Teoria del caos: differenze tra le versioni

Versione delle 17:17, 10 nov 2014

Versione attuale delle 12:14, 22 set 2025

(192 versioni intermedie di 89 utenti non mostrate)

Riga 1:

[[File:Lorenz attractor yb.svg|thumbminiatura|[[Attrattore di Lorenz]]]]

[[File:Mandelbrot sequence new.gif|miniatura|Animazione della struttura del [[frattale]] [[Insieme di Mandelbrot|di Mandelbrot]]]]

[[File:Streichholz.jpg|thumb|Fumo di un fiammifero acceso]]

LaIn [[matematica]] la '''teoria del caos''' è lo studio, attraverso [[modello matematico|modelli]] propri della [[fisica matematica]], dei [[Sistemasistema (fisica)dinamico|sistemi fisicidinamici]] che esibiscono una sensibilità [[esponenziale]] rispetto alle [[Condizione al contorno|condizioni iniziali]].<ref name=ott>{{cita libro|cognome = Edward |nome = Ott| titolo = Chaos in Dynamical Systems| pagine pp= 15-19 | editore = Cambridge University Press | anno = 2002}}</ref> I sistemi di questo tipo, sonopur governati da [[Legge fisica|leggi]] [[determinismo|deterministiche]], eppure sono in grado di esibire una un'empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche.<ref>{{cita web|httpurl=https://www.britannica.com/EBchecked/topic/106013/chaos-theory|titolo=chaos theory|accesso=22 gennaio 2012}}</ref> Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale [[asintoto|asintotico]] di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.<ref name=ott />

== Storia ==

[[File:Streichholz.jpg|miniatura|Fumo di un [[fiammifero]] acceso]]

[[Storia della scienza|Storicamente]] la nascita dello studio dei fenomeni caotici si ha con il [[problema dei tre corpi]], un [[problema della dinamica|problema di dinamica]] della [[fisica matematica]] applicato alla [[meccanica celeste]], affrontato in primis dai [[matematico|matematici]] [[Joseph-Louis Lagrange]] e [[Henri Poincaré]].

La nascita vera e propria di questa teoria scientifica, come corpo di conoscenze esteso, si verifica però nel 1963, quando [[Edward Norton Lorenz]] pubblica il suo articolo ''Deterministic Nonperiodic Flow'', nel quale tratta del comportamento caotico in un sistema semplice e deterministico, con la formazione di un [[attrattore strano]].

== Teoria ==

Un sistema dinamico si dice '''caotico''' se presenta le seguenti caratteristiche:

Negli anni successivi numerose scoperte in questo ambito fatte da [[Mitchell Feigenbaum]], che scoprì l'universalità di alcune costanti a partire da uno studio sull'[[mappa logistica|applicazione logistica]], lo portarono ad una teoria sullo sviluppo della turbolenza nei fluidi. Il matematico belga [[David Ruelle]] e il fisico olandese [[Floris Takens]] furono i pionieri della teoria degli attrattori strani.

* ''Sensibilità alle condizioni iniziali'', ovvero a variazioni infinitesime delle [[condizioni iniziali]] (o, genericamente, degli '''ingressi''') corrispondono variazioni finite in uscita. Come esempio banale: il fumo di più fiammiferi accesi in condizioni macroscopicamente molto simili (pressione, temperatura, correnti d'aria) segue traiettorie di volta in volta molto differenti.

== Descrizione ==

* ''Imprevedibilità'', cioè non si può prevedere in anticipo l'andamento del sistema su tempi lunghi rapportati al tempo caratteristico del sistema a partire da assegnate condizioni al contorno.

Nell'uso comune, "''caos''" significa "''stato di disordine''". Tuttavia, nella teoria del caos, il termine viene definito con maggiore precisione. Anche se non esiste una definizione matematica universalmente accettata di ''caos'', una definizione comunemente utilizzata afferma che un [[sistema dinamico]] deve avere le seguenti caratteristiche per essere classificato come caotico:<ref>{{cita libro|titolo=A First Course in Dynamics: With a Panorama of Recent Developments|url=https://archive.org/details/firstcourseindyn0000hass|autore=Hasselblatt, Boris|coautore=Anatole Katok|anno=2003|editore=Cambridge University Press|isbn=0-521-58750-6}}</ref>

# deve essere sensibile alle [[condizioni iniziali]];

* {{chiarire|L' ''evoluzione'' del sistema è descritta, nello [[spazio delle fasi]], da innumerevoli ''orbite'' ('traiettorie di stato'), diverse tra loro con evidente componente [[processo stocastico|stocastica]] agli occhi di un osservatore esterno, e che restano tutte confinate entro un certo spazio definito: il sistema cioè non evolve verso l'infinito per nessuna variabile; si parla in questo caso di ''attrattori'' o anche di ''caos-deterministico''.|frase senza senso}}

# deve esibire la [[transitività topologica]];

# deve avere un [[insieme denso]] di [[Orbita (matematica)|orbite periodiche]].

=== Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali ===

Le caratteristiche sopra esposte sono in generale tutte necessarie per definire il sistema ''caotico''. La sensibilità dalle condizioni iniziali è talvolta parafrasata come "Il minimo battito d'ali di una farfalla è in grado di provocare un uragano dall'altra parte del mondo, "<ref>{{cita web|url=http://fractalfoundation.org/resources/what-is-chaos-theory/|titolo=What is Chaos Theory?|accesso=28 aprile 2012}}</ref> esprimendo il concetto conosciuto anche con il nome [[effetto farfalla]].

