Distribuzione di Poisson: differenze tra le versioni

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Riga 1:

{{Variabile casuale

La '''variabile casuale poissoniana''' è una [[variabile casuale discreta]], detta pure ''degli eventi rari''.

| nome = Distribuzione di Poisson <math>\mathcal{P}(\lambda)</math>

| tipo = distribuzione discreta

| pdf_image = [[File:Poisson pmf.svg|300px|Distribuzione di probabilità]]

| cdf_image = [[File:Poisson cdf.svg|300px|Funzione di ripartizione]]

| parametri = <math>\lambda>0\ </math>

| supporto = <math>\mathbb{N}</math>

| pdf = <math>\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}</math>

| cdf = <math>\frac{\Gamma(n+1, \lambda)}{n!}</math><br />

<small>(dove <math>\Gamma(x, y)</math> è la [[funzione gamma incompleta]])</small>

| media = <math>\lambda\ </math>

| mediana = circa <math>\left[\lambda+\frac{1}{3}-\frac{1}{50\lambda}\right]</math>

| moda = <math>[\lambda]\ </math><br />sia <math>\lambda</math> che <math>\lambda-1</math> se <math>\lambda\in\mathbb{N}</math>

| varianza = <math>\lambda</math>

| skewness = <math>\frac{1}{\sqrt{\lambda}}</math>

| curtosi = <math>\frac{1}{\lambda}</math>

| entropia =<math>\lambda-\lambda\log\lambda+e^{-\lambda}\sum\frac{\lambda^n\log(n!)}{n!}</math>

| momgenfun = <math>e^{\lambda (e^t-1)}</math>

| funzcar = <math>e^{\lambda (e^{it}-1)}</math>

}}

In [[Teoria della probabilità|teoria delle probabilità]] la '''distribuzione di Poisson''' (o '''poissoniana''') è una [[Variabile casuale#Distribuzione di probabilità|distribuzione di probabilità]] [[distribuzione discreta|discreta]] che esprime le probabilità per il numero di eventi che si verificano successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo, sapendo che ''[[valore atteso|mediamente]]'' se ne verifica un numero <math>\lambda</math>. Ad esempio, si utilizza una distribuzione di Poisson per misurare il numero di chiamate ricevute in un call-center in un determinato arco temporale, come una mattinata lavorativa.

== Metodologia ==

Questa distribuzione è anche nota come '''legge degli eventi rari'''.

=== Definizione ===

Prende il nome dal [[matematico]] [[Francia|francese]] [[Siméon-Denis Poisson]].

[[Immagine:Poisson_distribution_PMF.png|thumb|400px|right|Funzione di probabilità di una variabile poissoniana]]

== Definizione ==

La v.c. Poissoniana è definita con la [[funzione di probabilità]]

La distribuzione di Poisson <math>\mathcal{P}_\lambda (n)</math> è una [[Distribuzione discreta|distribuzione di probabilità discreta]] data da

:<math>P(x) = \frac{e^{-\lambda}\ \lambda^x}{x!}</math> , dove

:<math>\mathcal{P}_\lambda(n)=\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}</math> per ogni <math>n\in\mathbb{N}</math>,

* &lambda; è un qualsiasi valore positivo (&lambda;>0) equivalente al numero di successi che ci si aspetta che si verifichino in un dato intervallo di tempo. Per esempio, se un evento si verifica con una cadenza media di 4 minuti e vogliamo sapere quante volte questo evento si potrà verificare in 10 minuti, il valore di &lambda; sarà 10/4 = 2,5

dove <math>\lambda</math> è il numero medio di eventi per intervallo di tempo, mentre <math>n</math> è il numero di eventi per intervallo di tempo (lo stesso col quale si misura <math>\lambda</math>) di cui si vuole la probabilità.

* ''e'' è la base del logaritmo naturale (e = 2.71828...)

* ''x'' è il numero delle occorrenze (successi) per cui si vuole prevedere la probabilità (deve essere intero non negativo (x=0,1,2,3,....))

