Triangolo: differenze tra le versioni

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{{Nota disambigua}}

[[File:Triangle illustration.svg|thumb|Un triangolo]]

Il '''triangolo''' è un [[poligono]] con tre lati e tre angoli. Ciò lo rende il poligono con il minore numero di lati che si possa costruire. Più formalmente, dati tre punti distinti e non allineati <math>A</math>, <math>B</math> e <math>C</math> nel piano, il triangolo <math>ABC</math> è l'unione dei segmenti <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{BC}</math> e <math>\overline{CA}</math>. Anche se nella definizione di Euclide, e nella geometria euclidea classica, viene considerata parte del triangolo anche l'area all' interno ad esso.

In [[geometria]], il '''triangolo ''' è un [[poligono]] formato da tre ''[[angolo|angoli]]'' o [[vertice (geometria)|vertici]] e da tre [[lato (geometria)|lati]]; rappresenta la [[figura geometrica|figura]] con il minor numero di lati, in quanto tre è il numero minimo di [[segmento|segmenti]] necessari per delimitare una [[superficie (matematica)|superficie]] chiusa.

== Caratteristiche del triangolo ==

[[File:Triangle sommeangles.svg|upright=1.4|thumb| La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180°.]]

Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti proprietà:

# è una "figura indeformabile", adato differenza dei poligoni con un numero maggiore di lati;che, assegnate le lunghezze dei lati, cioè, sono univocamente determinati anche gli angoli; ciò non è vero in generale per poligoni con un numero maggiore di lati;

# è l'unico poligono che non può essere [[insieme convesso|concavo]];

# è l'unico poligono per cui non è richiesto che sia [[Poligono regolare|regolare]] perché sia sempre possibile [[Poligono regolare|circoscrivere]] e inscrivere una [[circonferenza]], perché per tre punti passa sempre una e una sola circonferenza;

# la somma degli angoli interni è uguale ada un [[angolo piatto]], ossia 180°; va comunque precisato che tale uguaglianza vale soltanto nella [[geometria euclidea]] e non in altri tipi di geometria come la [[geometria sferica]] e quella [[geometria iperbolica|iperbolica]], dove invece tale somma è, rispettivamente, maggiore e minore di 180°;

# la somma di due lati deve essere sempre maggiore del terzo lato,e o la differenza di due lati deve essere sempre uguale o minore del terzo lato.

Due triangoli sono [[Congruenza (geometria)|congruenti]] se soddisfano almeno uno dei [[criteri di congruenza dei triangoli|criteri di congruenza]]. Due triangoli si dicono [[similitudine (geometria)|simili]] se soddisfano almeno uno dei [[Criteri di similitudine#Triangoli simili|criteri di similitudine]].

Due triangoli sono [[Congruenza (geometria)|congruenti]] se soddisfano almeno uno dei [[criteri di congruenza dei triangoli|criteri di congruenza]].

Due triangoli si dicono [[similitudine (geometria)|simili]] se soddisfano almeno uno dei [[Criteri di similitudine#Triangoli simili|criteri di similitudine]].

== Classificazione dei triangoli ==

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* In un '''[[triangolo equilatero]]''' tutti i lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo equilatero si può definire equivalentemente come triangolo equiangolo, ovvero triangolo avente i suoi angoli interni di uguale ampiezza, pari a 60°.

* In un '''[[triangolo isoscele]]''' due lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo isoscele si può definire equivalentemente come triangolo avente due angoli interni di uguale ampiezza.

* In un '''[[triangolo scaleno]]''' tutti i lati hanno lunghezze differenti. Un triangolo scaleno si può definire equivalentemente come triangolo avente i tre angoli interni di diverse ampiezze <ref>{{Sf|Al libro ''Topologia'' di Marco Manetti (2014) viene fatta risalire la tradizione di definire scaleno un triangolo di cui non venga specificata la relazione tra i lati. Questo è diverso dal chiedere che i lati siano tutti diversi. Nella nuova terminologia infatti un triangolo isoscele verrà considerato scaleno.Tale definizione viene ritenuta preferibile a quella tradizionale da molti autori contemporanei.}}</ref>.

{| align="center"

|- align="center"

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* Un '''[[triangolo ottusangolo]]''' (o '''triangolo ottuso''') ha un angolo interno maggiore di 90°, cioè un [[angolo ottuso]].

* Un '''[[triangolo acutangolo]]''' (o '''triangolo acuto''') ha tutti gli angoli interni minori di 90°, cioè ha tre [[Angolo acuto|angoli acuti]].

