Problema di Basilea: differenze tra le versioni

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Il '''problema di [[Basilea]]''' è un famoso problema dell’dell'[[analisi matematica]], proposto per la prima volta da [[Pietro Mengoli]] nel [[1644]] e risolto da [[Leonhard Euler|Eulero]] nel [[1735]]. Il problema aveva resistito agli attacchi dei più grandi matematici dell’epocadell'epoca e quindi la soluzione di [[Leonhard Euler|Eulero]], (ancoraappena ventottenne), suscitò stupore e ammirazione. Il problema di [[Basilea]] chiede di scoprire la somma esatta della [[serie infinita]] :

Il problema di [[Basilea]] chiede di scoprire la forma chiusa (cioè la formula) a cui tende la somma dell’inverso di tutti i quadrati dei numeri naturali, cioè la somma precisa della serie infinita:

:<math>\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots</math>

<math>

\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =

\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right)

</math>

La serie è approssimativamente uguale a 1.,644934.... Il problema di Basilea chiedeconsiste nel trovare la somma esatta di questa serie (nella forma chiusa). Eulero dimostrò che la somma esatta è <math>\frac{\pi^2}{6}</math> e annunciò questa scoperta nel 1735. Le sue dimostrazioni erano basate su passaggi non chiariti appieno. Per una dimostrazione rigorosa bisognerà aspettare fino al [[1741]].

==La funzione zeta di Riemann==

La [[funzione zeta di Riemann]] è ζ<math>\zeta(s)</math> è una delle più importanti della [[matematica]] in parte perché è in relazione con la distribuzione dei [[Numero primo|numeri primi]]. La funzione è definita per tutti i [[Numero complesso|numeri complessi]] con parte reale >maggiore di 1 dalla formula:

:<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}.</math>

:<math>

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}.

</math>

ConPer <math>s = 2</math>, noi vediamo che ζ<math>\zeta(2)</math> è uguale alla somma dell’inversodegli inversi dei quadrati di tutti i quadrati dei[[Numero naturale|numeri naturali]].

:<math>\zeta(2) = \sum_{n=1}^\infin \frac 1{n^2} = \frac 1{1^2} + \frac 1{2^2} + \frac 1{3^2} + \frac 1{4^2} + \cdots \approx 1,644934\ldots</math>

:<math>

\zeta(2) =

\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =

\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots \approx 1.644934.

</math>

Dato che tutti i suoi termini sono positivi, si dimostra la [[serie convergente|convergenza]] di <math>\zeta(2)</math> con la disuguaglianza:

Come sappiamo che converge? Si può dimostrare che essa converge con questa diseguaglianza:

:<math>\begin{align}

\sum_{n=1}^N \frac 1{n^2} &< 1 + \sum_{n=2}^N \frac 1{n(n-1)} = 1 + \sum_{n=2}^N \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)\\

\zeta(2) =

\sum_{n&= 1}^+\infin left(1-\fraccancel{1\frac 12}\right)+\left(\cancel{n^2\frac 12}-\cancel{\frac < 1 13}\right)+ \sum_left(\cancel{n=2}^\infinfrac 13}\fraccdots\cdots-\cancel{\frac 1}{(nN-1)n} = 1 + \sum_{n=2}^\infin right)+\left(\fraccancel{\frac 1}{nN-1} }- \frac{1}{nN} \right) = 2. - \frac{1}{N},

\end{align}</math>

da cui

:<math>\zeta(2)= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2}<\lim_{N\to\infty}\left(2 - \frac 1N\right)=2.</math>

Inoltre questa disuguaglianza stabilisce il limite superiore 2 di <math>\zeta(2)</math>.

Si ha una dimostrazione alternativa di convergenza sostituendo in ciascuna frazione con denominatore diverso da [[potenza di due]] la frazione con denominatore la potenza di due di valore immediatamente superiore. In questo modo si ottiene una serie che ha somme parziali sempre superiori alla serie <math>\zeta(2) < 2</math>:

:<math>\zeta{(2)} < S_1=\frac 1{1^2} + \frac 1{2^2} + \frac 1{2^2} + \frac 1{4^2}+ \frac 1{4^2}+ \frac 1{4^2}+ \frac 1{4^2}+ \dots +\frac{2^n}{({2^n})^2}+\dots</math>

Si nota facilmente che <math>S_1</math> equivale alla serie degli inversi delle potenze di due:

:<math>S_2=\frac 1{2^0}+ \frac 1{2^1} + \frac 1{2^2} + \frac 1{2^3} + \frac 1{2^4} + \dots +\frac 1{2^n}+\dots</math>

che è convergente essendo una [[serie geometrica]] di ragione <math>x=\frac 12 < 1</math> (che come noto, converge a <math>2</math>).