La [[funzione generatrice dei momenti]] è pertanto:

:<math>g(t)=e^{\lambda(e^t-1)}</math>

Il [[valore atteso]] e la [[varianza]] coincidono

:&mu; = &sigma;&sup2; = &lambda;

Dallo [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] dell'[[Funzione esponenziale|esponenziale]] <math>e^\lambda=\sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n}{n!}</math> si trova <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})=1</math>.

La ''Poissoniana'' è detta pure ''legge degli eventi rari'', in quanto può essere applicata

al posto della [[variabile casuale binomiale]] B(p;n) quando la probabilità ''p'' di un evento è molto bassa

e contemporaneamente la grandezza del campione ''n'' è molto alta, ovvero quando un evento è raro, ma il numero di eventi che si verificano (&lambda; = ''np'') è comunque finito.

=== TeoremiConvergenza ===

La distribuzione di Poisson può essere ottenuta come [[limite (matematica)|limite]] delle [[distribuzione binomiale|distribuzioni binomiali]] <math>\mathcal{B}(n,p)</math>, con <math>\lambda=np</math>, ovvero si ha una [[Convergenza di variabili casuali#Convergenza in distribuzione|convergenza in legge]] di <math>\mathcal{B}(n , \lambda/n)</math> a <math>\mathcal{P}(\lambda)</math>. Per questa convergenza la distribuzione di Poisson è anche nota come ''legge (di probabilità) degli eventi rari''.

==== Approssimazione ad una Normale per &lambda; molto grande ====

Quando &lambda; è molto grande (orientativamente &lambda; > 10), allora

la ''Poissoniana'' può essere approssimata con una

[[variabile casuale normale]] con [[valore atteso]] e [[varianza]] pari a &lambda;: N(&nbsp;&lambda;&nbsp;;&nbsp;&lambda;).

In [[statistica]] si adotta l'approssimazione della distribuzione binomiale tramite la distribuzione di Poisson quando n>20 e p<1/20, o preferibilmente quando n>100 e np<10.

==== La poissoniana e la v.c. esponenziale negativa ====

La v.c. poissoniana viene usata in relazione alla [[variabile casuale esponenziale negativa|v.c. Esponenziale Negativa]]

in quanto:

;se: l'intervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come una esponenziale negativa con a=&lambda;

;allora: il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una poissoniana (con parametro &lambda;);

e viceversa.

== Caratteristiche ==

==== Somma di due v.c. poissoniane ====

Una [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] ''Y'' di distribuzione di Poisson ha

;Se: X e Y sono due variabili casuali indipendenti, distribuite come una poissoniana con parametro rispettivamente &lambda;_x e &lambda;_y

* [[valore atteso]]

;allora: Z=X+Y è a sua volta una v.c. Poissoniana con parametro &lambda;_z = &lambda;_x+&lambda;_y

:<math>E[Y]=\sum_{n=0}^{\infty} n\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}=\sum_{n=1}^{\infty} n\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}=\lambda e^{-\lambda}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}=\lambda e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^{n}}{n!}=\lambda</math>

* [[varianza]]

:<math>\begin{align}

\text{Var}(Y)&=E[Y^2]-(E[Y])^2\\

&=\sum_{n=0}^\infty n^2\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}-\lambda^2\\

&=\sum_{n=0}^\infty n(n-1)\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} + \sum_{n=0}^\infty n\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} -\lambda^2 \\

&=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} + \lambda -\lambda^2 \\

&=\lambda^2e^{-\lambda}\sum_{n=2}^\infty \frac{\lambda^{(n-2)}}{(n-2)!} + \lambda -\lambda^2\\

&=\lambda^2+\lambda-\lambda^2\\

&=\lambda

\end{align}</math>

:(Riscriviamo <math>n^2</math> come <math>n(n-1)+n</math>)

* [[funzione generatrice dei momenti]]

:<math>g(t,Y)=E[e^{tY}]=e^{-\lambda}\sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n e^{tn}}{n!}=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}=e^{\lambda(e^t-1)}</math>

* indici di antisimmetria (in inglese: [[Simmetria (statistica)|skewness]]) e di [[curtosi]]

:<math>\gamma_1=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}</math>, <math>\gamma_2=\frac{1}{\lambda}</math>

