Relatività ristretta: differenze tra le versioni
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La '''teoria della relatività ristretta''' (o '''relatività speciale'''), sviluppata da [[Albert Einstein]] nel 1905,<ref name="ReferenceA">{{cita|Einstein||EinsteinBew|titolo=Zur Elektrodynamik bewegter Körper}}</ref> è una riformulazione ed estensione delle leggi della [[Meccanica (fisica)|meccanica]], che attraverso una revisione dei concetti fondamentali di spazio e tempo portò a una radicale svolta nella comprensione del mondo fisico.
La teoria nacque dalla necessità di ottenere leggi della [[dinamica]] coerenti con quelle dell'[[elettromagnetismo]]. Le correzioni relativistiche diventano indispensabili quando si considerano velocità confrontabili con la [[velocità della luce]]; per fenomeni in cui le velocità sono significativamente inferiori le formule della [[meccanica classica]] risultano essere una buona approssimazione di quelle della relatività ristretta.
==Princìpi generali==
La teoria si basa su due [[Postulato|postulati]]:<ref name=E.1938>{{cita libro|autore= Albert Einstein, Leopold Infeld|titolo=The evolution of Physics |url= https://archive.org/details/evolutionofphysi0000unse_y6p7|anno= 1938|lingua=en}} Traduzione italiana di Carlo Castagnoli: {{cita libro|autore=Albert Einstein, Leopold Infeld |titolo=L'evoluzione della fisica| anno= Torino 1965|editore=Boringhieri|pagina=187}}</ref>
* Le leggi della [[fisica]] sono [[Invarianza (fisica)|invarianti]] in tutti i [[sistema di riferimento inerziale|sistemi di riferimento inerziali]];<ref group=Nota>Le parole usate nell'articolo [[Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento]] del 1905 sono: « ''[...] per tutti i sistemi di coordinate per i quali valgono le equazioni meccaniche debbono valere anche le stesse leggi elettrodinamiche e ottiche [...]'' »</ref>
* La luce si propaga nel [[Vuoto (fisica)|vuoto]] a [[velocità della luce|velocità costante]] <math>c</math>, indipendentemente dallo stato di [[moto (fisica)|moto]] della sorgente o dell'osservatore.<ref group=Nota>Le parole usate nell'articolo [[Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento]] del 1905 sono: « ''[...] che la luce nello spazio vuoto si propaghi sempre con una velocità determinata V, indipendente dallo stato di moto dei corpi emittenti.''»</ref>
Il primo postulato, noto come ''principio di relatività speciale'', estende il [[Relatività galileiana|principio di relatività di Galileo]] dalla meccanica a tutte le leggi della [[fisica]]. Il secondo postulato, sull'invarianza della velocità della luce, elimina la necessità dell'[[etere luminifero]], fornendo l'interpretazione oggi condivisa dell'[[esperimento di Michelson-Morley]].
Dai due postulati discende che nell'[[universo]] descritto dalla relatività speciale, le misure di intervalli temporali e di lunghezze spaziali effettuate da osservatori [[Sistema di riferimento inerziale|inerziali]] non corrispondono necessariamente fra loro, dando luogo a fenomeni come la [[dilatazione del tempo]] e la [[contrazione delle lunghezze]], che sono espressione dell'unione dello spazio tridimensionale e del tempo in
* Le [[Legge fisica|leggi della fisica]] sono [[Invarianza (fisica)|invarianti]] per trasformazioni di Lorentz<ref group="Nota">Ovvero manifestano una [[covarianza di Lorentz]] globale. In [[relatività generale]] tale covarianza risulta invece valida solo localmente, ma per sistemi di riferimento sia inerziali, sia non inerziali.</ref> in tutti i sistemi di riferimento inerziali
Einstein lo rese in seguito l'unico necessario. Con questa formulazione, infatti, il secondo postulato (sull'invarianza della velocità della luce nel vuoto) può essere derivato dal primo (si veda [[Principio di relatività]]), risultando quindi superfluo.<ref group="Nota">{{citazione
|Stabiliremo ora il risultato [...] che, dato il PR [Principio di Relatività], i "secondi assiomi" di Newton ed Einstein esauriscono le possibilità o, in altre parole, che il PR da solo conduce necessariamente o alle TG [Trasformazioni di Galilei] o alle TL [Trasformazioni di Lorentz ]. [...] Quindi il principio di relatività, insieme all'invarianza della causalità, implica necessariamente che tutti i sistemi inerziali siano correlati o da trasformazioni galileiane o da trasformazioni di Lorentz con qualche "c" universale. Il ruolo del secondo assioma è quello di separare queste due possibilità e (nel secondo caso) di fissare il valore di c. Infatti, fissare c è l'unico ruolo del secondo assioma: un valore infinito di "c" corrisponde alla trasformazione galileiana.
|{{cita|Wolfgang Rindler|''Relativity Special, General, and Cosmological'', 2<math>^a</math>,Oxford University Press (2006) Section 2.11.}}
|We shall now establish the result [...] that, given the RP [Relativity Principle], Newton’s and Einstein's "second axioms" exhaust the possibilities, or, in other words, that the RP by itself necessarily leads either to the GT [Galilei Transformations] or to the LT [Lorentz Transformations]. [...] Thus the relativity principle together with causality invariance necessarly implies that all the inertial frames are related either by Galileian transformations, or by Lorentz transformations with some universal "c". The role of the second axiom is to separate these two possibilities, and (in the second case) to fix the value of c. In fact, fixing c is the only role of the second axiom: an infinite value of "c" corresponds to the Galilean transformation.
|lingua=en
|lingua2=it}}</ref>
Sempre nel 1905 Einstein ricavò inoltre, nell'ambito della relatività ristretta,<ref>{{cita pubblicazione|cognome= Einstein |nome=A. |titolo= Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? |url= https://archive.org/details/sim_annalen-der-physik_1905_18_3/page/639 |titolotradotto= L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia? |rivista= Annalen der Physik |volume= 18 |anno= 1905 |pp= 639-641}} Traduzione italiana in {{cita libro |nome=A. |cognome= Einstein |titolo= Opere scelte |curatore = E. Bellone |anno= 1988 |editore= Bollati Boringhieri|città= Torino |pp = 178-180}}</ref> la relazione tra l'[[energia]] e la [[Massa (fisica)|massa]] di un corpo a riposo,<ref>{{cita pubblicazione |autore= E. Hecht |titolo= Einstein on mass and energy |rivista= American Journal of Physics |volume= 77 |numero=9 |anno= 2009 |pagine=799-806 |lingua=en |doi=10.1119/1.3160671}}</ref> affermando l'equivalenza massa-energia e, di conseguenza, un principio fondamentale di conservazione massa-energia. La relazione generale massa-energia è oggi espressa dalla formula [[E=mc²]].
