Derivata materiale: differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Funzionalità collegamenti suggeriti: 3 collegamenti inseriti.
 
(36 versioni intermedie di 21 utenti non mostrate)
Riga 1:
In [[meccanica del continuo]], laLa '''derivata materiale''', anche detta '''derivata''' convettiva'''sostanziale''', '''derivata sostanzialelagrangiana''' o '''derivata''' lagrangiana'''convettiva''', descrive il tasso di variazione di una qualche quantità fisica associata ad un elemento di materia soggetto adè un [[campooperatore vettorialedifferenziale]] dipendenteottenuto daattraverso spaziol'applicazione edi tempo. Si tratta diun unaopportuno formacambio di [[derivataCoordinate generalizzate|derivazionecoordinate]] simile alla [[derivata totale]], e talvolta ne prende il nome. Ad esempio, il campo vettoriale può essere la [[velocità]] delle particelle di un fluido (velocità di [[flusso]]), e la quantità fisica considerata la sua [[temperatura]].
 
Nell'ambito della [[meccanica del continuo]], viene usata per descrivere il tasso di variazione di una qualche [[Grandezza fisica|quantità fisica]] associata ad un elemento di materia soggetto ad un [[campo vettoriale]] dipendente da spazio e tempo. La derivata materiale può essere vista come un collegamento tra la [[Coordinate euleriane e lagrangiane|descrizioni euleriana e lagrangiana]] di una deformazione continua, e viene spesso utilizzata spessonello instudio dei [[fluidodinamicafenomeni di trasporto]].
 
==Definizione==
LaDato un campo vettoriale <math>\mathbf u (\mathbf r, t)</math>, la derivata materiale rispetto al [[tempo]] di un [[campo scalare]] <math>\varphi (\mathbf xr, t)</math> è definita come:
 
:<math>\frac{D\varphi}{Dt}\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial t}\varphi + \mathbf{vu}\cdot\nabla \varphi</math>
 
dove la [[derivata parziale]] temporale <math>\partial \varphi / \partial t</math>, che rappresenta la derivata del campo rispetto al tempo in una posizione fissata, è detta ''derivata euleriana'', <math>\mathbf {u}\cdot\nabla \varphi</math> è la [[derivata direzionale]] lungo il flusso detto anche termine di [[avvezione]] e <math>\nabla \varphi</math> è il [[gradiente]] di <math>\varphi</math>. Un esempio di questo tipo si ha scegliendo come campo vettoriale la [[velocità di deriva]] delle particelle di un fluido e come quantità fisica considerata la sua [[densità]].
dove <math>\nabla \varphi</math> è il [[gradiente]] di <math>\varphi</math>, e la [[derivata parziale]] <math>\partial \varphi / \partial t</math> è detta ''derivata euleriana'' (derivata del campo rispetto al tempo in una posizione fissata).
 
La derivata materiale di un [[campo vettoriale]] <math>\mathbf ua (\mathbf xr, t)</math> è data da:
 
:<math>\frac{D\mathbf{u}}{Dt}\mathbf a = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\mathbf a + (\mathbf{vu}\cdot\nabla )\mathbf{u} a</math>
 
dove <math>\nabla \mathbf{u} a</math> è la [[derivata covariante]] di <math>\mathbf{u} a</math>.
 
== Intuizione ==
Il termine "derivata convettiva" è utilizzato sia per indicare la derivata materiale <math>D\varphi/Dt</math> o <math>D\mathbf{u}/Dt</math>, sia per indicare la derivazione <math>\mathbf{v}\cdot\nabla \varphi</math> o <math>\mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{u}</math> delle sole componenti spaziali.
La derivata materiale si può definire in maniera intuitiva come il tasso di crescita di un campo scalare <math>\varphi (\mathbf r, t)</math> (nell'esempio di un fluido può essere la pressione, la [[temperatura]],...) visto una da una particella in movimento secondo un campo di velocità <math>\mathbf u (\mathbf r, t)</math>. La particella in movimento osserva una variazione del campo nei due casi:
 
