad esempio, quella che , a ogni passaggio, obbedisce alla seguente regola euristica: "A ogni passo del tragitto, vai alla più vicina tra le città non ancora visitate". L'adozione di questo semplice approccio [[Euristica|euristico]] non è in grado di garantire la soluzione ottima a questo problema complesso, ma ha il pregio che l'esecuzione termina dopo un ragionevole numero di passi; trovare una soluzione ottimale a un problema così complesso richiede, tipicamente, un numero altissimo di passaggi, circostanza che lo rende un problema praticamente non affrontabile.

== Esempi esplicativi ==

Il problema "Dai il minor numero di monete di resto utilizzando monete da 100, 10, 1 eurocent" è un problema risolvibilerisolubile tramite un algoritmo di tipo greedy: ad ogni passo viene controllato il resto ancora da dare e si aggiunge la moneta con valoreil maggioremaggior valore possibile. Quindi per dare un resto di 112 eurocent la macchina farà cadere in sequenza una moneta da 100, poi 10, poi 1, e infine ancora 1 eurocent (per un totale di 4 monete).

Il problema comunemente dettocosiddetto [[Problemaproblema del commesso viaggiatore|"del Commesso Viaggiatore"]], cioè "dato un numero di consegne e di ritiri con un mezzo che ha una portata massima P, si organizzi il viaggio che consente di viaggiare il minor numero di km con il maggior carico possibile per ottenere il massimo guadagno", non è un problema risolvibile tramite un algoritmo di tipo greedy, ma solo tramite algoritmi per [[NP-Completocompleto|problemi NP-Completicompleti]].

Facciamo notare che il problema delIl primo esempio, che possiamo chiamare "Minor monete di resto", è risolvibile grazie ad un algoritmo greedy solo per quell'insiemeopportuni insiemi di valori di monete: infatti se infattici avessimofossero ad esempio anche monete da 105 eurocent (valori monete: 105, 100, 10, 1), l'algoritmo greedy darebbe un totale di 8 monete (una da 105 e 7 da 1), quandomentre posso trovare unala soluzione ottima è quella con 4 monete (100+10+1+1).

Un altro esempio noto e ampiamente conosciuto è l'algoritmo di ''selezione delle attività'', il cui [[pseudocodice]] è presentato dal Cormen<ref>{{Cita libro|nome=Thomas H.|cognome=Cormen|nome2=Charles E.|cognome2=Leiserson|nome3=Ronald L.|cognome3=Rivest|titolo=Introduction to Algorithms|url=https://mitpress.mit.edu/books/introduction-algorithms-fourth-edition|accesso=2022-01-08|edizione=4|data=2022-03-22|editore=MIT Press|lingua=en|ISBN=978-0-262-04630-5}}</ref>.

<math>\text{greedy-activity-selector}(s,f)</math>

<math>A = A_1</math>

<math>k=1 </math>

<math>for \ m=2 \ to \ n</math>

<math>if \ s[m] \geq f(k)</math>

<math>A = A \bigcup a_m</math>

<math>k=m</math>

<math>return \ A</math>

Il problema comunemente detto [[Problema del commesso viaggiatore|"del Commesso Viaggiatore"]], cioè "dato un numero di consegne e di ritiri con un mezzo che ha una portata massima P, si organizzi il viaggio che consente di viaggiare il minor numero di km con il maggior carico possibile per ottenere il massimo guadagno", non è un problema risolvibile tramite un algoritmo di tipo greedy, ma solo tramite algoritmi per [[NP-Completo|problemi NP-Completi]].

Tale algoritmo seleziona le attività che sono compatibili da un punto di vista temporale, evitando che si sovrappongano. Piuttosto che selezionare tutte le attività, seleziona il maggior numero di attività tali che non siano sovrapponibili l'una con l'altra, quindi con inizio/fine distinti le une dalle altre. Un altro esempio noto di algoritmo greedy è la [[codifica di Huffman]], normalmente utilizzato nella compressione dei file e che utilizza il medesimo principio, quindi l'ottimizzazione dei dati presenti selezionando le frequenze in maniera ottimale alla posizione e numero dei singoli caratteri.

Facciamo notare che il problema del primo esempio, che possiamo chiamare "Minor monete di resto", è risolvibile grazie ad un algoritmo greedy solo per quell'insieme di valori di monete: se infatti avessimo anche monete da 105 eurocent, l'algoritmo greedy darebbe un totale di 8 monete (una da 105 e 7 da 1), quando posso trovare una soluzione ottima con 4 monete (100+10+1+1).

== Definizione formale ==

In [[combinatoria]] e in [[Ottimizzazione (matematica)|ottimizzazione]] per '''algoritmo greedy''' si intende un algoritmo che consente di individuare una base di una [[matroide]] finita procedendo in modo notevolmente semplice ed efficiente.