Ciò ci dà il limite superiore ζ(2) < 2

Ma se <math>S_2</math> è convergente, allora lo è anche la serie <math>\zeta(2) < 2</math> in quanto le sue somme parziali sono sempre minori di quelle di <math>S</math>.

==Eulero attacca il problema==

== La dimostrazione di Eulero ==

La dimostrazione di [[Eulero]] è intelligente ed originale. Essenzialmente egli suppose che le regole dei polinomi finiti fossero valide anche per le serie infinite. Naturalmente il ragionamento originale di Eulero richiede una dimostrazione di questo, ma anche senza giustificazione, semplicemente ottenendo un valore prossimo a quello ottenuto col calcolo, egli poteva essere piuttosto sicuro della correttezza del suo risultato.

Eulero suppose che le regole dei polinomi finiti fossero valide anche per le serie infinite. Naturalmente questa supposizione richiede una dimostrazione, ma anche senza giustificazione, semplicemente ottenendo un valore prossimo a quello ottenuto col calcolo egli poteva essere piuttosto sicuro della correttezza del suo risultato. Si consideri lo sviluppo in serie di Taylor della funzione seno centrato in <math>0</math>:

Per seguire la dimostrazione di [[Eulero]], bisogna ricordare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione seno:

:<math> \sin( x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots. </math>

Dividendo per <math>x</math> entrambi i termini abbiamo:si ottiene:

:<math> \frac{\sin( x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots. </math>

Le [[radice (matematica)|radici]] di questo [[polinomio]] sono <math>\pi, -\pi, 2\pi, -2\pi, 3\pi, -3\pi, \ldots</math>.

Supponiamo di poter esprimere questa serie infinita come prodotto dei fattori lineari forniti dalle relative radici, come facciamo per i polinomi limitati:

Sia <math>z=x^2</math>, allora

<math>

\frac{\sin(x)}{x} =

\left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots </math>

:<math>\frac{\sin \sqrt{z}}{\sqrt{z}} = 1 - \frac{z}{3!} + \frac{z^2}{5!} - \frac{z^3}{7!} + \cdots.</math>

<math>

= \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots.

</math>

Le [[polinomio|radici]] di questo polinomio sono: <math>\pi^2, 4\pi^2, 9\pi^2,\ldots</math>. La [[Formule di Viète#Coefficiente del termine di primo grado|formula di Viète]] dice che la somma dei reciproci delle radici di un polinomio con termine di grado 0 uguale a 1 è uguale al coefficiente del termine di primo grado cambiato di segno. In altre parole la somma dei reciproci delle radici del polinomio <math>a_n x^n+\cdots +a_3 x^3+a_2 x^2+ bx +1</math> è <math>-b</math>.

Se riordiniamo tutti i termini <math>x^2</math>, vediamo che il coefficiente <math>x^2</math> di <math>\frac{sin(x)}{x}</math> è:

<math>

-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) =

-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

</math>

Si supponga di poter applicare le regole dei polinomi finiti anche per questo polinomio infinito. Si ottiene:

Ma dall'espansione infinita originale (espansione di sin(x)/x), il coefficiente di ''x''² proviene −1/(3!)= −1/6.

:<math>\frac{1}{3!} = \frac 1{6} = \frac 1{\pi^2} + \frac 1{4\pi^2} + \frac 1{9\pi^2} + \frac 1{16\pi^2} + \cdots</math>

Questi due coefficienti devono essere uguali; quindi:

Moltiplicando entrambi i termini per <math>\pi^2</math> si ha:

<math>

-\frac{1}{6} =

-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

</math>

:<math>\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac 1{4} + \frac 1{9} + \frac 1{16} + \cdots = \zeta(2).</math>

Moltiplicando entrambi i termini per <math>-\pi^2</math> otteniamo la forma chiusa per la funzione zeta di 2, ossia il famoso

π²/6

==Una dimostrazione rigorosa==

La seguente dimostrazione di <math>\zeta(2) = \pi^2/6</math> è la più semplice disponibile; mentre la maggior parte delle altre utilizza i risultati dalla matematica avanzata, quali [[analisi di Fourier]], [[analisi complessa]] e calcolo a più variabili.

