Distributività: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], e in particolare nell'[[algebra]], la '''distributività''' (o '''proprietà distributiva''') è una proprietà delle [[operazione binaria|operazioni binarie]] che generalizza la ben nota '''legge distributiva''' valida per somma e prodotto tra numeri dell'[[algebra elementare]].

Dato un (insieme) ''S'' e due [[operazione binaria|operazioni binarie]] * e + su ''S'', diciamo che :

Dato un (insieme) ''S'' e due [[operazione binaria|operazioni binarie]] * e + su ''S'', diciamo che

* l'operazione * è ''distributiva a sinistra'' rispetto all'operazione + se, dati gli elementi ''x'', ''y'', e ''z'' di ''S'',

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# In tutti gli insiemi [[Numero|numerici]] abitualmente considerati ([[numero naturale|numeri naturali]], [[numero razionale|numeri razionali]], [[numero reale|numeri reali]], [[numero complesso|numeri complessi]], [[numero cardinale|numeri cardinali]] ecc.) la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione. Ad esempio:

#:: <math>4 \times (2 + 3) = (4 \times 2) + (4 \times 3)</math>

#:Nel membro sinistro dell'espressione precedente, 4 moltiplica la somma di 2 e 3; nel membro destro, moltiplica il 2 e il 3 separatamente e i risultati sono successivamente sommati. Poiché questo porta allo stesso risultato (2420) diciamo che la moltiplicazione per 4 si distribuisce sull'addizione di 2 e 3. Dal momento che si può utilizzare qualsiasi numero reale al posto di 4, 2, e 3, e ottenere ancora un'uguaglianza, si ha che la [[moltiplicazione]] di numeri reali è distributiva rispetto all'[[addizione]] di numeri reali.

# La moltiplicazione dei [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|numeri ordinali]], al contrario, è solo distributiva a sinistra, e non distributiva a destra.

# Il [[prodotto vettoriale]] è distributivo rispetto all'addizione di due vettori, benché non sia commutativo.

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== Generalizzazioni della distributività ==

In molte aree della matematica si considerano leggi distributive generalizzate. Questo può coinvolgere l'indebolimento delle condizioni della definizione oppure l'estensione a operazioni infinitarie. Soprattutto nella [[teoria degli ordini]], si trovano numerose importanti varianti della distributività, alcune delle quali includono operazioni infinitarie, altre sono definite in presenza di una ''sola'' operazione binaria. Dettagli sulle definizioni e sulle loro relazioni si trovano nell'articolo [[distributività (teoria degli ordini)]]. È inclusa anche la nozione di [[reticolo (matematica)|reticolo '''completamente distributivo''']].

In presenza di una [[relazione d'ordine]], si può indebolire la condizione precedente sostituendo = con ≤ oppure ≥. Naturalmente questo porta a concetti sensati solo in alcune situazioni. Un'applicazione di questo principio è la nozione di '''sottodistributività'''.

== Voci correlate ==

* [[Associatività]]

* [[Commutatività]]

== Altri progetti ==

{{Interprogetto|etichetta=distributività|wikt}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}} [http://www.algebra.com/algebra/homework/Distributive-property/proof-of-distributive-property.lesson Dimostrazione della proprietà distributiva per gli interi, con animazione]

* {{en}}cita [web|1=http://www.algebra.com/algebra/homework/Distributive-property/exampleproof-of-distributive-property-addition.solverlesson|2=Dimostrazione Animazionedella diproprietà esempidistributiva diper proprietàgli distributiva]interi, con animazione|lingua=en|urlmorto=sì}}

* {{en}}cita [web|1=http://www.algebra.com/algebra/homework/Distributive-property/proof-ofexample-distributive-property-addition.lessonsolver|2=Animazione Dimostrazionedi dellaesempi di proprietà distributiva per gli interi, con animazione]|lingua=en|urlmorto=sì}}

{{Portale|matematica}}

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[[Categoria:Algebra elementare]]

[[Categoria:Strutture algebriche]]

[[Categoria:Logica proposizionale]]