Polarizzazione elettrica: differenze tra le versioni

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In [[fisica]], laLa '''polarizzazione elettrica''', neiin materiali è un termine utilizzato per[[fisica]], descriveredescrive la formazione di [[dipolo elettrico|dipoli elettrici]] all'interno di un [[materiale]], costituiti dalla [[carica elettrica]] posseduta dagli [[atomo|atomi]] e dalle [[molecola|molecole]] di cui esso è composto, in seguito all'applicazione di un [[campo elettrico]].<ref name=Mencuccini>{{Citacita libro | cognome= Mencuccini,| nome= C. Silvestrini|Pagcoautori=V. 129Silvestrini |mencuccini titolo= Fisica II| editore= Liguori Editore | città= Napoli| anno=1998 |id= ISBN 978-88-207-1633-2 }}</ref>. La polarizzazione elettrica si manifesta in particolare nei materiali [[Isolante elettrico|isolantidielettrici]], e genera la presenza di un campo elettrico aggiuntivo all'interno di essi.

[[File:Dielectric_notext.png|thumb|upright=2.7|Schema di un condensatore a facce piane parallele con un dielettrico]]

== Polarizzazione elettrica ==

Inserendo un materiale [[dielettrico]] tra le armature di un condensatore a facce piane e parallele si sperimenta che la capacità del condensatore aumenta. Ora giacché la capacità di un condensatore è data dal rapporto tra la carica e la [[differenza di potenziale]], e poiché l'inserimento del dielettrico non varia la carica sulle armature (così come non cambia la distanza tra le armature e neppure la loro superficie), è necessario che la differenza di potenziale diminuisca. Ricordando che in un condensatore a facce piane e parallele la differenza di potenziale è proporzionale al campo elettrico tra le armature, anche il campo elettrico deve diminuire. Il fattore che riduce il campo elettrico dipende dal materiale dielettrico e viene chiamato costante dielettrica relativa ed è una grandezza adimensionale, facilmente misurabile, che si indica con il simbolo <math>\varepsilon_r\ </math>.

{{vedi anche|Dipolo elettrico|Polarizzabilità}}

I dielettrici sono materiali elettricamente neutri e non contengono cariche elettriche libere. La polarizzazione di un dielettrico è la formazione di un dipolo orientato in modo tale da contrastare il campo elettrico esterno: tale dipolo è dato dalle deformazioni della struttura elettronica microscopica degli atomi attorno alla posizione di equilibrio, oppure dal loro orientamento. Questo rende possibile la distinzione di due tipi di polarizzazione: la polarizzazione per deformazione e la polarizzazione per orientamento.

Esistono inoltre alcuni materiali dielettrici particolari, cosiddetti [[ferroelettricità|ferroelettrici]], che mantengono la polarizzazione anche quando lo stimolo esterno viene a mancare: questi materiali hanno solitamente proprietà [[piezoelettricità|piezoelettriche]].

==Spiegazione microscopica della polarizzazione==

Esistono due meccanismi che giustificano la polarizzazione nei dielettrici: la deformazione degli atomi o molecole e l'orientamento dei dipoli permanenti presenti. Vi sono sostanze che non avendo momento elettrico permanente hanno solo la polarizzazione per deformazione. Altre sostanze hanno entrambi i meccanismi, ma per semplicità di trattazione qui vengono discussi separatamente i due casi.

=== Polarizzazione per deformazione ===

[[File:Dielektrikum_nepolarni.svg|thumb|upright=1.4|left|Il fenomeno della polarizzazione per deformazione.]]

Gli elettroni possono deformare i propri [[Orbitale atomico|orbitali]] spostando leggermente la propria posizione rispetto ai nuclei, formando un dipolo di piccolissima intensità per ogni atomo del materiale: la somma dei dipoli microscopici produce il dipolo totale del solido.

In presenza di un campo elettrico locale, gli elettroni possono deformare i propri [[Orbitale atomico|orbitali]] spostando leggermente la propria posizione rispetto ai nuclei, formando un dipolo per ogni atomo del materiale: la somma dei dipoli microscopici produce il dipolo totale macroscopico caratterizzato da <math>\mathbf P\ </math> descritto nel seguito.