{{vedi anche|Effetto farfalla}}

''Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali'' significa che, in un sistema caotico, a variazioni infinitesime delle [[condizioni iniziali]] corrispondono variazioni significative del comportamento futuro. In altre parole, ogni configurazione di un sistema caotico è arbitrariamente vicina ad un'altra con una traiettoria futura completamente diversa.

La sensibilità alle condizioni iniziali è comunemente nota come "effetto farfalla", effetto così chiamato per via del titolo di una relazione presentata da [[Edward Norton Lorenz]] nel 1972 all'Associazione Americana per l'Avanzamento della Scienza a Washington, DC, dal titolo ''La prevedibilità: Il battere delle ali di una farfalla in Brasile provoca un tornado in Texas?''.<ref>{{cita web|titolo=1972/Lorenz|url=http://eaps4.mit.edu/research/Lorenz/Butterfly_1972.pdf|autore=Edward Norton Lorenz|data=21 maggio 2015|accesso=21 maggio 2015|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20130612164541/http://eaps4.mit.edu/research/Lorenz/Butterfly_1972.pdf|urlmorto=sì}}</ref> Il movimento delle ali di una farfalla rappresenta un piccolo cambiamento nella condizione iniziale del sistema il quale provoca una catena di eventi che portano a fenomeni di scala sempre più vasta. Se la farfalla non avesse sbattuto le ali, la traiettoria del sistema sarebbe stata molto diversa.

Ad esempio la [[mappa lineare]] di tipo ricorsivo:

[[File:A tornado near Anadarko, Oklahoma, on May 3, 1999.jpg|miniatura|upright=1.4|Una [[tromba d'aria]] in [[Oklahoma]]. Il [[tempo meteorologico]] è un classico esempio di sistema caotico.]]

È stato dimostrato che in alcuni casi le ultime due proprietà elencate sopra effettivamente implicano sensibilità alle condizioni iniziali<ref>{{cita libro |autore=Elaydi, Saber N. |titolo=Discrete Chaos |editore=Chapman & Hall/CRC |anno=1999 |isbn=1-58488-002-3 |p=117 }}</ref><ref>{{cita libro |autore=Basener, William F. |titolo=Topology and its applications |editore=Wiley |anno=2006 |isbn=0-471-68755-3 |p=42 }}</ref> e, se l'attenzione è limitata a intervalli, la seconda proprietà implica le altre due<ref>{{cita pubblicazione |autore=Vellekoop, Michel; Berglund, Raoul |titolo=On Intervals, Transitivity = Chaos |rivista=The American Mathematical Monthly |volume=101 |edizione=4 |pp=353-5 |data=aprile 1994 |jstor=2975629 |doi=10.2307/2975629}}</ref> (un'alternativa, e in generale più debole, definizione di caos utilizza solo le prime due proprietà in lista sopra).<ref>{{cita libro |autore=Medio, Alfredo; Lines, Marji |titolo=Nonlinear Dynamics: A Primer |editore=Cambridge University Press |anno=2001 |isbn=0-521-55874-3 |p=165 }}</ref> È interessante notare che la proprietà con conseguenze pratiche più significative, la sensibilità alle condizioni iniziali, è ridondante nella definizione, poiché implicita in due (o per gli intervalli, una) proprietà puramente [[topologia|topologiche]] che sono quindi di maggiore interesse per i matematici.

:<math>x_{(n+1)}=2x_{n}</math>

Se si hanno solo pochi dati dello stato del sistema su cui basarsi, come spesso succede nelle simulazioni dei sistemi climatici, per via della sensibilità alle condizioni iniziali possono essere fatte previsioni che sono affidabili solo entro un certo intervallo di tempo. Per le previsioni del tempo atmosferico di solito questo intervallo è di circa una settimana.<ref name="RGW">{{cita libro |autore=Watts, Robert G. |titolo=Global Warming and the Future of the Earth |url=https://archive.org/details/globalwarmingfut00watt_399 |editore=Morgan & Claypool |anno=2007 |pp=[https://archive.org/details/globalwarmingfut00watt_399/page/n22 17] }}</ref> Questo non vuol dire che non ci siano limiti prevedibili per il sistema: ad esempio per le previsioni climatiche possiamo dire che la temperatura sulla Terra non sarà mai tale da far bollire gli oceani o da farli ghiacciare; tuttavia, pur sapendo che la temperatura aumenta e diminuisce durante l’anno, non possiamo prevedere esattamente quando e quanto. Una caratteristica peculiare di un sistema caotico, sebbene deterministico, è quindi l'apparente impredicibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali.