* Il campo varia nel tempo, <math>\frac{\partial}{\partial t} \varphi (\mathbf r, t)</math>
Questo tipo di derivazione descrive spesso il trasporto di una quantità scalare o vettoriale in un campo vettoriale <math>\mathbf v (\mathbf x, t)</math>. L'effetto dei termini indipendenti dal tempo è detto talvolta [[avvezione]] per il caso scalare e [[convezione]] per il caso vettoriale. Come esempio per il caso scalare si può considerare una data una quantità scalare <math>\varphi(\mathbf x, t)</math> in un campo vettoriale <math>\mathbf v</math> (come la [[velocità]] di un fluido con temperatura <math>\varphi(\mathbf x, t)</math> in ogni punto <math>\mathbf x</math> al tempo <math>t</math>). La sua [[derivata totale]] rispetto a <math>t</math>, detta in tale contesto ''derivata lagrangiana'', è espressa attraverso la [[regola della catena]]:
* La particella si muove nello spazio, attraversando regioni con valori di campo diversi. L'intensità del tasso di crescita è quindi tanto più elevata quanto più la particella si muove con velocità maggiore, e quanto più il campo <math> \varphi (\mathbf r, t)</math> è disomogeneo lungo la traiettoria della particella. Questo secondo termine è detto termine convettivo, e si esprime come <math> \mathbf{u}\cdot\nabla \varphi</math>, è il [[prodotto scalare]] del gradiente del campo (ovvero il vettore con direzione la direzione di maggior crescita del campo) ed il campo di velocità. Se la particella si muove con campo di velocità perpendicolare al gradiente, ovvero lungo una curva in cui il campo è uniforme, il termine convettivo è nullo.
 
La derivata materiale è dunque pari alla somma dei due contributi.
:<math>\frac{d}{d t}(\varphi(\mathbf x, t)) = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \varphi \cdot \frac{d \mathbf x}{d t}</math>
 
<math>\frac{D}{Dt}\varphi = \frac{\partial}{\partial t}\varphi + \mathbf{u}\cdot\nabla \varphi</math>
Il vettore:
 
== Legame con la derivata totale ==
:<math>\frac{d \mathbf x}{d t} = \left(\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}\right)^T</math>
{{Vedi anche|Derivata totale}}
La definizione di [[derivata totale]] rispetto al tempo di una funzione scalare <math>\varphi(\mathbf r, t)</math> è espressa attraverso la [[regola della catena]]:
 
:<math>\frac{\mathrm d}{d\mathrm tdt}(\varphi(\mathbf x, t)) = \frac{\partial \varphi}{\partial t}\varphi + \nabla \varphi \cdot \frac{d\mathrm d\mathbf xr}{d\mathrm tdt}</math>
descrive la velocità di un oggetto lungo un determinato cammino <math>\mathbf x (t)</math> nello spazio. Se:
 
descrive la velocità di un oggetto lungoPreso un determinato cammino <math>\mathbf x r(t)</math> che descrive il moto di un oggetto nello spazio., il Sevettore:
:<math>\frac{d \mathbf x}{d t} = \mathbf v</math>
 
:<math>\frac{d\mathrm d\mathbf xr(t)}{d\mathrm tdt} = \left(\frac{\mathrm d\mathbf x(t)}{d\mathrm tdt}, \frac{\mathrm d\mathbf y(t)}{d\mathrm tdt}, \frac{\mathrm d\mathbf z(t)}{d\mathrm tdt}\right)^T</math>
la derivata totale coincide con la definizione di derivata materiale data sopra. Se inoltre <math>d \mathbf x/d t = 0</math> (cioè la posizione è costante) la derivata totale rispetto a <math>t</math> diventa la derivata parziale rispetto a <math>t</math> (la derivata ottenuta considerando le altre variabili costanti) nella posizione (stazionaria) <math>\mathbf x</math>.
 
ne descrive la [[velocità]]. Scegliendo un opportuno sistema di coordinate è possibile far coincidere il suddetto vettore velocità con la velocità di deriva del fluido, ottenendo la derivata materiale a partire dalla derivata totale. Se inoltre <math>\mathrm d \mathbf r(t)/\mathrm dt = 0</math>, cioè la posizione è costante, la derivata totale temporale diventa pari alla derivata euleriana, ovvero la [[derivata parziale]] rispetto al tempo della posizione <math>\mathbf r</math>, che risulta ''stazionaria''.
==Coordinate ortogonali==
 
In un sistema di coordinate ortogonali, la componente j-esima della convezione è data da:<ref>{{Cita web
===Coordinate ortogonali===
In un [[sistema di coordinate ortogonali]], la componente j-esima delladel convezionetermine di avvezione è data da:<ref>{{Cita web
| url = http://mathworld.wolfram.com/ConvectiveOperator.html
| titolo = Convective Operator
Riga 47 ⟶ 53:
in cui:
 
:<math>h_i=\sqrt{g_{iiij}}</math>
 
con <math>g_{iiij}</math> il [[tensore metrico]].
 
== Generalizzazione ==
 
=== Derivata corotazionale ===
È possibile generalizzare la derivata sostanziale introducendo per ciascuna particella di fluido un sistema ortogonale di [[coordinate corotazionali]], il quale, mentre si muove insieme alla particella di fluido nello spazio, ruota con [[Velocità angolare#Descrizione|velocità angolare istantanea]] locale <math>\boldsymbol\omega</math>.
 
