Poliedro composto: differenze tra le versioni

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[[File:Stella octangula.svg|thumb|right|La [[stella octangula|stella ottangola]] è il più semplice poliedro composto regolare, ed è l'unione di due [[tetraedro|tetraedri]] in posizione [[poliedro duale|duale]].]]

{{W|matematica|febbraio 2007|[[Utente:Mauro742|Mauro742]] 10:02, 25 feb 2007 (CET)}}

In [[geometria solida]] si chiama '''poliedro composto''' o '''composto poliedrico''' una figura geometrica formata da due o più poliedri che condividono un [[baricentro (geometria)|baricentro]] comune.

In [[geometria]] il '''Poliedro composto''' è un insieme di ''Poliedri (semplici) significativi'', appartenenti, o non, alla stessa ''classe poliedrica'', normalmente ''concentrici'', combinati nel rispetto di ben precise regole, la cui intersezione è '''una parte di spazio a tre dimensioni'''.

Ad ogni composto poliedrico sono associate due particolari caratteristiche che individuano due nuovi poliedri ad esso correlati:

Sono esclusi, pertanto, i ''poliedri composti, faccia a faccia'', in grado di riempire lo spazio a tre dimensioni, il cui studio è contemplato nella [[Tassellazione dello spazio]].

– la [[Inviluppo convesso|chiusura convessa]] di un composto è il più piccolo [[poliedro convesso]] che lo contiene;

L'interesse per i poliedri composti è più di curiosità e di spettacolarità che non di vera e propria propedeuticità, anche se trova spazio dal punto di vista didattico-pedagogico per lo sviluppo di quella ''forma mentis matematica''… non proprio alla portata di tutte le menti.!

– l'[[Intersezione (insiemistica)|intersezione]] o nucleo di un composto è la porzione di spazio comune a tutti i suoi componenti.

== Specie interessanti di poliedri composti ==

''Nota'':Si Ildeduce poliedrofacilmente compostoche inil nucleo di un composto contestopoliedrico è dettoesso stesso un ''poliedro inferiore'',ed mentrein quelloparticolare che haè perun verticipoliedro convesso se tutti i vertici dei poliedri componenti.: ''poliedrosono superiore''convessi.

La chiusura convessa è detta anche, in maniera del tutto equivalente, ''inviluppo convesso'' oppure ''involucro convesso''.

* PC.1 - [[Stella octangula]] - È il ''capostipite'' dei poliedri composti: Due tetraedri regolari ([[Tetraedro regolare]]), uno duale dell'altro, i cui spigoli si bisecano scambievolmente - ''Poliedro superiore'': [[Cubo]].

* PC.2 - '''Un cubo più un ottaedro''' - [[Cubo]] e [[Ottaedro regolare]], uno duale dell'altro, i cui spigoli si bisecano scambievolmente - ''Poliedro superiore'': [[Dodecaedro rombico]].

Un esempio di composto poliedrico è la [[stella octangula|stella ottangola]] mostrata in figura: essa è un composto di due [[tetraedro|tetraedri]] regolari ed ha come chiusura convessa un [[cubo]] e come nucleo un [[ottaedro]].

* PC.3 - '''Un dodecaedro più un icosaedro''' - [[Dodecaedro regolare]] e [[Icosaedro regolare]], uno duale dell'altro, i cui spigoli si bisecano scambievolmente - ''Poliedro superiore'': [[Tricontaedro rombico]].

* PC.4 - '''Un grande dodecaedro più un piccolo dodecaedro stellato''' - [[Grande dodecaedro]] e [[Piccolo dodecaedro stellato]], uno duale dell'altro.

== Composti regolari ==

* PC.5 - '''Un grande icosaedro più un grande dodecaedro stellato''' - [[Grande icosaedro]] e [[Grande dodecaedro stellato]], uno duale dell'altro.

Un composto poliedrico si dice ''regolare'' se soddisfa le normali condizioni di regolarità che valgono anche per i poliedri semplici (non composti) ossia deve essere omogeneo nei [[vertice (geometria)|vertici]], negli [[spigolo|spigoli]] e nelle [[faccia (geometria)|facce]]: cioè per ogni coppia di vertici (o di spigoli o di facce) esiste una [[simmetria (matematica)|simmetria]] del poliedro che trasforma uno dei due elementi nel secondo.

* PC.6 - [[Cinque tetraedri nel dodecaedro]] - Cinque tetraedri ([[Tetraedro regolare]]), in due versioni (destrogiro e levogiro), in combinazione ''anomala'', in quanto, l'un l'altro, non hanno in comune alcun punto degli spigoli - ''Poliedro superiore'': [[Dodecaedro regolare]].

* PC.7 - [[Dieci tetraedri nel dodecaedro]] - Dieci tetraedri ([[Tetraedro regolare]]), combinando le due versioni (destrogiro e levogiro) del [[Cinque tetraedri nel dodecaedro]] - ''Poliedro superiore'': [[Dodecaedro regolare]].