== Storia ==
===
La [[fisica classica]],
L'esistenza di uno spazio e di un tempo assoluti in cui si muovono i corpi non implica però l'esistenza di un sistema di riferimento o di uno stato di moto assoluti. Non esiste alcun punto di osservazione privilegiato nell'universo rispetto al quale sia possibile misurare in termini assoluti le distanze o le velocità: per la [[relatività galileiana]] in ogni sistema di riferimento inerziale, indipendentemente dalla sua velocità relativa, valgono sempre le stesse leggi fisiche. Conseguentemente, lo stato di quiete è sempre relativo ad dato sistema di riferimento inerziale, ma non esiste alcun esperimento in grado di verificare se tale sistema è fermo in senso assoluto. Come scrisse [[Galileo Galilei]]:
{{Citazione|Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti: siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vada versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca che sia posto a basso; e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza. [..] Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia mentre il vascello sta fermo non debbano succedere così: fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur di moto uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti; né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina, o pure sta ferma.|Salviati, ''Giornata seconda''.<ref>Galileo Galilei, [[Dialogo sopra i Massimi Sistemi]],</ref>}}
=== Il ruolo dell'etere nell'elettromagnetismo e in ottica ===
Fin dagli sviluppi della fisica classica nel XVII e nel XVIII secolo, ci fu un intenso dibattito circa la natura profonda della [[luce]] e si erano formate due scuole di pensiero che proponevano due ipotesi opposte. La prima ipotesi sosteneva che la luce fosse composta da corpuscoli di natura particellare, mentre per la seconda ipotesi la luce ha una natura ondulatoria. In base alle conoscenze dell'epoca, era ferma l'idea dell'onda che si origina come vibrazione meccanica e che si propaga necessariamente in un mezzo,<ref group="Nota">Dato che le onde, anche quelle elettromagnetiche, trasportano energia e quantità di moto che può essere assorbita dai corpi, era quindi naturale postulare l'esistenza di un mezzo che la trasportasse. Come scrisse Maxwell: {{citazione
|Se qualcosa è trasmesso da una particella all'altra a distanza, qual è la sua condizione dopo che ha lasciato una particella e prima che abbia raggiunto l'altra? Se questo qualcosa è l'energia potenziale delle due particelle, come nella teoria di Neumann, come dobbiamo concepire questa energia come esistente in un punto dello spazio, che non coincide né con una particella né con l'altra? Infatti, ogni volta che l'energia viene trasmessa da un corpo all'altro nel tempo, deve esserci un mezzo o una sostanza in cui l'energia esiste dopo che ha lasciato un corpo e prima che raggiunga l'altro, poiché l'energia, come ha osservato Torricelli, è una quintessenza di una natura così impercettibile che non può essere contenuta in nessun contenitore eccetto la sostanza più intima delle cose materiali. Quindi tutte queste teorie portano alla concezione di un mezzo in cui avviene la propagazione e se ammettiamo questo mezzo come un'ipotesi, penso che dovrebbe occupare un posto di rilievo nelle nostre indagini ...
|{{cita|Maxwell|Capitolo XXIII, p. 493|Maxwell2}}
|If something is transmitted from one particle to another at a distance, what is its condition after it has left the one particle and before it has reached the other? If this something is the potential energy of the two particles, as in Neumann s theory, how are we to conceive this energy as existing in a point of space, coinciding neither with the one particle nor with the other? In fact, whenever energy is transmitted from one body to another in time, there must be a medium or substance in which the energy exists after it leaves one body and before it reaches the other, for energy, as Torricelli remarked, is a quintessence of so subtile a nature that it cannot be contained in any vessel except the inmost substance of material things. Hence all these theories lead to the conception of a medium in which the propagation takes place, and if we admit this medium as an hypothesis, I think it ought to occupy a prominent place in our investigations [...]
|lingua=en
|lingua2=it}}</ref> come ad esempio le onde sonore nell'atmosfera. Ipotizzando una natura ondulatoria della luce, fu quindi concepito un mezzo, l'[[Etere (fisica)|etere]], in cui potesse propagarsi:
{{Citazione
|Ipotesi I: Un etere luminifero pervade l'universo, altamente rarefatto ed elastico. [...] Ipotesi II: Non appena un corpo diventa luminoso, sono emesse ondulazioni in questo etere. [...] Ipotesi III: La percezione di diversi colori dipende dalla diversa frequenza delle vibrazioni, eccitate dalla luce nella retina.
|[[Thomas Young]]<ref name=young>{{cita pubblicazione|autore=Thomas Young|titolo=The Bakerian Lecture: On the Theory of Light and Colours|rivista=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=92|anno=1802|pp=18-48|lingua=en|url=https://www.jstor.org/stable/107113}}</ref>
|Hypothesis I: A luminiferous Ether pervedes the Universe, rare and elastic in high degree. [...] Hypothesis II: Undulations are excited in this ether whenever a body becomes luminous. [...] Hypothesis III: The Sensation of different Colours depends on the different frequency of Vibrations, excited by light in the retina.
|lingua=en
|lingua2=it}}
Numerose verifiche sperimentali, come l'[[esperimento di Young]], la [[macchia di Poisson]] o la misura della velocità della luce nell'acqua e nell'aria di [[Jean Bernard Léon Foucault|Foucault]] confermarono la natura ondulatoria della luce. La teoria dell'[[Elettromagnetismo#Elettromagnetismo classico|elettromagnetismo]], giunta a completamento con le [[equazioni di Maxwell]], sancì il la vittoria dell'ipotesi ondulatoria circa la natura della luce. Le equazioni di Maxwell ammettono infatti soluzioni ondulatorie, le onde elettromagnetiche, che si propagano alla [[velocità della luce]].<ref>{{cita|Maxwell|Capitolo XX|Maxwell2}}.</ref> La scoperta che la luce non è altro che un'onda elettromagnetica in un determinato intervallo di [[lunghezza d'onda|lunghezze d'onda]] permise di unificare l'[[ottica]] e l'elettromagnetismo in una unica teoria. L'etere divenne quindi non solo il mezzo attraverso il quale si propaga la luce, ma anche il mezzo attraverso il quale si propagano i fenomeni e la forza elettromagnetica. Come scrisse Maxwell, si pensò che un unico mezzo che fosse in grado di spiegare l'ottica e l'elettromagnetismo rafforzasse l'idea dell'esistenza dell'[[etere luminifero]], che non avrebbe dovuto più essere considerato un mero artificio introdotto ad-hoc solo per pura convenienza teorica:
{{citazione
|In diverse parti di questo trattato si è cercato di spiegare i fenomeni elettromagnetici per mezzo di un'azione meccanica trasmessa da un corpo all'altro grazie ad un mezzo che occupa lo spazio tra di loro. Anche la teoria ondulatoria della luce presuppone l'esistenza di un mezzo. Dobbiamo ora mostrare che le proprietà del mezzo elettromagnetico sono identiche a quelle del mezzo luminifero.
Riempire tutto lo spazio con un nuovo mezzo ogni volta che un nuovo fenomeno deve essere spiegato non è affatto razionale, ma se lo studio di due diversi rami della scienza ha suggerito indipendentemente l'idea di un mezzo e se le proprietà che devono essere attribuite al mezzo per spiegare i fenomeni elettromagnetici sono dello stesso tipo di quelli che attribuiamo al mezzo luminifero per spiegare i fenomeni di luce, l'evidenza dell'esistenza fisica del mezzo sarà notevolmente rafforzata.
|James Clerk Maxwell<ref>{{cita|Maxwell|Capitolo XX, p. 431|Maxwell2}}.</ref>
|In several parts of this treatise an attempt has been made to explain electromagnetic phenomena by means of mechanical action transmitted from one body to another by means of a medium occupying the space between them. The undulatory theory of light also assumes the existence of a medium. We have now to shew that the properties of the electromagnetic medium are identical with those of the luminiferous medium.
To fill all space with a new medium whenever any new phenomenon is to be explained is by no means philosophical, but if the study of two different branches of science has independently suggested the idea of a medium, and if the properties which must be attributed to the medium in order to account for electro magnetic phenomena are of the same kind as those which we attribute to the luminiferous medium in order to account for the phenomena of light, the evidence for the physical existence of the medium will be considerably strengthened.
|lingua=en
|lingua2=it}}
L'esistenza dell'etere implicava quella di un sistema di riferimento privilegiato, in quiete rispetto all'etere stesso, rispetto al quale erano valide le equazioni di Maxwell e in cui la velocità della luce nel vuoto risultava essere <math>c</math>. Inoltre, due osservatori in sistemi inerziali diversi avrebbero dovuto usare equazioni diverse per descrivere gli stessi fenomeni elettromagnetici.<ref name="ReferenceA"/> Infine, una misura della velocità della luce avrebbe potuto determinare lo stato di moto dell'osservatore rispetto all'etere. Secondo il principio di [[relatività galileiana]], la velocità della luce misurata da un osservatore in moto deve rispettare la legge di [[Relatività galileiana#Composizione della velocità|trasformazione delle velocità]] di Galileo, per cui la velocità di propagazione effettivamente misurata di un'onda doveva dipendere dallo stato di moto dell'osservatore rispetto all'etere.