La seguente dimostrazione di '''ζ(2) = π²/6''' è la prova di gran lunga più semplice disponibile; mentre la maggior parte delle prove utilizzano i risultati dalla matematica avanzata, quale analisi di Fourier, analisi complessa e calcolo a più variabili...

===Storia della dimostrazione===

L'origine della dimostrazione è poco chiara. È comparsa sulla rivista ''Eureka'' nel 1982, attribuita a John Scholes, ma era “conoscenza comune” a [[Università di Cambridge|Cambridge]] verso la fine degli anni '60.

===Che cosa bisogna conoscere===

L'origine della prova è poco chiara. È comparsa nel giornale Eureka in 1982, attribuita a John Scholes, ma la prova era “conoscenza comune” a Cambridge verso la fine degli anni 60.

Nozioni preliminari:

*''La [[formula di De Moivre]]'': <math>(\cos x + i\sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx).</math>

===Cosa bisogna conoscere===

** Per la dimostrazione vedere [[formula di Eulero]].

*''Il [[teorema binomiale]]: <math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k},</math> dove <math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> è il [[coefficiente binomiale]].''

** La dimostrazione fa uso delle proprietà dei [[coefficiente binomiale|coefficienti binomiali]] e il [[principio di induzione]].

*''La funzione <math>cot^2 x</math> ha una corrispondenza biunivoca nell'intervallo <math>(0,\pi/2)</math>.''

** Dimostrazione: si supponga che <math>\cot^2 x = \cot^2 y</math> per alcuni <math>x</math> e <math>y</math> nell'intervallo <math>(0,\pi/2)</math>. Dalla definizione di cotangente <math>\cot x = \cos x/\sin x</math> e dell'identità trigonometrica <math>\cos^2 x = 1 - \sin^2 x</math>, si ricava <math>(\sin^2 x)(1 - \sin^2 y) = (\sin^2 y)(1 - \sin^2 x)</math>. Aggiungendo <math>(\sin^2 x)(\sin^2 y)</math> a entrambi i termini si ottiene <math>\sin^2 x = \sin^2 y</math>. Poiché la funzione seno non è mai negativa in <math>(0, \pi/2)</math>, si ha <math>\sin x = \sin y</math>, ma guardando la [[circonferenza]] goniometrica è geometricamente evidente che la funzione seno è crescente nell'intervallo <math>(0, \pi/2)</math>, per cui <math>x = y</math>.

*''Se <math>p(t)</math> è un [[polinomio]] di grado <math>m</math>, <math>p</math> ha esattamente <math>m</math> radici in <math>\C</math>, contate con le relative [[Molteplicità di una radice|molteplicità]].''

** Dimostrazione: qualunque numero di soluzioni diverso da <math>m</math> sarebbe in conflitto col [[teorema fondamentale dell'algebra]].

*Se <math>p(t)=a_m t^m + a_{m-1}t^{m-1}+\cdots +a_1t+a_0</math> dove <math> a_m>0 </math> allora la somma <math>t_1+t_2+\cdots +t_m</math> delle radici di <math>p</math> (contando le molteplicità) è <math>-\frac {a_{m-1}}{a_m}</math>.

Per capire la dimostrazione dobbiamo conoscere le seguenti nozioni

** Dimostrazione: Se <math>a_m=1</math> allora <math>p(t)=\prod_{j=1}^{m} t-t_j</math>. Sviluppando questo prodotto, si vede che il coefficiente di <math>t^{m-1}</math> è l'opposto della somma di tutte le altre radici. Se <math>a_m>1</math>, è possibile dividere per esso ogni termine, ottenendo un nuovo polinomio con le stesse radici, il cui coefficiente di partenza è 1; reiterando lo stesso ragionamento, si vede che la somma di tutte le radici di <math> p(t)= </math> somma di tutte le radici del nuovo polinomio <math>= -\frac {a_{m-1}}{a_m}</math>.

