Primo principio della termodinamica: differenze tra le versioni

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{{Meccanica del continuo}}

{{Principi della termodinamica}}

[[File:Joule's Apparatus (Harper's Scan).png|thumb|Apparecchiatura sperimentale utilizzata da [[James Prescott Joule|Joule]] per dimostrare l'equivalenza tra [[calore]] e [[Lavoro (fisica)|lavoro]].]]

Il '''primo principio della termodinamica''', anche detto, per estensione, [[legge di conservazione dell'energia]], è un assunto fondamentale della [[teoria]] della [[termodinamica]].

Il '''primo principio della termodinamica''', èrappresenta iluna [[equazioneformulazione didel bilancio|bilancio]]principio di [[conservazione dell'energia interna]],e puntoafferma di partenza fondamentale della [[teoria]] della [[termodinamica]].che:

{{quote|L'[[energia interna]] di un [[sistema termodinamico]] [[Sistema isolato|isolato]] è costante.}}

Un [[Termodinamica#Universo termodinamico|universo termodinamico]], costituito dal [[Sistema termodinamico|sistema]] e dal suo [[Ambiente (termodinamica)|ambiente]], è un sistema isolato. L'energia non si crea né si distrugge, ma si trasforma, passando da una forma a un'altra<ref>{{en}} [http://energy.gov/sites/prod/files/2013/06/f2/h1012v1.pdf DOE Fundamentals Handbook - "Thermodynamics, Heat transfer, and fluid flow", p. 53.] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161220052153/https://energy.gov/sites/prod/files/2013/06/f2/h1012v1.pdf |data=20 dicembre 2016 }}</ref>: l'energia può cioè essere trasferita attraverso scambi di [[calore]] e di [[Lavoro (fisica)#Lavoro in termodinamica|lavoro]].

Nella forma più generale e semplice, esso si enuncia dicendo che le due cause di variazione della [[temperatura]] di un [[corpo continuo]] sono lo scambio termico con l'esterno e lo svolgimento di un [[lavoro termodinamico]].

Nella forma più generale e semplice, il primo principio si può descrivere dicendo che esiste una funzione delle coordinate termodinamiche di un sistema, chiamata [[energia interna]] ''U'', le cui variazioni generano gli scambi energetici del sistema con l'ambiente che lo circonda. Tale processo caratterizza le [[trasformazioni termodinamiche]] tra due stati di equilibrio del sistema, per cui l'energia interna è [[funzione di stato]]. Durante una trasformazione, si fornisce energia al sistema sia tramite un lavoro meccanico che con uno scambio di calore. Questa energia resta immagazzinata sotto forma di energia interna e può essere successivamente riutilizzata.

==Enunciato==

Dati due stati ''A'' e ''B'', la variazione di energia interna ''Δ U = U(A) - U(B)'' è pari alla differenza del calore assorbito ''Q=Q(A→B)'' e del lavoro termodinamico compiuto ''W=W(A→B)'' dal sistema durante la trasformazione:

==Descrizione==

:<math>\Delta U = Q - W\;.</math>

Dati due stati ''A'' e ''B'', la variazione di energia interna <math>\Delta U = U(B) - U(A)</math> è pari alla differenza fra il calore assorbito ''<math>Q \equiv Q(A \to B)</math>'' e il lavoro compiuto ''<math>L \equiv L(A \to B)</math>'' da un [[sistema chiuso]] durante una trasformazione:

:<math>\Delta U = Q - L\;</math>

Calore e lavoro sono proprietà delle trasformazioni e non degli stati. In particolari trasformazioni può essere preponderante lo scambio di calore, mentre in altre trasformazioni quello di lavoro. Se gli stati di partenza e di arrivo sono gli stessi, nelle diverse trasformazioni, lo scambio totale ''Q - W'' è lo stesso.

Calore e lavoro sono proprietà delle trasformazioni e non degli stati. In particolari trasformazioni può risultare preponderante lo scambio di calore, mentre in altre trasformazioni quello di lavoro. Se gli stati di partenza e di arrivo sono gli stessi, nelle diverse trasformazioni, lo scambio totale ''<math>Q - L</math>'' è lo stesso.

Il primo principio della termodinamica risulta equivalente all'impossibilità del [[moto perpetuo]] di prima specie.<ref>{{Cita|Silvestroni|p. 115}}</ref>

Il primo principio mette in evidenza l'esistenza di un meccanismo di scambio di energia, che non è esprimibile come lavoro meccanico macroscopico: a questo si dà il nome di calore.

