Bipolo: differenze tra le versioni

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[[File:Bipolo.jpgsvg|rightthumb|Bipolo]]

In [[elettrotecnica]] il '''bipolo''' è una rete elettrica comunque complessa (di cui si ignora la composizione) accessibile solo da una coppia di morsetti e di cui interessa solo il comportamento esterno (rappresentazione agli effetti esterni).

Un '''bipolo''', in [[elettrotecnica]], è un [[elemento circuitale]] dotato di due [[Morsetto (elettrotecnica)|morsetti]] che gli consentono di interagire con i [[Elettromagnetismo|fenomeni elettromagnetici]] esterni e il cui comportamento agli effetti esterni è completamente definito dal legame costitutivo tra [[Tensione elettrica|tensione]] e [[Corrente elettrica|corrente]].

Le proprietà fondamentali del bipolo sono innanzitutto che la [[corrente continua]] entrante che lo attraversa è necessariamente uguale a quella uscente, questa proprietà è indispensabile poiché se ciò non fosse vero, non si avrebbe la condizione di ''[[conservazione della carica|conservazione della corrente]]'' (o della carica); inoltre la [[tensione elettrica|tensione]] tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e questa proprietà segue dalla [[conservazione dell'energia]]. Queste due proprietà fondamentali costituiscono anche una definizione assiomatica del bipolo.

In [[automatica]] è assimilabile a un [[modello black box]] il cui comportamento è definito da una [[funzione di trasferimento]].

==Definizione==

Le proprietà fondamentali del bipolo sono due: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è, a meno del segno, uguale a quella uscente.

La definizione di bipolo è rigorosamente valida solo in regime stazionario, quando corrente e tensione sono rigorosamente costanti nel tempo. In regime variabile sia la corrente che la tensione non soddisfano perfettamente le due proprietà e inoltre l'interazione con il bipolo avviene anche con l'esterno attraverso [[Elettromagnetismo|interazione elettromagnetica]]. Condizione necessaria allora è che queste variazioni di corrente e tensioni nel tempo siano sufficientemente lente: se ne può dare una condizione matematica. Supponendo che la dimensione del bipolo sia '''d''' essa deve essere molto minore della lunghezza d'onda <math>\lambda</math> della sua normale frequenza <math>\nu</math> di funzionamento cioè:

== Definizione ==

:<math>d \ll \lambda = \frac{c}{\nu}</math>

=== Condizioni ===

Questa condizione definisce i componenti a costanti concentrate in opposizione ai componenti a costanti distribuite nei quali non si possono trascurare le interazioni che avvengono all'interno dell'elemento e con l'ambiente: un tipico esempio è la [[linea di trasmissione]].

La descrizione del [[campo elettromagnetico]] è basata sulle [[equazioni di Maxwell]] e in particolare la sua dinamica è descritta dalla [[legge di Faraday]] e dalla [[legge di Ampère-Maxwell]], rispettivamente:<ref>{{Cita|Morando, Leva|p. 299}}.</ref>

<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\qquad\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf J_f + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}</math>

Il comportamento esterno di un bipolo è dato sotto forma di legame [[Tensione elettrica|tensione]]-[[Corrente elettrica|corrente]]:

Nel caso di regime stazionario, ovvero a [[flusso magnetico]] e [[flusso elettrico]] costanti come in [[corrente continua]], le correnti dovute alla variazione del [[campo elettromagnetico]] e alla [[polarizzazione elettrica]] e [[Polarizzazione magnetica|magnetica]] sono nulle quindi le due equazioni possono essere semplificate come segue:<ref>{{Cita|Morando, Leva|p. 304}}.</ref>

<math>\nabla \times \mathbf{E} = 0\qquad\qquad\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf J_f</math>

Queste semplificazioni possono essere ritenute valide anche nel caso sia verificata la condizione di [[Max Abraham]], in un regime variabile infatti, se la [[lunghezza d'onda]] del campo elettromagnetico <math>\lambda</math> è molto superiore alle dimensioni del sistema elettromagnetico <math>\lambda\gg L</math> allora il tempo che il [[fronte d'onda]] impiega ad attraversare tutto il sistema può essere considerato nullo e di conseguenza il regime variabile in esame può essere considerato quasi stazionario, semplificazione che consente l'utilizzo delle equazioni di Maxwell trascurando le variabili spaziali e ottenere quindi un modello a [[parametri concentrati]].<ref>{{Cita|Morando, Leva|p. 303}}.</ref> Considerato che la [[corrente alternata]] è distribuita in [[Europa]], [[Asia]] e [[Africa]] alla frequenza di {{M|50|ul=Hz}} (in [[America]] e parte del [[Giappone]] a {{M|60|ul=Hz}}) allora la condizione di Max Abraham è rispettata per sistemi con dimensioni molto inferiori a una lunghezza d'onda di circa {{M|6000|ul=km}}, di conseguenza nelle [[Linea di trasmissione|linee di trasmissione]] è necessario adottare un modello a parametri distribuiti.<ref>{{Cita|Morando, Leva|p. 3}}.</ref>