ConsideriamoSi consideri l'insieme E e una famiglia F di sottoinsiemi di E (<math> F \subseteq 2^E</math>) che forma un [[Ideale (matematica)|ideale]] d'ordine]] rispetto alla relazione di inclusione:

<math>A \in F \andland B \subseteq A \to B \in F</math>

La coppia E,F forma un sistema di indipendenza. Viene definita inoltre la funzione peso w.

Dato un sistema di indipendenza E,F e una funzione peso w, si ricava un insieme M tale che w(M) sia il massimo.

Line 21 ⟶ 46:

== Descrizione dell'algoritmo ==

Si consideri un [[matroide]] degli indipendenti ''M'' = (''E'',''I''). L'algoritmo si serve di un insieme variabile ''X'' che viene progressivamente ampliato fino a individuare una base.

L'algoritmo si serve di un insieme variabile ''X'' che viene progressivamente ampliato fino a individuare una base.

* Inizialmente assegniamosi assegna l'insieme vuoto all'insieme variabile ''X''.

* ProcediamoSi aprocede considerareconsiderando successivi elementi ''x'' in ''E'' non contenuti in ''X'';

** Se <math>X \cup \{x\}</math> è indipendente, allora trasformiamosi trasforma il precedente ''X'' aggiungendogli x, cioè applichiamo l'istruzione <math>X := X \cup \{x\}</math>. In caso contrario il processo si conclude.

Il risultato è chiaramente un insieme indipendente. EssoInoltre inoltreesso è un [[insieme indipendente massimale,]] in quanto se B U {x} non èfosse indipendente per qualche sottoinsieme B di ''X'', allora <math>X \cup \{x\}</math> non èsarebbe indipendente: (in caso contrario si andrebbe contro la proprietà di ereditarietà). Quindi se trascuriamosi trascura un elemento non avremosi avrà l'opportunità di utilizzarlo più tardi.

== Matroidi pesati e algoritmi greedy ==

GeneralizziamoGeneralizzazione di questo algoritmo per risolvere un problema più difficile.

Una ''funzione peso'' ''w'' : ''E'' → '''R'''⁺ per un matroide ''M''=(''E'', ''I'') assegna un peso strettamente positivo a ciascun elemento di ''E''. EstendiamoEstendendo la funzione ai sottoinsiemi di ''E'' attraverso la somma; ''w''(''A'') è la somma dei ''w''(''x'') sugli ''x'' in ''A''. Un matroide con una funzione peso associata è detto un matroide pesato.

Come semplice esempio, diciamo di voler trovare la [[massima foresta di copertura]] di un [[grafo]]. Ovvero, dato un grafo e un peso per ogni arco, trovare una foresta contenente ogni vertice e che massimizzi il peso totale degli archi nell'albero. Questo problema si presenta in alcune applicazioni di clustering. Se guardiamo alla definizione del matroide foresta sopra, vediamo che la massima foresta di copertura è semplicemente il sottoinsieme indipendente con peso totale massimo — tale da ricoprire il grafo, poiché in caso contrario potremmo aggiungere archi senza creare cicli. Ma come lo troviamo?

Un insieme indipendente di massimo peso totale è chiamato insieme ''ottimale''. Gli insiemi ottimali sono sempre basi, perché se può essere aggiunto un arco, dovrebbe essere fatto; ciò aumenta solo il peso totale. Si può dimostrare che esiste un banale algoritmo greedy per calcolare un insieme ottimale di una matroide pesata. Procede come segue:

Line 53 ⟶ 77:

Prendiamo un <math>\varepsilon>0</math> e <math>\tau>0</math> tali che <math>(1+2\varepsilon)|I_1|+\tau|E|<|I_2|</math>. Pesiamo gli elementi di <math>I_1\cup I_2</math> nell'intervallo da <math>2</math> a <math>2+2\varepsilon</math>, gli elementi di <math>I_1\setminus I_2</math> nell'intervallo da <math>1+\varepsilon</math> a <math>1+2\varepsilon</math>, gli elementi di <math>I_2\setminus I_1</math> nell'intervallo da <math>1</math> a <math>1+\varepsilon</math>, e il resto nell'intervallo da <math>0</math> a <math>\tau</math>. L'algoritmo greedy sceglierà gli elementi di <math>I_1</math>, e in seguito non potrà scegliere nessun elemento di <math>I_2\setminus I_1</math>. Di conseguenza l'insieme indipendente che costruisce sarà di peso non superiore a <math>(1+2\varepsilon)|I_1|+\tau|E|+|I_1\cup I_2|</math>, che è più piccolo del peso di <math>I_2</math>.

== Note ==

<references/>

== Voci correlate ==

* [[GreedoideColorazione golosa]]

* [[Greedoide]]

== Altri progetti ==

[[Categoria:Algoritmi di ottimizzazione]]

{{interprogetto|preposizione=sull'}}

[[Categoria:Teoria delle matroidi]]

<!--[[Categoria:Ottimizzazione combinatoria]]-->

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Algoritmi di ottimizzazione|Greedy]]

[[Categoria:Teoria delle matroidi]]