In una trasformazione quasi statica e reversibile risulta utile considerare trasformazioni termodinamiche nelle quali le variabili di stato cambiano di quantità infinitesime. In tal caso, il primo principio si esprime nella forma:

L'[[Equivalente meccanico del calore|equivalenza tra lavoro e calore]] fu dimostrata da [[James Prescott Joule|Joule]] attraverso una serie di [[esperimenti]] (in particolare il "[[mulinello di Joule]]") verso la metà dell'Ottocento.<ref>[http://www.sapere.it/sapere/strumenti/studiafacile/fisica/Calore-e-termodinamica/La-termodinamica/Le-trasformazioni-termodinamiche.html Sapere.it - "Le trasformazioni termodinamiche"]</ref> Schematicamente le varie esperienze avevano lo scopo di realizzare un aumento della temperatura di una certa quantità d'acqua con procedimenti diversi. In uno di questi si trasferisce [[energia meccanica]] al [[sistema]] mediante la caduta di un peso. Il peso è accoppiato meccanicamente ad un albero alto verticale tramite una corda che lo avvolge nella sua parte superiore mentre nella parte inferiore sono infisse delle pale, disposte a raggiera, con i loro piani paralleli all'asse di rotazione dell'albero. Le pale sono immerse in un liquido contenuto in un recipiente [[sistema adiabatico|adiabatico]]. Risultato dell'esperienza è l'aumento della temperatura del liquido, ovvero della sua [[energia interna]] ''U''.

:<math>d U = \delta Q - \delta W ,</math>

dove la variazione infinitesima di energia interna ''d U'' e un differenziale esatto, in quanto il suo integrale esprime una variazione finita di una funzione di stato, mentre

il [[calore]] scambiato con l'esterno ''δ Q'' e il [[Lavoro (fisica)|lavoro]] svolto dal sistema ''δ W'' sono differenziali non esatti.

==Storia==

[[File:Joule's Apparatus (Harper's Scan).png|250px|thumb|Apparecchiatura sperimentale utilizzata da [[James Prescott Joule|Joule]] per dimostrare l'equivalenza tra [[calore]] e [[Lavoro (fisica)|lavoro]].]]

L'equivalenza tra lavoro e calore fu dimostrata da [[James Prescott Joule|Joule]] attraverso una serie di [[esperimenti]] verso la metà del 1800. Schematicamente, le varie esperienze avevano lo scopo di realizzare un aumento della temperatura di una certa quantità d'acqua con procedimenti diversi. In uno si questi, si trasferisce [[energia meccanica]] al [[sistema]] mediante la caduta di un peso. Il peso è accoppiato meccanicamente ad un albero alto verticale tramite una corda che lo avvolge nella sua parte superiore mentre nella parte inferiore sono infisse delle pale, disposte a raggiera, con i loro piani paralleli all'asse di rotazione dell'albero. Le pale sono immerse in un liquido contenuto in un recipiente [[Sistema adiabatico|adiabatico]]. Risultato dell'esperienza è l'aumento della temperatura del liquido, ovvero della sua energia interna ''U''.

Si dimostra così che l'energia potenziale del peso, in caduta frenata dal liquido che si oppone alla sua variazione di quiete, mediante la rotazione delle pale, si trasferisce in buona parte al liquido frenante aumentandone la temperatura, e sviluppando un lavoro termico.

Il primo principio della termodinamica oggi si giustificaanche su base [[meccanica statistica|statistica]] come [[equazione di bilancio]] dell'energia interna derivabile da un'[[equazione del traporto]] lineare come [[equazione di Boltzmann|quella di Boltzmann]].

Il primo principio della termodinamica risulta equivalente all'impossibilità del [[moto perpetuo]] di prima specie.<ref>{{Cita|Silvestroni|p. 115}}.</ref>

== Derivazione trasportistica ==

{{vedi anche|Equazione di Boltzmann#Approssimazione del continuo}}

Effettuando il [[prodotto tensoriale]] di una [[equazione del trasporto]] di tipo lineare come quella di Boltzmann<ref name="D18">{{Cita|Duderstadt et al.|pp. 218}}</ref>, in [[forma euleriana]]:

In una trasformazione quasi statica e reversibile risulta utile considerare trasformazioni termodinamiche nelle quali le variabili di stato cambiano di quantità infinitesime. In tal caso, il primo principio si esprime nella forma:

<math> \frac {\partial n}{\partial t} + \bar v \cdot \frac {\partial n}{\partial \bar r} + \bar F \cdot \frac {\partial n}{\partial \bar p} - Q_2 \, n(\bar r,\bar p, \bar t) = 0</math>

:<math>\operatorname{d} \!U = \delta Q - \delta L</math>

per la [[varianza]] della [[velocità]] (microscopica) del sistema rispetto alla [[velocità macroscopica]], che '''dipende da tutte le [[coordinate generalizzate]]'''<ref name="D55">{{Cita|Duderstadt et al.|pp. 255}}</ref>:

dove la variazione infinitesima di energia interna ''<math>\operatorname{d}\!U</math>'' è un [[differenziale esatto]], in quanto il suo integrale esprime una variazione finita di una [[funzione di stato]], mentre il [[calore]] scambiato con l'esterno ''<math>\operatorname{\delta}\!Q</math>'' e il [[Lavoro (fisica)|lavoro]] svolto dal sistema ''<math>\operatorname{\delta}\!L</math>'' sono differenziali non esatti.