=== Crisi del concetto di etere ===
Vi erano comunque delle difficoltà nel postulare che la propagazione del [[campo elettromagnetico]] avvenisse in un sistema di riferimento privilegiato e assoluto, solidale con il mezzo di propagazione delle onde elettromagnetiche chiamato etere. Questo mezzo avrebbe dovuto avere infatti caratteristiche molto particolari, come, per esempio, permeare tutto lo spazio senza offrire nessun [[attrito]] apprezzabile al moto dei corpi immersi in esso, attrito che, altrimenti, avrebbe avuto come conseguenza immediatamente visibile il rallentamento del moto dei pianeti e dei corpi celesti. Mancava tuttavia una teoria che spiegasse l'interazione fra l'etere e la materia ordinaria. L'[[aberrazione della luce|aberrazione celeste]], ossia lo spostamento apparente delle stelle nella volta celeste, poteva essere spiegata con il [[moto di rivoluzione]] della Terra attorno al Sole come proposto da [[James Bradley]] fin dagli inizi del XVIII secolo.<ref name="Bradley">
{{cita pubblicazione|autore=James Bradley|titolo=A Letter from the Reverend Mr. James Bradley Savilian Professor of Astronomy at Oxford, and F.R.S. to Dr.Edmond Halley Astronom. Reg. &c. Giving an Account of a New Discovered Motion of the Fix'd Stars.|data=1727–1728|doi=10.1098/rstl.1727.0064|rivista=Phil. Trans. R. Soc.|volume = 35|numero=406|pp=637-661|bibcode=1727RSPT...35..637B|lingua=en}}</ref> La deviazione relativa dei raggi luminosi in arrivo sulla Terra dalle stelle suggeriva che l'etere non fosse trascinato dal moto della Terra. Al contrario, l'[[esperimento di Fizeau]] suggeriva che l'etere e la luce fossero parzialmente trascinati dal moto della materia.<ref name="fiz1">{{Cita pubblicazione|autore=Fizeau, H.|titolo=Sur les hypothèses relatives à l'éther lumineux|rivista=Comptes Rendus|volume=33|anno=1851|pp=349-355|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29901/f351.chemindefer}}
</ref><ref name=michel2/> Infine, gli esperimenti condotti da [[François Arago]] nel 1810 sembravano invece mostrare che la materia fosse in grado di trascinare completamente con sé l'etere in essa contenuto, dato che la velocità della luce proveniente dalle stelle era risultata essere sempre la stessa indipendentemente dallo stato di moto della Terra.<ref>{{cita pubblicazione|autore=François Arago|titolo=Mémoire sur la vitesse de la lumière|data=10 dicembre|anno= 1810|url=http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/ARAGO_MEMOIRE_SUR_LA_VITESSE_DE_LA_LUMIERE_texte.pdf|lingua=fr}}</ref> L'ipotesi dell'esistenza dell'etere portava quindi a risultati contraddittori.
[[File:Interferometro-Michelson.png|verticale=1.3|min|L'[[Interferometro di Michelson]]. L'esperimento originale utilizzò più specchi di quelli mostrati, la luce veniva riflessa avanti e indietro diverse volte prima di ricombinarsi.]]
Dal punto di vista storico, il più famoso esperimento che mise in crisi il concetto di etere fu condotto da [[Albert Abraham Michelson]] e [[Edward Morley]] nel 1887.<ref name=michel2>{{cita pubblicazione|autore=Albert A. Michelson |coautori=Edward W. Morley|titolo=On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether |rivista=American Journal of Science |volume=34 |numero=203 |anno=1887 |pp=333-345 |doi=10.2475/ajs.s3-34.203.333|url=https://history.aip.org/history/exhibits/gap/PDF/michelson.pdf |bibcode=1887AmJS...34..333M|lingua=en}}</ref> L'[[esperimento di Michelson-Morley]] non mostrò alcuna significativa differenza della velocità della luce nella direzione parallela alla velocità terrestre, in violazione della legge di [[composizione delle velocità]] classiche. Secondo la fisica classica infatti, la velocità della luce (300.000 km/s) avrebbe dovuto comporsi con quella della Terra (30 km/s), nel percorrere un tragitto nella direzione del moto di rivoluzione terrestre. Anche quando l'esperimento fu ripetuto sei mesi dopo, con la Terra in moto in direzione opposta rispetto a un sistema solidale col Sole, si ottenne lo stesso risultato: la velocità della luce era sempre la stessa (300.000 km/s), entro i limiti degli errori sperimentali:
{{citazione
|Sembra ragionevolmente certo, da tutto quello che precede, che se c'è un moto relativo fra la Terra e l'etere luminifero, deve essere piccolo [...]
|Michelson e Morley<ref name=michel2/>
|It appears, from all that precedes, reasonably certain that if there be any relative motion between the earth and the luminiferous ether, it must be small [...]
|lingua=en
|lingua2=it}}
Il "fallimento" dell'esperimento di Michelson nel raggiungere l'obiettivo prefissato, cioè di dimostrare il moto relativo fra la Terra e l'etere, portò [[Hendrik Lorentz]] a formulare una teoria secondo la quale l'interazione fra la materia e l'etere fosse responsabile della contrazione degli strumenti di misura, accorciando quindi il tragitto che la luce avrebbe dovuto percorrere nella direzione del moto terrestre.<ref name=Lorentz>{{cita pubblicazione|autore=Hendrik Lorentz|titolo=De relatieve beweging van de aarde en den aether|rivista=Zittingsverlag Akad. v. Wet.|volume=1|p=74}}</ref> Le [[trasformazioni di Lorentz]], sviluppate negli anni successivi nell'ambito della ''teoria dell'elettrone'' di Lorentz sono la base della relatività ristretta, anche se furono ideate nel tentativo di fondare l'esistenza dell'etere.
=== La soluzione di Einstein ===
La contrazione dei corpi proposta da Lorentz lasciava aperti vari problemi, in particolare sulle proprietà dell'etere che consentissero la contrazione della materia.<ref name=Lorentz/> Una più semplice alternativa fu proposta da [[Albert Einstein]], abbandonando completamente l'etere e supponendo semplicemente che la luce si propaga nel vuoto ad una velocità costante, indipendente dal sistema di riferimento. Così Einstein nel suo articolo "[[Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento]]", dopo aver discusso le simmetrie delle equazioni di Maxwell e dei fenomeni elettromagnetici,<ref group="Nota">Einstein infatti aveva osservato che una corrente elettromagnetica indotta in un circuito dipende solo dalla velocità relativa fra il circuito e la sorgente del campo magnetico, sebbene sembri apparentemente emergere da due fenomeni contraddistinti: {{citazione
|È noto che l'elettrodinamica di Maxwell, come interpretata attualmente, conduce nelle applicazioni ai corpi in movimento a delle asimmetrie che non sembrano ricondursi ai fenomeni. Si può pensare ad esempio all'interazione elettromagnetica fra una magnete e un conduttore. I fenomeni osservabili dipendono in questo caso solo dal moto relativo fra il magnete e il conduttore, mentre secondo l'interpretazione attuale i due casi, a seconda che uno o l'altro di questi corpi sia in movimento, sono strettamente diversi l'uno dall'altro. Se si muove il magnete mentre il conduttore è fermo, allora ci sarà nei pressi del magnete un campo elettrico con un valore noto di energia, il quale genera una corrente nei punti dove si trovano parti del conduttore. Se resta fermo il magnete e si muove il conduttore, allora nei paraggi del magnete non c'è nessun campo elettrico, quindi la forza elettromotrice nel conduttore, che non corrisponde ad alcuna energia, conduce - a parità di moto relativo nei due casi considerati - ad una corrente elettrica della stessa magnitudine e dello stesso andamento di quello generato nel primo caso dalla forza elettrica.