* [[entropia (teoria dell'informazione)|entropia]]

:<math>\lambda-\lambda\log\lambda+e^{-\lambda}\sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n\log(n!)}{n!}</math>

che ha un andamento <math>\frac{1+\log(2\pi)}{2}\ +\ \frac{1}{2}\log\lambda\ -\ \frac{1}{12}\lambda^{-1}\ -\ \frac{1}{24} \lambda^{-2}\ -\ \frac{19}{360} \lambda^{-3}\ +\ O(\lambda^{-4})</math>

=== Proprietà ===

==== Differenza di due v.c. poissoniane ====

Se <math>Y_1</math> e <math>Y_2</math> sono due [[Variabile casuale|variabili aleatorie]] [[Variabili dipendenti e indipendenti|indipendenti]] con distribuzioni di Poisson di parametri <math>\lambda_1</math> e <math>\lambda_2</math> rispettivamente, allora

;Se: X e Y sono due variabili casuali non necessariamente indipendenti, distribuite come una poissoniana con parametro rispettivamente &lambda;_x e &lambda;_y

* la loro somma <math>Y=Y_1+Y_2</math> segue ancora una distribuzione di Poisson, di parametro <math>\lambda=\lambda_1+\lambda_2</math>;

;allora: Z=X-Y è a una [[variabile casuale di Skellam|v.c. di Skellam]] con parametri &lambda;_x e &lambda;_y

* la distribuzione di <math>Y_1</math> [[probabilità condizionata|condizionata]] da <math>Y = n</math> è la [[distribuzione binomiale]] di parametri <math>\lambda_1/\lambda</math> e <math>n</math>.

Più in generale, la somma <math>Y=Y_1+...+Y_n</math> di ''n'' variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri <math>\lambda_1,...,\lambda_n</math> segue una distribuzione di Poisson di parametro <math>\lambda=\lambda_1+...+\lambda_n</math>, mentre la distribuzione di <math>Y_1</math> [[probabilità condizionata|condizionata]] da <math>Y = n</math> è la [[distribuzione binomiale]] di parametri <math>\lambda_1/\lambda</math> e <math>n</math>.

==== La Poissoniana e i processi markoviani ====

;Se: in un [[processo markoviano]] (continuo nel tempo) nascite-morti, con le condizioni iniziali P_n(0)=1 per n=0, e =0 altrimenti, si osserva un processo di pure nascite con tasso costante &lambda;

;allora: si ottiene la soluzione P_n(t)=e^-&lambda;t (&lambda;t)^k/k!, ovvero una Poissoniana con parametro &lambda;t

== Distribuzioni collegate ==

==== Somma di due v.c. intere non negative ====

Se la distribuzione di Poisson di parametro <math>\lambda</math> descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo, il tempo di attesa tra due eventi successivi è descritto dalla [[distribuzione esponenziale]] di parametro <math>\lambda</math>.

Se <math> X_1 </math> e <math> X_2 </math> sono v.c. intere nonnegative e

:<math> P(X_1=x_1|X_1+X_2=x)={x \choose x_1}\ p_x^{x_1}\ (1-p_x)^{x-x_1} </math>

allora

# <math> p_x \equiv p </math> per ogni x

# sia <math> X_1 </math> che <math> X_2 </math> sono distribuite come una v.c. di Poisson con parametro <math> \lambda = \frac{p}{1-p} </math>

La [[distribuzione di Skellam]] è definita come la distribuzione della differenza tra due variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzioni di Poisson.

==== Somma di due v.c. indipendenti ====

Se <math> X_1 </math> e <math> X_2 </math> sono v.c. indipendenti

e <math> X=X_1+X_2 </math>

è distribuita come una Poissoniana, allora anche <math> X_1 </math>

e <math> X_2 </math> sono distribuite come delle Poissoniane.

La [[mistura di distribuzioni]] tra la distribuzione di Poisson e la [[distribuzione Gamma]] (che governa il parametro <math>\lambda</math>) è la [[distribuzione di Pascal]], che talvolta è anche detta ''Gamma-Poisson''.