Tale fenomeno consiste nel fatto che il nucleo, positivo, subisce una forza elettrica approssimativamente proporzionale al microcampo elettrico all'interno del materiale chiamato campo locale, creando così un momento di dipolo non nullo:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 130|mencuccini}}</ref>

Tale fenomeno consiste nel fatto che il nucleo, positivo, subisce una forza elettrica approssimativamente proporzionale al campo elettrico presente localmente (<math>\mathbf E_l\ </math>)

e contemporaneamente gli elettroni una forza eguale e contraria avendo cariche opposte.

Quindi per effetto del campo elettrico esterno <math>\mathbf E_l\ </math>, gli atomi che erano privi di momento di dipolo elettrico assumono un dipolo elettrico (<math>\mathbf p\ </math>) pari alla carica del nucleo moltiplicata lo spostamento subito dal nucleo rispetto al centro degli orbitali. Notare che lo spostamento in gioco modifica minimamente la struttura atomica in quanto date le dimensioni atomiche (frazioni di nm) i campi elettrici propri degli atomi sono molti [[Ordine di grandezza|ordini di grandezza]] superiori ai campi esterni che si possono ragionevolmente generare.

Possiamo quindi scrivere che:

:<math>\mathbf p = \alpha_d \mathbf E_l</math>

dove <math>\alpha_d\ </math> è il coefficiente detto di ''polarizzabilità elettronica'' per deformazione.

dove <math>\alpha_d</math> è il coefficiente detto di ''polarizzabilità elettronica'' per deformazione. Il campo elettrico locale <math>\mathbf E_l</math> è il campo agente sull'atomo considerato e non comprende il contributo dell'atomo stesso.

=== Polarizzazione per orientamento ===

[[File:Diel.png|thumb|upright=1.5|left|Il fenomeno della polarizzazione per orientamento.]]

Molte [[molecola|molecole]], in particolare quelle caratterizzate da una configurazione non simmetrica, sono dotate di un [[Dipolo elettrico|momento di dipolo]] intrinseco. Esso è dovuto sia al tipo di legame, sia all'asimmetria della molecola, ed è mediamente nullo dal momento che per un grande numero di molecole l'orientazione dei singoli dipoli è distribuita in maniera casuale. Se è presente un campo elettrico esterno, i momenti di dipolo si orientano parallelamente ad esso e il suo valore medio è quindi diverso da zero.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 132|mencuccini}}</ref>

Molte [[molecola|molecole]], in particolare quelle caratterizzate da una configurazione non simmetrica, sono dotate di un [[Dipolo elettrico|momento di dipolo]] intrinseco. Cioè il centro delle cariche positive non coincide con quello delle cariche negative: un esempio è la molecola dell'acqua, che ha un momento di dipolo pari a <math>|p_{H_2O}|\ =6\cdot 10^{-30}\ Cm</math><ref name=Mencuccini></ref>, un valore elevato rispetto alle molecole più comuni, sebbene esistano molecole con momento maggiore. Se non è presente nessun campo elettrico i singoli dipoli sono orientati casualmente e il momento totale del sistema macroscopico è nullo. Se è presente un campo elettrico esterno, i momenti di dipolo si orientano parallelamente ad esso e il loro valore medio è quindi diverso da zero come mostrato nella figura. Ma anche se si è in presenza di un campo elettrico intenso (ad esempio <math>E=10^5\ V/m \ </math>) la differenza di energia tra un dipolo orientato nella direzione del campo elettrico o nella direzione opposta <math>DU=2|p||E| \ </math> è molto inferiore all'energia media dovuta alla [[Energia termica|agitazione termica]].

Infatti nel caso numerico considerato (la molecola dell'acqua) <math>DU=1.2\cdot 10^{-24}\ J </math> assolutamente trascurabile rispetto all'energia media termica <math>k_BT\approx 4\cdot 10^{-21}\ J</math> a [[temperatura ambiente]]. Quindi per quanto intenso sia il campo elettrico un numero molto piccolo di dipoli è orientato nella direzione del campo locale <math>\vec E_l</math>. Il momento di dipolo medio dipende dall'intensità del campo, ma una piccola percentuale si orienta nella direzione del campo. Quindi aumentando il campo sempre più dipoli si allineeranno con il campo, ma il numero disposti casualmente continua a rimanere molto elevato. Il calcolo analitico va fatto considerando la [[distribuzione di Boltzmann]], ed è un tipico calcolo

di [[meccanica statistica]] con tale calcolo si dimostra che:

:<math>\langle \mathbf p \rangle = \frac {p_{0}^{2} \mathbf E_l} {3k_BT}= \alpha_o \mathbf E_l\ </math>

dove <math>k_B\ </math> è la [[costante di Boltzmann]], <math>T\ </math> è la [[temperatura assoluta]], <math>\mathbf p_0\ </math> è il momento di dipolo intrinseco ed <math>\alpha_o\ </math> è il coefficiente di ''polarizzabilità elettronica'' per orientamento.