<math> \frac 1 2 |\bar v- \langle \bar v \rangle (\bar r,t)|^2</math>

== Sistema generico ==

ed integrandola nel [[momento coniugato]] in modo che vi rimanga solo la dipendenza dalla posizione coniugata:

Un sistema generico può scambiare energia ''<math>\Delta E</math>'' con l'[[ambiente (termodinamica)|ambiente]] in diversi modi:

<math>\frac 1 2 \int \frac {\partial n}{\partial t} (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp + \frac 1 2 \int \frac {\partial n}{\partial \bar r} \cdot \bar v (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp + \bar F \cdot \frac 1 2 \int \frac {\partial n}{\partial \bar p} (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp - \frac 1 2 \int Q_2 \, n(\bar r,\bar p, \bar t) (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp = 0</math>

si verifica che il termine dinamico è nullo<ref name="D55"/>:

<math>\bar F \cdot \int \frac {\partial n}{\partial \bar p} (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp = 0 </math>

e anche il termine collisionale è nullo, se vale la conservazione dell'[[energia cinetica]] in ogni [[urto|collisione binaria]]<ref name="D55"/>:

<math>\int Q_2 n(\bar r,\bar p, t) (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp = 0</math>

in base alla definizione della [[densità]] nello [[spazio delle configurazioni]] come<ref>{{Cita|Duderstadt et al.|pp. 253}}</ref>:

<math>\rho (\bar r, t)=\int n(\bar r,\bar p, t) \operatorname dp</math>,

del [[tensore degli sforzi]] interni come<ref>{{Cita|Duderstadt et al.|pp. 254}}</ref>:

<math>\bar \bar \sigma (\bar r, t) = \int (\bar v - \langle \bar v \rangle) (\bar v - \langle \bar v \rangle) n \operatorname dp</math>

e l'[[operatore integrale]] della media nello spazio dei momenti "< >"<ref name="D18"/>:

<math>\langle \cdot \rangle=\frac{\int n \, \cdot \, \operatorname dp}{\int n \, \operatorname dp}</math>,

coerenti con la [[legge di conservazione della massa]]<ref name="D55"/> e col [[bilancio della quantità di moto]]<ref name="D55"/>, si introducono le definizioni nuove di [[densità di corrente termica]]<ref name="D55"/>:

<math>\frac 1 2 \int n(\bar r,\bar p, t) (\bar v- \langle \bar v \rangle)^3 \operatorname dp = \bar q (\bar r, t)</math>,

e del tensore di [[deformazione]]:

<math>\frac 1 2 \left( \frac {\partial \langle v_i \rangle}{\partial r_j} + \frac {\partial \langle v_j \rangle}{\partial r_i} \right) = \epsilon_{ij} (\bar r, t)</math>,

sfruttando il due bilanci già citati, si ottiene il terzo bilancio di energia interna in forma differenziale<ref name="D55"/>:

<math>\frac{\partial \rho \langle v^2\rangle}{\partial t} + \frac {\partial}{\partial \bar r} \cdot (\rho \langle \bar v \rangle \langle v^2\rangle) + \frac {\partial}{\partial \bar r} \cdot \bar q + \bar \bar \sigma : \bar \bar \epsilon= 0</math>

Si noti che l'equazione coinvolge la variabile velocità quadratica media nello spazio delle configurazioni, detta usualmente energia interna specifica, in cui l'equazione risulta [[equazione iperbolica|iperbolica]], applicando la [[regola di Leibnitz]]:

:<math>\frac{\partial \langle v^2\rangle}{\partial t} + \langle \bar v \rangle \cdot \frac{\partial \langle v^2\rangle}{\partial \bar r} + \frac {2}{3\rho} \frac{\partial }{\partial \bar r} \cdot \bar q + \frac {2}{3\rho} \bar \bar \sigma : \bar \bar \epsilon = 0 </math>

Ovvero, introducendo la definizione nuova di [[temperatura]]<ref name="D55"/>, di [[calore specifico isocoro]], e scomponendo la tensione in [[pressione]] e [[sforzo di taglio]]:

:<math>\frac{\partial T}{\partial t} + \langle \bar v \rangle \cdot \frac{\partial T}{\partial \bar r} + \frac 1 {\rho \varsigma_V} \frac{\partial }{\partial \bar r} \cdot \bar q + \frac {\bar \bar \tau}{\rho \varsigma_V} : \nabla \bar \langle \bar v \rangle + \frac {p}{\rho \varsigma_V} \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0 </math>

si noti che il prodotto della velocità macroscopica per il [[gradiente]] di temperatura è il termine di [[convezione termica]], il termine con la [[divergenza]] della densità di corrente termica è il termine di [[conduzione termica]] il termine con il [[prodotto di saturazione]] fra taglio e deformazione è il termine di [[dissipazione]], il termine con il prodotto pressione - deformazione scalare<ref><math>\epsilon = \bar \bar \epsilon : \bar \bar 1</math></ref> è il [[lavoro termodinamico]].