==== Distribuzione dell'indice di dispersione di Poisson ====

Se la v.c. X è distribuita come una Poissoniana, allora l'[[indice di dispersione di Poisson]]

:<math>D=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i- \bar x)^2}{\bar x}</math> dove <math>\bar x</math> è la media aritmetica <math>\bar x =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ x_i</math>

è distribuito approssimativamente come una [[variabile casuale Chi Quadrato]] con n-1 gradi di libertà

La [[distribuzione di Panjer]], definita per ricorsione, generalizza la distribuzione di Poisson: <math>P(n)=\frac{\lambda}{n}P(n-1)</math>.

==== La v.c. poissoniana come caso particolare della v.c. di Panjer ====

Applicando alla [[variabile casuale di Panjer]] i paramentri <math>a=0,~b=\lambda,~p_0=e^{-\lambda}</math> si ottiene la poissoniana.

== Statistica ==

=== v.c.Gamma e la v.c. poissoniana nella'ambito dell'inferenza bayesiana ===

=== Approssimazioni ===

Nell'ambito dell'[[inferenza bayesiana]] si trova la seguente relazione:

Per <math>\lambda>1000</math> una [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] con distribuzione di Poisson <math>\mathcal{P}(\lambda)</math> viene solitamente approssimata con la [[distribuzione normale]] <math>\mathcal{N}(\lambda,\lambda)</math>; per parametri più piccoli (<math>\lambda>10</math>) sono invece necessarie delle [[correzione di continuità|correzioni di continuità]], legate ai diversi [[Dominio e codominio|domini]] delle due distribuzioni (una discreta, una continua).

La [[radice quadrata]] di una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson è approssimata da una [[distribuzione normale]] meglio di quanto lo sia la variabile stessa.

Se X è distribuita come una [[variabile casuale poissoniana|v.c. Poissoniana]]

con parametro &lambda;

Il parametro <math>\lambda</math> può essere [[stimatore|stimato]] come la media delle osservazioni effettuate. Questo stimatore è privo di [[bias (statistica)|bias]], ovvero ha come [[valore atteso]] <math>\lambda</math> stesso.

:<math>f(x|\lambda)=Poiss(x|\lambda)</math>

e il parametro &lambda; è distribuito a priori come una v.c. Gamma con i parametri ''a'' e ''b''

=== Inferenza bayesiana ===

:<math>g(\lambda)=Gamma(\lambda|a;b)</math>

alloraSe il parametro &<math>\lambda;</math> di una distribuzione di Poisson è distribuito ''a posteriori anchpriori''esso comesecondo unala v.c.[[distribuzione Gamma]], maallora conlo è parametrianche ''a+x posteriori'' edell'osservazione ''b+1''<math>Y=y</math>.

:<math>g(\lambda|x)=Gamma(\theta|a+x;b+1)</math>

== Storia ==

Questa distribuzione fu introdotta da [[Siméon-Denis Poisson]] nel [[1838]] nel suo articolo ''Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile''<ref>{{cita libro|lingua= en |autore= Jan Gullberg |titolo= Mathematics from the birth of numbers |anno= 1997 |url= https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull |editore= W. W. Norton & Company |pp= [https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull/page/963 963]-965 |ISBN= 978-0-393-04002-9 }}</ref><ref>{{cita libro|autore= Filippo Siriani |titolo= Enciclopedia delle Matematiche elementari e complementi |volume= vol. III |p= 214 |editore= Hoepli Editore |città= Milano |anno= 1954}}</ref>.

Secondo alcuni storici questa variabile casuale dovrebbe portare il nome di [[Vladislav Iosifovič Bortkevič|Ladislaus Bortkevič]] considerati gli studi fatti da questo nel [[1898]].<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Ladislaus|cognome=von Bortkevič|titolo=Das Gesetz der kleinen Zahlen|lingua=de|città=Lipsia|editore=B.G. Teubner|anno=1898|url=https://books.google.com/books?id=o_k3AAAAMAAJ&pg=PA1#v=onepage&q&f=false |p=1}}<br>{{Cita web|url=https://books.google.com/books?id=o_k3AAAAMAAJ&pg=PA23#v=onepage&q&f=false|pp=23-25|titolo=Bortkiewicz presents his famous analysis of "4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preussischen Heere Getöteten." (4. Example: Those killed in the Prussian army by a horse's kick |lingua=en}}</ref>