Detto <math>\nabla\mathbf v</math> il [[tensore gradiente delle velocità]], la sua [[Matrice antisimmetrica|parte antisimmetrica]]:
 
:<math>\mathbf W_{ij} = \frac{1}{2}\left(\nabla\mathbf v - (\nabla\mathbf v)^T\right) = \frac{1}{2}\boldsymbol\Omega_{ij}</math>
 
è il tensore di velocità di rotazione, dove <math>\boldsymbol\Omega_{ij}</math> è il '''tensore di vorticità'''. Pertanto, per un tensore del secondo ordine <math>\mathbf a_{ij}(\mathbf r, t)</math>, si ha che la '''derivata corotazionale''' è definita come:
 
:<math>\frac{\mathcal D}{\mathcal Dt}\mathbf a_{ij} = \frac{D}{Dt}\mathbf a_{ij} + \left(\mathbf W_{ij} \cdot \mathbf a_{ij} - \mathbf a_{ij} \cdot \mathbf W_{ij}\right) = \frac{\partial}{\partial t}\mathbf a_{ij} + \mathbf u \cdot \nabla\mathbf a_{ij} + \frac{1}{2}\left(\boldsymbol\Omega_{ij} \cdot \mathbf a_{ij} - \mathbf a_{ij} \cdot \boldsymbol\Omega_{ij}\right)</math>
con <math>g_{ii}</math> il [[tensore metrico]].
 
==Note==
Riga 55 ⟶ 74:
 
==Bibliografia==
*{{en}}{{Cita libro | nome=G.K. | cognome=Batchelor | titolo=An Introduction to Fluid Dynamics | anno=1967 | editore=Cambridge University Press | pagine=72–73| isbn=0-521-66396-2 | lingua=en }}
*{{en}}{{Cita libro | nome=K. E. | cognome=Trenberth | titolo=Climate System Modeling | anno=1993 | editore=Cambridge University Press | pagine=99 | isbn=0-521-43231-6 | lingua=en }}
*{{en}}{{Cita libro | cognome=Emanuel | nome=G. | titolo=Analytical fluid dynamics | url=https://archive.org/details/analyticalfluidd0000eman | editore=CRC Press | anno=2001 | edizione=second |pagine=6–7 | isbn=0-8493-9114-8 | lingua=en }}
*{{Cita libro|nome=G.J.|cognome=Sussman|nome2=J.|cognome2=Wisdom|nome3=M.E.|cognome3=Mayer|titolo=Structure and Interpretation of Classical Mechanics|editore=MIT Press|url=https://mitpress.mit.edu/SICM/book-Z-H-13.html#%_sec_Temp_122|capitolo=1.6 How to Find Lagrangians|lingua=en|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20120716182842/http://mitpress.mit.edu/SICM/book-Z-H-13.html#%_sec_Temp_122|dataarchivio=16 luglio 2012}}
*{{en}} {{Cita libro
|nome=G.J.|cognome=Sussman|nome2=J.|cognome2=Wisdom|nome3=M.E.|cognome3=Mayer
|titolo=Structure and Interpretation of Classical Mechanics|editore=MIT Press
|url=http://mitpress.mit.edu/SICM/book-Z-H-13.html#%_sec_Temp_122|capitolo= 1.6 How to Find Lagrangians}}
* {{en}}{{Cita libro
|nome=Ira M.|cognome=Cohen|nome2=Pijush K|cognome2=Kundu
|titolo=Fluid Mechanics|editore=Academic Press|edizione=4|isbn=978-0-12-373735-9|lingua=en}}
* {{en}}{{Cita libro|nome=Michael|cognome=Lai|nome2=Erhard|cognome2=Krempl|nome3=David|cognome3=Ruben
|titolo=Introduction to Continuum Mechanics|editore=Elsevier|edizione=4|isbn=978-0-7506-8560-3|lingua=en}}
*{{cita libro|autore=R. Byron Bird|autore2=Warren E. Stewart|autore3=Edwin N. Lightfoot|titolo=Transport Phenomena|url=https://archive.org/details/transportphenome0000bird_n8h5|anno=2002|editore=John Wiley & Sons, Inc.|città=Madison, Wisconsin|lingua=EN|p=|cid=Bird}}
 
==Voci correlate==
Riga 76 ⟶ 93:
 
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
*{{MathWorld|ConvectiveDerivative|Convective Derivative}}
* {{en}} https://web.archive.org/web/20081006073754/http://www.sv.vt.edu/classes/ESM4714/methods/df2D.html
 
{{Portale|matematica|meccanica}}
 
[[Categoria:Calcolo a più variabili]]
[[Categoria:Operatori differenziali]]
[[Categoria:FluidodinamicaFenomeni di trasporto]]
[[Categoria:Operatori lineari]]