=== Bipolo ===

[[File:Bipolo definizione.svg|miniatura|verticale=1.5|Bipolo in regime quasi stazionario in cui è evidenziata la superficie chiusa impermeabile ai fenomeni elettromagnetici e la porta elettrica formata dai conduttori con estremi la coppia ordinata di morsetti. Sulla porta elettrica sono anche evidenziate le due superfici di livello <math>V_A</math> e <math>V_B</math> e la tensione tra i morsetti <math>V_{AB}</math> sul percorso <math>\Gamma_{AB}</math>, inoltre è evidenziata la corrente entrante <math>I_A</math> e uscente <math>I_B</math> con le relative superfici orientate <math>\mathbf S_A</math> e <math>\mathbf S_B</math>.]]

Un bipolo è un elemento costituito dall'unione tra una [[superficie chiusa]] e una porta elettrica formata da due [[Conduttore elettrico|conduttori]] aventi per estremi una coppia ordinata di [[Morsetto (elettrotecnica)|morsetti]] <math>\{A,B\}</math> in regime quasi stazionario. Da questa definizione derivano le due proprietà fondamentali del bipolo: la [[tensione elettrica|tensione]] tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è uguale in modulo a quella uscente.<ref>{{Cita|Morando, Leva|pp. 7-8}}.</ref>

In regime quasi stazionario il [[campo elettrico]] <math>\mathbf{E}</math> è un [[campo vettoriale conservativo]] infatti <math>\nabla \times \mathbf{E} = 0</math> ed è quindi esprimibile come [[gradiente]] di un [[potenziale scalare]], il [[potenziale elettrico]]: <math>\mathbf{E} =-\nabla V</math>. In forma globale si ha allora che l'integrale tra <math>\{A,B\}</math> sul cammino <math>\Gamma_{AB}</math> per il [[teorema del gradiente]] è:

<math>\int_{\Gamma_{AB}} \mathbf E \cdot {\mathrm{d}\mathbf l} =\int_A^B -\nabla V \cdot {\mathrm{d}\mathbf l} = V_A-V_B </math>

La [[Tensione elettrica|tensione]] <math>V_{AB}</math> ai morsetti del bipolo allora è pari alla [[differenza di potenziale elettrico]] tra le due [[Superficie di livello|superfici di livello]] passanti per i morsetti <math>\{A,B\}</math> ed è indipendente dal cammino di integrazione <math>\Gamma_{AB}</math>.<ref name=":0">{{Cita|Morando, Leva|p. 305}}.</ref>

In regime quasi stazionario l'unica corrente presente è quella di conduzione che è determinata dal campo di [[Densità di corrente elettrica|densità di corrente]] delle cariche libere <math>\mathbf J_f</math>. Si ottiene allora che la corrente di conduzione <math>I_A</math> entrante nel morsetto <math>A</math> con sezione <math>\mathbf S_A</math> di superficie <math>S_A</math> e orientamento [[Normale (superficie)|normale]] è pari a meno del segno alla corrente <math>I_B</math> uscente dal morsetto <math>B</math> di sezione <math>\mathbf S_B</math>:<ref name=":0" />

<math>I_A=\int_{S_A}{\mathbf J_f}\cdot {\mathrm{d}\mathbf S}=-\int_{S_B}{\mathbf J_f}\cdot {\mathrm{d}\mathbf S}=-I_B</math>

Siccome la superficie chiusa del bipolo è impermeabile a ogni fenomeno elettromagnetico allora agli effetti esterni questo è completamente identificato dalla conoscenza della tensione e della corrente ai suoi morsetti, unici punti in cui il bipolo può comunicare attraverso fenomeni elettromagnetici con l'esterno.<ref name=":0" />

== Legame costitutivo ==

Il comportamento agli effetti esterni di un bipolo è completamente definito dal legame costitutivo che intercorre tra le funzioni rispetto al tempo di [[Tensione elettrica|tensione]] <math>v(t)</math> e [[Corrente elettrica|corrente]] <math>i(t)</math>. Se il legame è definito da:

:<math>f(V,I) = 0</math>

eallora il bipolo si dice stazionario. Se invece la caratteristica tensione-corrente è della forma:

:<math>f(v(t),i(t), d/dt, \int dt) = 0 </math>

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:<math>i = g(v)</math>

=== Bipolo lineare ===

Ebbene a seconda della caratteristica il bipolo è lineare se la caratteristica è lineare cioè della forma (per esempio):

:<math>v = k \cdot i</math>

Che su un diagramma tensione-corrente rappresenta appunto, una retta passante per l'origine.

e valgono le proprietà dell'additività e dell'omogeneità:

Valgono inoltre le proprietà dell'additività e dell'omogeneità (proprietà degli omomorfismi):

:<math>f(i_1 + i_2) = f(i_1) + f(i_2)</math>

:<math>f(i_1 + i_2) = f(i_1) + f(i_2)</math>

:<math>f(\alpha i ) = \alpha f(i)</math>

con <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>.