In realtà la ''poissoniana'' come approssimazione della ''binomiale'' era già stata introdotta nel [[1718]] da [[Abraham de Moivre]] in ''Doctrine des chances''.<ref name="JKK157">{{cita libro|autore= Johnson, N.L. |autore2= Kotz, S. |autore3= Kemp, A.W. |anno= 1993 |titolo= Univariate Discrete distributions |ed=2 |editore= Wiley |ISBN= 0-471-54897-9 |p=157 |lingua= en}}</ref>

La Poissoniana porta il nome di [[Siméon-Denis Poisson]] in quanto questo

la utilizzò nel [[1837]] (tre anni prima di morire) in una ricerca

sulle statistiche giudiziarie, derivandola

come distribuzione limite della ''[[variabile casuale geometrica|distribuzione di Pascal]]''

(&nbsp;P(x)=p(1-p)^x&nbsp;)

e della ''[[variabile casuale binomiale|distribuzione binomiale]]''.

Secondo alcuni storici questa variabile casuale dovrebbe portare il nome di

[[Ladislaus Bortkiewicz]] considerati gli studi fatti da questo nel [[1898]].

== Tavole dei valori della funzione di probabilità ==

In realtà la ''poissoniana'' come approssimazione della ''binomiale''

=== λ = 0,1; 0,2; ... 1,0 ===

era già stata introdotta nel [[1718]] da [[Abraham de Moivre]]

{| class="wikitable"

in ''Doctrine des chances''.

! k !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 !! 0,9 !! 1,0

|-

| 0 || {{M|.9048}} || {{M|.8187}} || {{M|.7408}} || {{M|.6703}} || {{M|.6065}} || {{M|.5488}} || {{M|.4966}} || {{M|.4493}} || {{M|.4066}} || {{M|.3679}}

|-

| 1 || {{M|.0905}} || {{M|.1637}} || {{M|.2222}} || {{M|.2681}} || {{M|.3033}} || {{M|.3293}} || {{M|.3476}} || {{M|.3595}} || {{M|.3659}} || {{M|.3679}}

|-

| 2 || {{M|.0045}} || {{M|.0164}} || {{M|.0333}} || {{M|.0536}} || {{M|.0758}} || {{M|.0988}} || {{M|.1217}} || {{M|.1438}} || {{M|.1647}} || {{M|.1839}}

|-

| 3 || {{M|.0002}} || {{M|.0011}} || {{M|.0033}} || {{M|.0072}} || {{M|.0126}} || {{M|.0198}} || {{M|.0254}} || {{M|.0383}} || {{M|.0494}} || {{M|.0613}}

|-

| 4 || || {{M|.0001}} || {{M|.0003}} || {{M|.0007}} || {{M|.0016}} || {{M|.0030}} || {{M|.0050}} || {{M|.0077}} || {{M|.0111}} || {{M|.0153}}

|-

| 5 || || || || {{M|.0001}} || {{M|.0002}} || {{M|.0004}} || {{M|.0007}} || {{M|.0012}} || {{M|.0020}} || {{M|.0031}}

|-

| 6 || || || || || || || {{M|.0001}} || {{M|.0002}} || {{M|.0003}} || {{M|.0005}}

|-

| 7 || || || || || || || || || || {{M|.0001}}

|}

=== λ = 1,2; 1,4; ... 3,0 ===

{| class="wikitable"

== Voci correlate ==

! k !! 1,2 !! 1,4 !! 1,6 !! 1,8 !! 2,0 !! 2,2 !! 2,4 !! 2,6 !! 2,8 !! 3,0

* [[Siméon-Denis Poisson]], [[Abraham de Moivre]] e [[Ladislaus Bortkiewicz]]

|-

* [[variabile casuale normale]]

| 0 || {{M|.3012}} || {{M|.2466}} || {{M|.2019}} || {{M|.1653}} || {{M|.1353}} || {{M|.1108}} || {{M|.0907}} || {{M|.0743}} || {{M|.0608}} || {{M|.0498}}