*''La [[Formula di De Moivre]]', che asserisce: <math>(\cos x + i\sin x)^n = \cos (nx) + i \sin (nx). \,\!</math>

*L'identità trigonometrica: <math>\csc^2 x=1+\cot^2 x</math>

** Dimostrazione: vedi [[Formula di Eulero]].

** Dimostrazione: È conseguenza dell'identità fondamentale <math>1=\sin^2 x+\cos^2 x</math> dove ogni termine è stato diviso per <math>\sin^2 x</math>.

*''Il [[Teorema binomiale]] , vale a dire: <math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}.</math>

*Per un numero reale <math>0\le x \le \pi/2</math> vale la diseguaglianza <math>\cot^2 x<1/x^2<\csc^2 x</math>.

(Dove il [[coefficiente binomiale]] è :<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.</math>

** Per <math>x</math> piccoli, è noto che <math>0<\sin x<x<\tan x</math>, come è possibile vedere qui:

** Dimostrazione: dimostrarlo richiede le proprietà dei coefficienti binomiali e il [[principio di induzione]].

[[File:Circle-trig6.svg|625x625px]]

*''La funzione cot² x ha una corrispondenza biunivoca nell’intervallo(0, π/2).

:Per notare che <math>\sin x<x</math>, si osservi il fatto che nella figura <math>\sin \theta</math> è la lunghezza della linea <math>AC</math>, e <math>\theta</math> è la lunghezza dell'arco circolare <math>AD</math>.

** Dimostrazione: Supponiamo che cot² ''x'' = cot² ''y'' per alcuni ''x'' e ''y'' nell'intervallo (0, π/2). Avvalendoci della definizione di cotangente cot ''x'' = (cos ''x'')/(sin ''x'') e dell'identità trigonometrica cos² ''x'' = 1 &minus; sin² ''x'', vediamo che (sin² ''x'')(1 &minus; sin² ''y'') = (sin² ''y'')(1 &minus; sin² ''x''). Aggiungendo (sin² ''x'')(sin² ''y'') a entrambi i termini, otteniamo sin² ''x'' = sin² ''y''. Poiché la funzione seno non è mai negativa in (0, π/2), si ha sin ''x'' = sin ''y'', ma è geometricamente evidente (per esempio dando un'occhiata alla circonferenza goniometrica) che la funzione seno cresce proporzionalmente nell'intervallo (0, π/2), per cui ''x'' = ''y''.

:Per notare che <math>x<\tan x</math>, si osservi che l'area del triangolo <math>OAE</math> è <math>\tan(\theta)/2</math>, l'area del settore <math>OAD</math> è <math>\theta/2</math>, e che il settore è contenuto nel triangolo.

*''Se p(t) è un [[polinomio]] di grado ''m'', p non può avere un numero di soluzioni diverso da ''m''.

:Si consideri il reciproco di ogni elemento trigonometrico fin qui nominato e se ne calcoli il quadrato. La [[disequazione]] sui reciproci ha direzione opposta.

** Dimostrazione: qualunque numero di soluzioni diverso da ''m'' confliggerebbe col [[teorema fondamentale dell'algebra]].

*Se ''p''(''t'') = ''a''_''m''''t''^''m'' + ''a''_{''m'' &minus; 1}''t''^{''m'' &minus; 1} + ... + ''a''₁''t'' + ''a''₀, dove ''a''_''m'' ≠ 0, allora la somma delle radici di ''p'' (contando le molteplicità) è &minus;''a''_{''m'' &minus; 1}/''a''_''m''

** Dimostrazione: Se ''a''_''m'' = 1, allora ''p''(''t'') = prodotto di tutti i (''t'' &minus; ''s''), dove ''s'' spazia tra tutte le radici di ''p''. Espandendo questo prodotto, si vede che il coefficiente di ''t''^{''m'' &minus; 1} è l'inverso della somma di tutte le altre radici. Se ''a''_''m'' ≠ 1, allora possiamo dividere per esso ogni termine, ottenendo un nuovo polinomio con le stesse radici, il cui coefficiente di partenza è 1; reiterando lo stesso ragionamento, si vede che la somma di tutte le radici del ''p''(''t'') = somma di tutte le radici del nuovo polinomio = &minus;''a''_{''m'' &minus; 1}/''a''_''m''.