Nel caso di molecole polari esiste anche la polarizzabilità per deformazione. Per cui, posso definire una polarizzabilità totale:

Il calcolo del valore medio dei momenti di dipolo si effettua con la [[Distribuzione di Boltzmann|funzione di Boltzmann]], dalla quale si ottiene:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 133|mencuccini}}</ref>

:<math> \alpha =\alpha_o(T)+\alpha_d\ </math>

Ma mentre la polarizzabilità per orientamento dipende fortemente dalla temperatura, quella per deformazione è completamente insensibile, quindi a bassa temperatura per le sostanze che hanno un momento di dipolo proprio domina sempre la polarizzazione per orientamento fino a quando le molecole sono mobili (stato di fluido). Mentre ad alta temperatura la costante dielettrica di tutte le sostanze tende a diminuire fino a tendere asintoticamente alla polarizzabilità per deformazione. Queste considerazioni valgono in elettrostatica, se i campi elettrici sono variabili nel tempo le cose sono più complicate.

:<math>\langle \mathbf p \rangle = \frac {p_{0}^{2} \mathbf E_l} {3KT} = \alpha_o \mathbf E_l</math>

==Vettore polarizzazione elettrica==

dove <math>K</math> è la [[costante di Boltzmann]], <math>T</math> è la temperatura in [[kelvin]], <math>\mathbf p_0</math> è il momento di dipolo intrinseco e <math>\alpha_o</math> è il coefficiente di ''polarizzabilità elettronica'' per orientamento.

L'effetto della polarizzazione elettrica può essere descritto riconducendo la polarizzazione dei dipoli microscopici ad una [[grandezza vettoriale]] macroscopica, che descriva il comportamento globale del materiale soggetto alla presenza di un campo elettrico esterno. Il vettore ''intensità di polarizzazione'', anche detto vettore di ''polarizzazione elettrica'' e indicato con <math>\mathbf P</math>, è il [[Dipolo elettrico#Momento elettrico|momento di dipolo elettrico]] per unità di volume posseduto dal materiale. Definito come il valore medio del momento di dipolo elettrico proprio <math>\mathbf p</math> di '''N''' particelle contenute in un volume infinitesimo <math>dv</math>, è espresso dalla relazione:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|pag. 134|mencuccini}}.</ref>

:<math>\mathbf P = \lim_{\Delta V \to 0} \frac {\Delta N}{\Delta V} \langle \mathbf p \rangle =\lim_{\Delta V \to 0} \frac { \sum_{i=1}^{\Delta N} {\mathbf p_i}}{\Delta V}</math>

===Polarizzazione nei materiali===

A seconda dello stato di aggregazione degli atomi e delle loro caratteristiche, la polarizzazione elettrica in gas, liquidi e nei solidi cristallini si differenzia notevolmente.

Nella definizione il limite vale per un volume che contenga un numero significativo di atomi tale da poterne calcolare una proprietà media.

====Polarizzazione nei gas====

Il [[potenziale elettrico]] associato al campo elettrico generato in un punto <math>\mathbf r</math> dalla polarizzazione del materiale è la somma dei contributi forniti da ogni elemento di volume <math>dv</math> di materiale posto nel punto <math>\mathbf r</math>. Integrando su tutto lo spazio si ottiene dunque:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|pag. 136|mencuccini}}.</ref>

Nelle sostanze gassose il campo locale è approssimabile al campo macroscopico, in quanto l'interazione fra le molecole in un gas è debole. Il legame tra il vettore polarizzazione elettrica e il campo elettrico è sostanzialmente lineare, ed approssimativamente si ha solo polarizzazione per orientamento:

:<math>V_P (\mathbf P r ) = n\frac {1}{4 \alpha_opi \varepsilon_0} \int_{V} \frac {\mathbf EP \cdot \Delta \mathbf r }{|\Delta \mathbf r |^3} \operatorname dv</math>

dove <math>\operatorname d \mathbf p = \mathbf P \operatorname dv </math> è il momento di dipolo posseduto dal volume infinitesimo <math>dV</math> di materiale e <math>\Delta \mathbf r = |\mathbf r' - \mathbf r| </math> la differenza vettoriale tra la posizione <math>\mathbf r'</math> del volume elementare e il punto <math>\mathbf r</math> in cui è calcolato il potenziale.

dove ''n'' è il numero medio di molecole per unità di volume.

