Geometria non euclidea: differenze tra le versioni

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[[File:Noneuclidee.svg|thumb|right|400pxupright=1.8|Due rette aventi una perpendicolare in comune nelle tre geometrie. Nella [[geometria iperbolica]] le rette divergonopossono divergere, ed è quindi possibile trovare molte rette parallele (cioè che non si intersecano). Nella [[geometria ellittica]] le rette convergono sempre e quindi non esistono rette parallele.]]

Una '''geometria non euclidea''' è una [[geometria]] costruita negando o non accettando alcuni [[geometria euclidea|postulati euclidei]].

Viene detta anche '''metageometria'''<ref>{{Cita|Abbagnano|pag. 580}}.</ref>.

==Descrizione==

Il [[V postulato di Euclide|quinto postulato di Euclide]] o "delle parallele" è quello che nel corso dei secoli ha suscitato il maggior interesse.

La caratteristica che contraddistingue i postulati e gli assiomi della geometria di Euclide, secondo le idee del tempo, è l'essere asserzioni la cui verità è garantita dall'evidenza (l'opera di Euclide è stata riorganizzata in senso moderno da [[David Hilbert]], che l'ha spogliata, ad esempio, del carattere osservativo da cui partiva la giustificazione nell'uso dei postulati e degli assiomi euclidei).

Secondo Euclide, l'evidenza è una caratteristica dei primi quattro postulati degli ''Elementi'': basta infatti usare riga e compasso; inoltre essi restano validi se ci si limita a una porzione finita di piano.

Sempre nell'ottica euclidea, il Postulatopostulato delle parallele non è ‘evidentemente"evidentemente vero'", infatti non rimanda ad alcuna costruzione geometrica che possa limitarsi sempre ada una porzione finita di piano. Pare che lo stesso [[Euclide]] non fosse convinto dell'evidenza<ref>Sembra, infatti, che Euclide abbia sempre cercato di poter dimostrare il V postulato come derivato dagli altri. La sua stessa formulazione somiglia molto a quella tipica di un teorema: se.... allora..., si veda: [[V postulato di Euclide]].</ref> del postulato e questo è dimostrato dall'uso limitato che ne ha fatto nelle dimostrazioni dei teoremi della [[Geometria euclidea|sua geometria]]. Negli oltre duemila anni successivi alla diffusione degli [[Elementi (Euclide)|Elementi di Euclide]], molti sono stati i tentativi di dimostrare il V postulato o di riformularlo o, addirittura, di sostituirlo con altri equivalenti. Tuttavia tali tentativi sono falliti in quanto i ragionamenti riconducevano sempre all'uso del V postulato.

Nei primi decenni del XIX secolo, il fallimento di tutti i tentativi effettuati aveva convinto i matematici dell'impossibilità di dimostrare il V postulato. È da questo momento che iniziacomincia a farsi strada l'idea di costruire altre geometrie che facciano a meno del V postulato. Nascono così le prime geometrie non euclidee (ad esempio la [[geometria ellittica]] o la [[geometria iperbolica]]) e i loro modelli, inizialmente al fine di dimostrarne l'inconsistenza e quindi, [[dimostrazione per assurdo|per assurdo]], il V postulato<ref>C'è differenza tra il corpo teorico di una geometria, basato su una serie di assiomi dai quali si dimostrano varie proposizioni e teoremi, ede il suo modello. Ad esempio, possono esistere più modelli per una stessa geometria, ma non il contrario. Si veda, ad esempio, il caso della [[geometria iperbolica]].</ref>.

Aristotele (384-322 a.C.), già prima di Euclide (365-300 a.C.), aveva abbozzato l'esistenza di geometrie diverse da quelle che nel XIX secolo verranno chiamate "euclidee", riprendendo e sviluppando considerazioni di geometri contemporanei. Partendo dall'ipotesi che la somma degli angoli interni di un triangolo potesse essere diversa da due angoli retti, concluse che in tal caso sarebbe dovuta cambiare anche la somma degli angoli interni di un quadrato, che nel caso euclideo è di quattro angoli retti.