|{{cita|Einstein||EinsteinBew|titolo=Zur Elektrodynamik bewegter Körper}}
|Daß die Elektrodynamik Maxwells - wie dieselbe gegenwärtig aufgefaßt zu werden pflegt - in ihrer Anwendung auf bewegte Korper zu Asymmetrien fuhrt, welche den Phänomenen nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z. B. an die elektrodynamische Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Leiter. Das beobachtbare Phänomen hangt hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, während nach der ublichen Auffassung die beiden Falle, daß der eine oder der andere dieser Körper der bewegte sei, streng voneinander zu trennen sind. Bewegt sich namlich der Magnet und ruht der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten ein elektrisches Feld von gewissem Energiewerte, welches an den Orten, wo sich Teile des Leiters befinden, einen Strom erzeugt. Ruht aber der Magnet und bewegt sich der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten kein elektrisches Feld, dagegen im Leiter eine elektromotorische Kraft, welcher an sich keine Energie entspricht, die aber - Gleichheit der Relativbewegung bei den beiden ins Auge gefaßten Fällen vorausgesetzt - zu elektrischen Strömen von derselben Größe und demselben Verlaufe Veranlassung gibt, wie im ersten Falle die elektrischen Kräfte.
|lingua=de
|lingua2=it}}</ref> spiegò i presupposti necessari per lo sviluppo della teoria della relatività ristretta:
{{citazione
|Esempi simili, così come i tentativi falliti di rilevare il moto della Terra rispetto all'etere luminifero, portano a supporre che il concetto di stato a riposo assoluto non corrisponda ad una proprietà dei fenomeni fisici non solo nella meccanica ma anche nell'elettrodinamica, ma piuttosto che per tutti i sistemi di coordinate in cui sono valide le equazioni della meccanica, valgono anche le stesse leggi elettrodinamiche ed ottiche, come già dimostrato per le grandezze del primo ordine. Vogliamo fare di questo presupposto (il cui contenuto sarà chiamato di seguito il "Principio di Relatività") un postulato e anche introdurre un altro postulato, apparentemente incompatibile con il primo, che la luce nello spazio vuoto si propaghi sempre con una velocità V indipendente dallo stato di moto della sorgente emittente. Queste due condizioni sono sufficienti per arrivare a una elettrodinamica dei corpi in movimento semplice e libera da contraddizioni, basata sulla stessa teoria di Maxwell formulata per i corpi a riposo. L'introduzione di un "etere luminifero" si rivelerà superflua in quanto, secondo l'interpretazione sviluppata, non si introduce uno "spazio assoluto in quiete" dotato di proprietà speciali, né viene assegnato un vettore velocità ad un punto nello spazio vuoto nel quale avvengono i processi elettromagnetici.
|Albert Einstein<ref name="ReferenceA">{{cita|Einstein||EinsteinBew|titolo=Zur Elektrodynamik bewegter Körper}}</ref>
|Beispiele Ähnlicher Art, sowie die mißlungenen Versuche, eine Bewegung der Erde relativ zum "Lichtmedium" zu konstatieren, führen zu der Vermutung, daß dern Begriffe der absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften der Erscheinungen entsprechen, sondern daß vielmehr für alle Koordinatensysteme, für welche die mechanischen Gleichungen gelten, auch die gleichen elektrodynamischen und optischen Gesetze gelten, wie dies fur die Größen erster Ordnung bereits erwiesen ist. Wir wollen diese Vermutung (deren Inhalt im folgenden "Prinzip der Relativitat" genannt werden wird) zur Voraussetzung erheben und außerdem die mit ihm nur scheinbar unvertragliche Voraussetzung einführen, daß sich das Licht im leeren Raume stets mit einer bestimmten, vom Bewegungszustande des emittierenden Körpers unabhangigen Geschwindigkeit V fortpflanze. Diese beiden Voraussetzungen genügen, um zu einer einfachen und widerspruchsfreien Elektrodynamik bewegter Korper zu gelangen unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie fur ruhende Korper. Die Einfuhrung eines "Lichtäthers" wird sich insofern als uberflüssig erweisen, als nach der zu entwickelnden Auffassung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter "absolut ruhender Raum" eingeführt, noch einem Punkte des leeren Raumes, in welchem elektromagnetische Prozesse stattfinden, ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet wird.
|lingua=de
|lingua2=it}}
La strada era fortemente innovativa, concettualmente semplice. Per questo Einstein non considerò mai la relatività speciale come motivo d'onore: disse invece che chiunque vi sarebbe prima o poi giunto, solo considerando le evidenze sperimentali.<ref>Abraham Pais, ''La scienza e la vita di Albert Einstein'', Bollati Boringhieri, Torino, 1986, ISBN 978-88-339-1927-0, p. 45</ref> In effetti, [[Henri Poincaré]] aveva svolto e pubblicato prima di Einstein i calcoli della cinematica relativistica, fermandosi però ad un passo dall'affermare la non esistenza dell'etere. Quel passo, decisivo e rischioso ad un tempo, sarà fatto solo da Einstein nell'articolo ''[[Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento]]''.
== Trasformazioni tra sistemi di riferimento ==
La misura delle lunghezze, ossia delle distanze fra due punti nello spazio definite come
:<math>L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}</math>,
e degli intervalli temporali fra due eventi <math>\Delta t = (t_2 - t_1)</math> è assoluta nella meccanica classica, nel senso che è identica fra tutti gli osservatori inerziali. Tuttavia, essendo la [[velocità]] di un qualsiasi corpo o particella uguale alla distanza percorsa diviso l'intervallo di tempo necessario per percorrerla, l'invarianza della velocità della luce nella relatività ristretta ha come conseguenza che gli osservatori inerziali in generale discorderanno sugli intervalli temporali e sulle lunghezze. Questo disaccordo non ha una caratteristica meccanica, ossia i corpi in moto non risultano fisicamente schiacciati o compressi<ref group="Nota">Al contrario di quanto supposto da Lorentz nella sua teoria dell'elettrone del 1892.</ref> oppure non percepiscono che il tempo scorra più lentamente. Il disaccordo è invece solamente un effetto legato alla misura degli intervalli temporali e delle lunghezze.
Questa peculiarità della relatività delle misure delle distanze e degli intervalli temporali è il cuore della teoria della relatività ristretta. Il fenomeno della [[contrazione delle lunghezze]] e della [[dilatazione del tempo]] è una conseguenza necessaria dell'invarianza della velocità della luce misurata da tutti gli osservatori inerziali.
A partire dai due postulati ammessi da Einstein, in particolare dall'invarianza della velocità della luce, il primo passo per comprendere questi fenomeni è quello di definire le nuove trasformazioni che permettono di passare da un [[sistema di coordinate]] ad un altro in moto relativo. Il problema da affrontare è quello di capire come gli eventi siano visti da due osservatori inerziali, in [[Moto rettilineo|moto rettilineo uniforme]] l'uno rispetto all'altro. Un evento, nel linguaggio della relatività ristretta, è un punto dello [[spaziotempo]] quadrimensionale dato dalle coordinate <math>(x,y,z,t)</math>, che corrisponde ad un evento occorso in un punto dello spazio ad un certo istante. Mentre nella fisica classica la coordinata temporale ha una caratteristica assoluta per tutti gli osservatori, mentre questo non è più vero nella relatività ristretta, a causa dell'invarianza della velocità della luce. Due osservatori inerziali saranno perciò discordi non solo sulla posizione relativa dell'evento <math>(x,y,z)</math>, ma anche sull'istante <math>t</math> in cui è accaduto. Dalle trasformazioni dei punti nello [[spaziotempo]] quadridimensionale sarà poi possibile comprendere il fenomeno della [[contrazione delle lunghezze]] e della [[dilatazione del tempo]].