* [[variabile casuale binomiale]]

|-

* [[variabile casuale esponenziale negativa]]

| 1 || {{M|.3614}} || {{M|.3452}} || {{M|.3230}} || {{M|.2975}} || {{M|.2707}} || {{M|.2438}} || {{M|.2177}} || {{M|.1931}} || {{M|.1703}} || {{M|.1494}}

* [[variabile casuale geometrica]] (o ''di Pascal'')

|-

* [[variabile casuale binomiale negativa]] (anch'essa, come la poissoniana, usata nel caso di eventi rari)

| 2 || {{M|.2169}} || {{M|.2417}} || {{M|.2584}} || {{M|.2678}} || {{M|.2707}} || {{M|.2681}} || {{M|.2613}} || {{M|.2510}} || {{M|.2384}} || {{M|.2240}}

* [[distribuzione composta di Poisson]]

|-

* [[variabile casuale discreta]]

| 3 || {{M|.0867}} || {{M|.1128}} || {{M|.1378}} || {{M|.1607}} || {{M|.1804}} || {{M|.1966}} || {{M|.2090}} || {{M|.2176}} || {{M|.2225}} || {{M|.2240}}

* [[variabile casuale]]

|-

* [[probabilità]]

| 4 || {{M|.0260}} || {{M|.0395}} || {{M|.0551}} || {{M|.0723}} || {{M|.0902}} || {{M|.1082}} || {{M|.1254}} || {{M|.1414}} || {{M|.1557}} || {{M|.1680}}

* [[statistica]]

|-

| 5 || {{M|.0062}} || {{M|.0111}} || {{M|.0176}} || {{M|.0260}} || {{M|.0361}} || {{M|.0476}} || {{M|.0602}} || {{M|.0735}} || {{M|.0872}} || {{M|.1008}}

|-

| 6 || {{M|.0012}} || {{M|.0026}} || {{M|.0047}} || {{M|.0078}} || {{M|.0120}} || {{M|.0174}} || {{M|.0241}} || {{M|.0319}} || {{M|.0407}} || {{M|.0504}}

|-

| 7 || {{M|.0002}} || {{M|.0005}} || {{M|.0011}} || {{M|.0020}} || {{M|.0034}} || {{M|.0055}} || {{M|.0083}} || {{M|.0118}} || {{M|.0163}} || {{M|.0216}}

|-

| 8 || || {{M|.0001}} || {{M|.0002}} || {{M|.0005}} || {{M|.0009}} || {{M|.0015}} || {{M|.0025}} || {{M|.0038}} || {{M|.0057}} || {{M|.0081}}

|-

| 9 || || || || {{M|.0001}} || {{M|.0002}} || {{M|.0004}} || {{M|.0007}} || {{M|.0011}} || {{M|.0018}} || {{M|.0027}}

|-

| 10 || || || || || || {{M|.0001}} || {{M|.0002}} || {{M|.0003}} || {{M|.0005}} || {{M|.0008}}

|-

| 11 || || || || || || || || {{M|.0001}} || {{M|.0001}} || {{M|.0002}}

|-

| 12 || || || || || || || || || || {{M|.0002}}

|}

=== λ = 3,5; 4,0; ... 8,0 ===

== Tavole dei valori della funzione di probabilità ==

=== &lambda; = 0.1, 0.2, ... 1.0 ===

{| class="wikitable"

! k !! 3,5 !! 4,0 !! 4,5 !! 5,0 !! 5,5 !! 6,0 !! 6,5 !! 7,0 !! 7,5 !! 8,0

|-

| 0|| {{M|.0302}} || {{M|.0183}} || {{M|.0111}} || {{M|.0067}} || {{M|.0041}} || {{M|.0025}} || {{M|.0015}} || {{M|.0009}} || {{M|.0006}} || {{M|.0003}}

|-

| 1|| {{M|.1057}} || {{M|.0733}} || {{M|.0500}} || {{M|.0337}} || {{M|.0225}} || {{M|.0149}} || {{M|.0098}} || {{M|.0064}} || {{M|.0041}} || {{M|.0027}}