Tali osservazioni sono contenute nelle opere di etica e riguardano la coerenza dello sviluppo di un sistema logico riferito all'ipotesi di base (vedi [[Imre Toth (matematicofilosofo)|Imre Toth]] che ne scoprì l'esistenza a partire dal 1967 in diversi passi del "Corpus Aristotelicum")<ref>Giovanni Reale, ''Storia della filosofia greca e romana'', Vol. IV, ''Aristotele e il primo peripato'', pagg. 151-157, Edizioni Bompiani 2004. Vedi anche: Imre Toth, ''Aristotele e i fondamenti assiomatici della geometria'', Edizioni Vita e Pensiero 1998.</ref>.

== Storia delle geometrie non euclidee ==

=== I postulati di Euclide ===

[[File:EuklidEuclid statue, Oxford University Museum of Natural History, UK -von-Alexandria 120080315.jpg|thumb|right|[[Euclide]]]]

DaiEuclide, postulatinegli che EuclideElementi, utilizzò neipostulati suoidai ''Elementi'',quali si può facilmenteconstatare intuire come maiperché il quinto postulato sia stato fonteargomento di dibattitidibattuto per più di duemila anni. I postulati sono infattii seguenti:

# tracongiungendo due [[punto (geometria)|punti]] qualsiasi èsi possibileottiene tracciareun unasegmento ed una soladi [[retta]];

# si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;

# dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un [[cerchio]];

# tutti gli [[angolo retto|angoli retti]] sono ugualicongruenti fra loro;

# se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due angoli retti.

Si nota subito una differenza tra i primi quattro, che sembrano immediatamente evidenti, e il quinto, che non solo non sembra immediatamente vero, ma ha anche una formulazione molto più complicata degli altri. Lo stesso matematico sembra essere a disagio, tanto che dimostra le prime 28 proposizioni del I libro degli ''Elementi'' senza farne uso.

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Essendo meno generica tuttavia è senz'altro più familiare la forma moderna del postulato:

<div style="float:center; width:30%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

Per un punto esterno ad una retta data passa una ede una sola parallela ad unaalla retta data.

</div>

=== Tentativi di dimostrazione del quinto postulato ===

Nei secoli, i tentativi di dimostrare il postulato sono numerosi: [[Proclo]] nel suo ''Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide'' ci riferisce delle "dimostrazioni" di [[Posidonio]] e [[Claudio Tolomeo|Tolomeo]], proponendone poi una sua. Altri tentativi furono compiuti daida [[storiamatematici deiarabi numeri|matematicie arabi]]persiani, tra cui [[NasirNaṣīr al-DinDīn al-TusiṬūsī]] che mette in relazione il quinto postulato con la somma degli angoli interni di un [[triangolo]] e [[OmarʿUmar KhayyamKhayyām]] che nei suoi ''Commenti sui difficili postulati del libro di Euclide'' dimostrò accidentalmente alcune proprietà delle figure nelle geometrie non euclidee.<ref>{{cita web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Khayyam.html|titolo=Omar Khayyam|data=luglio 1999|accesso=4.4.2008|autore=J. J. O'Connor, E. F. Robertson|editore=MacTutor History of Mathematics}}</ref> In ognuno di questi tentativi di dimostrazione, e nei successivi, viene implicitamente dato per vero un [[assioma]] equivalente a quello delle parallele, rendendo vana la dimostrazione. Anche modificando la definizione di rette parallele non si approda a nulla: Euclide le definisce "''due rette che non s'incontrano mai''". Per Posidonio, secondo Proclo, esse sono "''due rette equidistanti, ossia in cui i punti della seconda siano tutti alla stessa distanza dai corrispettivi della prima''". Quest'ultima affermazione non dimostra nulla: non è detto che il [[luogo geometrico(geometria)|luogo]] dei punti equidistanti da una retta sia una retta. Accettarlo in via di principio equivale ad assumere come valido il quinto postulato, e ci si ritrova da capo. In vero Euclide con il quinto postulato intendende porre pari a zero la curvatura dello spazio R3, cioè inserisce una condizione teorica che, di fatto, non ha riscontro nella realtà, ma senza dubbio la rende più semplice da comprendere e computare. Quindi le "due rette che non si incontrano mai" sono solo quelle che vengono tratteggiate in uno spazio R2 senza curvatura o con curvatura pari a zero. Per cio' quando la curvatura dello spazio e' diversa da zero si lascia la geometria euclidea per entrare nella geometria non euclidea.

