Divisore: differenze tra le versioni

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{{F|matematicanumeri|settembre 2009}}

[[File:Cuisenaire ten.JPG|thumb|I divisori di 10 illustrati con i [[regoli Cuisenaire]]: 1, 2, 5, e 10]]

Nella [[matematica]], un [[numero intero|intero]] <math>b</math> è un '''divisore''' di un intero <math>a</math> se esiste un intero <math>c</math> tale che <math>a = b \cdot c</math>. Ad esempio, 7 è un divisore di 42 in quanto <math>42 = 7 \cdot 6</math>. Si dice anche che ''7 divide 42'', o che ''42 è divisibile per 7'' o che ''42 è un [[multiplo]] di 7'', e si scrive <math>7 \mid 42</math>. I divisori possono essere sia positivi che negativi. I divisori positivi di 42 sono {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Casi particolari: 1 e -1 dividono qualunque intero, ed ogni intero è un divisore di 0. I numeri divisibili per 2 si chiamano [[numeri pari e dispari|pari]], mentre quelli che non lo sono si chiamano [[numeri pari e dispari|dispari]]. Il nome è legato al fatto che l'intero non nullo <math>b</math> divide l'intero <math>a</math> se e solo se nella [[divisione con resto]] di <math>a</math> per <math>b</math> il resto è zero.

Il nome è legato al fatto che l'intero non nullo <math>b</math> divide l'intero <math>a</math> se e solo se nella [[divisione con resto]] di <math>a</math> per <math>b</math> il resto è zero.

== Regole per piccoli divisori ==

{{vedi anche|Criteri di divisibilità#Principali_criteri_di_divisibilità_dei_numeri_interi}}

{{U|Criteri di divisibilità|matematica|marzo 2024}}

Esistono alcune regole utili per capire semplicemente alcuni piccoli divisori di un numero guardando le sue cifre

decimali:

* unUn numero è divisibile per [[due|2]] se ([[se e solo se|e solo se]]) l'ultima cifra è divisibile0, per2, due4, 6 oppure 8, (cioè se è un [[Numeri pari) e dispari|numero pari]]. '''Esempio:''' 45 è un numero dispari, perciòquindi non è divisibile per due, mentre 1478 è pari, edossia è perciò divisibile per due;.

* unUn numero è divisibile per [[tre|3]] se la somma delle sue cifre è un multiplo di tre. Nel caso il risultato dovesse essere maggiore di 9, si sommano le due o più cifre del risultato e si stabilisce se sonotale multiplisomma (ovveroè divisibili)o permeno multipla di tre. '''Esempio:''' La somma delle cifre che compongono il numero 213 è 6, quindi 213 è divisibile per tre. Nel caso di 579, invece, la somma risulta essere 21. Visto che 2 + 1 fa tre, anche 579 è divisibile per tre;.

* unUn numero è divisibile per [[quattro|4]] se il numero formato dalle sue due ultime cifre è un multiplo di 4 oppure se le sue ultime due cifre sono due zeri. '''Esempio:''' Il numero 144 termina con le cifre 44, e, visto che il quattro calzadivide nelil 44, il numero 144 è divisibile per 4. Anche 500 è divisibile per quattro; .

* unUn numero è divisibile per [[cinque|5]] se l'ultima cifra è 0 oppure 5. '''Esempio:''' Sia 5025 che 19830 sono divisibili per 5, al contrario di 783.

* unUn numero è divisibile per [[sei|6]] se è divisibile sia per 2 che per 3 (vedi sopra). '''Esempio:''' Il numero 96 è divisibile sia per 2 chesia per tre3, e quindi è divisibile anche per 6;.

* unUn numero è divisibile per [[sette|7]] se sottraendo il doppio dell'ultima cifra al numero senza l'ultima cifra il risultato è divisibile per 7 (ad esempio, 364 è divisibile per sette in quanto 36-2×4 = 28, che è divisibledivisibile per 7). Se il numero è troppo grande, è possibile dividerlo in gruppi di tre cifre dalla destra alla sinistra, inserendo segni alternati fra ogni gruppo (ad esempio, invece di 1.048.576 è possibile fare la prova su 576-048+1 = 529, che non è divisibile per sette in quanto 52-18 = 34 non lo è). Un numero può anche essere divisibile per 7 se lo è la somma fra il triplo delle cifre che precedono la cifra finale di un numero e la sua cifra finale (prendiamo il numero 380233, esso è divisibile per 7 perché 38023 x 3 + 3 è uguale a un numero divisibile per 7);.