* Un '''[[triangolo equiangolo]]''', cioè se ha tutti gli angoli interni uguali, cioè di 60°, cioè se e solo se è un '''[[triangolo equilatero]]'''.

Per i triangoli che non sono rettangoli vale una generalizzazione del [[teorema di Pitagora]] nota in trigonometria come [[Teorema del coseno|teorema di Carnot]].

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|Rettangolo || Ottusangolo || Acutangolo

|}

=== Triangoli degeneri e triangoli ideali ===

{{Anchor|Triangolo degenere}}

Si dice '''triangolo degenere''' un triangolo che presenta un angolo

di 180°. Gli altri due angoli hanno necessariamente ampiezza zero, ede un lato misura quanto la somma degli altri due: tale triangolo, come insieme di punti (graficamente), costituisce un [[segmento]].

Si usa il termine ''triangolo degenere'' anche per una figura ottenuta come limite di un triangolo nel quale alcuni dei suoi vertici vanno all'infinito; tale figura si chiama anche '''triangolo ideale'''. Questa costruzione è molto usata in [[geometria iperbolica]].

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== Punti notevoli ==

Ad ogni triangolo sono associati vari punti, ciascuno dei quali svolge un ruolo che, per qualche aspetto, lo qualifica come centrale per il triangolo stesso. Definiamo concisamente questi punti riferendoci ad un triangolo <math>T</math> i cui vertici denotiamo con <math>A</math>, <math>B</math> e <math>C</math> e i cui lati opposti denotiamo rispettivamente con <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>.

* [[Ortocentro]] di <math>T</math> è l'intersezione delle sue [[Altezza (geometria)|altezze]].

* [[ortocentroBaricentro (geometria)|Baricentro]] o ''centroide'' di <math>T</math> è l'intersezione delle sue [[AltezzaMediana (geometria)|altezzemediane]];.

* [[baricentro (geometria)|baricentroIncentro]] o ''centroide'' di <math>T</math> è l'intersezione delle sue tre [[Mediana (geometria)bisettrice|medianebisettrici]];, ovvero il centro dell'[[incerchio]] di <math>T</math>.

* [[incentroCircocentro]] di <math>T</math> è l'intersezione delledei suesuoi tre [[bisettrice|bisettrici]]assi, ovvero il centro dell'della sua circonferenza circoscritta (vedi [[incerchiocircumcerchio]] di <math>T</math>;).

* [[circocentroExcentro]] di <math>T</math> opposto a un suo vertice <math>A</math> è l'intersezione deidella suoisua trebisettrice assi,in ovvero<math>A</math> ile centrodelle delladue suabisettrici circonferenzaesterne circoscrittarelative (vediai [[circumcerchio]]);due vertici rimanenti <math>B</math> e <math>C</math>.

* [[Punto di Bevan]] di <math>T</math> è il circocentro del [[triangolo excentrale]] di <math>T</math>.

* [[excentro]] di <math>T</math> opposto a un suo vertice <math>A</math> è l'intersezione della sua bisettrice in <math>A</math> e delle due bisettrici esterne relative ai due vertici rimanenti <math>B</math> e <math>C</math>;

* [[Punto di Apollonio]] di <math>T</math> è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un vertice <math>A</math> di <math>T</math> con il punto nel quale l'excerchio di <math>T</math> opposto ad <math>A</math> è tangente al cerchio tangente ai tre excerchi di <math>T</math>.

* [[punto di Bevan]] di <math>T</math> è il circocentro del [[triangolo excentrale]] di <math>T</math>;

* [[puntoPunto di ApollonioGergonne]] di <math>T</math> è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un vertice <math>A</math> di <math>T</math> con il punto nel quale l'excerchioil lato di <math>T</math> opposto ad <math>A</math> è tangente al cerchio tangente ai tre excerchidell'[[incerchio]] di <math>T</math>; .

* [[puntoPunto di GergonneNagel]] di <math>T</math> è l'intersezione dei tre segmenti checiascuno rispettivamentedei unisconoquali unisce un vertice <math>A</math> di <math>T</math> con il punto nel quale il suo lato di <math>T</math> opposto ad <math>A</math> è tangente dell'del corrispondente [[incerchioexcerchio]]. di <math>T</math>;

* [[puntoPunto di NagelFermat]] di <math>T</math> è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice <math>A</math> di <math>T</math> con il puntovertice nelnon qualeappartenente ila suo<math>T</math> del triangolo equilatero uno dei cui lati è il lato <math>a</math> opposto èad tangente<math>A</math> deled corrispondenteesterno [[excerchio]];a <math>T</math>.

