Triangolo isoscele: differenze tra le versioni

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{{F|geometria|luglio 2017}}

[[ImmagineFile:Triangle.Isosceles.png|thumb|Triangolo '''''isoscele''''']]

In [[geometria]], si definisce '''triangolo isoscele''' un [[triangolo]] che possiede due lati congruenti.

In [[geometria]], si definisce '''triangolo isoscele''' un [[triangolo]] che possiede due lati [[Congruenza (geometria)|congruenti]].<ref>{{Cita web|lingua=it-it|autore=Fulvio Sbranchella|url=https://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-piana/409-tutte-le-formule-sul-triangolo-isoscele.html|titolo=Triangolo isoscele: formule, definizione e proprietà|sito=YouMath|data=23 marzo 2012|accesso=10 dicembre 2024}}</ref>

Vale il seguente ''teorema'': "Un triangolo haè due lati congruentiisoscele [[se e solo se]] ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli [[Elementi di Euclide]] ed è noto come [[Ponspons asinorum]], ponte degli asini.

In un triangolo isoscele la [[bisettrice]] relativa all'angolo al vertice coincide con la [[Mediana (geometria)|mediana]] e, l'[[Altezza (geometria)|altezza]] relativee l'[[Asse di un segmento|asse]] relativi alla base.

Particolari triangoli isosceli sono i [[triangolo equilatero|triangoli equilateri]] e i [[triangolo rettangolo|triangoli rettangoli]] isosceli.

Esistono anche triangoli isosceli [[triangolo acutangolo|acutangoli]] e [[triangolo ottusangolo|ottusangoli]].

I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.

== Simmetrie ==

Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo [[gruppo di simmetria]], oltre alla [[Funzione identità|trasformazione identità]], comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme <math>\{1, -1\}</math>.

Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo [[gruppo di simmetria]], oltre alla [[Funzione identità|trasformazione identità]], comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme <math>\{1, -1\}</math>.

== Triangoli isosceli in geometria analitica ==

'''Teorema 1:''' [[Condizione necessaria e sufficiente]] affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di [[coefficiente angolare]] opposto.

'''Teorema 1:''' Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di [[coefficiente angolare]] opposto.

'''Dimostrazione.'''

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Date le tre rette

# <math> y = k ,</math>

# <math> y = mx ,</math>

# <math> y = -mx ,</math>

ne calcoliamo l'intersezione.le intersezioni a due a due:

:<math>\left\{\begin{arraycases}{rl}&y = k\\&y = mx\end{arraycases}\right.</math>

:<math>\left\{\begin{array}{rlcases}&x = -\frac{k}{m}\\&y = mk\end{arraycases}\right.</math>

:<math>A\left\{\begin{array}{rl}&x = (\frac{k}{m}\\&y, = m\end{array}k\right.);</math>

:<math>\left\{\begin{arraycases}{rl}&y = mxk\\&y = -mx\end{arraycases}\right.</math>

:<math>\begin{cases}x A= \left(-\frac{k}{m}, m\right)\y = k\end{cases}</math>

:<math> B \left(-\frac{k}{m}, mk\right) ;</math>

:<math>\left\{\begin{arraycases}{rl}&y = kmx\\&y = -mx\end{arraycases}\right.</math>

:<math>\left\{\begin{arraycases}{rl}&x = 0\\&y = 0\end{arraycases}\right.</math>

:<math>{\rm C}(0, 0).</math>

:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x = -\frac{k}{m}\\&y = m\end{array}\right.</math>

:<math> B \left(-\frac{k}{m}, m\right) </math>

:<math>\left\{\begin{array}{rl}&y = mx\\&y = -mx\end{array}\right.</math>

:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x = 0\\&y = 0\end{array}\right.</math>

:<math>{\rm C}(0, 0)</math>

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti <math>AC</math> e <math>BC</math>.

:<math> AC = \sqrt{\left(\frac{k}{m}\right)^{2} + k^{2}} ,</math>

:<math> BC = \sqrt {\left(-\frac{k}{m}\right)^{2} + k^{2}} .</math>

:<math> BC = \sqrt {\left(-\frac{k}{m}\right)^{2} + k^{2}} </math>

Quindi il triangolo è isoscele sulla base <math>AB</math>. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse <math>y</math>.

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Dati i due punti:

# <math> {\rm A} (x_1, k) ,</math>

# <math> {\rm B} (x_2, k) ,</math>

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del [[punto medio]] della base, prima troviamo <math>M</math> e poi <math>C</math>.:

:<math> M \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, k\right) .</math>

Quindi troviamo <math>C</math>, che avrà la stessa ascissa di <math>M</math> e diversa ordinata.:

:<math> C \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, h\right) .</math>

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

:<math> AC = \sqrt{\left(\frac{x_1 - x_2}{2}\right)^{2} + (k - h)^{2}} ,</math>

:<math> BC = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^{2} + (k - h)^{2}} .</math>

:<math> BC = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^{2} + (k - h)^{2}} </math>

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

:<math> m m_{AC} = (h - k) \cdot \left(\frac{2}{x_2 - x_1}\right) = \frac{2(h - k)}{x_2 - x_1} ,</math>

:<math> m m_{BC} = (h - k) \cdot \left(\frac{2}{x_1 - x_2}\right) = \frac{2(h - k)}{x_1 - x_2} .</math>

:<math> m BC = (h - k) \cdot \left(\frac{2}{x_1 - x_2}\right) = \frac{2(h - k)}{x_1 - x_2} </math>

'''Teorema 2:''' Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla [[bisettrice]] di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di [[coefficiente angolare]] inverso.