Risulta evidente perciò che affinché un composto sia regolare è necessario – ma non sufficiente – che tutti i suoi componenti siano [[Solido platonico|regolari]] ed eguali tra loro. Più nello specifico i componenti saranno esclusivamente [[Tetraedro|tetraedri]], [[Ottaedro|ottaedri]] o [[Cubo|cubi]].

* PC.8 - [[Cinque cubi nel dodecaedro]] - Cinque cubi ([[Cubo]]), in condizione di dualità con il [[Cinque ottaedri nell'icosidodecaedro]] - ''Poliedro superiore'': [[Dodecaedro regolare]].

* PC.9 - [[Cinque ottaedri nell'icosidodecaedro]] - Cinque ottaedri ([[Ottaedro regolare]]), in condizione di dualità con il [[Cinque cubi nel dodecaedro]] - ''Poliedro superiore'': [[Icosidodecaedro]].

Esistono in tutto 5 poliedri composti regolari (ovvero 6 se si considerano le due [[Chiralità (matematica)|forme chirali]] di uno come due poliedri distinti). Sono elencati di seguito:

* PC.10 - [[Poliedro di Escher]] - Tre ottaedri regolari schiacciati ([[Ottaedro regolare]]), in condizione di dualità con il [[Triprisma rettangolare]] - ''Poliedro superiore'': [[Cubottaedro]].

* PC.11 - [[Triprisma rettangolare]] - Tre prismi quadrangolari retti, in condizione di dualità con il [[Poliedro di Escher]] - ''Poliedro superiore'': [[Tetraedro tronco]].

{| class="wikitable"

!''componenti''

!''figura''

!''elementi''

''notevoli''

![[Inviluppo convesso|''inviluppo'']]

[[Inviluppo convesso|''convesso'']]

![[Intersezione (insiemistica)|''intersezione'']]

![[Gruppo di simmetria|''simmetrie'']]

![[Poliedro duale|''duale'']]

|-

|[[Stella octangula|'''2 tetraedri''']]

|[[File:Compound of two tetrahedra.png|alt=|100x100px]]<br />

|V = 8

S = 12

F = 8

||[[cubo]]

||[[ottaedro]]

| style="text-align:center" |48

gruppo ''O''_''h''

|[[Stella octangula|sé stesso]]

|-

|[[Cinque cubi nel dodecaedro|'''5 cubi''']]

|[[File:Compound of five cubes.png|alt=|120x120px]]

|V = 20

S = 60

F = 30

||[[dodecaedro]]

||[[Triacontaedro rombico|triacontaedro]]

[[Triacontaedro rombico|rombico]]

| style="text-align:center" |120

gruppo ''I''_''h''

|[[Cinque ottaedri nell'icosidodecaedro|5 ottaedri]]

|-

|[[Cinque ottaedri nell'icosidodecaedro|'''5 ottaedri''']]

|[[File:Compound of five octahedra.png|alt=|120x120px]]

|V = 30

S = 60

F = 40

||[[icosidodecaedro]]

||[[icosaedro]]

| style="text-align:center" |120

gruppo ''I_h''

|[[Cinque cubi nel dodecaedro|5 cubi]]

|-

|[[Cinque tetraedri nel dodecaedro|'''5 tetraedri''']]

(chirale)

|[[File:Compound of five tetrahedra.png|120x120px|alt=]]

|V = 20

S = 30

F = 20

||[[dodecaedro]]

||[[icosaedro]]

| style="text-align:center" |60

gruppo ''I''

|[[Cinque tetraedri nel dodecaedro|5 tetraedri]]

speculari

|-

|[[Dieci tetraedri nel dodecaedro|'''10 tetraedri''']]

|[[File:Compound of ten tetrahedra.png|120x120px|alt=]]

|V = 20

S = 60

F = 40

||[[dodecaedro]]

||[[icosaedro]]

| style="text-align:center" |120

gruppo ''I_h''

|[[Dieci tetraedri nel dodecaedro|sé stesso]]

|}

I [[gruppo (matematica)|gruppi]] <math>O_h </math> e <math> I_h</math> sono rispettivamente il [[gruppo di simmetria]] dell'[[ottaedro]] e dell'[[icosaedro]]. Il gruppo <math> I</math> è il [[sottogruppo]] in <math>I_h</math> dato dalle simmetrie che preservano l'[[orientazione]].

Il [[poliedro duale]] del [[cinque tetraedri nel dodecaedro|composto di cinque tetraedri]] è l'immagine riflessa di sé stesso; l'unione dei due forma il composto di [[dieci tetraedri nel dodecaedro|dieci tetraedri]].

== Composti uniformi ==

Una caratteristica meno restrittiva rispetto alla regolarità è quella di [[Poliedro uniforme|uniformità]], che include tutti i composti con vertici omogenei, le cui facce siano [[Poligono regolare|poligoni regolari]]. Ciò implica che i componenti debbano essere essi stessi uniformi e [[Congruenza (geometria)|congruenti]] tra loro.