Il vettore di polarizzazione, in quanto sorgente di un campo elettrico, deve essere legato ad una certa [[densità di carica]] microscopica. Per il [[teorema di Ostrogradskij]] infatti:

====Polarizzazione nei liquidi====

Il comportamento dei liquidi rende necessario distinguere tra liquidi polari e non polari:

:<math>V_P (\mathbf r) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \oint_{\partial V} \frac {\mathbf P}{|\Delta \mathbf r|} \cdot \operatorname d \mathbf s + \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{V} \frac {- \mathbf \nabla \cdot \mathbf P}{|\Delta \mathbf r|} \operatorname dv</math>

=====Liquidi polari=====

Per i liquidi polari si ha un effetto di polarizzazione sia per orientamento che per deformazione:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 139|mencuccini}}</ref>

Confrontando tale espressione con quella del potenziale generato da una distribuzione di carica superficiale e volumica, si evince che la polarizzazione nei dielettrici è descritta da una certa densità di carica di polarizzazione superficiale <math>\sigma_p</math> e volumica <math>\rho_p</math> legata al vettore di polarizzazione elettrica da:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|pag. 137|mencuccini}}.</ref>

:<math>\mathbf P = n \alpha \mathbf E</math>

:<math> \sigma_P = \vec P\cdot \hat n \qquad \rho_P = - \mathbf \nabla \cdot \mathbf P </math>

dove:

La polarizzazione del materiale si manifesta quindi attraverso la modifica della distribuzione di carica associata agli atomi e le molecole che compongono il materiale stesso, la quale è sorgente di un campo aggiuntivo presente all'interno del materiale. Questo è dovuto al fatto che sotto l'azione di un campo elettrico esterno si generano o si orientano i dipoli microscopici presenti nel materiale, costituiti dalla carica elettrica di atomi o molecole. Nel momento in cui un campo esterno separa spazialmente il [[nucleo atomico|nucleo]] dalla nuvola elettronica di un atomo, da un oggetto neutro si genera un dipolo, costituito da due cariche uguali in modulo ed opposte in segno. Allo stesso modo, l'orientazione collettiva dei dipoli molecolari genera una distribuzione di carica regolare e non più casuale, che genera un campo non mediamente nullo.

:<math>\alpha = \alpha_o + \alpha_d \ </math>

L'azione di un campo elettrico esterno, quindi, genera un campo aggiuntivo all'interno del materiale, dovuto alla modifica della distribuzione di carica nel materiale: se il vettore di polarizzazione è uniforme i singoli dipoli si annullano reciprocamente, e la densità volumica di carica di polarizzazione si annulla. In questa situazione la carica di polarizzazione si manifesta soltanto sulla superficie del dielettrico.

=====Liquidi non polari=====

Per i liquidi non polari si usa, sotto opportune approssimazioni, la relazione di [[Hendrik Lorentz|Lorentz]] tra il campo elettrico locale e campo elettrico esterno:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 140|mencuccini}}</ref>

Il vettore polarizzazione è proporzionale al campo presente localmente:

:<math>\mathbf P = n \alpha \mathbf E_l</math>

dove ''n'' è il numero medio di molecole per unità di volume.

=== Polarizzazione nei gas rarefatti ===

Nelle sostanze gassose il campo locale è approssimabile al campo macroscopico, cioè l'effetto delle molecole cambia poco il campo esterno, in tal caso:

:<math>\mathbf P = n \alpha \mathbf E_l\approx n \alpha \mathbf E=\varepsilon_0 \chi \mathbf E</math>

Il parametro <math> \chi </math> prende il nome di [[suscettività elettrica]] e vale:

:<math>\chi= \frac {n \alpha}{\varepsilon_0}</math>

si può facilmente dimostrare che <math>\chi= \varepsilon_r-1</math> dove <math>\varepsilon_r</math> è la [[costante dielettrica|costante dielettrica relativa]].