==Forma euleriana==

Si indicherà ora la derivata nella coordinata generalizzata sarà indicata conformemente alla consuetudine [[fluidodinamica]] col simbolo [[nabla]]:

:<math>\rho \varsigma_V \frac{\partial T}{\partial t} + \rho \varsigma_V \langle \bar v \rangle \cdot \nabla T + \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon + \nabla \cdot \bar q + p \epsilon = 0 </math>

:<math>\frac{\partial \rho \varsigma_V T}{\partial t} + \rho \varsigma_V \langle \bar v \rangle \cdot \nabla T - \frac{\partial \rho \varsigma_V}{\partial t} T + \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon + \nabla \cdot \bar q + p \epsilon = 0 </math>

Quindi, in '''forma euleriana''' applicando il [[teorema della divergenza]], e il [[teorema di Reynolds]] all'integrale di [[corrente termica]]:

:<math> \frac{\partial}{\partial t} \int_{M(t)} \varsigma_V T \operatorname dm + \int_{V} \left( \rho \varsigma_V \langle \bar v \rangle \cdot \nabla T \, - \, \frac{\partial \rho \varsigma_V}{\partial t} T \right) \operatorname dr^3 + \int_V \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon \operatorname dr + \oint_{\partial V} \bar q \cdot \operatorname d \bar {r^2} + \int_{\epsilon V} p \operatorname d (\epsilon r) = 0</math>

si definiscono quindi l'[[energia interna]], il calore di convezione, la [[dissipazione]], il calore di conduzione, e il [[lavoro termodinamico]]:

:<math> \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{\partial C}{\partial t} - I_U -\frac{\partial D}{\partial t} + \frac{\partial W}{\partial t} = 0</math>

se si riassumono i termini di [[potenza termica]]:

:<math> \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial W}{\partial t} = 0</math>

Integrando sull'intervallo di tempo di riferimento si ottiene il bilancio euleriano in un intervallo di tempo finito:

:<math> \Delta U = Q \, - \, W</math>

Il primo principio della termodinamica per un corpo continuo in un sistema di riferimento euleriano può essere quindi enunciato come segue:

{{Citazione|l'aumento, nel tempo, dell'energia interna in un volume di controllo è pari al flusso netto di scambio termico dall'esterno attraverso la superficie che lo delimita meno la dissipazione meccanica al suo interno.}}

==Forma lagrangiana ==

Introducendo la [[derivata lagrangiana]]<ref name="T107">{{Cita|Todreas et al.|pp. 107}}, eq. 4-96</ref>:

:<math>\rho \varsigma_V \frac{DT}{Dt} + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon + p \epsilon = 0 </math>

Quindi integrando sulla massa di controllo e applicando il [[teorema della divergenza]], e il [[teorema di Reynolds]] di [[corrente termica]]:

:<math> \frac{D}{Dt} \int_{M} \varsigma_V T \operatorname dm + \oint_{\partial V} \bar q \cdot \operatorname d \bar {r^2} + \int_V \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon \operatorname dr + \int_{\epsilon V} p \operatorname d {\epsilon r}= 0</math>

in base alla definizione esplicite di energia interna, e a quelle implicite<ref>cioé l'equazione differenziale la cui soluzione corrisponde alla definizione esplicita</ref> di conduzione materiale e dissipazione:

:<math> Q_M : \quad \left(\frac{\partial Q_M}{\partial t} + \langle \bar v \rangle \cdot \nabla Q_M = \oint_{\partial V} \bar q \cdot \operatorname d \bar {r^2}\right)</math>

e di [[lavoro termodinamico]] materiale:

:<math> W_M : \quad \left(\frac{\partial W_M}{\partial t} + \langle \bar v \rangle \cdot \nabla Q_M = \int_{\epsilon V} p \operatorname d{\epsilon r} \right) </math>

si riassume il bilancio in:

:<math> \frac{DU}{Dt} - \frac{DQ_M}{Dt} + \frac{DW_M}{Dt} = 0</math>

* Lavoro meccanico conservativo, cioè ''<math> -\Delta (T + V)</math>'' (dove <math>T</math> è l'energia cinetica, <math>V</math> è quella potenziale) se avviene tramite una [[forza conservativa]] sul sistema, convenzionalmente positivo se ''svolto'' dal sistema, negativo se ''ricevuto'' dal sistema.

* [[Lavoro di volume]] ''L'', positivo se ''svolto'' dal sistema, negativo se ''ricevuto'' dal sistema.