=== Dimostrazione per assurdo ===

[[File:Saccheri 1733 - Euclide Ab Omni Naevo Vindicatus.gif|thumb|right|200px|Copertina di ''Euclides ab omni naevo vindicatus'', [[Giovanni GerolamoGirolamo Saccheri]] [[1733]]]]

Frustrati dagli insuccessi ottenuti cercando una [[dimostrazione]] diretta del postulato, gli studiosi provano ad assumere per validi i primi quattro postulati e creare delle geometrie alternative, sperando di arrivare ada una contraddizione. Quest'ultima avrebbe dimostrato che il quinto postulato deve necessariamente essere vero. Uno dei maggiori esponenti di questa scuola fu [[Giovanni Girolamo Saccheri]], che nel [[1733]] credendo di esservi riuscito, pubblica ''Euclides ab omni naevo vindicatus''. Anche se difettosa, e passata sotto silenzio, la [[dimostrazione per assurdo]] di Saccheri indicò la strada per la creazione di geometrie non euclidee, nella speranza di portarle a una contraddizione. Opera questa in cui si impegnarono molti uomini di scienza tra il XVIII e il XIX secolo.

Uno dei maggiori esponenti di questa scuola fu [[Giovanni Gerolamo Saccheri]], che nel [[1733]] credendo di esservi riuscito, pubblica ''Euclides ab omni naevo vindicatus''. Anche se difettosa, e passata sotto silenzio, la [[dimostrazione per assurdo]] di Saccheri indicò la strada per la creazione di geometrie non-euclidee, nella speranza di portarle ad una contraddizione. Opera questa in cui si impegnarono molti uomini di scienza tra il XVIII e il XIX secolo.

Pochi però erano matematici di rilievo: [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], che non pubblicò mai nulla sull'argomento per timore delle ''strida dei beoti'' (intesi come i fraintenditori della filosofia kantiana, che sostenevano la necessità del postulato per quest'ultima), [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] e [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] costituiscono delle fulgide eccezioni. In effetti, [[Roberto Bonola]], nel suo volume ''La geometria non euclidea'', pubblicato da Zanichelli nel [[1906]], si trovò a dover inserire nei capitoli storici molti "dilettanti" tra i fondatori della geometria non euclidea: [[János Bolyai]] era un militare, [[Ferdinando Schweikart]] era un avvocato, e via di questo passo. Bolyai, inoltre, era figlio di un amico di Gauss, Farkas: dopo aver ricevuto l'opera di Janos nel gennaio [[1832]], Gauss scrisse a Farkas dicendo:

{{Citazione|Se iniziocomincio dicendo che non posso lodare quest'opera, tu resterai meravigliato per un istante. Ma non posso fare altrimenti, lodarlo sarebbe infatti lodare me stesso; tutto il contenuto dell'opera spianata da tuo figlio coincide quasi interamente con quanto occupa le mie meditazioni da trentacinque anni a questa parte [...] È dunque con gradevole sorpresa che mi viene risparmiata questa fatica [di pubblicare], e sono contento che il figlio di un vecchio amico mi abbia preceduto in modo così notevole.}}

È di rilievo notare che i risultati della geometria "astrale", come Gauss chiamava la geometria iperbolica, erano in stridente contrasto con la filosofia kantiana, in quanto questa assumeva come giudizio sintetico ''a priori'' la geometria euclidea.