==== Liquidi non polari ====

Per i liquidi non polari si usa, sotto opportune approssimazioni, la relazione di [[Hendrik Lorentz|Lorentz]] tra il campo elettrico locale e campo elettrico esterno:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|pag. 140|mencuccini}}.</ref>.

:<math>\mathbf E_l = \mathbf E + \frac {\mathbf P} {3\varepsilon_0}</math>

:<math>\mathbf P = n \alpha \left (\mathbf E + \frac {\mathbf P} {3\varepsilon_0} \right) = \left ( \frac {n \alpha} { \left (1 - \frac {n\alpha}{3\varepsilon_0} \right )} \right) \mathbf E = \varepsilon_0 \chi \mathbf E</math>

quindi in questo caso:

dove:

:<math>\chi = \frac {n \alpha} {\varepsilon_0 \left (1 - \frac {n\alpha}{3\varepsilon_0} \right )} = \varepsilon_r - 1</math>

=== Polarizzazione nei metalli, nei semiconduttori e in generale nei solidi cristallini ===

è chiamata [[suscettività elettrica]], mentre <math>\varepsilon_r</math> è la [[costante dielettrica|permittività elettrica relativa]] relativa al materiale.

====Polarizzazione nei solidi cristallini====

All'interno dei metalli gli [[elettroni di valenza]] sono in generale liberi di muoversi liberamente all'interno del solido. Se il metallo viene immerso in un campo elettrico si forma una densità di carica superficiale tale da schermare il campo esterno, e si osserva una corrente che scorre nello stesso senso del campo per un brevissimo periodo di tempo, dopo il quale il metallo ritorna alla condizione precedente alla perturbazione eccetto che sulla superficie. La quantità di carica libera è solitamente tale da schermare qualsiasi campo elettrico costante applicato, e la polarizzabilità elettrica per i metalli è approssimabile a zero.

I materiali [[semiconduttore|semiconduttori]], invece, a temperatura ambiente presentano un comportamento metallico per campi elettrici di bassa intensità ed un comportamento dielettrico per campi elettrici più forti. La [[costante dielettrica]] per i semiconduttori è solitamente molto alta: 13.8 per il [[silicio]], circa 14 per il [[germanio]].

Nei solidi cristallini, infine, il legame tra il vettore polarizzazione elettrica e il campo elettrico esterno dipende anche dalla direzione del campo, e quindi la relazione è la più generale possibile:<ref name=pol>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pagpag. 142|mencuccini}}.</ref>

:<math> \mathbf P = \alpha \mathbf E </math>

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è il [[tensore]] di polarizzazione. Se i suoi elementi sono tutti costanti il dielettrico si dice ''perfetto'', mentre se si riducono ad uno [[Grandezza fisica scalare|scalare]] si dice ''isotropo''.

==Vettore polarizzazione elettrica==

L'effetto della polarizzazione elettrica può essere descritto riconducendo la polarizzazione dei dipoli microscopici ad una grandezza vettoriale macroscopica, che descriva il comportamento globale del materiale soggetto alla presenza di un campo elettrico esterno. Il vettore ''intensit di polarizzazione'', anche detto vettore di ''polarizzazione elettrica'' e indicato con <math>\mathbf P</math>, è il [[Dipolo elettrico#Momento elettrico|momento di dipolo elettrico]] per unità di volume posseduto dal materiale. Definito come il valore medio del momento di dipolo elettrico proprio <math>\mathbf p</math> di '''N''' particelle contenute in un volume infinitesimo <math>dv</math>, è espresso dalla relazione:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 134|mencuccini}}</ref>

:<math>\mathbf P = \lim_{\Delta V \to 0} \frac {\Delta N}{\Delta V} \langle \mathbf p \rangle =\lim_{\Delta V \to 0} \frac { \sum_{i=1}^{\Delta N} {\mathbf p_i}}{\Delta V}</math>

Nella definizione il limite vale per un volume che contenga un numero significativo di atomi tale da poterne calcolare una proprietà media.

