Teoremi di punto fisso: differenze tra le versioni

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{{s|matematica}}

Alcuni '''teoremi''' molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei '''[[punto fisso|punti fissi]]'''.

QuestiIn [[matematica]], con '''teoremi di punto fisso''' ci si applicanoriferisce ai risultati che, in diversi contesti tra cui l'[[analisi matematica]], la [[analisi funzionalegeometria]] eo la [[topologia]], mostrano l'esistenza di almeno un [[punto fisso]] per una qualche funzione definita in vari spazi.

== Tipologie di risultati ==

SiIn particolare, nell'ambito dell'analisi si possono distinguere alcune categorie:

* Teoremi di [[Contrazione (spazio metrico)|contrazioni]] (in particolare il [[teorema delle contrazioni]], o teorema del punto fisso di Banach)

* Teoremi di [[compattezza]] ([[Teorema di Brouwer|risultati di Brouwer]], [[Teorema di Schauder|di Schauder]], [[Teorema del punto fisso di Schaefer|di Schaefer]], [[Teorema di Kakutani|di Kakutani]], e altri)

* TPFTeoremi di mappe [[funzione non espansiva|nonespansivemappe non espansive]] (Browderstudiate -in particolare da Browder, Göhde -e Kirk)

* TPFTeoremi di applicazioni condensanti (che utilizzano misure di noncompattezzanon compattezza) (Darbo e Sadovskii)

* TPFTeoremi d'ordine, che si basano su proprietà di [[Funzione monotona|monotonia]] (Bourbaki, Kneser;, Amann e ad esempio il [[Teoremateorema di Knaster-Tarski|Knaster-Tarski]]; Amann)

* TPFTeoremi con indice di punto fisso

* TPFTeoremi misti (ad esempio il [[Teoremateorema di Krasnoselskii|Krasnoselskii]])

== Analisi ==

Si possono distinguere alcune categorie:

I seguenti teoremi vengono utilizzati in [[analisi matematica]], in particolare nei campi delle [[equazione differenziale ordinaria|equazioneequazioni differenzialedifferenziali ordinarie]] e delle [[equazione differenziale alle derivate parziali|equazioni differenziali alle derivate parziali]].

* TPF di [[Contrazione (spazio metrico)|Contrazioni]] (Banach)

* TPF di [[Compattezza]] (Brouwer, Schauder, Schaefer, Kakutani)

* TPF di mappe [[funzione non espansiva|nonespansive]] (Browder - Göhde - Kirk)

* TPF di applicazioni condensanti (che utilizzano misure di noncompattezza) (Darbo e Sadovskii)

* TPF d'ordine, che si basano su proprietà di [[Funzione monotona|monotonia]] (Bourbaki, Kneser; [[Teorema di Knaster-Tarski|Knaster-Tarski]]; Amann)

* TPF con indice di punto fisso

* TPF misti ([[Teorema di Krasnoselskii|Krasnoselskii]])

* Il [[Teoremateorema del punto fisso di Banach]] (o delle contrazioni) asserisce che una [[contrazione (spazio metrico)|contrazione]] su uno [[spazio metrico]] [[Spazio completo|completo]] ha uno e un solo punto fisso.

I teoremi precedenti valgono nell'ambito dell'[[analisi matematica]].

*Il ''Teoremateorema delle funzioni contrattive'' asserisce che una [[funzione contrattiva]] definita in un [[spazio compatto|compatto]] ha uno e un solo punto fisso.

*Il ''Teoremateorema delle funzioni non espansive'' asserisce che una [[funzione non espansiva]] definita in un compatto e [[insieme convesso|convesso]] ha almeno un punto fisso.

Altri teoremi di punto fisso sono presenti in altri campi della matematica:

*Il [[Teorema di Lawvere]] è un teorema di punto fisso nell'ambito della [[teoria delle categorie]].

