Trasformazione lineare: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], e più precisamente in [[algebra lineare]], una '''trasformazione lineare''', detta anche '''applicazione lineare''' o '''mappa lineare''', è una [[funzione (matematica)|funzione]] [[Linearità (matematica)|lineare]] tra due [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] definiti sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le [[combinazione lineare|combinazioni lineari]]. Nel linguaggio dell'[[algebra astratta]], una trasformazione lineare è un [[omomorfismo]] di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.

{{Avvisounicode}}

In [[matematica]], più precisamente in [[algebra lineare]], una '''trasformazione lineare''', detta anche '''applicazione lineare''' o '''mappa lineare''', è una [[funzione (matematica)|funzione]] [[Linearità (matematica)|lineare]] tra due [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le [[combinazione lineare|combinazioni lineari]]. Nel linguaggio dell'[[algebra astratta]], una trasformazione lineare è un [[omomorfismo]] di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.

In [[analisi funzionale]] una trasformazione lineare è spesso detta '''operatore lineare'''. In tale contesto, particolare importanza rivestono gli [[Operatore lineare continuo|operatori lineari continui]] tra [[spazio vettoriale topologico|spazi vettoriali topologici]], come ad esempio [[spazio di Banach|spazi di Banach]].

== Definizione == ( by Tommaso Gentile )

Siano <math> V </math> e <math> W </math> due spazi vettoriali sullo stesso [[campo (matematica)|campo]] <math> K .</math>. Una funzione <math>f\colon f:V\to W </math> è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 82|lang}}.</ref><ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 67|kunze}}.</ref>

* <math>f(\mathbf x+ \mathbf y)=f(\mathbf x)+f(\mathbf y) \ ,</math>

* <math>f(a \mathbf x)=af(\mathbf x) \ ,</math>

per ogni coppia di vettori <math> \mathbf x </math> e <math> \mathbf y </math> in <math> V </math> e per ogni scalare <math> a </math> in <math> K .</math>. La prima proprietà è detta [[Funzione additiva|additività]], la seconda [[funzione omogenea|omogeneità di grado 1]].

Equivalentemente, <math> f </math> è lineare se "preserva le [[combinazione lineare|combinazioni lineari]]" ([[principio di sovrapposizione]]), ovveroossia se:

:<math>f(a_1 \mathbf x_1+\cdots+a_m \mathbf x_m)=a_1 f(\mathbf x_1)+\cdots+a_m f(\mathbf x_m),</math>

per ogni intero positivo ''<math>m''</math> e ogni scelta dei vettori <math> \mathbf x_1,\ldots, \mathbf x_m </math> e degli scalari <math> a_1,\ldots,a_m .</math>.

Se <math>f\colon f:V\to W </math> è una applicazione lineare e <math> \mathbf 0_V </math> e <math> \mathbf 0_W </math> sono i vettori nulli di <math> V </math> e <math> W </math> rispettivamente, allora:<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 68|kunze}}.</ref>

:<math>\ f(\mathbf 0_V) = f(\mathbf 0_V + \mathbf 0_V) = f(\mathbf 0_V) + f(\mathbf 0_V),</math>

e togliendo <math>f(\mathbf 0_V)</math> da ambo i membri si ottiene

:<math>\mathbf 0_W = f(\mathbf 0_V).</math>

Sostituendo allo zero una combinazione lineare di vettori [[Indipendenza lineare|linearmente dipendenti]] si dimostra che un'applicazione lineare non banaleiniettiva manda sottoinsiemi del dominio linearmente indipendenti in sottoinsiemi del codominio linearmente indipendenti.<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 80|kunze}}.</ref>

Un'applicazione lineare è descritta completamente attraverso la sua azione sui vettori di una base qualsiasi del dominio.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 86|lang}}.</ref> Poiché la scrittura di un vettore in una data base è unica, la linearità dell'applicazione determina l'unicità del vettore immagine.

Un'applicazione lineare [[Corrispondenza biunivoca|biunivoca]] (o ''invertibile'') è inoltre un [[isomorfismo]] tra spazi vettoriali.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 96|lang}}.</ref>

==Esistenza ede unicità dell'applicazione lineare==

Siano <math> V </math> e <math> W </math> due spazi vettoriali di dimensione finita. Sia <math> B_V = (\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_n) </math> una base di <math> V </math> e siano <math> \mathbf w_1,\ldots, \mathbf w_n </math> vettori di <math> W .</math>. Allora esiste un'unica applicazione lineare da <math> V </math> in <math> W </math> tale che:<ref>{{Cita libro|Hoffman,nome=Ray Alden|cognome=Kunze|Pagtitolo=Linear algebra|url=https://www.worldcat.org/oclc/139865|accesso=2022-01-08|edizione=2d ed|data=1971|p=69|kunzeOCLC=139865|ISBN=0-13-536797-2}}</ref>

:<math>f(\mathbf v_i) = \mathbf w_i, \quad \forall \ i=1,\ldots,n.</math>

Nel caso non si conosca la forma esplicita dell'applicazione è comunque possibile stabilirne l'esistenza e l'unicità attraverso la conoscenza dell'azione dell'applicazione su un insieme di vettori dati <math>\{{\mathbf v}_i \}</math>, dei quali si conosce quindi l'immagine. Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata, mentre se i vettori dati non costituiscono una base vici sono due casi:

*I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente indipendenti: in tal caso l'applicazione esiste ma non è unica.