è sensibile alle condizioni iniziali (due valori di <math>x</math> leggermente diversi si evolvono divergendo e aumentando la loro distanza), ma il suo andamento è prevedibile e le variabili evolvono verso l'infinito, cioè dopo un numero sufficientemente alto di passaggi <math>x_{n}</math> diviene maggiore quanto vogliamo. Quindi non ha un comportamento caotico.

In termini più matematici, l'[[esponente di Ljapunov]] misura il grado di sensibilità alle condizioni iniziali. Date due traiettorie di partenza nello [[spazio delle fasi]] infinitamente vicine con separazione iniziale <math>\delta \mathbf{Z}_0</math>, queste divergono nel futuro al tasso esponenziale di

Mentre la mappa non-lineare sempre di tipo ricorsivo:

:<math>x_| \Delta \mathbf{Z} (n+1t)}=4x_ | \approx e ^ {n\lambda t}(1-x_ | \delta \mathbf{nZ})_0 | </math>

dove <math>t</math> è il tempo e <math>\lambda</math> è l'esponente di Ljapunov.

è sensibile alle condizioni iniziali, non ha andamento prevedibile e, per valori di <math>x</math>

iniziali tra 0 e 1, rimane confinata in uno spazio finito (tra 0 e 1), quindi esibisce un comportamento caotico. Questa semplice equazione viene chiamata [[mappa logistica]], e descrive matematicamente la crescita di una popolazione nel tempo. Il fatto che il valore di <math>x_{n},</math> sia limitato indica il fatto che una qualunque popolazione non può crescere indefinitamente, dal momento che ha a disposizione una quantità di risorse necessariamente limitata.

La velocità di separazione dipende dall'orientamento del vettore separazione iniziale, per cui vi è un intero spettro di esponenti di Ljapunov. Il numero di esponenti di Ljapunov è uguale al numero di dimensioni dello spazio delle fasi, anche se è comune riferirsi solo al più grande di essi. Per esempio, l'esponente di Ljapunov massimo è più spesso utilizzato perché determina la prevedibilità complessiva del sistema. Un esponente di Ljapunov massimo positivo è generalmente considerato come un'indicazione che il sistema è caotico.

Dal punto di vista dell'orbita del sistema nello spazio delle fasi, un sistema caotico presenta spesso una dinamica caratterizzata da un [[attrattore strano]], ma ciò non è da considerarsi una regola assoluta. Ad esempio la seconda mappa lineare presentata sopra non è caratterizzata da un attrattore strano, in quanto nello spazio delle fasi l'orbita può non essere infinita ma ciclica (mentre un attrattore strano ha sempre orbita di infinita lunghezza). Così pure il sistema caotico del "[[gatto di Arnold]]" ha orbite cicliche e non infinite. Una caratteristica peculiare di un sistema caotico, sebbene deterministico, è l'apparente impredicibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali: un piccolo errore nella conoscenza dello stato del sistema in un certo istante può provocare un errore anche grande nelle previsioni a medio e lungo termine.

=== Transitività topologica ===

Un sistema caotico autonomo è necessariamente [[sistema non lineare|non lineare]].

[[File:Chaos Topological Mixing.png|miniatura|La mappa definita da <span style="white-space: nowrap;">''x'' → 4 ''x'' (1 – ''x'')</span> e <span style="white-space: nowrap;">''y'' → ''x'' + ''y'' [[Modulo (algebra)|mod]] 1</span> esibisce la transitività topologica. Nella figura una regione blu è trasformata dalla dinamica nella regione viola, poi nelle regioni rosa e rossa, e alla fine in una nube di punti distribuita e sparsa nello spazio.]]

Inoltre, se il tempo varia con continuità, lo spazio degli stati deve avere dimensione almeno 3; per i sistemi a tempo discreto, invece, è sufficiente un'unica variabile di stato.

La ''[[transitività topologica]]'' è una proprietà che implica che il sistema evolverà nel tempo in modo che ogni data regione o [[insieme aperto]] nel suo spazio delle fasi si sovrapporrà con qualsiasi altra regione data. In sostanza, le traiettorie del sistema dinamico caotico transiteranno nell'intero spazio delle fasi man mano che il tempo evolverà (da qui "transitività topologica": ogni regione dello spazio delle fasi di dominio del sistema dinamico verrà raggiunta da un'orbita prima o poi). Questo concetto matematico di "mescolamento" corrisponde all'intuizione comune fornita ad esempio dalla dinamica caotica della miscela di due fluidi colorati.