|-

| 2|| {{M|.1850}} || {{M|.1465}} || {{M|.1125}} || {{M|.0842}} || {{M|.0618}} || {{M|.0446}} || {{M|.0318}} || {{M|.0223}} || {{M|.0156}} || {{M|.0107}}

|-

| 3|| {{M|.2158}} || {{M|.1954}} || {{M|.1687}} || {{M|.1404}} || {{M|.1133}} || {{M|.0892}} || {{M|.0688}} || {{M|.0521}} || {{M|.0389}} || {{M|.0286}}

|-

| 4|| {{M|.1888}} || {{M|.1954}} || {{M|.1898}} || {{M|.1755}} || {{M|.1558}} || {{M|.1339}} || {{M|.1118}} || {{M|.0912}} || {{M|.0729}} || {{M|.0573}}

|-

| 5|| {{M|.1322}} || {{M|.1563}} || {{M|.1708}} || {{M|.1755}} || {{M|.1714}} || {{M|.1606}} || {{M|.1454}} || {{M|.1277}} || {{M|.1094}} || {{M|.0916}}

|-

| 6|| {{M|.0771}} || {{M|.1042}} || {{M|.1281}} || {{M|.1462}} || {{M|.1571}} || {{M|.1606}} || {{M|.1575}} || {{M|.1490}} || {{M|.1367}} || {{M|.1221}}

|-

| 7|| {{M|.0385}} || {{M|.0595}} || {{M|.0824}} || {{M|.1044}} || {{M|.1234}} || {{M|.1377}} || {{M|.1462}} || {{M|.1490}} || {{M|.1465}} || {{M|.1396}}

|-

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| 21 || || || || || || || || || || {{M|.00001}}

|}

== Note ==

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<references/>

| k \ &lambda;| 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 |

+=======+===============================================================+

| 0 | .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679 |

| 1 | .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595 .3659 .3679 |

| 2 | .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839 |

| 3 | .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .0383 .0494 .0613 |

| 4 | .0001 .0003 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153 |

| 5 | .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031 |

| 6 | .0001 .0002 .0003 .0005 |

| 7 | .0001 |

+=======+===============================================================+

== Bibliografia ==

=== &lambda; = 1.2, 1.4, ... 3.0 ===

* {{Cita libro

| autore = [[Donald Knuth|Donald E. Knuth]]

| titolo = Seminumerical Algorithms

| url = https://archive.org/details/artofcomputerpro0000knut

| editore = [[Addison-Wesley]]

|serie= The Art of Computer Programming, Volume 2

| anno = 1969

| lingua = inglese

}}

* {{Cita pubblicazione

| autore=Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers

| titolo=The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6

| rivista=SIAM Review

| anno=1988

| volume=30

| numero=2

| pp=314-317

| doi=10.1137/1030059

| lingua = inglese

}}

*{{cita libro|autore=Sheldon M. Ross|titolo=Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze|editore=Apogeo|città=Trento|anno=2003|cid=Ross, 2003|isbn=88-7303-897-2}}

== Voci correlate ==

+=======+===============================================================+

* [[Distribuzione binomiale]]

| k \ &lambda;| 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 |

* [[Mistura di distribuzioni]]

+=======+===============================================================+

* [[Convergenza di variabili casuali]]