* [[puntoTeorema di FermatNapoleone|Punto di Napoleone]] di <math>T</math> è l'intersezione dei tre segmenti ciascunoche dei qualicollegano unisceognuno un suo vertice <math>A</math> di <math>T</math> con il verticecentro nondel appartenentetriangolo equilatero costruito, esternamente a <math>T</math>, del triangolo equilatero uno dei cui lati è ilsul lato <math>a</math> opposto ad <math>A</math> ed esterno a <math>T</math>;.

* [[puntoCentro didei nove Napoleonepunti]] di <math>T</math> è l'intersezioneil deicentro tredel segmenticosiddetto che[[cerchio colleganodei ognunonove unpunti]] suo(o vertice[[cerchio di Feuerbach]]) di <math>AT</math>; conquesti ilnove centropunti delcomprendono triangoloi equilaterotre costruitopunti medi dei lati di <math>T</math>, esternamentei atre piedi delle [[altezza di un triangolo|altezze]] di <math>T</math>, suli latopunti medi dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di <math>aT</math> oppostocon adl'[[ortocentro]] di <math>AT</math>;.

* [[Punto pedale]] di <math>T</math> è l'intersezione di ciascuna delle tre rette perpendicolari ai lati di <math>T</math>.

* [[centro dei nove punti]] di <math>T</math> è il centro del cosiddetto [[cerchio dei nove punti]] (o [[cerchio di Feuerbach]]) di <math>T</math>; questi nove punti comprendono i tre punti medi dei lati di <math>T</math>, i tre piedi delle [[altezza di un triangolo|altezze]] di <math>T</math>, i punti medi dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di <math>T</math> con l'[[ortocentro]] di <math>T</math>.

* [[puntoPunto pedaleceviano]] di <math>T</math> è l'intersezione di ciascuna delle tre [[Ceviana|rette perpendicolari ai lati di <math>T</math>ceviane]].

* [[punto ceviano]] di <math>T</math> è l'intersezione di tre [[Ceviana|rette ceviane]].

== Formulario ==

L'[[area]] <math>\mathcal{A}</math> del triangolo può essere misurata con la formula matematica:

:<math>\mathcal{A} = \frac{bh}{2},</math>

dove <math>b</math> è la base e <math>h</math> l'altezza ad essa relativa, perché il triangolo va visto come la metà di un parallelogramma di base <math>b</math> e altezza <math>h</math>.

=== Formule trigonometriche ===

[[File:Triangle.TrigArea.svg|frame|right|Si applica la trigonometria per trovare l'altezza <math>h</math>]]

L'area di un triangolo può essere trovata per via [[Trigonometria|trigonometrica]]. Usando le lettere della figura a destra, l'altezza <math>h=a\sin\gamma</math>. Sostituendo questo nella formula trovata precedentemente (per via geometrica), <math>S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma</math>. L'area di un triangolo è quindi anche uguale al semiprodotto di due lati per il [[Seno (trigonometria)|seno]] dell'angolo compreso.

Alternativamente l'area del triangolo può essere calcolata con

Di conseguenza, per la nota identità <math>\sin x=\sin(\pi-x)</math>, l'area di un triangolo qualsiasi con i due lati <math>a</math> e <math>b</math> e l'angolo compreso <math>\gamma</math>, è uguale all'area del triangolo con gli stessi lati <math>a</math> e <math>b</math> ma con angolo compreso supplementare <math>(\pi-\gamma)</math>

:<math>\mathcal{A} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)},</math>

L'area di un [[parallelogramma]] con due lati adiacenti <math>a</math> e <math>b</math> e angolo compreso <math>\gamma</math> è il doppio di quella del triangolo che ha gli stessi dati, cioè <math>ab\sin\gamma</math>.

dove <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math> sono i lati e <math>p</math> il [[semiperimetro]] ([[formula di Erone]]).

Per risolvere il triangolo, cioè determinare la misura di tutti i lati ed angoli, dati due lati e l'angolo compreso fra di essi, o un lato e i due angoli adiacenti, si usano il [[teorema dei seni]] e il [[teorema del coseno]], quest'ultimo meglio noto col nome di Carnot.