Il [[potenziale elettrico]] associato al campo elettrico generato in un punto <math>\mathbf r</math> dalla polarizzazione del materiale è la somma dei contributi forniti da ogni elemento di volume <math>dv</math> di materiale posto nel punto <math>\mathbf r</math>. Integrando su tutto lo spazio si ottiene dunque:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 136|mencuccini}}</ref>

:<math>V_P (\mathbf r ) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{V} \frac {\mathbf P \cdot \Delta \mathbf r }{|\Delta \mathbf r |^3} \operatorname dv</math>

dove <math>\operatorname d \mathbf p = \mathbf P \operatorname dv </math> è il momento di dipolo posseduto dal volume infinitesimo <math>dV</math> di materiale e <math>\Delta \mathbf r = |\mathbf r' - \mathbf r| </math> la differenza vettoriale tra la posizione <math>\mathbf r</math> del volume elementare e il punto <math>\mathbf r</math> in cui è calcolato il potenziale.

Il vettore di polarizzazione, in quanto sorgente di un campo elettrico, deve essere legato ad una certa densità di carica microscopica. Per il [[teorema di Ostrogradskij]] infatti:

:<math>V_P (\mathbf r) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \oint_{\partial V} \frac {\mathbf P}{|\Delta \mathbf r|} \cdot \operatorname d \mathbf s + \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{V} \frac {- \mathbf \nabla \cdot \mathbf P}{|\Delta \mathbf r|} \operatorname dv</math>

Confrontando tale espressione con quella del potenziale generato da una distribuzione di carica superficiale e volumica, si evince che la polarizzazione nei dielettrici è descritta da una certa densità di carica di polarizzazione superficiale <math>\sigma_p</math> e volumica <math>\rho_p</math> legata al vettore di polarizzazione elettrica da:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 137|mencuccini}}</ref>

:<math> \sigma_P = \mathbf P \cdot \frac {\operatorname d \mathbf s}{\operatorname ds} \qquad \rho_P = - \mathbf \nabla \cdot \mathbf P </math>

La polarizzazione del materiale si manifesta quindi attraverso la modifica della distribuzione di carica associata agli atomi e le molecole che compongono il materiale stesso, la quale è sorgente di un campo aggiuntivo presente all'interno del materiale. Questo è dovuto al fatto che sotto l'azione di un campo elettrico esterno si generano o si orientano i dipoli microscopici presenti nel materiale, costituiti dalla carica elettrica di atomi o molecole. Nel momento in cui un campo esterno separa spazialmente il [[nucleo atomico|nucleo]] dalla nuvola elettronica di un atomo, da un oggetto neutro si genera un dipolo, costituito da due cariche uguali in modulo ed opposte in segno. Allo stesso modo, l'orientazione collettiva dei dipoli molecolari genera una distribuzione di carica regolare e non più casuale, che genera un campo non mediamente nullo.

L'azione di un campo elettrico esterno, quindi, genera un campo aggiuntivo all'interno del materiale, dovuto alla modifica della distribuzione di carica nel materiale: se il vettore di polarizzazione è uniforme i singoli dipoli si annullano reciprocamente, e la densità volumica di carica di polarizzazione si annulla. In questa situazione la carica di polarizzazione si manifesta soltanto sulla superficie del dielettrico.

==Equazioni di Maxwell per i dielettrici==

{{vedi anche|Equazioni di Maxwell|Vettore induzione elettrica}}

Introducendo la densità di carica di polarizzazione <math>\rho_P</math>, la prima delle equazioni di Maxwell, che esprime la forma locale del [[teorema del flusso]] per il campo elettrico, diventa:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pagpag. 141|mencuccini}}.</ref>

:<math>\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} (\rho_E + \rho_P) = \frac{1}{\varepsilon_0}(\rho_E -\nabla\cdot\mathbf{P})</math>

dove <math>\rho_E</math> è la densità di cariche ''libere'' (o ''di spostamento'') e nel secondo passaggio si è utilizzata la relazione tra la densità volumetrica di carica di polarizzazione ed il vettore di polarizzazione. Si ha quindi:

:<math>\nabla\cdot (\varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}) = \rho_E </math>.