*''L’identità trigonometrica csc ² x = 1 + cot ² x.

** Dimostrazione: E' conseguenza dell'identità fondamentale 1 = sin² ''x'' + cos² ''x'' dove ogni termine è stato diviso per sin² ''x''.

*''Per un numero reale x compreso tra 0 e π/2, abbiamo la diseguaglianza cot ² x < 1/x² < csc² x.

** Per ''x'' piccoli, è ampiamente dimostrato che 0 < sin ''x'' < ''x'' < tan ''x'', come è possibile vedere qui:

[[Immagine:Circle-trig6.svg]]

:Per notare che 0 < sin ''x'' < ''x'', si osservi il fatto che nella figura sin θ è la lunghezza della linea AC, e θ è la lunghezza dell'arco circolare AD.

:Per notare che ''x'' < tan ''x'', si osservi che l'area del triangolo OAE è tan(θ)/2, l'area del settore OAD è θ/2, e che il settore è contenuto nel triangolo.

:Ora, si consideri il reciproco di ogni elemento trigonometrico fin qui nominato, e se ne calcoli il quadrato. Si tenga altresì presente che la disequazione, in presenza dei reciproci, cambia direzione.

*''Dati tre numeri reali <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> con <math>a ≠ >0;</math> il limite della funzione <math>(am + b)/(am + c)</math> con m che tende a infinito è 1, cioè <math>\lim_{m \to \infty} \frac{am+b}{am+c}=1</math>.''

** Dimostrazione: Si divida ogni termine per ''<math>m''</math>, e si prenda <math>(''a'' + ''b''/''m'')/(''a'' + ''c''/''m'').</math> SeDato dividiamoche unquoziente numerodi piccolouna perfrazione unail quantitàcui straordinariamentedenominatore grande,cresce il quozienteindefinitamente tende a zero; così, sia [[numeratore]] chesia denominatore tendono ad ''<math>a''</math>, e il loro quoziente tende a 1.

*''Il [[Teorema del confronto#Funzioni|teorema del confronto per le funzioni]] (o teorema dei carabinieri): se una funzione è maggiorata e minorata da due funzioni che tendono allo stesso limite, allora anche la funzione in questione tenderàtende a tale limite.''

** Dimostrazione: vedi articolo.

===La dimostrazione===

L’ideaL'idea principale di questa dimostrazione è trovare un limite alle somme parziali

:<math>\sum_{k=1}^m \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{m^2}</math>

tra due espressioni tendenti ciascuna a π<supmath>\pi^2/6</supmath>/6 (con m che tende a infinito). Le due espressioni sono derivate dalle identità che coinvolgono le funzioni di [[cosecante]] e di cotangente. Queste identità a loro volta sono derivate dalla formula di De Moivre. datoDati il numero reale <math>x</math> compreso tra <math>0</math> e π<math>\pi/2,</math> e n un l'intero positivo <math>n</math>, conin labase alla formula di De Moivre abbiamosi ha:

:<math>\frac{\cos (nx) + i \sin (nx)}{(\sin x)^n} = \frac{(\cos x + i\sin x)^n}{(\sin x)^n} = \left(\frac{\cos x + i \sin x}{\sin x}\right)^n = (\cot x + i)^n.</math>

Dal teorema binomiale invecesi ricaviamoricava:

:<math>\begin{align}

<math>(\cot x + i)^n = {n \choose 0} \cot^n x + {n \choose 1} (\cot^{n-1} x)i + \cdots + {n \choose {n-1}} (\cot x)i^{n-1} + {n \choose n} i^n</math>

(\cot x + i)^n &= {n \choose 0} \cot^n x + {n \choose 1} (\cot^{n-1} x)i + \cdots + {n \choose {n-1}} (\cot x)i^{n-1} + {n \choose n} i^n \\

&= \left[ {n \choose 0} \cot^n x - {n \choose 2} \cot^{n-2} x \pm \cdots \right] + i\left[ {n \choose 1}\cot^{n-1} x - {n \choose 3} \cot^{n-3} x \mp \cdots \right].