La transitività topologica è spesso omessa dalle presentazioni divulgative della teoria del caos, che definiscono il caos con la sola sensibilità alle condizioni iniziali. Tuttavia, la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali da sola non dà il caos. Per controesempio, consideriamo il semplice sistema dinamico prodotto da raddoppiare ripetutamente un valore iniziale. Questo sistema ha la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali ovunque, dal momento che qualsiasi coppia di punti vicini alla fine diventerà ampiamente separata. Tuttavia, questo esempio non ha la transitività topologica e quindi non è caotico. Infatti, ha un comportamento estremamente semplice: tutti i punti tranne 0 tenderanno a infinito positivo o negativo.

Comportamenti caotici si incontrano in [[meteorologia]] (attrattore di Lorentz), [[climatologia]], [[fluidodinamica]] ([[turbolenza]]), teoria del [[laser]], [[ecologia]].

=== Densità delle orbite periodiche ===

Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici:

Affinché un sistema caotico abbia un ''[[insieme denso]] di orbite periodiche'', ogni punto nello spazio deve essere arbitrariamente vicino ad un'orbita periodica. La mappa logistica unidimensionale definita da <math>x \rightarrow 4 x (1 - x)</math> è uno dei più semplici sistemi con un insieme denso di orbite periodiche. Ad esempio, <math>\tfrac {5- \sqrt{5}} {8} \rightarrow \tfrac{5+ \sqrt {5}} {8} \rightarrow \tfrac{5- \sqrt{5}} {8}</math> (uguale a circa 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) è un'orbita instabile di periodo di 2, ed esistono orbite simili per periodi di 4, 8, 16, ecc, cioè per tutti i periodi indicati dal [[teorema di Sharkovsky]].<ref>{{cita|Alligood Sauer Yorke, 1997}}.</ref>

Il teorema di Sharkovskii è alla base della dimostrazione di Li e [[James Yorke|Yorke]]<ref>{{cita pubblicazione |autore=Li, T.Y. |coautore=Yorke, J.A. |titolo=Period Three Implies Chaos |rivista=[[American Mathematical Monthly]] |volume=82 |pp=985-92 |anno=1975 |url=http://pb.math.univ.gda.pl/chaos/pdf/li-yorke.pdf |formato=PDF |doi=10.2307/2318254 |numero=10 |accesso=21 maggio 2015 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20091229042210/http://pb.math.univ.gda.pl/chaos/pdf/li-yorke.pdf |urlmorto=sì }}</ref> (1975) che qualsiasi sistema monodimensionale che presenta un ciclo regolare di periodo di tre visualizzerà anche cicli regolari di ogni altra lunghezza nonché orbite completamente caotiche.

=== Attrattori strani ===

{{vedi anche|Attrattore}}

[[File:TwoLorenzOrbits.jpg|miniatura|upright=1.4|L'[[attrattore di Lorenz]] mostra un andamento caotico. Questi due grafici dimostrano la sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali all'interno di una regione dello [[spazio delle fasi]] chiamata appunto ''attrattore''.]]

Qualche sistema dinamico, come la [[mappa logistica]] monodimensionale definita da <math>x \mapsto 4x(1-x)</math>, mostra comportamenti caotici che si estendono in tutto lo spazio delle fasi, tuttavia è possibile che l'andamento caotico sia confinato solo in certe regioni di esso. Il caso di maggior interesse sorge quando un largo insieme delle configurazioni iniziali tende a convergere in una delimitata regione di spazio, l'[[attrattore]], dove avvengono fenomeni caotici.

La regione di spazio delimitata dall'attrattore può avere dimensione intera, ma sorprendentemente questa non è l'unica possibilità. L'attrattore strano è un attrattore con [[dimensione di Hausdorff]] non intera<ref>{{Cita web|cognome=Ott|nome=Edward|url=http://users-phys.au.dk/fogedby/chaos/Ott81.pdf|titolo=Strange attractors and chaotic motions of dynamical systems|anno=1981|p=15|accesso=26 gennaio 2012|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20160305053316/http://users-phys.au.dk/fogedby/chaos/Ott81.pdf|urlmorto=sì}}</ref>. La dimensione degli attrattori è difficile da calcolare analiticamente e spesso viene stimata con simulazioni al computer. Per esempio la dimensione di Hausdorff dell'attrattore generato dalla [[Attrattore di Hénon|mappa di Hénon]] è uguale a 1,26.

Un modo semplice per visualizzare un attrattore caotico consiste nel partire con un punto nel [[Attrattore|bacino di attrazione]] dell'attrattore e quindi seguire la conseguente traiettoria. Dato che è valida la condizione di transitività topologica, questo equivale a produrre un'immagine dell'intero attrattore finale. Un esempio famoso di questo attrattore è quello di [[Attrattore di Lorenz|Lorenz]], la sua forma somiglia a quella di una farfalla.

Al contrario dei [[punto fisso|punti fissi]], cioè attrattori monodimensionali, e dei cicli limite, con due dimensioni o più, gli attrattori che emergono dai sistemi caotici sono ricchi di dettagli e complessità e somigliano spesso a dei [[frattale|frattali]]. Strutture frattaliche possono emergere anche considerando la forma e il bordo di un [[Attrattore|bacino di attrazione]] di un attrattore, come ad esempio l'[[insieme di Julia]].

