Numero di Grashof: differenze tra le versioni

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Il '''numero di [[Franz Grashof|Grashof]]''' è un [[gruppo adimensionale]] utilizzato innei termo[[fluidodinamicafenomeni di trasporto]] per caratterizzacaratterizzare la [[trasmissione del calore]] per [[convezione naturale]].

== Interpretazione fisica ==

Prende il nome da [[Franz Grashof]].

Esso è datadato dal rapporto delle [[spinta idrostatica|forze di galleggiamento]] e delle [[flusso viscoso|forze viscose]] di un [[fluido]].

Viene generalizzato dal [[numero di Hagen]].

== Definizione matematica ==

Può essere espresso nella forma:<ref>{{en}} [http://scienceworld.wolfram.com/physics/GrashofNumber.html scienceworld.wolfram.com, Grashof Number]</ref>

:<math> \mathrm{Gr} = \frac{F_V}{F_{\mu}} = \frac{g d^3 \rho \, \Delta \rho}{\mu^2} = g d^3 \frac {\frac{\Delta \rho}{\rho}} {\left(\frac {\mu}{\rho}\right)^2} = \frac{g d^3 \beta (T_s - T_\infty )}{\mathcal D_Vnu^2} </math>

in cui:

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* ρ rappresenta la [[densità]] del fluido e Δρ rappresenta la sua variazione;

* ''μ'' rappresenta la [[viscosità]] dinamica;

* ''β'' è il [[Isobara (termodinamica)#Coefficiente di compressibilità isobarica|coefficiente di comprimibilitàdilatazione isobaricatermica]];

* ''T''_''s'' è la temperatura della sorgente calda (temperatura di parete);

* ''T''_∞ è la temperatura asintotica;

* ''D_V''ν è la [[diffusivitàviscosità cinematica]].

== Interpretazione fisica ==

Esso è data dal rapporto delle [[spinta idrostatica|forze di galleggiamento]] e delle [[flusso viscoso|forze viscose]] di un [[fluido]].

Data la sua forma, al numeratore sono presenti tutte le grandezze che contribuiscono al moto, mentre al denominatore quelle che vi si oppongono. Per questo il numero di Grashof è utile a comprendere i moti convettivi naturali del fluido studiato.

Viene generalizzato dal [[numero di Hagen]].

In particolare Gr è proporzionale al cubo della lunghezza caratteristica del corpo, per questo motivo quindi il moto del fluido dipende proprio dalla dimensione caratteristica considerata in quanto se Gr < 2000 il fluido è fermo, la potenza termica è scambiata solo per [[Conduzione termica|conduzione]], se invece Gr > 2000 il fluido è in moto, quindi la potenza termica si trasferisce per [[convezione]].

La differenza tra queste due situazioni si può notare dalla legge stessa della trasmissione di [[Potenza (fisica)|potenza termica]] nei due diversi casi:

<math display="inline">\dot{Q} = \lambda A \cdot \frac{\Delta T}{s}</math>

nel caso di fluido stazionario e

<math display="inline">\dot{Q} = Nu \cdot \lambda A \cdot \frac{\Delta T}{s}</math>

nel caso di fluido in moto, in cui:

* <math>\dot{Q}</math> è la potenza termica scambiata;

* ''Nu'' è il [[numero di Nusselt]];

* <math>\lambda</math> è il [[Conducibilità termica|coefficiente di conducibilità termica]] tipico del materiale;

* ''A'' è l'area della superficie presa in esame;

* <math>\Delta T</math> è la differenza di temperatura tra i due lati della superficie (è la forza motrice della trasmissione di potenza termica);

* ''s'' è lo spessore della superficie.

Si può quindi notare come i due casi differiscano tra loro solamente per il numero di Nusselt, motivo per cui nel caso di fluido stazionario, e quindi di conduzione, si può assumere il valore di quest'ultimo pari ad 1.

== Applicazioni ==

In combinazione con il [[numero di Reynolds]] forma il [[numero di Richardson]] (Ri), il quale costituisce un importante criterio di discrimine tra convezione forzata, naturale o mista. In particolare, essendo

{{...}}

<math> \mathrm{Ri} = \frac{\mathrm{Gr}}{\mathrm{Re}^2} </math>

* se Ri ≫ 1 il trasporto convettivo è di tipo naturale;

* se Ri ≈ 1 si è in regime di convezione mista;

* se Ri ≪ 1 si è in regime di convezione forzata.

Inoltre, nel caso di convezione naturale, con il [[numero di Prandtl]] è utile a ricavare il [[numero di Rayleigh]]

<math>Ra = Gr \cdot Pr</math>

altro gruppo adimensionale utile a ricavare il [[numero di Nusselt]]

<math>Nu = a \cdot Ra ^b</math>

con il quale è possibile calcolare il coefficiente di proporzionalità da applicare per poter invocare il [[teorema di Buckingham]].

== Note ==

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{{portale|fisica|ingegneria|metrologia}}

[[Categoria:FluidodinamicaNumeri adimensionali|Grashof]]

[[Categoria:Gruppi adimensionali]]