\end{align}</math>

La combinazione delle due equazioni dà la seguente identità:

<math>= \left[ {n \choose 0} \cot^n x - {n \choose 2} \cot^{n-2} x \pm \cdots \right] \; + \; i\left[ {n \choose 1}

:<math>\frac{\sin (nx)}{(\sin x)^n} = \left[ {n \choose 1} \cot^{n-1} x - {n \choose 3} \cot^{n-3} x \mp \cdots \right].</math>

Si ponga <math>n = 2m + 1</math>, dove <math>m</math> è un naturale per cui <math>n</math> è un valore dispari.

La combinazione delle due equazioni dà l’identità:

Per <math>nx = j\pi</math> con <math>j = 1, 2, \ldots, m</math>, cioè per <math>x = j\pi/n = j\pi/(2m + 1)</math> si ha <math>\sin(nx) = 0</math> per ogni valore di <math>n</math>, quindi l'identità sopra esposta diventa:

<math>\frac{\sin (nx)}{(\sin x)^n} = \left[ {n \choose 1} \cot^{n-1} x - {n \choose 3} \cot^{n-3} x \mp \cdots

:<math>0 = {{2m+1} \choose 1} \cot^{2m} x - {{2m+1} \choose 3} \cot^{2m-2} x \mp \cdots + (-1)^m{{2m+1} \choose {2m+1}}.</math>

\right].</math>

I valori di <math>x = j\pi/(2m + 1)</math> (con <math>j = 1, 2, \ldots, m</math>) che soddisfano l'equazione precedente sono compresi tra <math>0</math> e <math>\pi/2</math>, e poiché la funzione <math>\cot^2(x) = \cot^2(j\pi/(2m + 1))</math> ha [[corrispondenza biunivoca]] nell'intervallo <math>(0,\pi/2)</math> essa assume un valore diverso per ogni <math>j = 1, 2, \ldots, m</math>. Dalla suddetta equazione risulta che ciascuno di questi numeri (diversi) è la radice di un polinomio <math>p(t)</math> di grado <math>m</math> in <math>t=\cot^2 x</math>,

Definiamo ora n = 2m + 1, dove m è in naturale, e x = rπ/(2m + 1), (dove r = 1, 2, ..., m): come conseguenza, nx = rπ, e quindi sin(nx) = 0 per ogni valore di n. Portando questi valori all'interno dell'identità sopra esposta, otteniamo:

<math>0 = {{2m+1} \choose 1} \cot^{2m} x - {{2m+1} \choose 3} \cot^{2m-2} x \mp \cdots + (-1)^m{{2m+1} \choose {2m+1}}.</math>

:<math>p(t) := {{2m+1} \choose 1}t^m - {{2m+1} \choose 3}t^{m-1} \mp \cdots + (-1)^m{{2m+1} \choose {2m+1}}.</math>

Questa equazione tiene conto dei valori x = rπ/(2m + 1), dove r = 1, 2, ..., m. Questi valori di x sono numeri compresi tra 0 e π/2, e poiché la funzione cot^2(x) ha corrispondenza biunivoca nell’intervallo (0, π/2), ogni cot^2(x) = cot^2(rπ/(2m + 1)) ha un valore diverso per ciascun r = 1, 2, ..., m. Poiché però dalla suddetta equazione ciascuno di questi numeri diversi da m è la radice di un polinomio di grado m,

È dunque possibile calcolare direttamente la somma delle <math>m</math> radici <math>t_j</math> prendendo in considerazione i coefficienti di <math>p(t)</math>.