=== Transizione al caos ===

[[File:LogisticMap BifurcationDiagram.png|thumb|[[Mappa logistica]]]]

Esistono due tipi principali di transizioni in cui i sistemi dinamici passano da un comportamento regolare ad un comportamento caotico:

* Transizione al caos per raddoppiamento di periodo (es. [[mappa logistica]]) nel quale abbiamo una transizione al caos dovuta al raddoppiamento del periodo del [[ciclo limite]] che viene creato da una [[biforcazione di Hopf]] iniziale. In questo caso ([[Mitchell Feigenbaum|Feigenbaum]] 1978) succede che dal punto fisso stabile nasce un'orbita stabile di periodo 2 (ciclo limite). Quando quest'orbita di periodo 2 diventa instabile da essa nasce un'orbita di periodo 4 e così via. La successione dei valori del parametro di controllo del sistema nei quali i diversi cicli limite così creati passano da stabili a instabili ha [[punto di accumulazione]] e tale punto di accumulazione è il punto in cui il sistema transisce al caos.

* Transizione al caos per [[intermittenza]] nel quale si ha che superato il valore critico del parametro del controllo del sistema si ha ancora un comportamento regolare del sistema intervallato però da dei ''burst'' caotici. La durata di questi burst caotici aumenta all'aumentare del valore del parametro di controllo del sistema. Di questa transizione esistono 3 sottocategorie: [[biforcazione a nodo sella]], [[biforcazione di Hopf inversa]] e [[period doubling inverso]].

=== Esempi ===

[[File:Double-Pendulum.svg|thumb|[[Doppio pendolo]]]]

Comportamenti caotici si incontrano in [[meteorologia]] ([[attrattore di Lorenz]]), [[climatologia]], [[fluidodinamica]] ([[turbolenza]]), teoria del [[laser]], [[ecologia]].

Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici con transizione al caos:

* Sistemi discreti

** [[mappa logistica]]

** [[attrattore di Hénon]]

** [[mappa di Poincaré]]

* Sistemi continui

** [[doppio pendolo]]

** [[attrattore di Lorenz]]

** [[attrattore di Rössler]]

===Attrattore strano===

[[File:TwoLorenzOrbits.jpg|thumb|upright=1.4|L'[[attrattore di Lorenz]] mostra un andamento caotico. Questi due plot dimostrano la sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali all'interno di una regione dello spazio delle fasi chiamata attrattore.]]

Qualche sistema dinamico, come la [[mappa logistica]] monodimensionale definita da <span style="white-space: nowrap;">''x'' → 4 × (1 – ''x''),</span> mostra comportamenti caotici che si estendono in tutto [[spazio delle configurazioni]], tuttavia è possibile che l'andamento caotico sia confinato solo in certe regioni di esso. Il caso di maggior interesse sorge quando un largo insieme delle configurazioni iniziali tende a convergere in una delimitata regione di spazio, l'[[attrattore]], dove avvengono fenomeni caotici.

La regione di spazio delimitata dall'attrattore può avere dimensione intera, ma sorprendentemente questa non è l'unica possibilità. L'attrattore strano è un attrattore con [[dimensione di Hausdorff]] non intera<ref>{{Cita web|cognome=Ott|nome=Edward|url=http://users-phys.au.dk/fogedby/chaos/Ott81.pdf|titolo=Strange attractors and chaotic motions of dynamical systems|anno= 1981|pagina=15|accesso= 26 gennaio 2012}}</ref>. La dimensione degli attrattori è difficile da calcolare analiticamente e spesso viene stimata con simulazioni al computer. Per esempio la dimensione di Hausdorff dell'attrattore generato dalla [[Attrattore di Hénon|mappa di Hénon]] è uguale a 1.26.

Un modo semplice per visualizzare un attrattore caotico consiste nel partire con un punto nel [[Attrattore|bacino di attrazione]] dell'attrattore e quindi seguire la conseguente traiettoria. Dato che è valida la condizione di transitività topologica, questo equivale a produrre una immagine dell'intero attrattore finale. Un esempio famoso di questo attrattore è quello di [[Attrattore di Lorenz|Lorenz]], la sua forma somiglia a quella di una farfalla.

Al contrario dei [[punto fisso|punti fissi]], cioè attrattori monodimensionali, e dei cicli limite, con due dimensioni o più, gli attrattori che emergono dai sistemi caotici sono ricchi di dettagli e complessità e somigliano spesso a dei [[frattale|frattali]]. Strutture frattaliche possono emergere anche considerando la forma e il bordo di un [[Attrattore|bacino di attrazione]] di un attrattore, come ad esempio l'[[insieme di Julia]].