=== Trasformazioni di Galileo ===
{{vedi anche|Trasformazione galileiana}}
[[File:Trasformazione_galileiana.png|alt=|destra]]
Le [[Trasformazione galileiana|trasformazioni galileiane]], che legano le coordinate osservate da due osservatori inerziali in moto reciproco a velocità <math>V</math>, non sono compatibili con i principi della relatività ristretta. Infatti, le trasformazioni che legano i punti <math>(x,y,z)</math> visti dal primo osservatore (O1) con i punti <math>(x',y',z')</math> osservati dal secondo osservatore (O2) sono della forma:
:<math>\underset{\displaystyle{\text{osservatore O1}}}
{\left\{\begin{align}
& x = x' + V t\\
& y = y' \\
& z = z' \\
& t = t'
\end{align}\right.}
\iff
\underset{\displaystyle{\text{osservatore O2}}}
{\left\{\begin{align}
& x' = x - V t\\
& y' = y \\
& z' = z \\
& t' = t
\end{align}\right.}</math>
dove si è assunto, senza perdita di generalità, che il moto dei due osservatori avvenga lungo l'asse <math>X</math>, ossia che <math>\vec{V}= (V, 0, 0)</math>. La prima di queste equazioni, <math>x = x' + V t</math> con la sua inversa, esprime semplicemente il moto rettilineo uniforme del primo osservatore rispetto al secondo, assieme al fatto che le posizioni osservate dei punti dello spazio si trasleranno di conseguenza. L'ultima equazione <math>t = t'</math> definisce l'uguaglianza del tempo assoluto classico.
Tuttavia, supponendo di descrivere con <math>\Delta x</math> la variazione della posizione di un raggio di luce che viaggia lungo l'asse <math>x</math> in un intervallo <math>\Delta t</math> queste trasformazioni implicano che la velocità della luce diventi nel secondo sistema di riferimento
:<math>\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\Delta (x' + V t')}{\Delta t'} = \frac{\Delta x'}{\Delta t'} + V</math>.
Questa formula è la legge di composizione classica delle velocità. Dato che a muoversi è un raggio di luce, si avrebbe nel primo sistema di riferimento
:<math>\frac{\Delta x}{\Delta t} = c</math>,
mentre la velocità osservata nel secondo sistema di riferimento sarebbe <math>c+V</math>, superiore rispetto a quella della luce. Ad esempio, emettendo un segnale luminoso da un corpo in moto in un sistema di riferimento, classicamente ci si aspetta che questo si muova ad una velocità diversa da quella della luce emessa da un corpo fermo, o inferiore o superiore, a seconda di dove è stato diretto il segnale. In altri termini, classicamente la velocità della luce non è invariante. Le trasformazioni di Galileo violano quindi il secondo principio della relatività ristretta e sono in contrasto coi risultati dell'[[esperimento di Michelson-Morley]]. Bisogna allora supporre che le trasformazioni di coordinate nella relatività ristretta abbiano forma differente.
===Trasformazioni di Lorentz===
{{vedi anche|Trasformazioni di Lorentz}}
[[File:Animated Lorentz Transformation.gif|verticale=1.4|min|Una visualizzazione della trasformazione di Lorentz. Viene considerata solo una delle coordinate spaziali. Nello [[spazio di Minkowski]], gli assi dello spazio (X) e del tempo (Y) [linee con pallini] sono perpendicolari per un osservatore a riposo rispetto a quel riferimento. L'intersezione (0, 0) individua un evento che accade "qui ed ora", mentre le bisettrici caratterizzano la velocità della luce <math>c</math>. Tutti gli eventi fisici del passato stanno nel triangolo inferiore (t < 0), mentre quelli del futuro nel triangolo superiore (t > 0). All'aumentare della velocità <math>v</math> dell'osservatore, gli assi (X, Y) si stringono progressivamente verso le bisettrici, restando simmetrici rispetto alle diagonali ma formando un angolo minore di quello retto. Le linee che diventano oblique indicano la griglia di coordinate (X, Y) per un osservatore in movimento rispetto allo stesso sistema di riferimento.]]
Le [[trasformazioni di Lorentz]] soddisfano invece i principi della relatività ristretta e in particolare l'invarianza della velocità della luce. Le trasformazioni hanno la forma:
:<math>\underset{\displaystyle{\text{osservatore O1}}}
{\left\{\begin{align}
& x = \frac{x' + Vt'}{\sqrt {1 - \beta ^2}} = \gamma \left( x' + Vt' \right)\\
& y = y' \\
& z = z' \\
& t = \frac{t' + \frac{V x'}{c^2}}{\sqrt {1 - \beta ^2}} = \gamma \left( t' + \frac{V x'}{c^2} \right)
\end{align}\right.}
\iff
\underset{\displaystyle{\text{osservatore O2}}}
{\left\{\begin{align}
& x' = \frac{x - V t}{\sqrt {1 - \beta ^2}} = \gamma \left( x - Vt \right)\\
& y' = y \\
& z' = z \\
& t' = \frac{t - \frac{V x}{c^2}}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \gamma \left( t - \frac{V x}{c^2} \right)
\end{align}\right.}
</math>
dove si è supposto che il moto relativo dei due osservatori avvenga lungo l'asse <math>X</math> e si sono introdotti il parametro di velocità
:<math>\beta = \frac{V}{c}</math>
e il [[fattore di Lorentz]]
:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}.</math>
Al contrario del caso delle trasformazioni galileiane, il tempo non è assoluto: due osservatori in moto relativo associeranno ad uno stesso evento, cioè ad un punto (x, y, z, t), non solo posizioni differenti, ma anche tempi differenti, dato che <math>t \neq t'</math>. Il concetto di simultaneità di conseguenza non è più assoluto ma dipende dal sistema di riferimento. In questo modo, la velocità della luce risulta invariante. Infatti, considerando il rapporto:
:<math>\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\Delta x'+V \Delta t'}{\Delta t' +\frac{V\Delta x'}{c^2}} = \frac{\Delta t'}{\Delta t'}\frac{\frac{\Delta x'}{\Delta t'}+V }{1 +\frac{V\frac{\Delta x'}{\Delta t'}}{c^2}}</math>,
se la velocità <math>\frac{\Delta x'}{\Delta t'}</math> misurata da uno dei due osservatori è quella di un raggio di luce
:<math>\frac{\Delta x'}{\Delta t'} = c</math>,
allora anche per l'altro osservatore la velocità della luce misurata è la stessa:
:<math>\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\frac{\Delta x'}{\Delta t'}+V }{1 +\frac{V\frac{\Delta x'}{\Delta t'}}{c^2}} = \frac{c+V }{1 +\frac{Vc}{c^2}} = c \frac{1 + \frac{V}{c}}{1 +\frac{V}{c}}=c</math>.
Nel limite di basse velocità, <math>V \ll c</math>, si ha approssimando che
:<math>\beta = \frac{V}{c} \simeq 0</math>
e anche
:<math>\frac{V x}{c^2} \simeq 0</math>,
sicché le trasformazioni di Lorentz si riducono a quelle di Galileo.<ref group="Nota">Si noti come questo limite, chiamato ''limite classico'', possa essere concettualmente ottenuto sia per <math>v</math> piccolo sia per <math>c\rightarrow\infty</math>; infatti, una velocità infinita della luce, significa poter stabilire una simultaneità assoluta e quindi un ritorno alla visione classica.</ref> In altri termini, gli effetti relativistici diventano non trascurabili per velocità confrontabili con quelle della luce.
Le particelle elementari prive di massa, come i [[fotoni]] stessi che costituiscono la luce, viaggiano alla velocità della luce. Dal punto di vista della teoria della relatività ristretta, non è concepibile un sistema di riferimento inerziale solidale nel quale queste particelle siano ferme. Infatti le trasformazioni di Lorentz divergono quando la velocità <math>V</math> si avvicina a <math>c</math>, dato che in questo limite
:<math>\beta = \frac{V}{c} \simeq 1</math>
:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \simeq \infty</math>,
facendo divergere le espressioni per il cambiamento di coordinate.
