Punto fisso: differenze tra le versioni

Versione delle 10:54, 19 feb 2007

Versione attuale delle 03:00, 12 dic 2022

(80 versioni intermedie di 44 utenti non mostrate)

Riga 1:

In [[matematica]], un '''punto fisso''' per una [[Funzione (matematica)|funzione]] definita da un [[Insieme (matematica)|insieme]] in sé è un [[Elemento (insiemistica)|elemento]] coincidente con la sua [[immagine (matematica)|immagine]].

:<math> f : A \to A </math>

definita su un [[Insieme (matematica)|insieme]] <math>A</math> è un [[Elemento (insiemistica)|elemento]] <math> x </math> in <math>A</math> tale che

''x'' = ''f''(''x'').

==Definizione==

In altre parole, un punto fisso è un [[Elemento (insiemistica)|elemento]] (numero, punto etc.) che la funzione applica su se stesso.

In [[matematica]], un punto fisso per una [[Funzione (matematica)|funzione]] <math> f : A \to A </math> definita su un [[Insieme (matematica)|insieme]] <math>A</math> è un [[Elemento (insiemistica)|elemento]] <math> x </math> in <math>A</math> tale che:<ref name=def>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 150|reed}}.</ref>

:<math>x = f : A \to A(x) </math>

Per esempio, sia ''f'' definita sull'insieme dei [[numeri reali]] come ''f''(''x'') = ''x''² &minus; 2;

allora -1 è un punto fisso di ''f'', poiché ''f''(-1) = -1.

Si tratta di un punto che la funzione mappa in sé stesso.

== Teoremi di esistenza ==

{{Vedi anche|Teoremi di punto fisso}}

Alcuni teoremi molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei punti fissi. Questi teoremi si applicano in [[analisi matematica]], [[analisi funzionale]] e [[topologia]]. Di questi, i più noti sono il [[Teorema delle contrazioni|teorema del punto fisso di Banach]] (teorema delle contrazioni) e il [[teorema del punto fisso di Brouwer]].

== La proprietà topologica del punto fisso ==

LaUno [[spazio topologico]] <math>X</math> si dice avere la ''proprietà del punto fisso'' se per ogni [[funzione continua]] <math>f: X \to X</math> esiste un <math>x \in X</math> tale che <math>f(x)=x</math>. La proprietà del punto fisso è un [[invariante topologico]], cioè viene preservata dagli [[omeomorfismo|omeomorfismi]]. Inoltre la PPF, viene preservata dalle [[retrazione|retrazioni]].

Per il [[teorema del punto fisso di Brouwer]] tutti i sottoinsiemi [[spazio compatto|compatti]] e [[insieme convesso|convessi]] di uno [[spazio euclideo]] posseggono la proprietà del punto fisso. La sola compattezza non garantisce tale proprietà, e la convessità non è neppure una proprietà topologica, quindi ha senso chiedersi quali condizioni sulla topologia di uno spazio siano necessarie e sufficienti perché si abbia la proprietà del punto fisso. Nel 1932 [[Karol Borsuk|Borsuk]] congetturò che la proprietà fosse posseduta da ogni spazio topologico compatto e [[spazio contraibile|contraibile]]. Il problema rimase aperto per 20 anni finché [[Shin'ichi Kinoshita|Kinoshita]] trovò un esempio di spazio compatto e contraibile che non aveva la proprietà del punto fisso.<ref>Kinoshita, S. On Some Contractible Continua without Fixed Point Property. ''Fund. Math.'' '''40''' (1953), 96-98</ref>

==Sistemi dinamici==

{{vedi anche|Punto periodico}}

[[File:Cosine fixed point.svg|thumb|[[Iterazione di punto fisso|Iterazione del punto fisso]] di ''x''_''n''+1&nbsp;=&nbsp;cos ''x''_''n'' con valore iniziale ''x''₁ = −1.]]

Nello studio dei [[Sistema dinamico|sistemi dinamici]], ogni punto di un'[[Orbita (matematica)|orbita]] periodica è un punto fisso per l'orbita.

== Esempi ==

Sono funzioni con punti fissi:

* Una [[rotazione (matematica)|rotazione]] del [[Piano (geometria)|piano]] intorno ad un punto ''<math>P''</math> assegnato: in questo caso ''<math>P''</math> è l'unico punto fisso della rotazione.

* Una [[riflessione (matematica)|riflessione]] del [[Piano (geometria)|piano]] rispetto ad una retta: ogni punto della retta è un punto fisso.

* LaSe la [[funzione polinomiale]] <math>f</math> sui [[numeri reali]] è definita da:

:<math>f: X \to X(x)=x^2-3x+4</math>

*:''f''(''x'') = ''x''² &minus; 3''x'' + 4,

:Allora 2 è un punto fisso per <math>f</math>: infatti, un calcolo diretto mostra che ''<math>f''(2) = 2</math>.

Sono funzioni senza punti fissi:

* Una rotazione della [[circonferenza]] di un angolo diverso da zero (o 2&pi;di un multiplo di 2π) è una funzione senza punti fissi sulla circonferenza.

* Una [[traslazione (geometria)|traslazione]] diversa dalla [[funzione identità|identità]] non ha punti fissi (la traslazione può essere definita su uno [[spazio vettoriale]] o anche su un [[gruppo (matematica)|gruppo]]).

== Teoremi di esistenzaNote ==

<references/>

Alcuni teoremi molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei punti fissi.