== Applicazioni ==

La teoria del caos si applica in molte discipline scientifiche: [[matematica]], [[fisica]], [[chimica]], [[biologia]], [[Dinamica delle popolazioni|dinamica di popolazione]], [[informatica]], [[geologia]], [[ingegneria]], [[economia]], [[finanza]], [[filosofia]], [[politica]], [[psicologia]], e [[robotica]].<ref>{{cita web|sito=Metaculture.net, [|url=http://metalinks.metaculture.net/science/fractal/applications/default.asp|titolo= metalinks|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20071128010730/http://metalinks.metaculture.net/science/fractal/applications/default.asp|data=28 Applied Chaos],novembre 2007.|lingua=en}}</ref>

La teoria del caos viene attualmente applicata anche allo studio medico dell'[[epilessia]] e specificamente alla predizione di attacchi apparentemente casuali attraverso l'osservazione delle condizioni iniziali.<ref>{{cita web|sito=Comdig.org, [|url=http://www.comdig.org/index.php?id_issue=1999.06#194 |titolo=Complexity Digest 199.06]|lingua=en|accesso=13 novembre 2007|dataarchivio=29 settembre 2011|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20110929025952/http://www.comdig.org/index.php?id_issue=1999.06#194|urlmorto=sì}}</ref>

=== Applicazione nella finanza ===

Riga 69 ⟶ 90:

Secondo i teorici gli investitori non reagiscono alle informazioni man mano che le ricevono, ma hanno memoria dei fatti passati, di quello che è accaduto. I mercati funzionano secondo un'ottica dinamica e non lineare. Viene contestato anche l'''indice beta'', per le difficoltà che incontra da solo a misurare il rischio di un titolo. Troppi sono i fattori che possono inficiarlo e le diverse modalità di calcolo complicano ancora di più la questione. Viene proposta l'esigenza di avere altri indicatori, come l'indicatore ''h'' che distingue una serie casuale da una normale. Se ha valore uguale a 0,5 è casuale, se maggiore sarà di tipo non normale.

== Nella cultura di massa ==

== La teoria del caos nei media e nella fiction ==

Il termine "teoria del caos" ha colpito parte dell'immaginario collettivo ed è entrata a far parte della cultura pop, insieme all'''[[effetto farfalla]]''. Quest'ultimo (inteso come l'influenza di fatti minimi sul corso degli eventi) era già rappresentato in un racconto di [[Ray Bradbury]], ''[[Rumore di tuono]]'', pubblicato nel 1952 e quindi antecedente alla teoria. Questo racconto viene da taluni ritenuto tra i "precursori". Un ulteriore rilevante riferimento letterario è poi il romanzo di [[James Joyce]] ''[[Finnegans Wake]]'', per la creazione del neologismo ''caosmosi'', concetto poi molto utilizzato nella [[filosofia contemporanea]] e estremamente interessante per la sua possibile funzionalizzazione teorica. Un altro esempio è uno dei personaggi del libro di [[Michael Crichton]] ''[[Jurassic Park (romanzo)|Jurassic Park]]'' e del [[Jurassic Park (film)|film che ne venne tratto]], [[Ian Malcolm]], un matematico specializzato nella teoria del caos.

{{F|letteratura|ottobre 2012}}

Il termine "teoria del caos" ha colpito parte dell'immaginario collettivo ed è entrata a far parte della cultura pop, insieme all'''[[effetto farfalla]]''. Quest'ultimo (inteso come l'influenza di fatti minimi sul corso degli eventi) era già rappresentato in un racconto di [[Ray Bradbury]], ''[[Rumore di tuono]]'', pubblicato nel 1952 e quindi antecedente alla teoria. Questo racconto viene da taluni ritenuto tra i "precursori". Un ulteriore rilevante riferimento letterario è poi il romanzo di [[James Joyce]] ''[[Finnegans Wake]]'', per la creazione del neologismo ''caosmosi'',{{citazione necessaria| concetto poi molto utilizzato nella filosofia contemporanea e estremamente interessante per la sua possibile funzionalizzazione teorica.}}

Alcuni dei film in cui si fa riferimento alla teoria del caos e affini sono:

* ''[[Hardware: metallo letale]] (Hardware)'', 1990

* ''[[Jurassic Park (film)|Jurassic Park]]'', 1993

* ''[[Smoking/No Smoking]]'', 1993

* ''[[π - Il teorema del delirio]]'' (''π''), 1998

* ''[[Lola Corre]]'', 1998

* ''[[Sliding Doors]]'', 1998

* ''[[Final Destination]]'', 2000 (e seguiti)

* ''[[The Butterfly Effect (film)|The Butterfly Effect]]'', 2004 (e seguiti)

* ''[[Melinda e Melinda]]'', 2005

* ''[[Match Point]]'', 2005

* ''[[Il risveglio del tuono]]'' (''A Sound of Thunder)'', 2005

* ''[[Primer (film)|Primer]]'', 2004

* ''[[V per Vendetta]]'', 2005

* ''[[Caos (film)|Caos]]'', 2005

* ''[[The Oxford Murders|The Oxford Murders - Teorema di un delitto]]'', 2008

* ''[[S. Darko]]'', 2009

* ''[[Mr. Nobody]]'', 2009

* ''[[Source Code]]'', 2011

* ''[[The Bank - Il nemico pubblico n 1|The Bank]]''