<math>p(t) := {{2m+1} \choose 1}t^m - {{2m+1} \choose 3}t^{m-1} \mp \cdots + (-1)^m{{2m+1} \choose {2m+1}}.</math>

:<math>\sum_{j=1}^{m} t_j = {{2m+1} \choose 3}/{{2m+1} \choose 1} = \frac{2m(2m-1)}{6}.</math>

questo vuol dire che ogni x = cot^2(rπ/(2m + 1)), per r = 1, 2, ..., m è precisamente radice per il polinomio p(t). È dunque possibile calcolare la somma delle radici direttamente esaminando i coefficienti. Inserendo l'identità trigonometrica csc^2 x = cot^2 x + 1, abbiamo:

<math>\csc ^2 \left(\frac{\pi}{2m+1}\right) + \csc ^2 \left(\frac{2 \pi}{2m+1}\right) + \cdots + \csc ^2

Ricordando che <math>t=\cot^2 x</math> ed inserendo l'identità trigonometrica <math>\csc^2 x = \cot^2 x + 1</math> si ottiene:

\left(\frac{m \pi}{2m+1}\right)</math>

:<math>\frac{2m(2m-1)}{6} = \sum_{j=1}^{2m+m} t_j = \sum_{j=1}^{m} \choosecot^2 3}x /= \sum_{{2m+j=1}^{m} \chooseleft(\csc^2 x - 1}\right) += -m =+ \fracsum_{(2m)(2m+2)j=1}^{6m} \csc^2 x.</math>

Ricordando inoltre che <math>x = j\pi/(2m + 1)</math> si ottiene:

Ora, consideriamo la diseguaglianza cot² x < 1/x² < csc² x. Se aggiungiamo queste

diseguaglianze per ciascuno dei numeri x = rπ/(2m + 1) e se usiamo le due identità qui sopra, otteniamo

<math>\frac{(2m)(2m-1)}{6} < \left( \frac{2m+1}{\pi} \right) ^2 + \left( \frac{2m+1}{2 \pi} \right) ^2 + \cdots +

\left( \frac{2m+1}{m \pi} \right) ^2 < \frac{(2m)(2m+2)}{6}.</math>

:<math>\sum_{j=1}^{m} \csc^2 x = \sum_{j=1}^{m} \csc^2 \left(\frac{j\pi}{2m+1}\right)= \frac{2m(2m-1)}{6}+m = \frac{2m(2m+2)}{6}.</math>

A questo punto, moltiplicando per (π/(2m + 1))², si ha:

Considerando la disuguaglianza <math>\cot^2 x < 1/x^2 < \csc^2 x</math> per ciascuno dei numeri <math>x = j\pi/(2m + 1)</math> e sommandoli, per le due identità precedenti si ottiene:

<math>\frac{\pi ^2}{6}\left(\frac{2m}{2m+1}\right)\left(\frac{2m-1}{2m+1}\right) < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +

\cdots + \frac{1}{m^2} < \frac{\pi ^2}{6}\left(\frac{2m}{2m+1}\right)\left(\frac{2m+2}{2m+1}\right).</math>

:<math>\frac{2m(2m-1)}{6} < \left( \frac{2m+1}{\pi} \right)^2 + \left( \frac{2m+1}{2\pi} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{2m+1}{m\pi} \right)^2 < \frac{2m(2m+2)}{6}.</math>

Per m divergente a infinito, i termini a sinistra e a destra convergono a π²/6, e abbiamo, dal teorema del confronto:

A questo punto moltiplicando per <math>(\pi/(2m + 1))^2</math> si ha:

:<math>\frac{\pi ^2}{6}\left[\frac{2m(2m-1)}{(2m+1)^2}\right] < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{m^2} < \frac{\pi ^2}{6}\left[\frac{2m(2m+2)}{(2m+1)^2}\right].</math>

Per <math>m</math> tendente a infinito i termini a sinistra e a destra delle disuguaglianze convergono entrambi a <math>\pi^2/6</math> e per il teorema del confronto si conclude:

:<math>\frac{\pi^2}6 \le \zeta(2) =\le \frac{\pi^2}6,</math>

\sum_{k=1}^\infin \frac{1}{k^2} =

\lim_{m \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{m^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}</math>

cioè <math>\zeta(2)=\frac{\pi^2}6.</math>

E questo completa la dimostrazione. [[Q.E.D.]]

==VociAltra correlatedimostrazione==

Un'altra procedura per il calcolo di <math>\zeta(2)</math>, che fa uso di [[Integrale definito|integrali]], si trova [[Integrale multiplo#Sommatorie|qui]].

==Dimostrazione utilizzando la serie di Fourier==

*''[[Ipotesi di Riemann]]

Un'altra possibile dimostrazione fa uso delle proprietà delle [[serie di Fourier]]. Si consideri la funzione <math>f(x)=x</math> con <math>x\in[-\pi,\pi]</math>e la sua estensione periodica a tutto <math>\R</math>, continua su <math>\R</math> con un’infinità numerabile di punti di discontinuità.