=== Bernhard Riemann ===

[[File:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|thumb|right|[[Bernhard Riemann]]]]

Anche se aveva tenuto per sé i risultati più "rivoluzionari", il saggio ''Disquisitiones generales circa superficies curvas'' pubblicato da Gauss nel [[1828]] segnò una svolta nell'indagine delle geometrie alternative. L'attenzione viene rivolta alle proprietà intrinseche delle superfici, a prescindere dallo spazio in cui sono immerse: questo metodo d'indagine viene esteso da [[Bernhard Riemann]] nel suo scritto del [[1854]] ''SulleÜber ipotesidie cheHypothesen, sonowelche dider fondamentoGeometrie dellazugrunde Geometrialiegen'' del("Sulle [[1854]]ipotesi su cui si fonda la geometria") che venne pubblicato postumo nel [[1867]].

Riemann getta le basi di una geometria totalmente nuova, detta [[geometria sferica|geometria riemanniana]], in cui il problema delle parallele non si pone nemmeno, sostituendo il concetto di retta con quello metrico di [[geodetica|curva geodetica]], ossia il percorso di minor distanza tra due punti. Si possono così costruire geometrie a curvatura costante, oppure che varia in ogni punto, in qualunque numero di dimensioni, ognuna corrispondente a una superficie, detta [[varietà riemanniana]] n-dimensionale. In quest'ottica, la geometria euclidea è la geometria naturale del piano.

Si possono così costruire geometrie a curvatura costante, oppure che varia in ogni punto, in qualunque numero di dimensioni, ognuna corrispondente ad una superficie, detta [[varietà riemanniana]] n-dimensionale. In quest'ottica, la geometria euclidea è la geometria naturale del piano.

Riemann contribuì allo studio della geometria, oltre che generalizzando il concetto di metrica euclidea, anche sviluppando un nuovo tipo di geometria partendo dalla negazione del [[V postulato di Euclide]], sostituendolo con quello che oggi viene indicato come

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Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune.

</div>

Da questo assioma segue subito che non esistono rette parallele e che cadono tutti i teoremi dimostrati facendo uso del V postulato di Euclide. Tuttavia, in geometria piana, si dimostra, senza fare uso dell'assioma delle parallele, che ''per un punto passa almeno una parallela ada una retta data'' (Proposizione 31 degli elementi di Euclide). Invece dall'[[Geometria non euclidea#Bernhard Riemann|assioma di Riemann]] segue che non esistono rette parallele. Questo dimostra che se si nega il V postulato di Euclide, allora, potrebbe essere necessario modificare anche altri assiomi del corpo teorico per rendere la teoria coerente.

La proposizione 31, nell'opera di Euclide , è dimostrata facendo uso delle proposizioni 23<ref>Proposizione 23 - Costruire un angolo uguale ada un angolo dato.</ref> e 27<ref>Proposizione 27 - Se due rette qualsiasi tagliate da una trasversale formano con quest'ultima angoli alterni interni uguali, le due rette sono parallele.</ref> e quest'ultima dimostrata tramite la proposizione 16<ref>Proposizione 16 - In ogni triangolo, un angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ada esso.</ref>. Quindi affinché l'assioma di Riemann produca una teoria assiomatica coerente, è necessario assicurarsi che non possa essere dimostrata più la proposizione 31. Per quanto detto occorre modificare i postulati di Euclide, o equivalentemente gli [[assiomi di Hilbert]], al fine di rendere indimostrabile la proposizione 16. Ciò conduce ada una modifica dell'assioma di incidenza e/o dell'assioma di ordinamento, generando due diverse geometrie localmente equivalenti: la [[geometria sferica]] e la [[geometria ellittica]]. Tale nomenclatura è attribuita a [[Felix Klein|Klein]].

