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L{{'}}'''ipocicloide''' è una curva piana appartenente alla categoria delle [[rulletta |rullette]] ovveroossia delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di [[ipotrocoide]].
== Forma matematica ==
[[Immagine:Hypocycloid.png|thumb|right|Due ipocicloidi. La prima ha un rapporto ''<math>a/b''</math> pariuguale a 5/3 ed è una curva chiusa con 5 cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).]]
cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).]]
La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio ''<math>b''</math> che rotola (senza strisciare) su di una circonferenza di raggio ''<math>a''</math> (con <math>a>b</math>) è data da:
:<math>\begin{cases}
<math>x = \left ( a - b \right ) \cos \phi - b \cos \left ( \frac {a-b}{b} \phi \right )</math><br/> ▼<math>yx = \left ( a - b \right ) \sincos \phi + b \sincos \left ( \frac {a-b}{b} \phi \right )</math>. \\
▲<math>xy = \left ( a - b \right ) \ cossin \phi - b \ cossin \left ( \frac {a-b}{b} \phi \right ) </math><br/>.
\end{cases}</math>
L'ipocicloide è una [[funzione continua]] ed è [[funzione differenziabile|differenziabile]] ovunque tranne sulle [[cuspide (matematica)|cuspidi]].
Se ''<math>\frac{a}{b}</b''math> è un [[numero razionale]] allora l'ipocicloide è una curva chiusa con ''<math>\frac{a}{b}</math> cuspidi. In particolare se <math>\frac{a}{b} = n \in \mathbb{N},</math> allora l'ipocicloide ha <math>n</math> cuspidi; invece se <math>\frac{a}{b} \in \mathbb{Q \smallsetminus Z},</math> allora l'ipocicloide ha un numero di cuspidi pari al numeratore della frazione ai minimi termini che deriva da <math>\frac{a}{b}</math> (quindi supponendo <math>(a,b)=1</math> abbiamo esattamente <math>a</math> cuspidi). Se invece ''<math>\frac {a}{b}</b''math> è un [[numero irrazionale]] la curva non si chiude mai.
[[File: HypocycloidHypocycloids.gif|thumb| 600px|rightupright=2.7|Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra ''<math>a ''</math> e ''<math>b ''</math> [[numero razionale|razionale]], invece, nell'ultima riga il rapporto tra ''<math>a ''</math> e ''<math>b ''</math> è [[numero irrazionale|irrazionale]]. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.]] ▼
▲[[File:Hypocycloid.gif|thumb|600px|right|Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra ''a'' e ''b'' [[numero razionale|razionale]], invece, nell'ultima riga il rapporto tra ''a'' e ''b'' è [[numero irrazionale|irrazionale]]. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.]]
== Voci correlate ==
* [[Epicicloide]]
* [[Astroide]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{MathWorld|Hypocycloid|Hypocycloid}}
{{Portale|matematica}}
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