Le trasformazioni di Lorentz trattano il tempo come una coordinata allo stesso livello di una qualunque coordinata spaziale. Dato che un evento può essere sempre individuato tramite la sua posizione nello spazio e lungo l'asse temporale, il formalismo relativistico può essere costruito in uno spazio a quattro dimensioni, lo [[spazio-tempo]] di Minkowski, nel quale le prime tre coordinate coincidono con le normali coordinate spaziali e la quarta è rappresentata dal tempo. In questo spaziotempo, le distanze quadri dimensionali fra due punti distinti possono essere positive, nulle o anche negative. Le trasformazioni di Lorentz hanno una importante interpretazione geometrica come le [[Trasformazione lineare|trasformazioni lineari]] che connettono fra loro sistemi diversi di coordinate spazio-temporali, lasciando invariata la [[Spaziotempo di Minkowski#Trasformazioni di Lorentz|separazione spazio-temporale]] fra ogni coppia di eventi.
===Contrazione delle lunghezze===
{{vedi anche|Contrazione delle lunghezze}}
La lunghezza di un corpo in movimento non è invariante, ma subisce una ''contrazione'' nella direzione del moto <math>(L' < L)</math>. Supponiamo di misurare la lunghezza di un corpo in due sistemi di riferimento: nel primo <math>(S)</math> il corpo è in quiete, mentre nel secondo <math>(S')</math> è in moto con velocità <math>V</math>. Dall'espressione delle trasformazioni di Lorentz, assumendo come sopra di misurare la lunghezza lungo l'asse <math>X</math>, nel primo sistema di riferimento inerziale <math>(S)</math> si ha
:<math>L = \Delta x = x_2 - x_1 = \gamma \, (x_2' + V t_2' - x_1' - V t_1')</math>.
Le misure di lunghezza nel sistema in cui il corpo è in moto <math>(S')</math> devono essere fatte nello ''stesso istante'', in modo che valga
<math>t_1' = t_2' = t'</math>. Allora
:<math>L = \gamma \, (x_2' + Vt' - x_1' - Vt') = \gamma \, (x_2' - x_1') = \gamma \, \Delta x' = \gamma \, L'</math>.
Invertendo tale relazione si ha:
:<math>L' = \frac{L}{\gamma}</math>.
Dato che <math>\gamma > 1</math>, allora <math>L' < L</math>, ossia nel secondo sistema di riferimento inerziale <math>(S')</math>, in cui il corpo risulta in moto, la lunghezza <math>L'</math> è minore di <math>L</math>, quella misurata nel primo sistema di riferimento <math>(S)</math>, nel quale è in quiete.
La lunghezza misurata da un osservatore in quiete rispetto all'oggetto è detta ''lunghezza propria'' ed è a volte indicata con <math>\ell</math>.
La contrazione delle lunghezze non deve essere interpretata come se il metro variasse la sua dimensione al cambio di sistema di riferimento. Le misure infatti saranno differenti solo se effettuate da un altro osservatore in moto relativo: la lunghezza del proprio metro e la durata del proprio minuto è la stessa per tutti gli osservatori. C'è da specificare, inoltre, che il restringimento della lunghezza secondo la teoria della relatività ristretta avviene soltanto nella direzione di avanzamento, e sia lo scorrere più lento del tempo, sia il restringimento dello spazio, si verificano contemporaneamente.
===Dilatazione dei tempi===
{{vedi anche|Dilatazione del tempo}}
L'intervallo di tempo trascorso tra due eventi non è invariante, ma subisce una dilatazione se misurato da un orologio di un osservatore in moto rispetto agli eventi <math>(\Delta t' > \Delta t)</math>. Tale dilatazione è data dalla formula
: <math>\Delta t' = \gamma \, \Delta t = \gamma \, \tau</math>
La durata minima dell'intervallo di tempo è misurata da un orologio solidale con gli eventi; tale intervallo <math>\tau</math> viene chiamato ''[[tempo proprio]]''.
Confrontando le due formule per la contrazione della lunghezza e del tempo, si nota che «dove lo spazio si contrae, il tempo si dilata; e, viceversa, dove il tempo si contrae, lo spazio si dilata.» (Einstein) La relazione diventa più evidente se si risolvono le due equazioni rispetto a <math>\gamma</math>
:<math>\gamma = \frac {L}{L'} = \frac{\Delta t'}{\Delta t} = \frac {\ell}{L'} = \frac{\Delta t'}{\tau }</math>,
da cui si vede che la contrazione della lunghezza è compensata dalla dilatazione dell'intervallo temporale:
:<math>\ell \, \tau = L' \, \Delta t'</math>.
=== Simultaneità ===
Anche il concetto di ''simultaneità'' perde la sua assolutezza; infatti, se la velocità della luce è finita ed è la stessa per ogni osservatore, due eventi simultanei in un sistema inerziale non lo sono più se osservati da un altro sistema inerziale in moto rispetto al primo.
Se la luce emessa da due lampadine (chiamiamole A e B) equidistanti da un osservatore '''O''', fermo rispetto a esse, lo raggiungerà allo stesso istante, allora O considererà i due eventi come simultanei.
Un osservatore '''O'''' in un diverso stato di moto, ovvero in un sistema di riferimento inerziale in moto rettilineo uniforme rispetto a quello in cui '''O''', A e B sono fermi, in generale percepirà la luce delle due lampadine in istanti diversi. Anche la meccanica classica prevede che la luce abbia una velocità finita, dunque che a seconda della posizione di un osservatore l'informazione luminosa di due eventi distanti ''simultanei'' possa giungere prima o dopo.
Nell'ambito della meccanica classica, però, tutto si deve risolvere svolgendo gli opportuni calcoli che tengano nel debito conto la distanza dagli eventi e la velocità della luce: l'osservatore '''O'''', sapendo di essere (ad esempio) più vicino ad A che a B, calcolando il tempo che intercorre tra il momento in cui riceve l'impulso luminoso di A e quello di B, e conoscendo le distanze relative e la velocità della luce, dovrebbe concludere che "in realtà" gli eventi erano contemporanei. Per fare un altro esempio, se noi vedessimo un semaforo accendersi a pochi metri da noi e, circa otto minuti dopo, osservassimo una [[eruzione solare]], pur avendo percepito in istanti diversi la luce dei due eventi, concluderemmo secondo la meccanica classica (sapendo che la luce del Sole impiega proprio 8 minuti per giungere sulla Terra) che i due eventi sono avvenuti nel medesimo istante.
Ciò non risulta valido nell'ambito della relatività speciale. Se '''O'''' è in moto rispetto a '''O''', A e B (a una velocità sufficientemente alta da apprezzare gli effetti relativistici), anche tenendo nel debito conto come precisato sopra gli effetti della velocità della luce dovrà concludere (ad esempio) che A precede B. Un altro osservatore '''O"''', con stato di moto opposto, dovrà invece concludere che B precede A.
La situazione è apparentemente paradossale, a causa della concezione "classica" dell'esistenza di un tempo assoluto, uguale per tutti i sistemi di riferimento. Venendo a mancare questo, sostituito dallo [[spazio-tempo]] relativistico, la simultaneità di due eventi distanti risulta essere legata allo stato di moto dell'osservatore di tali eventi, e non più assoluta.
Questa situazione si verifica soltanto per eventi tra i quali intercorre un intervallo di tipo spaziale, tali cioè che è impossibile per un raggio di luce (o per qualcosa di più lento) essere presente a entrambi gli eventi: nell'esempio delle lampadine, in effetti, se esse sono distanti tra loro ''d'', e la loro accensione risulta contemporanea per un osservatore fermo rispetto a esse, un raggio di luce non potrà essere presente sia all'accensione di A sia a quella di B, avendo velocità finita.
