Numero palindromo: differenze tra le versioni

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Se si studia il numero dei numeri palindromi scritti in base 10 ed inferiori ad una certa potenza di 10 ci si può accorgere che esiste una certa regolarità

* Tutti i numeri con una sola [[cifra]] sono palindromi, quindi vi sono 10 numeri palindromi minori di 10¹¹.

* I palindromi con due cifre sono nove (in effetti i multipli di 11 minori di 100), quindi esistono 19 numeri palindromi minori di 10²².

* Esistono 90 palindromi con 3 cifre quindi 109 palindromi minori di 10³³.

* I palindromi minori di 10⁴10⁴ sono 199.

Se si prosegue con questo ragionamento incrementando le potenze di dieci si può ottenere la successione<ref>{{OEIS|A070199}}</ref>:

:<math>10,\,19,\,109,\,199,\,1099,\,1999,\,10999,\,19999,\,109999,\,199999,\,1099999,\, ...</math>

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{| class="wikitable"

|-

| bgcolor="#CCCC00" | &nbsp; || bgcolor="#CCCC00" | 10¹10⁰

| bgcolor="#CCCC00" | 10²¹

| bgcolor="#CCCC00" | 10³ || bgcolor="#CCCC00" | 10⁴²

| bgcolor="#CCCC00" | 10⁵³ || bgcolor="#CCCC00" | 10⁴

| bgcolor="#CCCC00" | 10⁶ || bgcolor="#CCCC00" | 10⁷10⁵

| bgcolor="#CCCC00" | 10⁸10⁶ || bgcolor="#CCCC00" | 10⁷

| bgcolor="#CCCC00" | 10⁹ || bgcolor="#CCCC00" | 10¹⁰10⁸

| bgcolor="#CCCC00" | 10⁹ || bgcolor="#CCCC00" | 10¹⁰

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero naturale|naturale]]

| 2 || 10 || 19 || 109 || 199 || 1099 || 1999 || 10999 || 19999

| 109999 || 199999

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero pari|pari]]

| 1 || 5 || 9 || 49 || 89 || 489 || 889 || 4889 || 8889

| 48889 || 88889

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero dispari|dispari]]

| 1 || 5 || 10 || 60 || 110 || 610 || 1110 || 6110 || 11110

| 61110 || 111110

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[quadrato perfetto]]

| 2 || colspan="2" | 4 || colspan="2" | 7 || 14

| 15 || colspan="2" | 20 || colspan="2" | 31

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Cubo (algebra)|cubico]]

| 2 || colspan="2" | 3 || 4 || colspan="3" | 5

| colspan="3" | 7 || 8

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero primo|primo]] (vedi anche: [[Primo palindromo]])

| 0 || 4 || 5 || colspan="2" | 20

| colspan="2" | 113 || colspan="2" | 781

| colspan="2" | 5953

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Intero privo di quadrati|privo di quadrati]]

| 0 || 6 || 12 || 67 || 120 || 675 || 1200 || 6821 || 12160

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' non privo di quadrati ([[Funzione di Möbius|μ(''n'')]]=0)

| 2 || 4 || 7 || 42 || 79 || 424 || 799 || 4178 || 7839

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' quadrato perfetto con radice [[Numero primo|prima]] root

| 0 || colspan="2" | 2 || colspan="2" | 3 || colspan="6" | 5

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' con un numero pari di [[Fattorizzazione|fattori primi]] distinti (μ(''n'')=1)

| 0 || 2 || 6 || 35 || 56 || 324 || 583 || 3383 || 6093

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' con un numero dispari di fattori primi distinti (μ(''n'')=-1)

| 0 || 4 || 6 || 32 || 64 || 351 || 617 || 3438 || 6067

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con un numero dispari di fattori primi

| 0 || 1 || 2 || 9 || 21 || 100 || 180 || 1010 || 6067

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con un numero dispari di fattori primi distinti

| 0 || 3 || 4 || 21 || 49 || 268 || 482 || 2486 || 4452

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari con un numero dispari di fattori primi

| 0 || 3 || 4 || 23 || 43 || 251 || 437 || 2428 || 4315

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari con un numero dispari di fattori primi distinti

| 0 || 4 || 5 || 28 || 56 || 317 || 566 || 3070 || 5607

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti

| 0 || 1 || 2 || 11 || 15 || 98 || 171 || 991 || 1782

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti

| 0 || 1 || 4 || 24 || 41 || 226 || 412 || 2392 || 4221

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari con esattamente due fattori primi

| 0 || 1 || 4 || 25 || 39 || 205 || 303 || 1768 || 2403

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con esattamente 2 fattori primi

| 0 || 2 || 3 || colspan="2" | 11

| colspan="2" | 64 || colspan="2" | 413

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con esattamente 3 fattori primi

| 0 || 1 || 3 || 14 || 24 || 122 || 179 || 1056 || 1400

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con esattamente 3 fattori primi distinti

| 0 || 0 || 1 || 18 || 44 || 250 || 390 || 2001 || 2814

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari con esattamente 3 fattori primi

| 0 || 0 || 1 || 12 || 34 || 173 || 348 || 1762 || 3292

| + || +

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[numero di Carmichael]]

| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1

| 1 || 1

|-

| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' per il quale [[Funzione sigma|σ(''n'')]] è palindromo

| 1 || 6 || 10 || 47 || 114 || 688 || 1417 || 5683 || +

| + || +

|}

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Esistono vari numeri palindromi che sono anche potenze di altri numeri. Attualmente sono conosciuti solo numeri palindromi che possono essere espressi con una potenza di esponente 2, 3 o 4:

* I primi [[Quadrato perfetto|quadrati perfetti]] palindromi sono: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ...<ref>{{OEIS|A002779}}</ref>

* I primi numeri palindromi che possiedono una radice cubica intera sono: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... <ref>{{OEIS|A002781}}</ref>

* I primi numeri palindromi esprimibili con una potenza di esponente 4 sono: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... <ref>{{OEIS|A186080}}</ref>

G. J. Simmons e D. Rawlinson congetturano che non esistano palindromi diversi da 0 e 1 esprimibili con potenze di esponente maggiore di 4<ref>{{Cita libro|titolo=Problems in applied mathematics: selections from SIAM review|curatore=Murray S. Klamkin|url=http://books.google.com/books?id=WI9ZGl3M8bYC&pg=PA520#v=onepage&q&f=false|editore=SIAM|anno=1990|città=Philadelphia|p=577|lingua=inglese|isbn=0-89871-259-9}}</ref>.

L'unico numero non palindromo conosciuto il cui cubo è un palindromo è 2201.

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== Altri progetti ==

{{interprogetto|commons=Category:Palindromic numbers}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* [[OEIS:A002113|Sequenza dei numeri palindromi]] della [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS-''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences'']]

* [http://mathforum.org/library/drmath/view/57170.html Numeri palindromi fino a 100,000] da Ask Dr. Math

* {{en}}[http://www.jasondoucette.com/worldrecords.html World record e curiosità] da Jason Doucette Math

* {{MathWorld|PalindromicNumber|Palindromic Number}}

* {{MathWorld|PalindromicNumberConjecture|Palindromic Number Conjecture}}

* {{PlanetMath|palindromicnumber|palindromic number}}