== Analisi matematica e funzionale ==

I seguenti teoremi vengono utilizzati in [[analisi matematica]], in particolare nei campi delle [[equazione differenziale ordinaria|equazione differenziale ordinarie]] e delle [[equazione differenziale alle derivate parziali|equazioni differenziali alle derivate parziali]].

Mentre il teorema di Banach afferma l'esistenza e l'unicità del punto fisso, gli altri teoremi consentono l'esistenza più punti fissi.

=== Teoremi di punto fisso più noti ===

* Il [[Teorema del punto fisso di Banach]] (o delle contrazioni) asserisce che una [[contrazione (spazio metrico)|contrazione]] su uno [[spazio metrico]] [[Spazio completo|completo]] ha uno e un solo punto fisso.

* Il [[Teorema del punto fisso di Brouwer]] asserisce che una [[funzione continua]] definita da un sottoinsieme compatto e convesso dello [[spazio euclideo]] '''R'''^''n'' in sé ha sempre un punto fisso.

=== Estensioni del teorema di Banach ===

*Il ''Teorema delle funzioni contrattive'' asserisce che una [[funzione contrattiva]] definita in un [[spazio compatto|compatto]] ha uno e un solo punto fisso.

*Il ''Teorema delle funzioni non espansive'' asserisce che una [[funzione non espansiva]] definita in un compatto e [[insieme convesso|convesso]] ha almeno un punto fisso.

* Il [[teorema di Caristi]] (o di Caristi-[[William Arthur Kirk|Kirk]]) è un'altra generalizzazione del teorema di Banach.

* Il [[teorema di Browder-Göhde-Kirk]] è un altro teorema sulle mappe non espansive.

* Il [[Teoremateorema del punto fisso di Brouwer]] asserisce che una [[funzione continua]] definita da un sottoinsieme compatto e convesso dello [[spazio euclideo]] '''R'''<supmath>''\R^n''</supmath> in sé ha sempre un punto fisso.

* Il [[Teorema di Leray-Schauder|Teoremateorema del punto fisso di Schauder]] stabilisce (in una delle sue versioni): che se <math> C </math> è un [[insieme chiuso|sottoinsieme chiuso]], [[insieme convesso|convesso]] e non vuoto di uno [[spazio di Banach]] <math> B </math> e <math> f:\colon C\to C </math> è una funzione continua con [[immagine (matematica)|immagine]] [[spazio compatto|compatta]], allora <math> f </math> ha almeno un punto fisso.

* Il [[Teorema di unicitàKellogg di(punto Kelloggfisso)|Teoremateorema di Kellogg]] aggiunge una ''condizione di unicità'' alle condizioni dei teoremi di Brouwer e Schauder.

* Il [[Teoremateorema di Schaefer]] che riformula il teorema di Schauder in modo da non richiedere esplicitamente di dichiarare l'insieme <math> C </math>, chiuso e convesso, del punto precedente.

* Il [[Teoremateorema di Rothe]] considera una funzione che manda la frontiera di un [[insieme aperto]] nell'aperto stesso.

* Il [[Teoremateorema di Altman]] utilizza una stima della norma.

* Il [[Teorema di Tychonov|Teorema]] diTikhonov (punto fisso)|teorema di [[Andrej Nikolaevič Tichonov|Tichonov]] si applica ad ogni [[spazio vettoriale topologico]] <math> V </math> [[spazio vettoriale topologico localmente convesso|localmente convesso]]. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto <math> X </math> di <math> V </math>, e per ogni funzione continua <math> f:\colon X \to X </math> esiste (almeno) un punto fisso per <math> f </math>.

* Il [[Teoremateorema di Kakutani]] considera corrispondenze con valori di insieme.

* Il [[Teoremateorema di Krasnoselskii]] considera una funzione ''<math>F''</math> che sia somma di una contrazione e di una funzione compatta. È una combinazione del teorema di punto fisso di Schauder e del teorema di contrazione.