* [[Calore]] ''Q'' positivo se ''assorbito'' dal sistema, negativo se ''ceduto'' dal sistema

* [[Massa (fisica)|Massa]] ''ΔM <e>'': dove si indica con <e> l'energia media per unità di massa associata alla materia entrante o uscente. Tale energia per unità di massa, chiamata anche metalpia, può contenere termini cinematici (<math> \frac {\langle v \rangle ^2}{2}</math>), di [[energia potenziale gravitazionale]] (<math>\langle g z \rangle</math>) ed [[entalpia]] (<math> \langle h \rangle</math>).

* [[Metabolismo]] (dovuto a [[Reazione chimica|reazioni chimiche]] o [[reazione nucleare|nucleari]] interne al sistema) ''μ ΔN'', che trasforma massa in energia o viceversa in base a [[potenziale chimico]] e [[quantità di sostanza]]: quest'ultima è positiva se generata nel sistema e negativa se scomparsa.

[[File:Convenzione sui segni di calore e lavoro.jpg|400px|right]]

Premesso ciò, si può dire che per un volume interessato da più contributi per ogni tipologia di scambio energetico, il bilancio di energia si può scrivere per [[reazione chimica|sistemi reagenti]] in questa forma:

Integrando sull'intervallo di tempo di riferimento si ottiene il bilancio euleriano in un intervallo di tempo finito:

:<math>\Delta E - \Delta(T U+ =V) Q_M+ L - Q - \,Delta M \langle e \rangle - \,mu W_M\Delta n = 0</math><ref name="cita-Huang-p154">{{Cita|Huang|p. 154}}.</ref>,

I primi tre termini rappresentano in effetti la variazione di [[energia interna]] U:

Il primo principio della termodinamica per un corpo continuo in un sistema di riferimento lagrangiano può essere quindi enunciato come segue:

:<math>\Delta U + L - Q - \Delta M \langle e \rangle - \mu \Delta n = 0</math><ref name="cita-Huang-p154"/>,

{{Citazione|l'aumento, nel tempo, dell'energia interna in una massa di controllo è pari alla conduzione materiale dall'esterno attraverso la superficie che lo delimita meno il lavoro di espansione materiale al suo interno.}}

Per un sistema non [[reagente]] e [[sistema chiuso|chiuso]] le variazioni della quantità di sostanza e della entalpia sono nulle per cui il bilancio si riduce alla forma normale e più comunemente impiegata:

== Interazione continuo-ambiente ==

{{vedi anche|Bilancio di energia}}

Un [[corpo continuo]] può scambiare energia ΔE con l'[[ambiente (termodinamica)|ambiente]] in diversi modi:

* [[Lavoro conservativo]] ''<math>- \Delta (T + \nabla^{-1} \vec{F})</math>'' se avviene tramite una [[forza conservativa]] sul sistema, nella nostra convenzione positivo se ''svolto'' dal sistema, negativo se ''ricevuto'' dal sistema.

* [[Lavoro_termodinamico#Lavoro_in_termodinamica|Lavoro deformante]] ''W'', positivo se ''svolto'' dal sistema, negativo se ''ricevuto'' dal sistema.

* [[Calore]] ''Q'', se dipende da una variazione di [[temperatura]], positivo se ''assorbito'' dal sistema, negativo se ''ceduto'' dal sistema

:<math>\Delta U + L - Q = 0</math>

Premesso ciò, possiamo dire che per un volume interessato da più contributi per ogni tipologia di scambio energetico, il bilancio di energia si può scrivere per [[reazione chimica|sistemi reagenti]] sotto forma di [[equazione alle differenze]]:

Un [[sistema isolato]] non ha scambi di calore né di lavoro termodinamico. Il primo principio si riduce alla forma:

:<math>\Delta E - \Delta(T + \nabla^{-1} \vec{F}) + W - Q - \Delta M \langle e \rangle - \mu \Delta n = 0</math><ref name="Cita|Huang|p. 154">{{Cita|Huang|p. 154}}</ref>,

I primi tre termini rappresentano in effetti la variazione di energia interna:

:<math>\Delta U + W - Q - \Delta M \langle e \rangle - \mu \Delta n = 0</math><ref name="Cita|Huang|p. 154"/>,

Per un '''sistema non reagente e [[sistema chiuso|chiuso]]''' le variazioni della quantità di sostanza e della [[metalpia]] sono nulle per cui il bilancio si riduce alla forma normale e più comunemente impiegata:

:<math>\Delta U + W - Q = 0</math>

Un [[sistema isolato]] è chiuso e non ha scambi di calore né di lavoro termodinamico. Il primo principio si riduce alla forma:

:<math>\operatorname d U = \operatorname d H = \operatorname d A = \operatorname d G = 0 </math>

Tornando al caso generale, esprimiamosi esprime ora il bilancio in [[equazione differenziale|forma differenziale]]:

:<math>\operatorname d U + \delta WL - \delta Q = 0</math>,

dove <math>\operatorname d</math> è un [[differenziale esatto]] associato a [[funzione di stato|funzioni di stato]] mentre, <math>\delta </math> non lo è essendo associato a grandezze che non sono funzioni di stato ma dipendenti dal particolare percorso compiuto nel corso della trasformazione. Solitamente calore e lavoro si esprimono insieme in [[coordinate generalizzate#Forza generalizzata|coordinate generalizzate]]<ref>Sycev, Sistemi termodinamici complessi, Editori Riuniti 1985</ref>:

:<math>\operatorname d U + \bar F \cdot \delta \bar q = 0</math>,

dove il calore ''trasmesso'' si può intendere come quella forma di lavoro la cui coordinata generalizzata (detta anche [[fattore di capacità]]) è l'[[entropia]] e la cui forza generalizzata (detta anche fattore di intensità) corrisponde alla temperatura; nel caso sia esclusivamente [[lavoro di volume|di volume]] (come ad esempio per un [[pistone (idraulica)|pistone]] in un cilindro) la coordinata generalizzata (detta anche fattore di capacità) è il volume e la forza (detta anche fattore di intensità) corrisponde alla pressione, quindi il lavoro ammette un [[differenziale esatto]] e il primo principio si riduce a:

:<math>\operatorname d U + p \operatorname d V - T \operatorname d S + \delta \mathrm R= 0</math>,

dove con <math>\mathrm R</math> si è indicato il calore dissipato dal sistema dalla [[trasformazione irreversibile]]. Per un [[sistema discreto]] si esplicita infine:

:<math>\sum_i \left( \operatorname d U_i - \delta L_i + \delta Q_i \right)= 0</math>

==Forma entalpica==

{{vedi anche|Bilancio di entalpia}}

Definendo l'entalpia specifica come:

:<math>h = \langle v^2 \rangle + \frac p \rho = \varsigma_V T + \frac p \rho</math>

===Entalpia===

si riesprime il primo principio in forma locale come:

Il primo principio si esprime spesso in termini di [[entalpia]]:

:<math>\rho \frac{D}{Dt} \left(h-\frac p \rho \right) + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon + p \epsilon = 0 </math>

:<math>\operatorname dH = \delta Q + (p \operatorname dV - \delta L) + V \operatorname dp </math>

ovvero, svolgendo le derivate lagrangiane:

:<math>\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{Dp}{Dt} + \frac p \rho \frac{D\rho}{Dt} + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon + p \epsilon = 0 </math>

Il termine tra parentesi (cambiato di segno) rappresenta il lavoro utile<ref>il lavoro meccanico trasmesso all'ambiente che non è presente per le isocore</ref> <math> pdV - \delta L </math> scambiato dal sistema, il principio diventa:

e utilizzando la [[conservazione della massa]] in forma locale:

:<math>\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{Dp}{Dt} - p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon + p \epsilon = 0 </math>

:<math>\operatorname d H = \delta Q + V \operatorname dp</math>,<ref>semplificando: H=U+pV Q=U+L; dH=(dU+pdV)+Vdp dQ=dU+dL=(dU+pdV); dH=dQ+Vdp</ref>

ed in esplicitando la derivata lagrangiana della pressione:

:<math>\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{\partial p}{\partial t} - \langle \bar v \rangle \cdot \nabla p - p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon + p \epsilon = 0 </math>

infine raccogliendo in base alla regola di Leibniz:

:<math>\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{\partial p}{\partial t} - \nabla \cdot (\langle \bar v \rangle p) + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon + p \epsilon = 0 </math>

In termini macroscopici:

:<math>\operatorname dH = \delta Q + (p \operatorname dV - \delta W) + V \operatorname dp - \operatorname d \frac {N_i}{\mu_i}</math>

Il termine tra parentesi (cambiato di segno) rappresenta il [[lavoro utile]]<ref>non modifica il volume del sistema: non è presente solo per isocore</ref> <math> pdV - \delta W </math> scambiato dal sistema, il principio diventa:

:<math>\operatorname d H = \delta Q + V \operatorname dp</math>,

ragion per cui in una [[trasformazione isocora]] e in una [[trasformazione isobara]] rispettivamente il primo principio si riduce a:

:<math>\operatorname dU = \delta QQ_V </math>

:<math>\operatorname dH = \delta Q </math>

==Approssimazione zero==

Se si approssima la conduzione con la [[legge di Fourier]], si ottiene un'[[equazione parabolica]] nella temperatura, detta [[equazione di diffusione-avvezione-reazione]], più complicata di quella di [[reazione-diffusione]]:

:<math>\frac {\partial T}{\partial t} - \bar \bar d_T \nabla^2T + \bar c_T \cdot \nabla T + f_T T + e_T= 0</math>

dove:

* <math>\bar \bar d_T</math> è il tensore di [[diffusività termica]]

* <math>\bar c_T= \langle \bar v \rangle - \left( \nabla + \frac{\nabla (\rho \varsigma_v)}{\rho \varsigma_v} \right) \cdot \bar \bar d_T</math> è il vettore di [[trasporto termico]]

* <math>f_T= \left( \nabla + \frac{\nabla (\rho \varsigma_v)}{\rho \varsigma_v} \right) \cdot \langle \bar v \rangle + \frac {1}{\rho \varsigma_v} \frac {\partial (\rho \varsigma_v)}{\partial t}</math> è la [[reattività termica]]

* <math>e_T= \frac {1}{\varsigma_v} \frac {\bar \bar \sigma}{\rho} : \nabla \langle \bar v \rangle - \frac {1}{2 \varsigma_v} \frac {\operatorname d}{\operatorname dt} \left(\langle \bar v \rangle \right)^2</math> è la [[sorgente termica]]

Bisogna evidenziare che solo il termine di sorgente è influenzato dai campi di accelerazioni imposti sul sistema; nel caso in cui questi siano di natura puramente elettromagnetica ad esempio il termine di sorgente diventa inserendo l'[[accelerazione di Lorentz]]:

<math>e_T= \frac {1}{2 \varsigma_v} \frac {\operatorname d}{\operatorname dt} \left(\langle \bar v \rangle \right)^2 + \frac {\bar \bar \sigma}{\rho} : \nabla \langle \bar v \rangle + \dfrac{1}{\rho \varsigma_v c^2} \dfrac{\partial \bar S}{\partial t} \cdot \langle \bar v \rangle - \frac 1 {\rho \varsigma_v} \nabla\cdot\bar \bar F \cdot \langle \bar v \rangle</math>

dove c è la [[velocità della luce]] nel vuoto, <math>\bar S</math> è il [[vettore di Poynting]], e <math>\bar \bar F</math> è il [[tensore elettromagnetico]].

In termini euleriani il bilancio si esplicita in:

:<math>\frac {\partial U(T)}{\partial t} + I_T(T) + W = 0</math>

esplicitando rispettivamente energia interna, corrente termica e sorgente termica (meccanica, elettromagnetica, ecc.):

:<math>I(T) = \oint_{\partial V} (\rho \varsigma_v \langle \bar v \rangle T - \bar \bar \lambda \cdot \nabla T )\cdot {\operatorname d \bar r^2} = \oint_{\partial V} \rho \varsigma_v \left( \langle \bar v \rangle T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) \cdot {\operatorname d \bar r^2}</math>,

:<math>W = \oint_{\partial V} \bar \bar \sigma \cdot \langle \bar v \rangle \cdot {\operatorname d \bar r^2}</math>

si ottiene:

:<math>\int_V \rho \varsigma_v \frac {\partial T}{\partial t} + \frac {\partial (\rho \varsigma_v) }{\partial t} T \operatorname dr^3 + \oint_{\partial V} \left(\rho \varsigma_v \bar \bar d_T \cdot \nabla T - \rho \varsigma_v \langle \bar v \rangle T + \bar \bar \sigma \cdot \langle \bar v \rangle\right) \cdot {\operatorname d \bar r^2} = 0</math>

dove ρ è la [[densità]], ς_V il [[calore specifico isocoro]], T la [[temperatura]], λ il tensore<ref> ogni tensore di questa trattazione è del secondo ordine, ovvero corrisponde a una [[matrice]]</ref> di [[conducibilità termica]] e d_T il tensore di [[diffusività termica]]. <math>\langle \bar v \rangle</math> è la [[velocità media]] e <math>\operatorname dr^3</math> il [[differenziale (matematica)|differenziale]] del [[volume]] totale [[Varietà con bordo|finito]] V di [[Frontiera (topologia)|frontiera]] <math>\partial V</math>, e la [[tensione]] <math>\bar \bar \sigma</math> agisce sul differenziale di [[superficie]] orientato <math>\bar {\operatorname dr^2}</math><ref>ha per modulo il differenziale di superficie e direzione normale alla stessa</ref>. In base al [[teorema della divergenza]] gli scambi sono riscrivibili nel solo volume:

:<math>I(T) = \int_V \nabla (\rho \varsigma_v) \cdot \left(\langle \bar v \rangle T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) + \rho \varsigma_v \nabla \cdot \left(\langle \bar v \rangle T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) \operatorname dr^3 = </math>

:::<math> \qquad = \int_V - \rho \varsigma_v \bar \bar d_T \nabla^2 T + \left( \rho \varsigma_v \langle \bar v \rangle - \rho \varsigma_v \nabla \cdot \bar \bar d_T - \nabla (\rho \varsigma_v) \cdot \bar \bar d_T \right) \cdot \nabla T + \left( \nabla (\rho \varsigma_v) + \rho \varsigma_v \nabla \right) \cdot \langle \bar v \rangle T \operatorname dr^3 </math>,