* unUn numero è divisibile per [[otto8 (numero)|8]] se il numero dato dalle ultime tre cifre lo è;.

* unUn numero è divisibile per [[nove|9]] se la somma delle sue cifre rappresenta un multiplo di nove;.

* unUn numero è divisibile per [[10 (numero)|10]] se la sua ultima cifra è 0;.

* unUn numero è divisibile per [[undici11 (numero)|11]] se, eseguita la somma fra le cifre in una posizione pari e quelle in una posizione dispari, la differenza tra il maggiore e il minore di questi risultati è a sua volta divisibile per 11. '''Esempio:''' Nel numero 4257, si devono sommare le cifre che occupano una posizione dispari (1° e 3°, in questo caso), ovvero 4 e 5, con quelle che occupano una posizione pari (in questo caso, solo la 2ª e la 4ª cifra), ovvero 2 e 7. La somma delle cifre che occupano una posizione dispari è 9, quella delle cifre in un posto pari è ugualmente 9. La differenza è quindi uguale a zero (che è divisibile per 11);.

* unUn numero è divisibile per [[dodici|12]] se è divisibile sia per 3 che per 4.

* unUn numero è divisibile per [[tredici|13]] se sottraendo 9 volte l'ultima cifra dal numero privato di questa il risultato è divisibile per 13 (ad esempio 858 lo è in quanto 85-9×8 = 13, che chiaramente è divisibile per 13). Il metodo della divisione dei grandi numeri in gruppi di tre cifre, spiegato a proposito della divisibilità per 7, funziona anche in questo caso. Un numero può essere divisibile per 13 anche se lo è la somma fra il quadruplo della cifra finale di un numero e tutte le cifre che precedono questa (ad esempio, 123071 è divisibile per 13 perché lo è 1 x 4 + 1+2+3+0+7).

* unUn numero è divisibile per [[quattordici|14]] se è divisibile sia per 2 chesia per 7.

* unUn numero è divisibile per [[15 (numero)|15]] se è divisibile sia per 3 chesia per 5.

* unUn numero è divisibile per [[diciassette|17]] se la differenza (presa in [[valore assoluto]]), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17 (numeri con più di due cifre), oppure se in esso la differenza fra le sue cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 5 è uguale a 0, 17 o un multiplo di 17.

* unUn numero è divisibile per [[diciannove|19]], dopo averlo scomposto nella forma <math>100a + b</math>, solo se è divisibile <math>a + 4b</math>, oppure se in esso la differenza fra le sue cifre prima dell'ultima moltiplicate per nove e l'ultima è uguale a 0, 19, o un multiplo di 19 (ad esempio 817 è divisibile per 19 perché lo è 81 x 9 - 7).

* unUn numero è divisibile per [[venti20 (numero)|20]], se l'ultima cifra è 0 e la penultima è 0,2,4,6 o 8.

* unUn numero è divisibile per [[ventitré|23]] se è divisibile per 23 la somma della cifra delle decine e del settuplo della cifra delle unità, oppure se in questo la differenza fra le cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 16 è uguale a 0, 23 o un multiplo di 23 (ad esempio 1633 è divisibile per 23 perché lo è 163 - 3 x 16).

* unUn numero è divisibile per [[venticinque|25]] se (e solo se) le sue ultime 2 cifre sono 00, 25, 50 o 75.

* unUn numero è divisibile per [[ventinove|29]] se (e solo se) lo è anche la cifra delle decine sommato al triplo della cifra delle sue unità (261 lo è in quanto 26 + 3*1 = 29), oppure se in questo la differenza fra le sue cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 26 è uguale a 0, 29 o un multiplo di 29 (ad esempio, 957 è divisibile per 29 perché lo è 95 - 7 x 26).