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Date le tre rette

# <math> y = x + q ,</math>

# <math> y = mx ,</math>

# <math> y = \frac{1}{m}x ,</math>

ne calcoliamo l'intersezione.le intersezioni a due a due:

:<math>\left\{\begin{arraycases}{rl}&y = x + q\\&y = mx\end{arraycases}\right.</math>

:<math>\left\{\begin{arraycases}{rl}&x (m - 1)= 0q\\&y = 0mx\end{arraycases}\right.</math>

:<math>\left\{\begin{arraycases}{rl}&x (= \frac{q}{m - 1)= q}\\&y = mx\endfrac{arraymq}{m - 1}\right.end{cases}</math>

:<math> B A\left(\frac{mqq}{1m - m1}, \frac{qmq}{1m - m1}\right) ;</math>

:<math>\left\{\begin{arraycases}{rl}&xy = \frac{q}{mx -+ 1}q\\&y = \frac{mq1}{m - 1}x\end{arraycases}\right.</math>

:<math>\left\{\begin{array}{rlcases}&x (1 - m)= mq\\&y = \frac{1}{m}x\end{arraycases}\right.</math>

:<math>\begin{cases}x A= \left(\frac{qmq}{m1 - 1m},\\y = \frac{mqq}{m1 - 1m}\right) end{cases}</math>

:<math> BC = \sqrt {B\left(\frac{mq}{1 - m}\right)^{2}, + \left(\frac{q}{1 - m}\right)^{2}} ;</math>

:<math>\left\{\begin{arraycases}{rl}&y = x + q\\&y = \frac{1}{m}x\end{arraycases}\right.</math>

:<math>\left\{\begin{arraycases}{rl}&x = 0\\y = \frac{1}{m}x0\end{arraycases}\right.</math>

:<math>{\rm C}(0, 0).</math>

:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x (1 - m)= mq\\&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.</math>

:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x = \frac{mq}{1 - m}\\&y = \frac{q}{1 - m}\end{array}\right.</math>

:<math> B \left(\frac{mq}{1 - m}, \frac{q}{1 - m}\right) </math>

:<math>\left\{\begin{array}{rl}&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.</math>

:<math>\left\{\begin{array}{rl}&x = 0\\&y = 0\end{array}\right.</math>

:<math>{\rm C}(0, 0)</math>

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti <math>AC</math> e <math>BC</math>.

:<math> AC = \sqrt{\left(\frac{q}{m-1}\right)^{2} + \left(\frac{mq}{m-1}\right)^{2}} ,</math>

:<math> BC = \sqrt {\left(\frac{mq}{1-q -hm}\right)^{2} + h\left(\frac{q}{1-m}\right)^{2}} .</math>

:<math> BC = \sqrt {\left(\frac{mq}{1-m}\right)^{2} + \left(\frac{q}{1-m}\right)^{2}} </math>

Quindi il triangolo è isoscele sulla base <math>AB</math>. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse <math>y</math>.

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Dati i due punti:

# <math> {\rm A} (0, q) ,</math>

# <math> {\rm B} (-q, 0) ,</math>

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo <math>M</math> e poi <math>C</math>.:

:<math> M \left(-\frac{q}{2}, \frac{q}{2}\right) .</math>

Quindi troviamo <math>C</math>, che si trova sulla retta di equazione <math>y=-x</math> perpendicolare alla base e passante per <math>M</math>.:

:<math>C(h,-h),</math>

dove <math>h</math> è un [[numero reale]] arbitrario diverso da <math>0</math>. Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

:<math> AC = \sqrt{h^{2} + (q + h)^{2}} ,</math>

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

:<math> m BC = \fracsqrt{(-h}{h + q} = -\frach)^{h2}{h + qh^{2} }.</math>

:<math> AC = \sqrt{h^{2} + (q + h)^{2}} </math>

:<math> BC = \sqrt{(-q -h)^{2} + h^{2}} </math>

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

:<math> m m_{AC} = \frac{-h - q}{h} = -\frac{h + q}{h} ,</math>

:<math>\left\{\begin{array}m_{rlBC}&x = \frac{mq-h}{1h -+ mq}\\&y = -\frac{qh}{1h -+ mq}\end{array}\right.</math>

== Note ==

:<math> m BC = \frac{-h}{h + q} = -\frac{h}{h + q} </math>

<references/>

== Voci correlate ==

* [[Triangolo]]

* [[Triangolo equilatero]]

* [[Triangolo aureo]]

* [[Triangolo scaleno]]

* [[Teorema diretto dei triangoli isosceli]]

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== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

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