Questi teoremi si applicano in [[analisi matematica]], [[analisi funzionale]] e [[topologia]].

* Il [[Teorema del punto fisso di Banach]] asserisce che una [[contrazione (matematica)|contrazione]] su uno [[spazio metrico]] [[Spazio completo|completo]] ha uno e un solo punto fisso.

* Il [[Teorema del punto fisso di Brouwer]] asserisce che una [[funzione continua]] definita da un sottinsieme compatto e convesso dello [[spazio euclideo]] '''R'''^''n'' in sé ha sempre un punto fisso.

==Bibliografia==

Alcuni teoremi estendono il Teorema di Brouwer a spazi più generali.

* {{cita libro | cognome= Reed | nome= Michael |coautori= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis| editore= Academic press inc.| città= San Diego, California| anno= 1980|ed=2|isbn= 0-12-585050-6|cid =reed |lingua= en}}

* Il [[Teorema del punto fisso di Schauder|Teorema del punto fisso]] di [[Schauder]] stabilisce (in una delle sue versioni): se <math> C </math> è un [[insieme chiuso|sottoinsieme chiuso]], [[insieme convesso|convesso]] e non vuoto di uno [[spazio di Banach]] <math> B </math> e <math> f:C\to C </math> è una funzione continua con [[immagine (matematica)|immagine]] [[spazio compatto|compatta]], allora <math> f </math> ha almeno un punto fisso.

*{{Cita libro|nome= Norman Steenrod |cognome= Samuel Eilenberg |titolo= Foundations of Algebraic Topology |url= https://archive.org/details/foundationsofalg0000eile |editore= Princeton University Press |anno= 1952|lingua= en }}

* Il Teorema di punto fisso di [[Andrei Nikolaevich Tikhonov|Tychonoff]] si applica ad ogni [[spazio vettoriale topologico]] <math> V </math> [[spazio vettoriale topologico localmente convesso|localmente convesso]]. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto <math> X </math> di <math> V </math>, e per ogni funzione continua <math> f:X \to X </math> esiste (almeno) un punto fisso per <math> f </math>.

*{{Cita libro|nome= Bernd |cognome= Schröder |titolo= Ordered Sets |editore= Birkhäuser Boston |anno= 2002|lingua= en }}

* Il [[Teorema di unicità di Kellogg|Teorema di Kellogg]] aggiunge una ''condizione di unicità'' alle condizioni dei teoremi di Shauder e Tykhonov.

* Il [[Teorema di Kakutani|Teorema]] di [[Kakutani]] considera corrispondenze con valori di insieme.

==Voci correlate==

Questi teoremi vengono usati nel campo delle [[equazione differenziale alle derivate parziali|equazioni differenziali alle derivate parziali]].

* [[Iterazione di punto fisso]]

* [[Punto periodico]]

* [[Orbita (matematica)]]

* [[Teorema del punto fisso di Brouwer]]

* [[Teorema delle contrazioni]]

* [[Teorema di Sharkovsky]]

* [[Teoremi di punto fisso]]

== Altri progetti ==

Altri teoremi di punto fisso sono presenti in altri campi:

{{interprogetto}}

*Il [[Teorema di Lawvere]] è un teorema di punto fisso nell'ambito della [[teoria delle categorie]].

==Collegamenti esterni==

== La proprietà topologica del punto fisso ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

Uno [[spazio topologico]] <math>X</math> si dice avere la '''proprietà del punto fisso''' (brevemente '''PPF''') se per ogni [[funzione continua]]

{{Portale|matematica}}

:<math>f: X \to X</math>

esiste un <math>x \in X</math> tale che <math>f(x)=x</math>.

La ''proprietà del punto fisso'' è un [[invariante topologico]], cioè viene preservata dagli [[omeomorfismo|omeomorfismi]]. Inoltre la PPF viene preservata dalle [[retrazione|retrazioni]].

Per il [[teorema del punto fisso di Brouwer]] tutti i sottoinsiemi [[spazio compatto|compatti]] e [[insieme convesso|convessi]] di uno [[spazio euclideo]] posseggono la PPF. La sola compattezza non garantisce la PPF (un [[controesempio]] è costituito dall'unione di due [[intervallo (matematica)|intervalli]] disgiunti) e neppure la sola convessità (la retta non ha la PPF). La proprietà di convessità risulta comunque ''non'' necessaria: esistono spazi topologici ''non'' convessi che hanno la proprietà del punto fisso: un esempio di questo tipo è costituito dallo spazio formato da

:<math>\left\{(0,y)\ \big|\ |y| \leq 1\right\} \cup \left\{\left(x,\sin\frac 1x\right)\ \big|\ x \in \left[0,\frac 1 \pi\right] \right\}</math>

unito con l'arco che connette i punti (0,1) e (1/π,0). Nel 1932 [[Karol Borsuk|Borsuk]] congetturò che la PPF fosse posseduta da ogni spazio topologico compatto e [[spazio contraibile|contraibile]]. Il problema rimase aperto per 20 anni finché [[Shin’ichi Kinoshita|Kinoshita]] trovò un esempio di spazio compatto e contraibile che non aveva la PPF.

[[Categoria:Punti fissi| ]]

[[de:Fixpunkt (Mathematik)]]

[[en:Fixed point (mathematics)]]

[[fr:Point fixe]]

[[ja:不動点]]

[[nl:Dekpunt]]

[[pl:Punkt stały]]

[[ur:مستقل نکتہ]]

[[zh:不动点 (数学)]]