=== Formule trigonometriche ===

L'[[area]] <math>A</math> del triangolo può essere misurata con la formula matematica:

[[File:Triangle.TrigArea.svg|frame|right|Si applica la trigonometria per trovare l'altezza <math>h</math>]]

L'area di un triangolo può essere trovata per via [[Trigonometria|trigonometrica]]. Usando le lettere della figura a destra, l'altezza è <math>h=a\sin\gamma</math> e sostituendo questo nella formula trovata precedentemente (per via geometrica) si ottiene:

:<math>\mathcal{A }= \frac{bh1}{2},ab\sin\gamma.</math>

L'area di un triangolo è quindi anche uguale al semiprodotto di due lati per il [[Seno (trigonometria)|seno]] dell'angolo compreso.

dove <math>b</math> è la base e <math>h</math> l'altezza ad essa relativa, perché il triangolo va visto come la metà di un parallelogramma di base <math>b</math> e altezza <math>h</math>.

Di conseguenza, per la nota identità <math>\sin x=\sin(\pi-x)</math>, l'area di un triangolo qualsiasi con i due lati <math>a</math> e <math>b</math> e l'angolo compreso <math>\gamma</math>, è uguale all'area del triangolo con gli stessi lati <math>a</math> e <math>b</math> ma con angolo compreso supplementare <math>(\pi-\gamma)</math>

Alternativamente l'area del triangolo può essere calcolata con

L'area di un [[parallelogramma]] con due lati adiacenti <math>a</math> e <math>b</math> e angolo compreso <math>\gamma</math> è il doppio di quella del triangolo che ha gli stessi dati, cioè <math>ab\sin\gamma</math>.

:<math>A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)},</math>

Per risolvere il triangolo, cioè determinare la misura di tutti i lati e angoli, dati due lati e l'angolo compreso fra di essi, o un lato e i due angoli adiacenti, si usano il [[teorema dei seni]] e il [[teorema del coseno]], quest'ultimo meglio noto col nome di Carnot.

dove <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math> sono i lati e <math>p</math> il [[semiperimetro]] ([[Formula di Erone]]).

=== Formule analitiche ===

Consideriamo un triangolo <math>ABC</math> nel [[piano cartesiano]] individuato attraverso le coppie di [[Coordinate cartesiane|coordinate]] dei vertici <math>(x_A,y_A), (x_B,y_B), (x_C,y_C)</math>.

La sua area <math>\mathcal{A}</math> è datodata dall'espressione

:<math>\mathcal{A}=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A (y_B - y_C) - x_B(y_A - y_C) + x_C (y_A - y_B) \big|,</math>

oppure con un'espressione che non utilizza il concetto di matrice

:<math>\mathcal{A} = \frac{ \big| (y_B-y_A)(x_C-x_B)+(y_B-y_C)(x_B-x_A) \big|}{2},</math>

e il suo perimetro <math>\mathcal{P}</math> è dato da

oppure

:<math>A\mathcal{P} = ( x_M - x_m )( y_M - y_m ) - \leftsqrt{( \frac{1}{2}\big|x_A - x_B)^2 \big|+ \big|(y_A - y_B \big|)^2} + \fracsqrt{1}{2}\big|(x_A - x_C)^2 \big|+ \big|(y_A - y_C \big|)^2} + \fracsqrt{1}{2}\big|(x_B - x_C)^2 \big|+ \big|(y_B - y_C \big|\right),^2}.</math>

== Geometrie non euclidee ==

dove

Il concetto di triangolo si estende ed è ampiamente usato in tutte le [[geometrie non euclidee]]. Un triangolo in una geometria non euclidea si differenzia generalmente per il fatto che la somma dei suoi angoli interni non è 180°: questa somma è inferiore a 180° per ogni triangolo nel caso di una [[geometria iperbolica]], mentre è superiore per ogni triangolo nel caso di una [[geometria ellittica]].

==Teoremi sui triangoli==

:<math>x_M = \mathrm{max} \{ x_A , x_B , x_C \} </math>

; [[Criteri_di_congruenza_dei_triangoli#Primo_criterio |I criterio di congruenza dei triangoli]]

:<math>x_m = \mathrm{min} \{ x_A , x_B , x_C \} </math>

Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso, essi sono congruenti.

:<math>y_M = \mathrm{max} \{ y_A , y_B , y_C \} </math>

; [[Criteri_di_congruenza_dei_triangoli#Secondo_criterio |II criterio di congruenza dei triangoli]]

:<math>y_m = \mathrm{min} \{ y_A , y_B , y_C \} </math>

Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato ad essi adiacente, essi sono congruenti.

; [[Criteri_di_congruenza_dei_triangoli#Terzo_criterio |III criterio di congruenza dei triangoli]]

Se due triangoli hanno rispettivamente congruente i tre lati, essi sono congruenti.

Criterio generale di congruenza dei triangoli

Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, essi sono congruenti.

; [[Primo teorema dell'angolo esterno |I teorema dell'angolo esterno]]

In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.