L'argomento dell'operatore differenziale è il vettore induzione elettrica, definito come:<ref name=pol/>

:<math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}</math>

E la prima equazione di Maxwell assume la forma:

:<math> \nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_E </math>

La maggior parte dei materiali isolanti può essere trattata come un dielettrico lineare omogeneo ed isotropo, questo significa che tra il dipolo indotto nel materiale ed il campo elettrico esterno sussista una relazione lineare. Si tratta di un'approssimazione di largo utilizzo, ed in tal caso i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{D}</math> sono equivalenti a meno di un fattore di scala:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|pag. 143|mencuccini}}.</ref>

:<math> \nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_D-\rho_P = \rho_f </math>

La maggior parte dei materiali isolanti può essere trattata come un dielettrico lineare omogeneo ed isotropo, questo significa che tra il dipolo indotto nel materiale ed il campo elettrico esterno sussista una relazione lineare. Si tratta di un'approssimazione di largo utilizzo, ed in tal caso i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{D}</math> sono equivalenti a meno di un fattore di scala:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 143|mencuccini}}</ref>

: <math>\mathbf{D} = \varepsilon_r\varepsilon_0\mathbf{E}</math>

e di conseguenza:

: <math>\mathbf{P} = (\varepsilon_r-1)\varepsilon_0\mathbf{E} = \varepsilon_{0} \chi \mathbf{E}</math>

La grandezza <math>\varepsilon_r</math> è la [[costante dielettrica|costante dielettrica relativa]] relativa, e dipende dalle caratteristiche microscopiche del materiale, mentre:

La grandezza <math>\varepsilon_r</math> è la [[permittività elettrica|permittività elettrica dielettrica]] relativa, e dipende dalle caratteristiche microscopiche del materiale, mentre:

:<math>\chi\ = \varepsilon_r - 1</math>

è la [[suscettività elettrica]].

Spesso si introduce la grandezza <math>\varepsilon= \varepsilon_r\varepsilon_0</math> e la relazione tra il campo elettrico ed l'induzione elettrica diviene:

: <math>\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} </math>

La permittivitàcostante elettricadielettrica relativa (e dunque la suscettività) può essere misurata empiricamente e, a partire dagli [[anni 1970|anni settanta]], viene calcolata anche con l'ausilio dei calcolatori elettronici. Se il materiale non è omogeneo, lineare ed isotropo, allora <math>\varepsilonvarepsilon_r</math> dipende da fattori come la posizione all'interno del mezzo, la temperatura o la frequenza del campo applicato. In particolare, se il materiale è omogeneo e [[Anisotropia|anisotropo]] la costante dielettrica diventa una matrice, se non è omogeneo i coefficienti della matrice sono una funzione della posizione, e se non è lineare la costante dielettrica dipende dal campo elettrico, ed in generale anche dal tempo.

Nel dominio delle frequenze, per un mezzo lineare e indipendente dal tempo sussiste la relazione:

:<math> \mathbf{D(\omega)} = \varepsilon (\omega) \mathbf{E}(\omega)</math>

dove <math>\omega</math> è la frequenza del campo.

Riga 150 ⟶ 127:

:<math>\mathbf F = -m \omega_0^2 \mathbf x = - e \mathbf E</math>

dove <math>\omega_0</math> la frequenza di oscillazione attorno al [[punto di equilibrio]] ed <math>\mathbf E</math> il campo applicato. Il momento di [[dipolo elettrico]] indotto è dato pertanto dalla relazione:

:<math>\mathbf p = e \mathbf x = \frac{e^2}{m \omega_0^2} \mathbf E </math>

Riga 158 ⟶ 135:

:<math>\mathbf F = m \ddot \mathbf x = -m\gamma \dot \mathbf x -m \omega_0^2 \mathbf x - e \mathbf E (\mathbf x , t)</math>

e l'equazione del moto assume pertanto la forma:<ref>{{Cita|Jackson|Pagpag. 309|Jackson}}.</ref>

:<math> m [\ddot \mathbf x + \gamma \dot \mathbf x + \omega_0^2 \mathbf x ] = - e \mathbf E (\mathbf x , t)</math>

Riga 166 ⟶ 143:

:<math> \mathbf x = \frac{e}{m (\omega_0^2 - \omega^2 - i \omega \gamma)} \mathbf E \qquad \mathbf p = - e \mathbf x = \frac{e^2}{m (\omega_0^2 - \omega^2 - i \omega \gamma)} \mathbf E </math>

Si supponga vi siano <math>N</math> molecole per unità di volume con <math>Z</math> elettroni ciascuna, e si ponga che per ogni molecola vi siano <math>f_j</math> elettroni per molecola legati da una forza armonica con frequenza <math>\omega_j</math> e costante di smorzamento <math>\gamma_j</math>. In tale situazione la permittività elettrica è data da:<ref>{{Cita|Jackson|Pagpag. 310|Jackson}}.</ref>