Opere di narrativa in cui si ritrova questo tema sono:

* ''[[Finnegans Wake]] di [[James Joyce]]

* ''[[Jurassic Park (romanzo)|Jurassic Park]]'' e '' [[Il mondo perduto (Michael Crichton)|Il mondo perduto]] (The Lost World)'' di [[Michael Crichton]]

* ''[[Uomini vuoti]]'' di [[Dan Simmons]]

* ''[[La sindrome di Wolverton]]'' di [[Alan D. Altieri]]

* ''[[E se covano i lupi]]'' di [[Paola Mastrocola]]

Altri lavori di finzione che menzionano o riprendono la teoria del caos sono ''[[Arcadia (teatro)|Arcadia]]'' di [[Tom Stoppard]], i manga o anime ''[[xxxHOLiC]]'', ''[[Tsubasa RESERVoir CHRoNiCLE]]'', ''[[Steins;Gate]]'', ''[[Mawaru-Penguindrum|Mawaru Penguindrum]]'' le serie tv ''[[Fringe]]'', ''[[Lost (serie televisiva)|Lost]]'', ''[[Awaken]]'', ''[[Doctor Who]]'', ''[[FlashForward]]'', ''[[Supernatural (serie televisiva)|Supernatural]]'', ''[[Eureka (serie televisiva)|Eureka]]'', ''[[Warehouse 13]]'', ''[[Sanctuary (serie televisiva)|Sanctuary]]'', ''[[CSI: Scena del crimine]]'' (episodio ''[[Episodi di CSI: Scena del crimine (seconda stagione)#La teoria del caos|La teoria del caos]]''), ''[[Castle (serie televisiva)|Castle]]'' (episodio doppio ''[[Episodi di Castle (quarta stagione)#Il progetto Pandora|Il progetto Pandora]]'' e ''[[Episodi di Castle (quarta stagione)#La chiave di Volta|La chiave di Volta]]''), ''[[The Big Bang Theory]]'' (in forma umoristica), i videogiochi ''[[Tom Clancy's Splinter Cell]]'', ''[[Clive Barker's Jericho]], ''[[BioShock Infinite]]''

== Note ==

Riga 107 ⟶ 97:

== Bibliografia ==

* [{{cita web|url=http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=0521663857 |titolo=Badii R., Politi A., ''Complexity: hierarchical structures and scaling physics'', Cambridge University Press, 1997]}}

* {{cita libro|autore1=Bergé P., |autore2=Pomeau Y.|autore3=Vidal, Vidal C.,|wkautore2=Yves ''Pomeau|titolo=L'ordre dans le chaos: vers une approche déterministe de la turbulence'', |editore=Herrmann, |anno=1984|lingua=fr}}

* {{cita libro|autore=Bertagna A., ''[|url=http://www.quodlibet.it/schedap.php?id=1941 |titolo=Il controllo dell'indeterminato. Potëmkin villages e altri nonluoghi]'', |editore=Quodlibet, |città=Macerata |anno=2010|ISBN=978-88-74-62354-9}}

* {{cita libro|autore1=Bertuglia, C. S.|autore2=Vaio, Vaio F., ''|titolo=Non linearità, caos, complessità'', |città=Torino, |editore=Bollati Boringhieri, |anno=2003|ISBN=978-88-33-91768-9}}

* {{cita libro|autore1=Bischi, G. I.|autore2=Carini, Carini R.|autore3=Gardini, Gardini L.|autore4=Tenti, Tenti P., ''|titolo=Sulle orme del caos. Comportamenti complessi in modelli matematici semplici'', |editore=Mondadori, |anno=2004|ISBN=978-88-42-49591-8}}

* {{cita libro|autore1=Coli, M.|autore2=Ercolani, Ercolani A.|autore3=Falco, Falco G. ''|titolo=Modelli di sistemi dinamici ed evoluzione verso il caos''. |editore=Ingegneria 2000, |anno=2001 |ISBN =88-86658-14-1}}

* {{cita libro|autore1=Deleuze, G., |autore2=Guattari, F., ''|capitolo=Dal caos al cervello'', in ''|titolo=Che cos'è la filosofia?'', |città=Torino, |editore=Einaudi, |anno=1996|ISBN=978-88-06-16394-5}}

* {{cita libro|autore1=De Toni, A. F., |autore2=Comello L., ''|titolo=Prede o ragni'', |città=Torino, |editore=Utet Libreria, |anno=2005|ISBN=978-88-60-08268-8}}

* {{cita libro|autore1=De Toni, A. F., |autore2=Comello L., ''|titolo=Viaggio nella complessità'', |città=Venezia, |editore=Marsilio Editori, |anno=2007|ISBN=978-88-31-79358-2}}