; [[Secondo teorema dell'angolo esterno |II teorema dell'angolo esterno]]

In un triangolo l'angolo esterno di uno di essi è uguale alla somma degli altri due angoli interni.

:Corollario 1: un triangolo non può avere né due angoli retti, né due angoli ottusi, né un angolo retto e uno ottuso, cioè un triangolo ha almeno due angoli acuti.

:Corollario 2: gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.

;[[Disuguaglianza triangolare]]

In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

;I criterio di similitudine dei triangoli

Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili.

;II criterio di similitudine dei triangoli

Se due triangoli hanno rispettivamente due lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente, allora sono simili.

;III criterio di similitudine dei triangoli

Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente proporzionali, allora sono simili.

; [[Primo_teorema_di_Euclide |I teorema di Euclide]]

In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa.

; [[Secondo_teorema_di_Euclide |II teorema di Euclide]]

In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

;[[Teorema di Pitagora]]

In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

e il suo perimetro <math>P</math> è dato da

== Note ==

:<math>P = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} + \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} + \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2}.</math>

<references/>

== Geometrie non euclidee ==

Il concetto di triangolo si estende ed è ampiamente usato in tutte le [[geometrie non euclidee]]. Un triangolo in una geometria non euclidea si differenzia generalmente per il fatto che la somma dei suoi angoli interni non è 180°: questa somma è inferiore a 180° per ogni triangolo nel caso di una [[geometria iperbolica]], mentre è superiore per ogni triangolo nel caso di una [[geometria ellittica]]

== Voci correlate ==

* ''[[Encyclopedia of Triangle Centers]]''

* [[Classi di similitudine dei triangoli]]

* [[Triangolo di Reuleaux]]

* [[Teorema di Pitagora]]

* [[Trigonometria]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|etichetta=triangolo|wikt=triangolo|commons=Category:Triangles|q|q_preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{it}} [http://www.cnuto.it/lezioni/scienze/matematica/trigo_primoes/studio_dei_casi_per_la_risoluzione_di_un_triangolo.html Studio dei casi per la risoluzione di un triangolo]

* {{cita web|http://www.cnuto.it/lezioni/scienze/matematica/trigo_primoes/studio_dei_casi_per_la_risoluzione_di_un_triangolo.html|Studio dei casi per la risoluzione di un triangolo|lingua=it}}

* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/Triangle.html Triangle] in [[MacTutor]]

* {{en}} [http://www.3eck.org/triangle/en/calculator_simple.php Triangle Calculator] - completes triangles when given three elements (sides, angles, area, height etc.), supports degrees, radians and grades.

* {{en}} [http://agutie.homestead.com/files/Napoleon0.htm Napoleon's theorem] A triangle with three equilateral triangles. A purely geometric proof. It uses the Fermat point to prove Napoleon's theorem without transformations by Antonio Gutierrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas"

* {{en}} [[William Kahan]]: [http://http.cs.berkeley.edu/~wkahan/Triangle.pdf Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061110144003/http://http.cs.berkeley.edu/~wkahan/Triangle.pdf |date=10 novembre 2006 }}.

* {{en}} Clark Kimberling: [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of triangle centers]. Lists some 1600 interesting points associated with any triangle.

* {{en}} Christian Obrecht: [https://web.archive.org/web/20060414004443/http://perso.wanadoo.fr/obrecht/ Eukleides]. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.

* {{en}} [httphttps://www.cut-the-knot.org/triangle Triangle constructions, remarkable points and lines, and metric relations in a triangle] at [[cut-the-knot]]

* {{en}}cita [web|url=http://www.kwiznet.com/p/takeQuiz.php?ChapterID=1469&amp;CurriculumID=4 |titolo=Printable Worksheet on Types of Triangles]|lingua=en|accesso=23 novembre 2019|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20181215173949/http://www.kwiznet.com/p/takeQuiz.php?ChapterID=1469&CurriculumID=4|dataarchivio=15 dicembre 2018|urlmorto=sì}}

* {{en}} [http://www.vias.org/comp_geometry/geom_triangle.html Compendium Geometry] Analytical Geometry of Triangles

* P. Baroncini - R. Manfredi, ''MultiMath.blu'' - ''Geometria'', DeAScuola, 2014, ISBN 978-88-538-0567-6

* {{Thesaurus BNCF}}

[[Categoria:triangoli|*]]

[[Categoria:Poligoni]]

[[Categoria:Matematica di base]]

{{Poligoni}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Triangoli| ]]

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[[Categoria:Matematica di base]]

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