== Proprietà ==

Alcune proprietà fondamentali:

* se ''a'' | ''b'' e ''a'' | ''c'', allora ''a'' | (''b'' + ''c''riflessiva);

* se ''a'' | ''b'' e ''b'' | ''ca'', allora ''a'' |= ''cb'' o ''a'' = <math>-</math>''b'' (antisimmetrica a meno del segno);

* se ''a'' | ''b'' e ''b'' | ''ac'', allora ''a'' =| ''bc'' or ''a'' = <math>-</math>''b''(transitiva);

* se ''d'' | ''a'' e ''d'' | ''b'', allora ''d'' | (''a'' + ''b''), più in generale ''d'' | (''am + bn'') per ogni ''m'' e ''n'' interi, e ''d'' | MCD(''a'',''b'');

* se ''a'' | ''c'' e ''b'' | ''c'', allora mcm(''a'',''b'') | ''c''.

== Ulteriori informazioni ==

Un divisore positivo di ''n'' diverso da ''n'' stesso è chiamato ''divisore proprio''.

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=== Numero di divisori ===

Il numero totale di divisori positivi di ''n'' è la [[funzione moltiplicativa]] ''d''(''n'') (ad esempio, ''d''(42) = 8 = 2×2×2 = ''d''(2)×''d''(3)×''d''(7)). La somma dei divisori positivi di ''n'' è un'altra funzione moltiplicativa σ(''n'') (ad esempio, σ(42) = 96 = 3×4×8 = σ(2)×σ(3)×σ(7)).

La somma dei divisori positivi di ''n'' è un'altra funzione moltiplicativa σ(''n'') (ad esempio, σ(42) = 96 = 3×4×8 = σ(2)×σ(3)×σ(7)).

Notiamo che se un numero <math> p </math> è primo allora ha due divisori, <math>p^2</math> ha tre divisori, ecc. ecc. In generale <math>p^M</math> ha <math>M+1</math> divisori. Quindi se la [[fattorizzazione]] prima di ''n'' è data da:

:<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \, ...\ldots \, p_M^{\nu_M} .</math>

Allora il numero di divisori positivi di ''n'' è:

:<math> d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) ...\ldots (\nu_M + 1) </math>

ed ogni divisore è nella forma:

:<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \, ...\ldots \, p_M^{\mu_M} ,</math>

dove:

Dove:

:<math> \forall i : 0 \le \mu_i \le \nu_i,\qquad </math> (i=1,2,...\ldots,M).</math>

Ad esempio poiché

:<math>36000=2^5\cdot 3^2\cdot 5^3,</math>

allora

:<math>d(36000)=(5+1)(2+1)(3+1)=6\cdot 3 \cdot 4=72</math>

e quindi 36000 ha 72 divisori.

Da queste considerazioni si può dimostrare che un numero ha una quantità dispari di divisori se e solo se è un [[quadrato perfetto]].

=== Relazione indotta dalla divisibilità ===

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== Regole generali di divisibilità ==

Se un intero ''n'' è scritto in [[sistema di numerazione|base]] ''b'' e ''d'' è un intero tale che ''b'' ≡ 1 ([[aritmetica modulare|mod]] ''d''), allora ''n'' è divisibile per ''d'' se e solo se anche la somma delle sue cifre in base ''b'' lo è. Le regole date sopra per ''d''=3 e ''d''=9 sono casi speciali di questo (''b''=10).

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Poiché 10³ ≡ 1 (mod 37) (''b''=10, ''n''=3, ''k''=1, ''d''=37) allora il numero ''a''=1523836638 si può dimostrare divisibile per 37 in quanto: 1523836×1+638=1524474, 1524×1+474=1998, 1×1+998=999 (o, più semplicemente, visto che in questo caso ''k''=1: 1+523+836+638=999); e 999 è divisibile per 37 per la conguenza vista sopra.

Ancora, 10² ≡ 2 (mod 7) (''b''=10, ''n''=2, ''k''=2, ''d''=7), se ''a''=43106 otteniamo 431×2+06=868; ripetiamo: 8×2+68 = 84 che è un multiplo di 7. Si noti che non c'è una terna (''n'', ''k'', ''d'') unica; difatti, avremmo potuto usare anche 10 ≡ 3 (mod 7) e quindi 1293×3 + 6 = 3885, 388×3 + 5 = 1169, 116×3 + 9 = 357, 35×3 + 7 = 112, 11×3 + 2 = 35, 3×3 + 5 = 14 ed infine 1×3 + 4 = 7. Naturalmente questo non è sempre efficiente ma si noti che ogni numero della serie (43106, 12936, 3885, 1169, 357, 112, 35, 14, 7) è un multiplo di 7 e spesso si trovano multipli identificabili banalmente. Questo metodo non è necessariamente utile per alcuni numeri (ad esempio 10⁴ ≡ 4 (mod 17) è il primo ''n'' dove ''k'' < 10) ma si presta a calcoli veloci in altri casi dove ''n'' e ''k'' sono relativamente piccoli.