Le coppie di eventi per i quali invece la luce (o qualcosa di più lento) può presenziare a entrambi, sono dette separate da un intervallo di tipo temporale: questi eventi saranno visti da tutti gli osservatori, qualunque sia il loro stato di moto, nello stesso ordine cronologico (anche se l'intervallo di tempo potrà apparire più breve o più lungo ai diversi osservatori). Per queste coppie di eventi sussiste dunque una definita relazione [[Causalità naturale|causale]], legata alla cronologica di prima/dopo che è indipendente dall'osservatore.
== Cinematica e dinamica relativistiche ==
{{vedi anche|meccanica relativistica}}
=== Effetti sul tempo ===
Come detto precedentemente, l'effetto principale del limite assoluto (<math>c</math>) sulla velocità della luce è la mancanza di accordo tra osservatori diversi sulla simultaneità tra due o più eventi osservati dai rispettivi sistemi di riferimento.
Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali <math>R</math> e <math>R'</math> e sia <math>V</math> la velocità lungo l'asse positivo delle
L'osservatore in <math>R</math> invece sostiene che il lampo di luce arriva prima al rivelatore di sinistra e poi a quello di destra, perché deve percorrere meno strada verso sinistra in quanto il rivelatore gli viene incontro. Se <math>2L</math> è la distanza misurata tra i due ricevitori, allora la luce raggiungerà il rivelatore di sinistra all'istante <math>t_s=\frac{L
Quanto detto comporta anche che due orologi perfettamente sincronizzati nel sistema <math>R'</math>, osservati ''simultaneamente'' da <math>R</math> non lo saranno più, ma quello a sinistra segnerà un orario maggiore di quello a destra; infatti la differenza si calcola facilmente ponendo una lampada in <math>R'</math> in posizione tale che illumini contemporaneamente i due orologi secondo il punto di vista dell'osservatore fermo in <math>R</math>. Questa lampada dovrà essere posta
=== Cinematica ===
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È generalmente utilizzato, allo scopo di alleggerire la formulazione e creare degli [[invarianza (fisica)|invarianti]] per cambiamento di riferimento (quali erano il tempo e l'accelerazione in meccanica classica), un formalismo [[tensore|tensoriale]] che definisce le grandezze della cinematica non più grazie ai vettori in '''R'''<sup>3</sup>, ma ai [[quadrivettore|quadrivettori]] nello [[Spazio-tempo di Minkowski]] '''M''' quadridimensionale. Data una nuova definizione di tempo proprio, uno [[Grandezza scalare|scalare]] realmente indipendente dal sistema di riferimento e legato solo al moto del corpo studiato, si possono derivare, dalla posizione di un corpo nello spazio tempo, la sua [[quadrivelocità]] e [[quadriaccelerazione]].
Chiamiamo <math>X^\
:<math>
Definiamo [[tempo proprio]] il tempo che misurerebbe un orologio posto su una particella in moto vario nello [[spaziotempo]] come se si muovesse di moto rettilineo uniforme. In simboli ( |'''X'''| indica la [[Spazio-tempo di Minkowski#Norma quadrata|norma di
:<math>d\tau:=\frac{1}{c}|d
Il tempo proprio è una grandezza utile a parametrizzare la traiettoria di un corpo.
Definiamo anche il quadrivettore [[velocità]] come <math>U^\
:<math>\begin{cases} U_0=\gamma c\,\\
U_{\alpha}=\gamma v_{\alpha}\,\\
Riga 152 ⟶ 248:
Di seguito sono riportati due casi notevoli, ottenuti applicando le trasformazioni di Lorentz.
Si ricava che la nozione di parallelismo tra due rette è invariante, mentre non lo è quella di perpendicolarità. L'angolo tra due vettori è invariante solo se si trovano entrambi in un piano perpendicolare alla velocità relativa tra i due osservatori.
{{vedi anche|composizione delle velocità}}
Come diretta conseguenza delle trasformazioni di Lorentz, le velocità si compongono non come normali vettori (vedi regola del [[parallelogramma]]) ma in un modo diverso, che tiene conto
:<math>\begin{cases}
{u'_x}=\frac{u_x-v}{1-\frac{vu_x}{c^2}}\,\\
Riga 163 ⟶ 259:
{u'_z}=\frac{u_z}{\gamma(1-\frac{vu_x}{c^2})} \end{cases}</math>
==== Trasformazione delle accelerazioni ====
Nel passaggio da un SdR inerziale ad un altro l'accelerazione di un corpo non è invariante. Supponiamo di avere due sistemi di riferimento S e S*; poniamoci inizialmente solidali ad S e ipotizziamo che S* si muova con velocità <math>\vec{V} = (V, 0, 0)</math>. Osserviamo ora una particella che si muove con velocità <math>\vec{v}_\mathrm{p}=(v_x,v_y,v_z)</math> e accelerazione <math>\vec{a}_\mathrm{p}=(a_x,a_y,a_z)</math>, allora, nel passaggio da S a S*, le componenti di <math>\vec{a}_\mathrm{p}</math> si trasformano nel seguente modo:
<math>\vec{a}_p':\begin{cases} a_{x'} = \frac{a_x}{\gamma^3\left(1-\frac{Vv_x}{c^2}\right)^3}\\ a_{y'} = \frac{a_y}{\gamma^2\left(1-\frac{Vv_x}{c^2}\right)} + \frac{\frac{Vv_y}{c^2}a_x}{\gamma^2\left(1-\frac{Vv_x}{c^2}\right)^3}\\ a_{z'} = \frac{a_z}{\gamma^2\left(1-\frac{Vv_x}{c^2}\right)} + \frac{\frac{Vv_z}{c^2}a_x}{\gamma^2\left(1-\frac{Vv_x}{c^2}\right)^3}\end{cases}</math>
===== Accelerazione propria =====
[[File:Proper Acceleration1.png|min|Rappresentazione di una particella in moto rettilineo e del suo sistema di riferimento inerziale momentaneo S'|nessuno]]
Supponiamo di essere in una situazione analoga alla precedente, allora <math>\forall t \in \R \exist </math> SdR inerziale S*: <math>\vec{v}_\mathrm{p}' = \vec{0}</math>. L'accelerazione della particella misurata in questo SdR inerziale è detta accelerazione propria <math>\vec{\alpha}</math>.
[[File:Linea di Universo di una particella con accelerazione propria costante.png|min|Diagramma di Minkowski: linea d'universo di una particella in moto rettilineo con '''accelerazione''' '''propria''' costante]]
Nel caso in cui la particella si muova di moto rettilineo lungo l'asse x, <math>\vec{\alpha} = \gamma^3(a_x,0,0)</math>.
Nel caso in cui la particella si muova di [[Moto circolare|moto circolare uniforme]], ruotando gli assi in modo che la velocità sia sempre diretta lungo x, <math>\vec{\alpha} = \gamma^2(0, a_y, 0)</math>.
L'accelerazione propria è invariante per trasformazioni di Lorentz, infatti il quadrivettore accelerazione <math>a^\mu = \gamma_\mathrm{p}(c\dot{\gamma}_\mathrm{p};\dot{\gamma}_\mathrm{p}\vec{v}_\mathrm{p}+\gamma_\mathrm{p} \vec{a}_\mathrm{p})</math>, che in S* assume la forma <math>(0;\vec{\alpha})</math>, ha norma di Minkowski al quadrato <math>a^\mu a_\mu = -\alpha^2</math>.
=== Dinamica ===
Il quadrivettore quantità di moto <math>P^\mu</math>(''[[quadrimpulso]]'') è definito, similmente alla meccanica newtoniana, come:
:<math>P^\mu=m U^\mu = m\gamma (c,\vec{v})</math>
dove ''m'' è la [[E=mc²#Massa invariante|massa invariante]].