== Analisi termodinamica ==

Ovviamente in generale un bipolo non è lineare.

== Energia di un bipolo ==

{{Vedi anche|Potenza elettrica}}

Un bipolo è assimilabile a un [[sistema termodinamico]] che scambia [[lavoro elettrico]] <math>L_e</math> con l'esterno tramite i suoi morsetti, mentre tramite la sua superficie chiusa scambia [[Lavoro (fisica)|lavoro non elettrico]] <math>L</math> in modo reversibile e [[calore]] <math>Q</math>. Secondo il [[primo principio della termodinamica]] allora definite l'[[energia potenziale elettrica]] <math>U_e</math> e l'[[Energia potenziale elettrica|energia magnetica]] <math>U_m</math> accumulate nel bipolo si ha che:<ref>{{Cita|Morando, Leva|p. 16}}.</ref>

<math>\delta{L_e}=\delta Q+\mathrm{d}U_e+\mathrm{d}U_m-\delta{L}</math>

In generale nel bipolo si ha trasformazione di energia, quindi si deve avere un modo per calcolare tali trasformazioni. Se ne può calcolare l'energia scambiata nell'unità di tempo, cioè la potenza per un bipolo:

Definita la potenza elettrica <math>p=vi</math> allora il lavoro elettrico scambiato da un bipolo è <math>\delta{L_e}=p \ \mathrm{d}t=vi \ \mathrm{d}t</math>.

:<math>p(t) = v(t) \cdot i(t) = \frac{dW}{dt}</math>

=== Bipoli perfetti ===

dove <math>W</math> è il [[lavoro]]. Ogni bipolo produce trasformazioni energetiche differenti: immagazzinamento e successivo rilascio di energia, trasformazione (irreversibile) di energia in varie forme, conversione di energia in lavoro.

==== Bipolo resistivo ====

Bipolo che trasforma irreversibilmente il lavoro elettrico in [[calore]].

<math>\delta{L_e}=\delta Q</math>

=== Bipolo attivo e passivo ===

A seconda della trasformazione energetica o in generale dell'energia associata ad un bipolo, questo può essere attivo o passivo. Consideriamo un bipolo e calcoliamo l'energia tra due istanti di tempo <math>t_0, t</math>:

Il [[componente elettrico]] corrispondente è il [[resistore]]. Si tratta di un bipolo lineare e passivo in quanto la sua potenza è sempre assorbita. L'energia del resistore è trasformata in calore irreversibilmente per [[effetto Joule]]. L'equazione costitutiva che caratterizza un resistore attraversato da una [[corrente elettrica]] ''i'' e sottoposto ad una [[tensione elettrica]] ''v'' risulta essere:

:<math>\Delta W = \int_{t_0}^{t} p(t) \, dt</math>

<math>v=Ri</math>

ebbene se tale energia è sempre positiva data la convenzione dell'utilizzatore: <math>\Delta W \geqslant 0</math> allora il bipolo è detto passivo (strettamente passivo se <math>\Delta W>0</math>), cioè il bipolo assorbe energia. Viceversa se <math>\Delta W \leqslant 0</math> allora il bipolo eroga ( ossia attua un assorbimento negativo di ) energia ed è detto attivo (strettamente attivo se <math>\Delta W<0</math>). Il caso <math>\Delta W = 0</math> è un caso particolare che implica che il bipolo conserva l'energia.

==== BipoliBipolo ideali passivicapacitivo ====

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in [[energia potenziale elettrica]].

<math>\delta{L_e}=\mathrm{d}U_e</math>

I bipoli in generale sono di vari tipi. Alcuni tra i più importanti sono il [[resistore]], il [[condensatore (elettrotecnica)|condensatore]] e l'[[induttore]]. Mentre il generatore ideale indipendente è un chiaro esempio di bipolo attivo.

Il [[componente elettrico]] corrispondente è il [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]]. Tra i bipoli dinamici vi sono i condensatori con caratteristica dinamica:

=== Resistore ===

Il bipolo più noto e utilizzato è il [[resistore]] che è un bipolo lineare e passivo in quanto la sua potenza è sempre positiva. L'energia del resistore è trasformata in calore irreversibilmente per [[effetto Joule]].

