Classificazione dei gruppi semplici finiti: differenze tra le versioni

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La '''classificazione dei gruppi finiti semplici''', detta anche '''il teorema enorme''', è un teoremarisultato che può essere considerato uno dei più significativi teoremi del secolo scorsoNovecento, se non addirittura, come affermato dal matematico [[Daniel Gorenstein]], uno dei più importanti risultati della matematica. I gruppi [[insieme finito|finiti]] semplici sono tutti quei gruppi che non contengono alcun sottogruppo normale proprio (che non possono essere scomposti in gruppi più piccoli); nella [[teoria dei gruppi]] finiti ricoprono un ruolo simile a quello dei [[numero primo|numeri primi]] in [[aritmetica]]. Ogni [[numero naturale]] non [[numero primo|primo]] può essere scomposto in [[fattore primo|fattori primi]] e la fattorizzazione è essenzialmente unica; analogamente, accade per la scomposizione di ogni gruppo finito in gruppi semplici.
Il teorema di classificazione mostra che, a meno di [[isomorfismo|isomorfismi]], ogni [[gruppo finito semplice]] deve essere uno dei seguenti tipi:
 
I [[gruppi finiti]] [[gruppi semplici|semplici]] sono quelli che non contengono alcun [[sottogruppo normale]] proprio (che non possono essere scomposti in gruppi più piccoli); nella [[teoria dei gruppi]] finiti ricoprono un ruolo simile a quello dei [[numero primo|numeri primi]] in [[aritmetica]].
* un [[gruppo ciclico]] di ordine primo, cioè un gruppo finito semplice commutativo
* un [[gruppo alterno]] almeno di quinto grado, cioè un [[gruppo di permutazioni]] di un insieme di almeno cinque elementi
* un [[gruppo lineare]] classico ([[gruppo proiettivo lineare speciale|proiettivo lineare speciale]], [[gruppo simplettico|simplettico]], [[gruppo ortogonale|ortogonale]] o [[gruppo unitario]] su un [[campo finito]])
* un [[gruppo di tipo Lie]] (inclusi i [[gruppi di Tits]])
* uno dei rimanenti 26 gruppi conosciuti come [[gruppo sporadico|gruppi sporadici]], che non rientrano in nessuna famiglia particolare (elencati qui di seguito).
 
Ogni [[numero naturale]] maggiore di 1 può essere scomposto in [[fattore primo|fattori primi]] e la [[Teorema fondamentale dell'aritmetica|fattorizzazione è essenzialmente unica]]; analogamente, accade per la scomposizione di ogni gruppo finito in gruppi semplici.
Da alcuni il [[gruppo di Tits]] è considerato un gruppo sporadico perché non è propriamente un [[gruppo di tipo Lie]] (in questo caso i gruppi sporadici sarebbero 27 e non 26).
 
Il teorema corrispondente ("di classificazione") mostra che, a meno di [[isomorfismo|isomorfismi]], ogni [[gruppo finito semplice]] deve essereappartenere unoa deiuna tra le seguenti tipi''[[classe (matematica)|classi]]'':
 
* un [[gruppo ciclico]] di ordine primo, cioè un gruppo finito semplice commutativo
* un [[gruppo alterno]] almeno di quinto grado, cioè unil [[gruppo didelle permutazioni]] pari di un insieme di almeno cinque elementi
* un [[gruppo lineare]] classico ([[gruppo proiettivo lineare speciale|proiettivo lineare speciale]], [[gruppo simplettico|simplettico]], [[gruppo ortogonale|ortogonale]] o [[gruppo unitario]] su un [[campo finito]])
* un [[gruppo di tipo Lie]]. (inclusiIncluderebbe iper esempio il [[gruppi di Tits|gruppo di Tits]]).
* uno dei rimanenti 26 gruppi conosciuti come [[gruppo sporadico|gruppi sporadici]], che non rientrano in nessuna famiglia particolare (elencatie quisono di seguito)26.
 
Da alcuni il [[gruppo di Tits]] è considerato un gruppo sporadico, perché non è propriamente un [[gruppo di tipo Lie]] (in questo caso i gruppi sporadici sarebberoconosciuti diventerebbero 27 e non 26).
 