:<math> \frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} = 1 + \chi_e = 1 + \frac{N e^2}{\varepsilon_0 m} \sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i \omega_j \gamma} \qquad \sum_j f_j = Z</math>

Riga 184 ⟶ 161:

:<math>\mathbf D (\mathbf x , t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \mathbf D (\mathbf x , \omega) e^{-i \omega t} d \omega \qquad \mathbf D (\mathbf x , \omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \mathbf D (\mathbf x , t') e^{i \omega t'} d t'</math>

ed inserendola nella precedente relazione insieme all'analoga rappresentazione di Fourier per <math>\mathbf E</math> si ottiene, ponendo che si possa invertire l'ordine di integrazione:<ref>{{Cita|Jackson|Pagpag. 330|Jackson}}.</ref>

:<math>\mathbf D (\mathbf x , t) = \varepsilon_0 \left[ \mathbf E (\mathbf x , t) + \int_{-\infty}^{\infty} \chi(t') \mathbf E (\mathbf x , t-t')dt' \right]</math>

Riga 198 ⟶ 175:

:<math> \frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} = 1 + \chi_e = 1 + \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 - i \omega_j \gamma}</math>

La trasformata della suscettività elettrica assume in tal caso la forma:<ref>{{Cita|Jackson|Pagpag. 331|Jackson}}.</ref>

:<math> \chi(t') = \frac{\omega_p^2}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-i \omega t'}}{\omega_0^2 - \omega^2 - i \omega_j \gamma}d\omega = \omega_p^2 e^{-\frac{\gamma t'}{2}} \frac{\sin (\nu_0 t')}{\nu_0}\theta(t') \qquad \nu_0^2 = \omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{4}</math>

dove <math>\theta(t')</math> è la [[funzione gradino]]. La funzione <math> \chi(t')</math> oscilla con uno smorzamento dato dal termine esponenziale, in cui compare la costante di smorzamento della forza armonica che agisce sulle cariche. La presenza della funzione gradino garantisce il rispetto del principio di causalità, poiché annulla <math> \chi(t')</math> per tempi negativi. Si giunge in questo modo all'espressione più generale che lega i campi <math>\mathbf D</math> ed <math>\mathbf E</math> in un mezzo uniforme ed isotropo:<ref>{{Cita|Jackson|Pagpag. 332|Jackson}}.</ref>

:<math>\mathbf D (\mathbf x , t) = \varepsilon_0 \left[ \mathbf E (\mathbf x , t) + \int_{0}^{\infty} \chi(t') \mathbf E (\mathbf x , t-t')dt' \right]</math>

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:<math> \frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} = 1 + \int_{0}^{\infty} \chi(t')e^{i \omega t'}dt'</math>

dalla quale si evince che se la suscettività è finita ad ogni tempo e si annulla ad un tempo infinito, allora la permittività elettrica è una [[funzione analitica]] nel semipiano superiore del [[numero complesso|piano complesso]]. Tali caratteristiche permettono ad <math>\widehat{\varepsilon}(\omega)</math> di soddisfare le [[Relazione di Kramers-Kronig|relazioni di Kramers-Kronig]]:<ref>{{Cita|Jackson|Pagpag. 334|Jackson}}.</ref>

:<math> \Re \left[\frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} \right] = 1 + \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\Im \left(\frac{\varepsilon (\omega')}{\varepsilon_0} \right)}{\omega' - \omega} d\omega' \qquad \Im \left[\frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} \right] = - \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\Re \left( \frac{\varepsilon (\omega')}{\varepsilon_0}\right) - 1 }{\omega' - \omega} d\omega'</math>

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== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Mencuccini| nome= Corrado |coautori=Vittorio Silvestrini | titolo= Fisica II| editore= Liguori Editore | città= Napoli| anno=2010 |isbn= 978-88-207-1633-2|cid= mencuccini }}

* {{Cita libro |titolo=Classical Electrodynamics |url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9 |autore=John D. Jackson |edizione=3rd3ª Editionediz. |editore=Wiley |anno=1999 |isbn=0-471-30932-X |cid= Jackson |lingua=en }}

==Voci correlate==

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* [[Equazioni di Maxwell]]

* [[Induzione elettrica]]

* [[Isolante elettricoDielettrico]]

* [[Permittività elettrica]]

* [[Piezoelettricità]]

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* [[Suscettività elettrica]]

* [[Trasformata di Fourier]]

* [[Iperpolarizzabilità]]

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