*''[[Funzione zeta di Riemann]]

*''[[Leonhard Euler]]

La serie di Fourier associata converge quindi uniformemente alla funzione <math>f(x), \forall x\in\R\backslash\{-2k\pi\},\forall k\in\mathbb{N}</math>. Essendo <math>f(x)</math> una funzione dispari, il suo sviluppo in serie contiene solo funzioni seno, il cui coefficiente <math>\beta_k</math> è dato dalla [[Serie di Fourier#Forma rettangolare|forma rettangolare]]:

==Referenze==

:<math>\begin{align}

*''Number Theory: An Approach Through History'', Andre Weil, Springer, ISBN 0-8176-3141-0

\beta_{k}&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(kx)dx\\

*''Euler: The Master of Us All'', William Dunham, MAA, ISBN 0-88385-328-0

&=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{x\cos(kx)}{k}-\int_{\pi}^{\pi}\frac{\cos(kx)}{k}dx\right]_{-\pi}^{\pi}\\

*''Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics'', John Derbyshire, Joseph Henry Press, ISBN 0-309-08549-7

&=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{x\cos(kx)}{k}\right]_{-\pi}^{\pi}\\

*''Proofs From the Book'', Martin Aigner, Gunter Ziegler, Springer, ISBN 3-540-67865-4

&=\frac{2}{k}(-\cos(k\pi))\\

*''Riemann's Zeta Function'', Harold M. Edwards, Dover, ISBN 0-486-41740-9

&=2\frac{(-1)^{k+1}}{k},\quad \forall k\in\mathbb{N}

\end{align}</math>

La serie di Fourier associata risulta quindi: <math>f(x)\sim\sum_{k=1}^{\infty}2\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(kx)</math>. Utilizzando poi l'[[Teorema di Parseval|uguaglianza di Parseval]] si ottiene l'identità:

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

:<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}dx=\frac{2\pi^{2}}{3}=\sum_{k=1}^{\infty}\beta_{k}^{2}=4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}},</math>

[[ca:Problema de Basilea]]

[[en:Basel problem]]

da cui segue:

[[es:Problema de Basilea]]

[[fr:Problème de Mengoli]]

:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.</math>

[[sv:Baselproblemet]]

== Generalizzazione ==

Con procedimenti molto simili a quelli usati per il caso <math>s=2</math> sono state trovati valori esatti per la somma dell'inverso di qualsiasi potenza con <math>s</math> pari:

:<math>\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90},</math>

:<math>\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{4^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{945}.</math>

Più in generale:

:<math>\zeta(2k)= \frac{2^{2k-1}\pi^{2k}|B_{2k}|}{(2k)!},</math>

dove <math>B_k</math> sono i [[numeri di Bernoulli]]. Non è stato però compiuto alcun passo nella determinazione esatta per valori dispari di <math>s</math>. Solo recentemente è stato dimostrato che <math>\zeta(3)</math> è un [[numero irrazionale]] chiamato [[costante di Apéry]].

==Bibliografia==

*[[Andre Weil]], ''Number Theory: An Approach Through History'', Springer, ISBN 0-8176-3141-0

*[[William Dunham]], ''Euler: The Master of Us All'', [[Mathematical Association of America|MAA]], ISBN 0-88385-328-0

*John Derbyshire, ''Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics'', Joseph Henry Press, ISBN 0-309-08549-7

*[[Martin Aigner]], [[Günter M. Ziegler|Günter Ziegler]], ''[[Proofs from THE BOOK]]'', Springer, ISBN 3-540-67865-4

*Harold M. Edwards, ''Riemann's Zeta Function'', Dover, ISBN 0-486-41740-9

*[[Carl Boyer]], ''Storia della matematica'', Mondadori, ISBN 88-04-33431-2

==Voci correlate==

*[[Ipotesi di Riemann]]

*[[Funzione zeta di Riemann]]

*[[Leonhard Euler]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

[[Categoria:Serie matematiche]]

[[Categoria:Algoritmi per il calcolo del pi greco|Basilea]]