Una classificazione completa di tutti i possibili composti uniformi fu fornita da John Skilling nel 1976. L'elenco enumera 75 elementi, indicati con la sigla UC (''uniform compound'') seguita da un indice [[Numero|numerico]]. Vi sono inclusi i 5 composti regolari, 20 composti non banali di [[Prisma|prismi]] ed [[Antiprisma|antiprismi]], 2 classi infinite di prismi e 4 classi infinite di antiprismi. Alcuni dei composti uniformi hanno un [[Grado di libertà (meccanica classica)|grado di libertà]] rotazionale, cioè l'inclinazione dei componenti è variabile, pur mantenendo inalterate le [[Simmetria (matematica)|simmetrie]] del composto.<gallery mode="nolines" widths="120" heights="120" perrow="6" caption="Esempi di composti poliedrici uniformi">

File:UC02-12 tetrahedra.png|12 tetraedri ''UC₀₂'' (rotazione libera)

File:UC08-3 cubes.png|[[Tre cubi composto|3 cubi ''UC₀₈'']]

File:UC12-4 octahedra.png|4 ottaedri ''UC₁₂''

File:UC13-20 octahedra.png|20 ottaedri ''UC₁₃'' (rotazione libera)

File:UC15-10 octahedra.png|10 ottaedri ''UC₁₅'' (primo tipo)

File:UC16-10 octahedra.png|10 ottaedri ''UC₁₆'' (secondo tipo)

File:UC22-2k n-m-gonal antiprisms.png|''2n'' antiprismi di basi {p/q} con ''q'' dispari ''UC₂₂''

File:UC30-4 triangular prisms.png|4 prismi triangolari ''UC₃₀ (chirale)''

File:UC36-6 pentagrammic prisms.png|6 prismi stellati pentagonali ''UC₃₆ (chirale)''

File:UC38-4 hexagonal prisms.png|4 prismi esagonali ''UC₃₈''

File:UC40-6 decagonal prisms.png|6 prismi decagonali ''UC₄₀''

File:UC42-3 square antiprisms.png|3 antiprismi quadrati ''UC₄₂''

File:UC46-2 icosahedra.png|2 icosaedri ''UC₄₆''

File:UC47-5 icosahedra.png|5 icosaedri ''UC₄₇''

File:UC51-5 small stellated dodecahedra.png|5 piccoli dodecaedri stellati ''UC₅₁''

File:UC55-5 truncated tetrahedra.png|5 tetraedri troncati ''UC₅₅ (chirale)''

File:UC59-5 cuboctahedra.png|5 cubottaedri ''UC₅₉''

File:UC68-2 snub cubes.png|2 cubi simi ''(speculari)'' ''UC₆₈''

</gallery>

Il composto di 20 ottaedri con libertà rotazionale (''UC₁₃'') presenta 4 casi particolari, classificati con codici distinti: il composto regolare di 5 ottaedri (''UC₁₇''), due differenti composti di 10 ottaedri (''UC₁₅ e UC₁₆'') ed un composto di 20 ottaedri "fisso" con vertici a due a due coincidenti (''UC₁₄'').

I poliedri uniformi chirali (''simi, camusi, retrocamusi e camusi invertiti'') formano naturalmente un composto poliedrico uniforme se sovrapposti alla propria immagine [[Riflessione (geometria)|riflessa]]. Rientra in questa categoria – pur non essendo chirale – anche l'icosaedro, considerato come un "tetraedro simo".

Non vi è alcun caso di composto poliedrico uniforme costituito da [[Dodecaedro|dodecaedri]] platonici, né da [[Grande dodecaedro stellato|grandi dodecaedri stellati]].

== Bibliografia ==

*{{cita libro | cognome=H. M. Cundy & A. P. Rollett | anno=1974 |titolo=I modelli matematici | editore=Feltrinelli | città=Milano}}

*{{cita libro | cognome=Dedò| nome=Maria|| anno=1999|titolo=Forme, simmetria e topologia| editore=Decibel & Zanichelli | città=Bologna |isbn=88-08-09615-7|}}

*{{cita libro | cognome=John| nome=Skilling|| anno=1976|titolo=Uniform Compounds of Uniform Polyhedra| editore=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |doi=10.1017/S0305004100052440}}

== Voci correlate ==

*{{cita libro | cognome=[Bibl.1] - H. M. Cundy & A. P. Rollett | anno=1974 |titolo=I modelli matematici | editore=Feltrinelli | città=Milano}}

* [[Poliedro]]

* [[Poliedro uniforme]]

* [[Stella octangula|Stella ottangola]]

*[[Tre cubi composto|Composto di tre cubi]]

== Altri progetti ==

*{{cita libro | cognome=Dedò| nome=[Bibl.2] - Maria|| anno=1999|titolo=Forme, simmetria e topologia| editore=Decibel & Zanichelli | città=Bologna | id=ISBN 88-08-09615-7|}}

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

[[Categoria:Poliedri]]

*{{cita web|http://www.korthalsaltes.com/it|Modelli in carta dei poliedri}}

*{{cita web|http://www.interocitors.com/polyhedra/UCs/index.html|The 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra}} Modelli grafici 3D di composti ad orientamento variabile.

{{Portale|matematica}}

[[en:Polyhedral compound]]

[[Categoria:Poliedri composti| ]]

[[ja:複合多面体]]

[[pt:Poliedro composto]]