* [[Teorema di Darbo-Sadovskii]]

* [[Teorema di Atiyah-Bott]]

* [[Teorema di Lefschetz]]

* [[Teorema di Earle-Hamilton]]

* [[Teorema di punto fisso di Day]]: si considera un gruppo ''G'' [[Spazio localmente compatto|localmente compatto]] e [[Gruppo amenabile|amenabile]] e una media invariante.

==Teoria degli ordini==

=== Estensioni del teorema di Brouwer ===

* [[Teorema di Knaster-Tarski]]

Alcuni teoremi estendono il Teorema di Brouwer a spazi più generali.

* [[Teorema di Bourbaki-Witt]]

* Il [[Teorema di Leray-Schauder|Teorema del punto fisso di Schauder]] stabilisce (in una delle sue versioni): se <math> C </math> è un [[insieme chiuso|sottoinsieme chiuso]], [[insieme convesso|convesso]] e non vuoto di uno [[spazio di Banach]] <math> B </math> e <math> f:C\to C </math> è una funzione continua con [[immagine (matematica)|immagine]] [[spazio compatto|compatta]], allora <math> f </math> ha almeno un punto fisso.

* Il [[Teorema di unicità di Kellogg|Teorema di Kellogg]] aggiunge una ''condizione di unicità'' alle condizioni dei teoremi di Brouwer e Schauder.

* Il [[Teorema di Schaefer]] che riformula il teorema di Schauder in modo da non richiedere esplicitamente di dichiarare l'insieme <math> C </math>, chiuso e convesso, del punto precedente.

:

* Il [[Teorema di Rothe]] considera una funzione che manda la frontiera di un insieme aperto nell'aperto stesso.

* Il [[Teorema di Altman]] utilizza una stima della norma.

:

* Il [[Teorema di Tychonov|Teorema]] di punto fisso di [[Andrej Nikolaevič Tichonov|Tichonov]] si applica ad ogni [[spazio vettoriale topologico]] <math> V </math> [[spazio vettoriale topologico localmente convesso|localmente convesso]]. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto <math> X </math> di <math> V </math>, e per ogni funzione continua <math> f:X \to X </math> esiste (almeno) un punto fisso per <math> f </math>.

==Geometria algebrica==

* Il [[Teorema di Kakutani]] considera corrispondenze con valori di insieme.

* [[Teorema di Borel (punto fisso)|Teorema di Borel]]

:

* Il [[Teorema di Krasnoselskii]] considera una funzione ''F'' che sia somma di una contrazione e di una funzione compatta. È una combinazione del teorema di punto fisso di Schauder e del teorema di contrazione.

==Topologia simplettica==

=== Misure di non compattezza ===

* [[Teorema di Poincaré-Birkhoff]]

Questi teoremi estendono il teorema di Schauder, generalizzando la compattezza con la misura di non-compattezza e le funzioni [[Applicazione condensante|condensanti]].

* [[Teorema di Darbo-Sadovskii]]

==Teoria delle categorie==

*[[Teorema di Lawvere]]

== Bibliografia ==

* {{en}} Klaus Deimling, "''Nonlinear Functional Analysis''", Springer-Verlag (1985)

* {{en}} J. T. Schwartz, "''Nonlinear Functional Analysis (Notes on Mathematics and It Applications)''", Routledge (1969)

* {{en}} D. R. Smart, "''Fixed point theorems''", [[Cambridge University Press]]

* {{en}} Michael E. Taylor, "''Partial Differential Equations III: Nonlinear Equations''", Springer (1979, 1996)

* {{en}} Eberhard Zeidler, "''Nonlinear Functional Analysis and its Applications: Part 1: Fixed-Point Theorems''", Springer (1998)

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== Collegamenti esterni ==

* {{ThesaurusCollegamenti BNCFesterni}}

{{Controllo di autorità}}

{{portale|matematica}}

[[Categoria:PuntiTeoremi di punto fisso| fissi]]

[[Categoria:Teoremi|Punto fisso]]