[[File:Beltrami.jpg|thumb|left|[[Eugenio Beltrami]]]]

=== Eugenio Beltrami ===

[[File:Pseudosphere.png|thumb|right|La [[pseudosfera]]]]

A partire dai risultati di Riemann, [[Eugenio Beltrami]] dimostra la consistenza della nuova geometria e costruisce un modello in carta di una superficie a curvatura costante negativa, la [[pseudosfera]] iperbolica. Per comprendere la marginalità dell'argomento all'epoca, basti ricordare che un giornale dell'epoca definì il modello in carta ''la Cuffia della Nonna'', nome che tuttora ritorna nella descrizione del modello all'[[Università degli Studi di Pavia]], dove è conservato, ossia ''Cuffia di Beltrami''. A questo riguardo Beltrami scrisse a Houel il 19 dicembre [[1869]]:

{{Citazione|Mi sembra che questa dottrina non abbia trovato in linea generale la sua completa "comprensione" a tal punto che nessuno ha ancora osservato questo fatto di importanza capitale, e cioè ch'essa è completamente indipendente dal postulato di Euclide.}}

Nel suo ''Saggio di interpretazione della geometria non euclidea'' del [[1867]] Beltrami costruì il primo modello di [[geometria iperbolica]]. Particolare di rilievo è che Beltrami scrisse il saggio senza essere a conoscenza dei risultati di Riemann, fatto che lo indusse a lasciarlo da parte per leggere l'''Habilitationsvortrag'' di Riemann di cui sopra, prima di darlo alle stampe.

=== Henri Poincaré ===

[[File:Uniform tiling 54-snub.png|thumb|right|250px|Una [[tassellazionetassellatura]] del disco di Poincaré tramite [[poligono iperbolico|poligoni iperbolici]]. Questi appaiono sempre più piccoli all'avvicinarsi al bordo, benché risultino (nella geometria iperbolica) sempre della stessa grandezza.]]

Il modello di Beltrami aveva il difetto di essere valido solo localmente, come dimostrò [[David Hilbert]] nel [[1901]], e quindi dopo la morte di Beltrami. Un modello valido globalmente di [[geometria iperbolica]] fu introdotto da [[Henri Poincaré]]. Lo spazio è un disco, le cui rette sono archi di [[circonferenza]] o segmenti di retta perpendicolari al bordo del disco: il modello prende il nome di [[disco di Poincaré]]. Gli angoli formati fra due rette sono quelli usuali, ma la distanza fra due punti è definita in modo completamente differente da quella euclidea: questa tende a infinito quando uno dei due punti viene spostato verso il bordo del disco. I punti nel bordo sono quindi "punti all'infinito".

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== Bibliografia ==

* {{cita libro|cognome=Abbagnano|nome=Nicola|wkautore=Nicola Abbagnano|titolo=Dizionario della filosofia|editore=[[UTET]]|città=[[Torino]]|anno=1996|annooriginale=1961|edizione=2ª ed.|cid=Abbagnano|idisbn= ISBN 88-02-01494-9}}

* {{cita web|url=http://resolver.library.cornell.edu/math/1971483|titolo=La geometria non-euclidea. <small>Esposizione storico-critica del suo sviluppo.</small>|autore=Roberto Bonola |editore=N. Zanichelli, Bologna|data=1906|accesso=03.04.2008}}

* {{cita web|url=http://name.umdl.umich.edu/ABK7963.0001.001|titolo=Conferenze sulla geometria non-euclidea|autore=[[Federigo Enriques]]|editore=N. Zanichelli|data=1918|accesso=03.04.2008}}

* [[Nikolaj Ivanovič Lobačevskij]], ''Pangeometry'', Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.

* {{fr}} {{cita web|url=http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF35067284|titolo=La géométrie non euclidienne|autore=P. Barbarin|editore=Gauthier-Villars|data=1928|accesso=03.04.2008|lingua=fr|urlmorto=sì}}

* [[H.S.M.Harold Coxeter]] (1957) ''Non euclidean Geometry'', University of Toronto Press (Ristampa Cambridge University Press, 1998)

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* [[John Willard Milnor]] (1982): ''[httphttps://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years]'', Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp.&nbsp;9–24.