:<math>S = \int_V \nabla \cdot \left( \bar \bar \sigma \cdot \langle \bar v \rangle \right) \operatorname dr^3 = \int_V \left(\nabla \cdot \bar \bar \sigma \cdot \, + \bar \bar \sigma : \nabla \right) \langle \bar v \rangle \operatorname dr^3 = \int_V \bar \bar \sigma : \nabla \langle \bar v \rangle - \frac 12 \rho \frac {\operatorname d}{\operatorname dt} \left(\langle \bar v \rangle \right)^2 \operatorname dr^3</math><ref>l'ultima uguaglianza vale in base al [[bilancio della quantità di moto#Forma lagrangiana|bilancio lagrangiano della quantità di moto]]:

:<math> \nabla \cdot \bar \bar \sigma = \rho \langle \frac {\partial P}{\partial \bar p} \rangle - \rho \frac{D \langle \bar v \rangle}{Dt}</math></ref>

dove i : indicano il [[prodotto di saturazione]]. Il secondo termine integrale di sorgente termica corrisponde alla [[energia cinetica|potenza cinetica]], il primo termine alla [[potenza deformante]], il cui integrando è detto scalare '''[[dissipazione]]''' e <math>\nabla \langle \bar v \rangle = \frac {\operatorname d \bar \bar \epsilon}{\operatorname dt}</math> viene definito tensore [[rateo di deformazione]].

== Note ==

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== Bibliografia ==

* {{cita libro |autore=[[Richard Feynman]]|titolo=[[La fisica di Feynman]]|città=Bologna|editore=Zanichelli|anno=2001|ISBN=978-88-08-16782-8}}:

* {{en}} {{cita libro | cognome= Duderstadt| nome= James J.| titolo= Transport theory | editore= Wiley-Interscience Publications | città= New York| anno= 1979 | coautori= William R. Martin | ed= | id= ISBN 978-0471044925 | cid= DuMa|}}, cap. 4: The derivation of continuum description from trasport equations

**Vol I, par. 44-1: Macchine termiche: la prima legge

* {{en}} {{cita libro | cognome= Todreas | nome= Neil E.| titolo= Nuclear Systems | editore= Taylor & Francis | città= New York| anno= 1990 | coautori= Mujid S. Kazimi | ed= | id= ISBN 978-1560320517 | cid=ToKa|}}, vol. 1: Thermal Hydraulic Fundamentals, cap. 4: Trasport equations for single-phase flow

* {{cita libro | cognome= Paggi| nome= Marco| titolo= Introduzione alla termomeccanica dei continui | editore= CELID | città= Torino | anno= 2009 | coautori= Alberto Rossani | edisbn= | id= ISBN 88-7667661-1829829-5 | cid= Paggi|}}

* {{cita libro| cognome= Smith | nome= J. M. | titolo= Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics | editore= McGraw-Hill | città = Milano| anno= 2000 | coautori= H. C. Van Ness; M. M. Abbot |ed= 6 |lingua= inglese | idisbn= ISBN 0-07-240296-2 |cid= Smith}}

* {{cita libro| cognome= Denbigh | nome= K. G. | titolo= I principi dell'equilibrio chimico | anno= 1971 | editore= CEA |Milano | idisbn= ISBN 88-408-0099-9 | cid= Denbigh }}

* {{cita libro| cognome= Huang | nome= K. |titolo= Statistical Mechanics | anno= 1963 | url= https://archive.org/details/statisticalmecha00huan | cid= Huang }}

* {{cita libro | cognome= Silvestroni | nome= Paolo | titolo= Fondamenti di chimica | editore= CEA | città= Milano| anno= 1996 | ed= 10 | idisbn= ISBN 88-408-0998-8 | cid= Silvestroni}}

== Voci correlate ==

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* [[Secondo principio della termodinamica]]

* [[Terzo principio della termodinamica]]

* [[EquazioniLegge di bilancioconservazione]]

* [[Bilancio di energia meccanica]]

* [[Conservazione dell'energia]]

* [[Bilancio di entalpia]]

* [[Trasformazione termodinamica]]

* [[Metalpia]]

* [[Bilancio (fenomeni di trasporto)]]

* [[Equivalente meccanico del calore]]

* [[Mulinello di Joule]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==

* {{cita web | 1 = https://www.meccanismo.eu/termodinamica/il-significato-del-primo-principio-della-termodinamica/ | 2 = Spiegazione e origine del primo principio | accesso = 12 maggio 2020 | dataarchivio = 30 dicembre 2020 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20201230204958/https://www.meccanismo.eu/termodinamica/il-significato-del-primo-principio-della-termodinamica/ | urlmorto = sì }}

{{portale|termodinamica}}