Funzione a variazione limitata: differenze tra le versioni

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[[File:Sin x^-1.svg|thumb|La funzione <math>f(x)=\sin(1/x), f(0)=0</math> ''non'' è a variazione limitata]]

In [[analisi matematica]], una branca della [[matematica]], una [[funzione di variabile reale]] si dice '''a variazione limitata''' se la sua "variazione totale" è finita. Intuitivamente, le funzioni a variazione limitata in una variabile sono quelle per cui la distanza percorsa da un punto che si muove lungo il suo [[grafico di una funzione|grafico]] è finita in ogni intervallo finito. Una funzione che ''non'' è a variazione limitata è il cosiddetto "[[seno del topologo]]", cioè

:<math>f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{se }x =0 \\ \sin(1/x), & \mbox{se } x \neq 0 \end{cases} </math>

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:<math>\int_\Omega f(x)\,\mathrm{div}\boldsymbol{\phi}(x)\, dx = - \int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, Df(x)\rangle

\qquad \forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega;\mathbb{R}^n)</math>,<br/>cioè <math>f</math> definisce un [[funzionale lineare]] sullo spazio delle [[funzione a supporto compatto|funzioni vettoriali a supporto compatto]]. <math>Df</math> rappresenta un [[derivata debole|gradiente debole]] di <math>f</math>.

*Una <math>f:\Omega \to \R</math> [[funzione integrabile|integrabile]] si dice '''a variazione limitata''', <math>f\in BV(\Omega)</math>, se la sua variazione totale

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[[File:X^2sin(x^-1).svg|thumb|La funzione <math>f(x)=x^2 \sin (1/x)</math> è a variazione limitata]]

È già stato dato un esempio di funzione che ''non'' è a variazione limitata. La stessa funzione, però, ''è'' a variazione limitata in ogni intervallo <math>[\varepsilon,1]</math> ad esempio, con <math>\varepsilon > 0</math>, poiché la "[[singolarità (matematica)|singolarità]]" è presente solo nell'origine. È quindi chiaro come questa sia una proprietà che dipende anche dalla forma del [[dominio (matematica)|dominio]].

Risulta essere a variazione limitata in <math>[0,1]</math> invece la funzione

:<math>f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{se }x =0 \\ x^2 \sin(1/x), & \mbox{se } x \neq 0 \end{cases} </math>

Mentre pur essendo uniformemente continua non è a variazione limitata la funzione in <math>[0,1]</math>

:<math>f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{se }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{se } x \neq 0 \end{cases} </math>

perché l'integrale del modulo della derivata diverge.

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==Proprietà==

In una variabile, dalla definizione risulta subito che una funzione BV è in particolare [[funzione limitata|limitata]]. Inoltre, essa è [[funzione derivabile|derivabile]] [[quasi ovunque]] e ammette al più solo [[punto di discontinuità|discontinuità di prima specie]]: questo discende dalla decomposizione di Jordan in differenza di due funzioni monotone (le funzioni monotone possiedono le proprietà dette). Risulta anche

:<math>\int_a^b |f'(x)| dx \leq V_a^b(f)</math>

con l'uguaglianza valida se e solo se la funzione è [[assoluta continuità|assolutamente continua]].

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*[http://mathworld.wolfram.com/BoundedVariation.html Bounded Variation] su [[MathWorld]]

{{Controllo di autorità}}

{{portale|matematica}}