| 0 | .3012 .2466 .2019 .1653 .1353 .1108 .0907 .0743 .0608 .0498 |

| 1 | .3614 .3452 .3230 .2975 .2707 .2438 .2177 .1931 .1703 .1494 |

| 2 | .2169 .2417 .2584 .2678 .2707 .2681 .2613 .2510 .2384 .2240 |

| 3 | .0867 .1128 .1378 .1607 .1804 .1966 .2090 .2176 .2225 .2240 |

| 4 | .0260 .0395 .0551 .0723 .0902 .1082 .1254 .1414 .1557 .1680 |

| 5 | .0062 .0111 .0176 .0260 .0361 .0476 .0602 .0735 .0872 .1008 |

| 6 | .0012 .0026 .0047 .0078 .0120 .0174 .0241 .0319 .0407 .0504 |

| 7 | .0002 .0005 .0011 .0020 .0034 .0055 .0083 .0118 .0163 .0216 |

| 8 | .0001 .0002 .0005 .0009 .0015 .0025 .0038 .0057 .0081 |

| 9 | .0001 .0002 .0004 .0007 .0011 .0018 .0027 |

| 10 | .0001 .0002 .0003 .0005 .0008 |

| 11 | .0001 .0001 .0002 |

| 12 | .0002 |

+=======+===============================================================+

== Altri progetti ==

=== &lambda; = 3.5, 4.0, ... 8.0 ===

{{interprogetto|preposizione=sulla}}

+=======+===============================================================+

== Collegamenti esterni ==

| k \ &lambda;| 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 |

* {{Collegamenti esterni}}

+=======+===============================================================+

* {{FOLDOC|Poisson distribution|Poisson distribution}}

| 0 | .0302 .0183 .0111 .0067 .0041 .0025 .0015 .0009 .0006 .0003 |

* {{cita web|http://goldbook.iupac.org/P04707.html|IUPAC Gold Book, "Poisson distribution"|lingua=en}}

| 1 | .1057 .0733 .0500 .0337 .0225 .0149 .0098 .0064 .0041 .0027 |

| 2 | .1850 .1465 .1125 .0842 .0618 .0446 .0318 .0223 .0156 .0107 |

| 3 | .2158 .1954 .1687 .1404 .1133 .0892 .0688 .0521 .0389 .0286 |

| 4 | .1888 .1954 .1898 .1755 .1558 .1339 .1118 .0912 .0729 .0573 |

| 5 | .1322 .1563 .1708 .1755 .1714 .1606 .1454 .1277 .1094 .0916 |

| 6 | .0771 .1042 .1281 .1462 .1571 .1606 .1575 .1490 .1367 .1221 |

| 7 | .0385 .0595 .0824 .1044 .1234 .1377 .1462 .1490 .1465 .1396 |

| 8 | .0169 .0298 .0463 .0653 .0849 .1033 .1188 .1304 .1373 .1396 |

| 9 | .0066 .0132 .0232 .0363 .0519 .0688 .0858 .1014 .1144 .1241 |

| 10 | .0023 .0053 .0104 .0181 .0285 .0413 .0558 .0710 .0858 .0993 |

| 11 | .0007 .0019 .0043 .0082 .0143 .0225 .0330 .0452 .0585 .0722 |

| 12 | .0002 .0006 .0016 .0034 .0065 .0113 .0179 .0263 .0366 .0481 |

| 13 | .0001 .0002 .0006 .0013 .0028 .0052 .0089 .0142 .0211 .0296 |

| 14 | .0001 .0002 .0005 .0011 .0022 .0041 .0071 .0113 .0169 |

| 15 | .0001 .0002 .0004 .0009 .0018 .0033 .0057 .0090 |

| 16 | .0001 .0003 .0007 .0014 .0026 .0045 |

| 17 | .0001 .0003 .0006 .0012 .0021 |

| 18 | .0001 .0002 .0005 .0009 |

| 19 | .0001 .0002 .0004 |

| 20 | .0001 .0002 |

| 21 | .0001 |

+=======+===============================================================+

{{Probabilità}}

[[Categoria:Variabili casuali|Poissoniana]]

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Distribuzioni di probabilità|Poisson]]

[[ar:توزيع بواسون]]

[[Categoria:Statistica computazionale]]

[[cs:Poissonovo rozdělení]]

[[Categoria:Psicometria]]

[[de:Poisson-Verteilung]]

[[en:Poisson distribution]]

[[es:Distribución de Poisson]]

[[fa:توزیع پواسون]]

[[fi:Poissonin jakauma]]

[[fr:Loi de Poisson]]

[[he:התפלגות פואסון]]

[[hu:Poisson-eloszlás]]

[[ja:ポアソン分布]]

[[nl:Poissonverdeling]]

[[pl:Rozkład Poissona]]

[[pt:Distribuição de Poisson]]

[[ru:Распределение Пуассона]]

[[su:Sebaran Poisson]]

[[sv:Poissonfördelning]]

[[zh:Poisson分佈]]