Funzione integrabile: differenze tra le versioni

Versione delle 12:18, 26 set 2015

Versione attuale delle 09:28, 23 lug 2020

(2 versioni intermedie di 2 utenti non mostrate)

Riga 1:

Nel [[calcolo infinitesimale]], una '''funzione integrabile''' o '''funzione sommabile''' rispetto ad un dato operatore [[integrale]] è una [[funzione (matematica)|funzione]] il cui integrale esiste ed il suo valore è finito. I due integrali più usati sono l'[[integrale di Riemann]] e l'[[integrale di Lebesgue]], e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'[[integrale di Lebesgue]] rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo [[Henri Lebesgue|Lebesgue]]. Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinonimi, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

I due integrali più usati sono l'[[integrale di Riemann]] e l'[[integrale di Lebesgue]], e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'[[integrale di Lebesgue]] rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo [[Henri Lebesgue|Lebesgue]].

Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinomini, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

==Integrale di Lebesgue==

{{vedi anche|Integrale di Lebesgue}}

Dato uno [[spazio di misura]] <math>(X,\mathcal A,\mu)</math>, una [[funzione semplice]] <math>s</math> è una [[combinazione lineare]] finita di [[funzione indicatrice|funzioni indicatrici]] di [[insieme misurabile|insiemi misurabili]].<ref name=def>{{Cita|W. Rudin|Pag. 15|rudin}}.</ref>

:<math>s:X \to \R, s(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x)</math>

Riga 15 ⟶ 11:

:<math>\int_X s(x)d\mu:=\sum_{k=1}^n a_k \mu(A_k)</math>

Una funzione <math>f:X\to \R</math> non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'[[estremo superiore]]:<ref name=int>{{Cita|W. Rudin|Pag. 19|rudin}}.</ref>

:<math>\sup_s \int_X s(x)d\mu =:\int_X f(x)d\mu \ </math>

Riga 28 ⟶ 24:

che sono rispettivamente la [[parte positiva e parte negativa di una funzione|parte positiva e parte negativa]] di <math>f</math>.

Si definisce in tal caso:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 24|rudin}}.</ref>

:<math>\int_X f(x)d\mu :=\int_X f^+(x)d\mu - \int_X f^-(x)d\mu </math>