== I gruppi sporadici ==
{{vedi anche|Gruppo sporadico}}
Cinque gruppi sporadici sono stati scoperti da [[EmileÉmile Mathieu]] attorno al [[1860]], mentre gli altri 21 sono stati scoperti tra il [[1965]] e il [[1975]]. L'esistenza di molti di questi gruppi fu ipotizzata prima che i gruppi fossero costruiti effettivamente. Molti di questi gruppi sono stati chiamati con il nome dei matematici che per primi hanno ipotizzato la loro esistenza. La lista dei gruppi è la seguente:
 
* I [[gruppi di Mathieu]] ''M''<sub>11</sub>, ''M''<sub>12</sub>, ''M''<sub>22</sub>, ''M''<sub>23</sub>, ''M''<sub>24</sub>.
* I [[gruppi di Janko]] ''J''<sub>1</sub>, ''J''<sub>2</sub> o ''HJ'', ''J''<sub>3</sub> o ''HJM'', ''J''<sub>4</sub>.
* I [[gruppi di Conway]] ''Co''<sub>1</sub>, ''Co''<sub>2</sub>, ''Co''<sub>3</sub>.
* I [[gruppi di Fischer]] ''Fi''<sub>22</sub>, ''Fi''<sub>23</sub>, ''Fi''<sub>24</sub> oro ''Fi''<sub>24</sub>&prime;.
* Il [[gruppo di Higman-Sims]] ''HS''.
* Il [[gruppo di McLaughlin]] ''McL''.
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* Il [[gruppo Mostro]] di Fischer-Griess ''M'' o ''F''<sub>1</sub> (chiamato in questo modo per il numero enorme dei suoi elementi, dell'ordine di 10<sup>54</sup>).
 
Tutte le rappresentazioni matriciali su un [[Campo finito|campi finiti]] dei gruppi sporadici sono state calcolate, tranne quella del gruppo Mostro.
 
Dei 26 gruppi sporadici, 20 possono essere considerati come sottogruppi o [[Gruppo quoziente|quozienti]] di sottogruppi del gruppo Mostro. Le 6 eccezioni sono i gruppi sporadici ''J''<sub>1</sub>, ''J''<sub>3</sub>, ''J''<sub>4</sub>, ''O'N'', ''Ru'' e ''Ly''. Questi 6 gruppi sono spesso chiamati '''gruppi paria'''.
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== La classificazione ==
 
I primi passi nella classificazione sono iniziati verso la metà dell'Ottocento, quando [[EmileÉmile Mathieu]] scoprì i primi cinque gruppi sporadici; ma solo cento anni più tardi è stato trovato un nuovo gruppo sporadico, più precisamente nel [[1965]], da [[Zvonimir Janko]]; in pratica la maggior parte degli studi sulla classificazione sono stati condotti fra il [[1950]] e il [[1980]]. La classificazione è stata completata nel [[1981]], quando [[Simon Norton]] ha dimostrato l'unicità del Gruppo Mostro, l'enorme gruppo sporadico ''F''<sub>1</sub> di [[Bernd Fischer]], che [[Robert Griess]] aveva costruito.
 
A partire da Mathieu, nell'impresa della classificazione dei gruppi finiti semplici si sono impegnati centinaia di matematici; la dimostrazione completa del teorema è distribuita in circa 500 articoli, e riempie quasi 15.000 pagine a stampa.
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Cosa insolita per articoli di carattere matematico, è la notevole lunghezza dei lavori riguardanti il teorema di classificazione: ad esempio, un articolo di [[John Griggs Thompson]], apparso in sei parti tra il [[1968]] e il [[1974]], occupa oltre 400 pagine. Inoltre, tra il [[1976]] e il [[1980]], circolarono tra i matematici circa 3.000 pagine dattiloscritte di lavori, a volte senza essere state neppure pubblicate. Da ciò si capisce perché la dimostrazione del teorema di classificazione sia difficilmente alla portata di un singolo matematico, e perché si siano avanzati dubbi sulla validità del teorema.
 
Per questo motivo è stato promosso dallo stesso Gorenstein e da altri matematici un programma di revisione della dimostrazione, per conferire alla dimostrazione un carattere più coerente e convincente che possa uniformare i risultati dei molti matematici che in tempi diversi hanno lavorato al problema della classificazione, e che possa eliminare eventuali errori locali nascosti in qualche articolo, oltre a chiarire delle questioni, legate in particolare alla natura del [[Gruppo mostro]], rimaste ancora aperte. A questo proposito si parla anche di una ''dimostrazione di seconda generazione''. {{senza fonte|I lavori continuano tuttora.}}
 
== Bibliografia ==
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* [[Ronald Solomon]]: ''[http://www.ams.org/notices/199502/solomon.pdf On Finite Simple Groups and their Classification]'', Notices of the American Mathematical Society, February 1995
* [[John H. Conway]]; R. T. Curtis; S. P. Norton; R. A. Parker; R. A. Wilson: "''Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups.''" Oxford, 1985.
* [http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/math/simplegroups.html Orders of non abelian simple groups] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050404210024/http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/math/simplegroups.html |date=4 aprile 2005 }}: include una lista di tutti i gruppi semplici non abeliani fino all' ordine 10&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000 (in lingua inglese).
* [http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/ Atlas of Finite Group Representations]: contiene le rappresentazioni e altri dati riguardanti molti gruppi semplici finiti, compresi i gruppi sporadici (in lingua inglese).
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
 
{{Algebra}}
{{Portale|matematica}}