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* Jeremy Gray (1989): ''Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic'', 2nd edition, Clarendon Press, ISBN 0-19-853935-5

* Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer (1995): ''Introduction To Hyperbolic Geometry'', Springer, ISBN 0-387-94339-0

* {{cita web|url=http://books.google.it/books?id=UxC8YYSN84AC&dq=Corpus+Aristotelicum&printsec=frontcover&source=bl&ots=-crZHfzV5X&sig=ut7JdNZXicBTq9lWVXTQTr-VbNk&hl=it&ei=6RnSSfzzMcSKsAbLoPiXBA&sa=X&oi=book_result&resnum=2&ct=result#PPP1,M2|titolo=Aristotele e i fondamenti assiomatici della geometria.|autore=[[Imre Toth (matematicofilosofo)|Imre Toth]] |editore=Edizioni Vita e Pensiero|data=1998 Introduzione di Giovanni Reale (Google Libri)|accesso=31.03.2009}}

* [[Bernard Howard Lavenda|Bernard H. Lavenda]], (2012) " A New Perspective on Relativity: An Odyssey In Non-Euclidean Geometries", World Scientific, pp. 696, ISBN 9789814340489.

* Robin Hartshorne (2000): ''Geometry: Euclid and Beyond'', Springer, ISBN 0-387-98650-2

* [[Ian Nicholas Stewart (matematico)|Ian Stewart]] (2001): ''Flatterland'', Perseus Publishing, ISBN 0-7382-0675-X

* Renato Betti (2005): ''Lobačevskij. L’invenzioneL'invenzione delle geometrie non euclidee'', Bruno Mondadori

* Marvin Jay Greenberg (2007): ''Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History'', 4th ed., W. H. Freeman, ISBN 0-7167-9948-0

* James W. Anderson (2006): ''Hyperbolic Geometry'', Springer, 2nd ed., ISBN 1852339349 (1st ed. 1999)

* Dario Palladino, Claudia Palladino (2008): ''Le geometrie non euclidee'', Carocci, Roma

* Silva Oliva, ''János Bolyai. Uno sguardo psicoanalitico su genio matematico e follia'', Mimesis, 2018

* Cesare Musatti,'' Geometrie non-euclidee e problema della conoscenza'', a cura di Aurelio Molaro, Mimesis, Milano-Udine, 2019

== Voci correlate ==

* [[V postulato di Euclide]]

* [[Benno Erdmann]]

* [[Geometria del taxi]]

Riga 101 ⟶ 108:

* [[Geometria iperbolica]]

* [[Geometria sferica]]

* [[Geometria neutraleeuclidea]]

* [[Geometria frattaleassoluta]]

* [[Frattale]]

* [[Nikolaj Ivanovič Lobačevskij]]

* [[Topologia]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|b=Geometrie non euclidee|b_preposizione=sulla|q_preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* [{{cita web|http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/index.htm |Le geometrie non euclidee]}}

* Flavia Saitta: {{collegamento interrotto|1=[http://ulisse.sissa.it/biblioteca/saggio/2006/Ubib061229s002/at_download/file/Ubib061229s002.pdf Geometrie non euclidee] |data=marzo 2018 |bot=InternetArchiveBot }}, in Ulisse, [[SISSA]]

* [{{cita web|url=http://www.codas.it/home2/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=60&Itemid=67 |titolo=Geometrie non euclidee e modelli cosmologici di Friedmann]|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20090625104646/http://www.codas.it/home2/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=60&Itemid=67|dataarchivio=25 giugno 2009}}

* [http://www.conoscenza.rai.it/site/it-IT/?ContentID=349&Guid=46cd077fe5d04d5eba0fcb74713c1b5d Intervista con Imre Toth sulla genesi delle geometrie non euclidee e sulle sue implicazioni filosofiche.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160305022733/http://www.conoscenza.rai.it/site/it-IT/?ContentID=349&Guid=46cd077fe5d04d5eba0fcb74713c1b5d |date=5 marzo 2016 }} L'intervista fa parte dell'Enciclopedia multimediale delle scienze filosofiche.

* Marisa Capra, Gianna Condreras, Giorgio Marco Udini [http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Apr_02/APPUNTI.HTM Appunti sulle geometrie non euclidee], nell'ambito di Polymath

* {{en}} J. J. O'Connor, E. F. Robertson: [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html Non-Euclidean geometry], in [[MacTutor]]

* {{Thesaurus BNCF}}

{{Geometria}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}