Ancora, 10² ≡ 2 (mod 7) (''b''=10, ''n''=2, ''k''=2, ''d''=7), se ''a''=43106 otteniamo 431×2+06=868; ripetiamo: 8×2+68 = 84 che è un multiplo di 7.

Si noti che non c'è una terna (''n'', ''k'', ''d'') unica; difatti, avremmo potuto usare anche 10 ≡ 3 (mod 7) e quindi 1293×3 + 6 = 3885, 388×3 + 5 = 1169, 116×3 + 9 = 357, 35×3 + 7 = 112, 11×3 + 2 = 35, 3×3 + 5 = 14 ed infine 1×3 + 4 = 7.

Naturalmente questo non è sempre efficiente ma si noti che ogni numero della serie (43106, 12936, 3885, 1169, 357, 112, 35, 14, 7) è un multiplo di 7 e spesso si trovano multipli identificabili banalmente.

Questo metodo non è necessariamente utile per alcuni numeri (ad esempio 10⁴ ≡ 4 (mod 17) è il primo ''n'' dove ''k'' < 10) ma si presta a calcoli veloci in altri casi dove ''n'' e ''k'' sono relativamente piccoli.

== Generalizzazioni ==

Si potrebbe parlare del concetto di divisibilità in ogni [[dominio d'integrità]]. Vedi la voce relativa per una definizione in questo contesto.

== Voci correlate ==

* [[Tavola dei divisorifattori primi]] —: una tavola con ila divisori sia primi che non primifattorizzazione deidi numeri da 1 a 1000

* [[Tavola dei fattori primi]] —divisori: una tavola con lai fattorizzazionedivisori disia primi che non primi dei numeri da 1 a 1000

* [[Tavola dei divisori]] — una tavola con i divisori sia primi che non primi dei numeri da 1 a 1000

* [[Criteri di divisibilità]]

* [[Numero primo]]

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== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{cita web|httpurl=https://www.cut-the-knot.org/blue/divisibility.shtml|titolo=criteri di divisibiltà|lingua=en}}

* {{cita web|httpurl=https://www.cut-the-knot.org/Generalization/div11.shtml|titolo=divisibilità per 9 e per 11|lingua=en}}

* {{cita web|httpurl=https://www.cut-the-knot.org/Generalization/div11.shtml#div7|titolo=divisibiltà per 7}}

* {{cita web|httpurl=https://www.cut-the-knot.org/Generalization/81.shtml|titolo=divisibiltà per 81}}

* [https://web.archive.org/web/20050404215938/http://www.farfarfar.com/math/calculators/factoring/ calcolatore di fattori] — calcolatore che mostra i fattori primi o i divisori di un numero dato

* {{cita web|httpurl=https://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM|titolo=Fattorizzazione di grandi numeri colcon il metodo delle curve ellittiche (accetta anche le espressioni) - Sito personale di Dario Alpern|lingua=en}}

{{Algebra}}

* {{cita web|http://www.cut-the-knot.org/blue/divisibility.shtml|criteri di divisibiltà|lingua=en}}

* {{cita web|http://www.cut-the-knot.org/Generalization/div11.shtml|divisibilità per 9 e per 11|lingua=en}}

* {{cita web|http://www.cut-the-knot.org/Generalization/div11.shtml#div7|divisibiltà per 7}}

* {{cita web|http://www.cut-the-knot.org/Generalization/81.shtml|divisibiltà per 81}}

* [http://www.farfarfar.com/math/calculators/factoring/ calcolatore di fattori] — calcolatore che mostra i fattori primi o i divisori di un numero dato

* {{cita web|http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM|Fattorizzazione di grandi numeri col metodo delle curve ellittiche (accetta anche le espressioni) - Sito personale di Dario Alpern|lingua=en}}

{{Portale|matematica}}