<math>i(t) = C \cdot \frac{dv(t)}{dt}</math>

=== Generatore ideale (indipendente) ===

{{Vedi anche|Generatore elettrico}}

dove <math>C</math> è la [[capacità_elettrica|capacità]]. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo <math>t_0</math> della tensione. Inoltre il condensatore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere <math>p(t) = 0</math>. In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Gli elementi che forniscono energia sotto forma di tensione sono i generatori: in particolare il [[generatore di tensione]] ideale e il [[generatore di corrente]] ideale. Essi sono detti ideali perché teoricamente possono fornire tensioni o correnti indefinitamente nel tempo e senza dissipazione. In realtà questo non è mai vero. Le caratteristiche del generatore sono lineari e quindi il bipolo generatore è lineare, inoltre essi possono fornire energia o anche dissiparla e quindi sono bipoli attivi ma anche passivi.

==== BipoliBipolo ideali dinamiciinduttivo ====

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in [[energia magnetica]] e il [[componente elettrico]] corrispondente è l'[[induttore]].

<math>\delta{L_e}=\mathrm{d}U_m</math>

Sono quei bipoli per i quali i valori delle grandezze elettriche dipendono da tutti i loro valori precedenti.

Il [[componente elettrico]] corrispondente è l'[[induttore]]. Tra i bipoli dinamici vi sono gli induttori con caratteristica dinamica:

=== Condensatore ===

{{Vedi anche|Condensatore (elettrotecnica)}}

Tra i bipoli dinamici vi sono i condensatori con caratteristica dinamica:

:<math>iv(t) = CL \cdot \frac{dvdi(t)}{dt}</math>

dove <math>CL</math> è la l'[[capacità_elettrica|capacitàinduttanza]]. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo <math>t_0</math> della tensionecorrente. Inoltre il condensatorel'induttore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere <math>p(t) = 0</math>. In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

==== InduttoreBipolo convertitore ====

Bipolo che trasforma reversibilmente lavoro elettrico in lavoro non elettrico.

{{Vedi anche|Induttore}}

Tra i bipoli dinamici vi sono gli induttori con caratteristica dinamica:

:<math>v(t) \delta{L_e}=-\delta L \cdot \frac{di(t)}{dt}</math>

Il [[componente elettrico]] corrispondente è l'[[Utilizzatore elettrico|utilizzatore]] nel caso di lavoro elettrico assorbito o il [[Generatore ideale|generatore]] nel caso di lavoro elettrico generato. Gli elementi che forniscono energia sotto forma di tensione sono i generatori: in particolare il [[generatore di tensione]] ideale e il [[generatore di corrente]] ideale. Essi sono detti ideali perché teoricamente possono fornire tensioni o correnti indefinitamente nel tempo e senza dissipazione. In realtà questo non è mai vero. Le caratteristiche del generatore sono lineari e quindi il bipolo generatore è lineare, inoltre essi possono fornire energia o anche dissiparla e quindi sono bipoli attivi ma anche passivi.

dove <math>L</math> è l'[[induttanza]]. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo <math>t_0</math> della corrente. Inoltre l'induttore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere <math>p(t) = 0</math>. In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

=== Bipoli attivi e passivi ===

A seconda della trasformazione energetica o in generale dell'energia associata ad un bipolo, questo può essere attivo o passivo. Consideriamo un bipolo e calcoliamo l'energia tra due istanti di tempo <math>t_0, t</math>:

: <math>\Delta W = \int_{t_0}^{t} p(t) \, dt</math>

ebbene se tale energia è sempre positiva data la convenzione dell'utilizzatore: <math>\Delta W \geqslant 0</math> allora il bipolo è detto passivo (strettamente passivo se <math>\Delta W>0</math>), cioè il bipolo assorbe energia. Viceversa se <math>\Delta W \leqslant 0</math> allora il bipolo eroga (ossia attua un assorbimento negativo di energia) ed è detto attivo (strettamente attivo se <math>\Delta W<0</math>). Il caso <math>\Delta W = 0</math> è un caso particolare che implica che il bipolo conserva l'energia.

== Note ==

<references />

== Bibliografia ==

* {{Cita libro|autore=Adriano Paolo Morando|autore2=Sonia Leva|titolo=Elettrotecnica reti campi|edizione=2|annooriginale=1998|anno=2001|editore=Società Editrice Esculapio|città=Bologna|cid=Morando, Leva|ISBN=88-86524-21-8}}

== Voci correlate ==

* [[PoloMorsetto (elettrotecnica)]]

* [[Teoria dei circuiti]]

* [[Resistore]]

Riga 102 ⟶ 140:

* [[Tensione elettrica]]

* [[Corrente elettrica]]

== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

* {{ThesaurusCollegamenti BNCFesterni}}

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[[Categoria:Teoria dei circuiti]]