La quantità di moto tridimensionale nel sistema di riferimento dell'osservatore diventa quindi:
:<math>\vec P=\gamma m\vec v</math>
A causa del coefficiente <math>\gamma</math> la quantità di moto di un corpo tende a infinito quando ''v'' tende alla velocità della luce ''c''. Analogamente, introducendo la ''[[quadriforza]]'' <math>
:<math>
oppure, ponendo <math>F^\
:<math>
Facciamo l'esempio di una particella sottoposta
=== Energia ===
Definendo l{{'}}'''energia''' ''E'' come <math>E=\gamma mc^2</math> si dimostra facilmente il [[teorema dell'energia cinetica]]:
:<math>\frac{dE}{dt}=\vec v\cdot \vec F</math>.
:<math>\begin{align}
E&=\gamma m c^2=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} m c^2\\
&=\left(1+\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4}+\cdots \right) m c^2\\
&=mc^2 +\frac{1}{2} m v^2+\frac{3}{8} m \frac{v^4}{c^2}+\cdots
\end{align}</math>
L'energia, approssimata al second'ordine, risulta essere formata da una componente costante <math>mc^2</math> dipendente solo dalla massa del corpo e dal termine <math>\frac{1}{2} m v^2</math>, uguale all'[[energia cinetica]] della meccanica newtoniana (per piccole ''v'' rispetto a ''c''). L'energia ''E'' è quindi la naturale estensione dell'energia cinetica "classica". La formula <math>E=mc^2</math> riferita all'energia in quiete, la più conosciuta della Fisica assieme alla 2ª Legge della Dinamica di Newton <math>\vec{F}=m\vec{a}</math>, dice in sostanza che l'energia può trasformarsi in massa e viceversa: in sintesi, energia e massa sono equivalenti.
Questo principio è quello che si verifica nella [[fissione nucleare]], dove per esempio una massa di 10 grammi di uranio
== Paradossi relativistici ==
Le difficoltà nell'accettazione della teoria della relatività si manifestarono anche nella formulazione di alcuni [[esperimenti mentali]], chiamati ''[[paradosso|paradossi]] relativistici'', in cui l'applicazione della relatività ristretta porta a conseguenze lontane dal senso comune, se non addirittura contraddittorie (da qui il nome "paradossi"). I paradossi relativistici vennero anche usati dai detrattori della relatività per cercare di dimostrare l'incoerenza della teoria stessa.
Alcuni
Altri paradossi tendono invece a cercare contraddizioni interne alla teoria della relatività. Un famoso esempio è il [[paradosso dei gemelli]], che deve il suo nome alla presentazione che ne fece il [[filosofo]] [[Herbert Dingle]] negli anni
== Conferme sperimentali ==
Gli effetti sulle lunghezze e sugli intervalli di tempo sono normalmente osservati sia in natura sia nei laboratori, dove particelle sono spinte negli [[acceleratore di particelle|acceleratori]] a velocità vicine a quelle della luce.
Una prima conferma fu ottenuta grazie all'[[esperimento di Bruno Rossi e David B. Hall]] ed è legata alla maggiore vita media dei [[pione|pioni]] o dei [[muone|muoni]] generati dai [[raggi cosmici]] nell'alta [[atmosfera terrestre]]: questi pioni e muoni esistono mediamente solo per circa 2 milionesimi di secondo, poi si trasformano in altre particelle. Muovendosi al 99% della velocità della luce, la distanza che dovrebbero percorrere si può calcolare in 300.000 km/s × 0,99 × 2 µs = 0,6 km. Quindi, percorrendo solo 600 metri, ed essendo prodotti nell'alta atmosfera, essi dovrebbero decadere prima di arrivare sulla superficie della terra. Nella realtà essi arrivano fino al [[livello del mare]], cosa che viene interpretata come un aumento della loro vita media a causa dell'alta velocità: rispetto a un osservatore sulla superficie terrestre, la durata del loro stato stabile si allunga (perché il loro tempo scorre più lentamente), e sono quindi in grado di percorrere distanze più grandi di quelle attese.
L'equivalenza tra massa ed energia è confermata dal [[difetto di massa]]: due particelle legate tra loro hanno una massa totale minore della somma delle stesse particelle libere; la differenza di massa è dovuta al fatto che le particelle appartengono allo stesso sistema cinetico: nel caso opposto entrambe sommano alla loro massa inerziale quella cinetica.
Nel 2022, è stata rilevata la contrazione del [[campo elettrico]] (campo di [[forza di Coulomb|Coulomb]]) circoscritto ad un elettrone ad alta energia che si muoveva a velocità prossime a quello della luce, generato da un [[acceleratore di particelle]] lineari.<ref>{{cita web|url=https://scitechdaily-com.cdn.ampproject.org/v/s/scitechdaily.com/completing-einsteins-theories-a-particle-physics-breakthrough/amp/?amp_gsa=1&_js_v=a9&usqp=mq331AQIKAGwASCAAgM%3D#amp_tf=Da%20%251%24s&aoh=16696281694346&csi=0&referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.com&share=https%3A%2F%2Fscitechdaily.com%2Fcompleting-einsteins-theories-a-particle-physics-breakthrough%2F|titolo=Completing Einstein’s Theories – A Particle Physics Breakthrough|sito=[[SciTech|SciTech Daily]]|accesso=28 novembre 2022|dataarchivio=28 novembre 2022|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20221128121443/https://scitechdaily-com.cdn.ampproject.org/v/s/scitechdaily.com/completing-einsteins-theories-a-particle-physics-breakthrough/amp/?amp_gsa=1&_js_v=a9&usqp=mq331AQIKAGwASCAAgM%3D#amp_tf=Da%20%251%24s&aoh=16696281694346&csi=0&referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.com&share=https%3A%2F%2Fscitechdaily.com%2Fcompleting-einsteins-theories-a-particle-physics-breakthrough%2F|urlmorto=sì}}</ref>
== Note ==
;Approfondimenti
<references group="Nota" />
;Fonti
<references/>
== Bibliografia ==
* {{cita libro|autore=Clerk Maxwell|titolo=A Threatise on Electricity and Magnetism|volume=2|cid=Maxwell2|url=https://www.aproged.pt/biblioteca/MaxwellII.pdf|lingua=en|editore=Oxford : Clarendon Press|anno=1873}}
* {{
*
* {{en}} Albert Einstein, a cura di P. A. Schillp, ''Albert Einstein: Philosopher-Scientist'', The Library of Living Philosophers, Evanston (Ill.), 1949, trad. it. A. Einstein et al., ''Autobiografia scientifica'', Bollati Boringhieri, 1979 (riduzione).
* {{en}} Edwin F. Taylor, [[John Archibald Wheeler]] ''Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity'', W. H. Freeman & Co., 2nd ed., 1992, 1992ISBN 0-7167-2326-3
* {{en}}Anadijiban Das. ''The Special Theory of Relativity: A Mathematical Approach'', Springer, 1996, ISBN 0-387-94042-1
* Vincenzo Barone, ''Relatività. Principi e applicazioni'', Bollati Boringhieri, 2004, ISBN 9788833957579
== Voci correlate ==
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* [[Teoria della relatività]]
* [[Spaziotempo]]
* [[Meccanica relativistica]]
* [[Cinematica relativistica]]
* [[Trasformazioni di Lorentz]]
* [[Relatività generale]]
* [[Esperimento di Bruno Rossi e David B. Hall]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{de}} [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_891-921.pdf ''Zur Elektrodynamik bewegter Körper''] Il testo originale dell'articolo pubblicato da Einstein nel 1905 sugli ''[[Annalen der Physik]]''
* [http://diamante.uniroma3.it/hipparcos/relativit%C3%A0_ristretta.pdf ''
* [
* {{
* {{
{{Controllo di autorità}}
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[[Categoria:Cosmologia]]
[[Categoria:Relatività
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