* {{cita libro|autore=Ekeland Ivar, ''|titolo=Il Caos''. |città=Milano, |editore=il Saggiatore, |anno=1997|ISBN=978-88-42-80689-9}}

* {{cita libro|autore=Smith Leonard|titolo=Caos|editore=Codice Edizioni|anno=2008|ISBN=978-88-75-78113-2}}

* [http://www.internetbookshop.it/code/9788817258753/gleick-james/caos-nascita-una.html Gleick James: ''[[Caos. La nascita di una nuova scienza]]'', BUR Biblioteca Univ. Rizzoli 2000]

* {{cita libro|autore=Vulpiani Angelo|wkautore=Angelo Vulpiani|titolo=Determinismo e Caos|città=Roma|editore=La Nuova Italia Scientifica|anno=1994|ISBN=978-88-43-00111-8}}

* Hao Bai-Lin, ''Chaos II, an introduction and reprints volume (update of Chaos (1984))'', World Scientific Publishing Co., 1990

* {{cita libro|url=http://www.internetbookshop.it/code/9788817258753/gleick-james/caos-nascita-una.html|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20080511230745/http://www.internetbookshop.it/code/9788817258753/gleick-james/caos-nascita-una.html|autore=Gleick James|titolo=Caos. La nascita di una nuova scienza|editore=BUR Biblioteca Univ. Rizzoli|anno=2000|ISBN=978-88-17-10357-2}}

* [[Heinz Rudolf Pagels]], ''The Dreams of Reason. The Computer and the Rise of the Sciences of Complexity''. Bantam Books, New York 1989

* {{cita libro|autore=Hao Bai-Lin|titolo=Chaos II, an introduction and reprints volume (update of Chaos (1984))|editore=World Scientific Publishing Co.|anno=1990|lingua=en|ISBN=978-98-10-20095-4}}

* Ott Edward, ''Chaos in Dynamical systems'', Cambridge University Press, 1993

* {{cita libro|autore=H.R. Pagels|wkautore=Heinz Rudolf Pagels|titolo=The Dreams of Reason. The Computer and the Rise of the Sciences of Complexity|url=https://archive.org/details/dreamsofreason00hein|editore=Bantam Books|città=New York|anno=1989|lingua=en|ISBN=978-06-71-62708-9}}

* Schuster Heinz Georg and Just Wolfram ''Deterministic Chaos. An Introduction'', Wiley-VCH, Berlin, 2005 [http://www.wiley-vch.de/publish/en/books/ISBN3-527-40415-5/?sID=b976c06c03752fca483cd18d024be226 ISBN 3-527-40415-5]

* {{cita libro|autore=Ott, E.|wkautore=Edward Ott|titolo=Chaos in Dynamical systems|url=https://archive.org/details/chaosindynamical0000otte|editore=Cambridge University Press|anno=1993|lingua=en|ISBN=978-05-21-81196-5}}

* Smith Leonard, ''Caos'', ed. Codice, 2008

* {{cita libro|autore1=Schuster, Heinz Georg|autore2=Just, Wolfram|titolo=Deterministic Chaos. An Introduction|editore=Wiley-VCH|città=Berlino|anno=2005|ISBN=3-527-40415-5|lingua=en}}

* Vulpiani Angelo, ''Determinismo e Caos'', Roma, La Nuova Italia Scientifica, 1994

== Voci correlate ==

* [[CausalitàCausa (filosofia)]]

* [[Istituto dei sistemi complessi]]

* [[Consiglio Nazionale delle Ricerche]]

* [[Effetto farfalla]]

* [[TeoremaIstituto didei Sarkovskysistemi complessi]]

* [[Teorema di Sharkovsky]]

* [[Teoria della complessità]]

* [[TransizioneTeoria aldelle caosbiforcazioni]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

{{Interprogetto|commons=Category:Chaos theory}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/Chaos.html Il caos da mathworld.wolfram.com]

* [https://web.archive.org/web/20080107010108/http://www.csdc.unifi.it/ Centro Interdipartimentale per lo Studio delle Dinamiche Complesse] [[Firenze]]

* {{en}}[https://web.archive.org/web/20120204195514/http://www.mpipks-dresden.mpg.de/index_en.html Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems] [[Dresda]]

* {{en}}[Cita web | url = http://www.ct.infn.it/cactus/ | titolo = Caos and Complexity University Study (CACTUS) Group ]| lingua = en | accesso = 31 dicembre 2022 | urlarchivio = https://archive.is/20130413043329/http://oldweb.ct.infn.it/cactus/ | urlmorto = sì }} [[Catania]]

* [{{cita web|url=http://www.climatemonitor.it/?p=8106 |titolo=Che caos! I sistemi climatico e solare visti come sistemi caotici]}}

{{Teoria del caos}}

{{Controllo di autorità}}

{{portale|Fisica|matematica}}

{{portale|fisica|matematica|economia}}

[[Categoria:Teoria del caos]]

[[Categoria:Teoria del caos| ]]

{{Link VdQ|de}}