*I vettori di cui si conosce l'immagine non sono linearmente indipendentidipendenti: in tal caso uno o più vettori sono combinazione lineare dei restanti. Si ha:

:<math> \mathbf v_j = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf v_i .</math>

L'applicazione esiste (ma non è unica) [[se e solo se]]:

:<math> f(\mathbf v_j) = \sum_{i=1}^n a_i f(\mathbf v_i).</math>

== Matrice associata ==

{{vedi anche|Matrice di trasformazione}}

Siano <math> V </math> e <math> W </math> due spazi vettoriali di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita. Scelte due basi <math> B_V </math> e <math> B_W </math> per <math> V </math> e <math> W ,</math>, ogni trasformazione lineare da <math> V </math> a <math>W</math> è rappresentabile come una [[matrice]]. Si ponga:

:<math> B_V = (\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_n) ,</math>

:<math> B_W = (\mathbf w_1,\ldots, \mathbf w_m) .</math>

Ogni vettore <math>\mathbf v </math> in <math> V </math> è univocamente determinato dalle sue [[coordinate di un vettore|coordinate]] <math>c_1, \ldots, c_n,</math>, definite in modo che:

:<math>\mathbf v=c_1 \mathbf v_1+\cdots+c_n \mathbf v_n.</math>

Se <math> f:\colon V\to W </math> è una trasformazione lineare si ha:

:<math>f(\mathbf v) = f(c_1 \mathbf v_1+\cdots+c_n \mathbf v_n)=c_1 f(\mathbf v_1)+\cdots+c_n f(\mathbf v_n).</math>

Quindi la funzione <math> f </math> è determinata dai vettori <math>f(\mathbf v_1),\ldots,f(\mathbf v_n)</math>. Ciascuno di questi è scrivibile come:

:<math>f(\mathbf v_j)=a_{1j} \mathbf w_1 + \cdots + a_{mj} \mathbf w_m.</math>

La funzione <math> f </math> è dunque interamente determinata dai valori di <math>a_{i,j},</math>, che formano la [[matrice associata ad una applicazione lineare|matrice associata]] a <math> f </math> nelle basi <math> B_V </math> e <math> B_W .</math>.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 84|lang}}.</ref>

La matrice associata <math> A </math> è di tipo <math> m\times n ,</math>, e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine <math> f(\mathbf v) </math> di ogni vettore di <math> V </math> grazie alla relazione seguente:

:<math> A [\mathbf v]_{B_V} = [\mathbf w]_{B_W} ,</math>

dove <math> [\mathbf v]_{B_V} </math> e <math> [\mathbf w]_{B_W} </math> sono le coordinate di <math>\mathbf v </math> e <math>\mathbf w </math> nelle rispettive basi.

Si nota che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.

== Struttura di spazio vettoriale ==

L'insieme <math> \mathrm{Hom}(V,W) </math> delle applicazioni lineari da <math> V </math> in <math> W </math> è un [[sottospazio vettoriale]] dello spazio vettoriale sul campo <math>K</math> formato da tutte le funzioni da <math> V </math> in <math> W ,</math>, infatti:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 85|lang}}.</ref>

* se <math> f:\colon V\to W </math> e <math> g:\colon V\to W </math> sono lineari, allora è lineare la loro somma <math> f+g ,</math>, definita dalla relazione

:<math>(f+g)(\mathbf v) = f(\mathbf v)+g(\mathbf v);</math>

* se <math> f:\colon V\to W </math> è lineare e <math> a </math> è un elemento del campo <math>K,</math>, allora la funzione <math> af ,</math>, definita da <math> (af)(\mathbf v) = a(f(\mathbf v)) ,</math>, è anch'essa lineare.

Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, le operazioni di somma e prodotto di una funzione per uno scalare di applicazioni lineari corrispondono rispettivamente a somma di matrici e moltiplicazione di matrici per uno scalare. Le basi definiscono quindi un [[isomorfismo]] <math> \mathrm{Hom}(V,W) \to M(n,m) </math> tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici <math> n\times m ,</math>, dove <math> m </math> e <math> n </math> sono le dimensioni rispettivamente di <math> V </math> e <math> W .</math>.

== Nucleo e immagine ==

{{vedi anche|Teorema della dimensione}}

Se <math>f\colon f:V\to W </math> è lineare, il [[nucleo (matematica)|nucleo]] di <math>f</math> è l'insieme:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 90|lang}}.</ref>

:<math>\kermathrm{Ker}(f)=\{\,\mathbf x\in V:f(\mathbf x)=0\},\}</math>

mentre l'[[Immagine (matematica)|immagine]] di <math> f </math> è l'insieme:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 91|lang}}.</ref>

:<math>\operatorname{Im}(f)=\{\,f(\mathbf x)\in W: \mathbf x\in V\,\}.</math>

L'insieme <math>\kermathrm{Ker}(f)</math> è un [[sottospazio vettoriale|sottospazio]] di <math>V </math>, mentre <math>\operatorname{Im}(f)</math> è un sottospazio di <math> W</math>. Se <math>V</math> e <math>W</math> hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 92|lang}}.</ref>

:<math> \dim(\kermathrm{Ker}( f )) + \dim(\operatorname{Im}( f )) = \dim( V ).</math>

Questo teorema fornisce un criterio necessario e sufficiente al fine di stabilire l'esistenza di una trasformazione lineare.

== Endomorfismi e automorfismi ==

Una trasformazione lineare <math>f\colon f:V\to V </math> è un [[endomorfismo]] di <math> V.</math>. L'insieme di tutti gli endomorfismi Endo(<math> \text{End}(V )</math>) insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'[[algebra associativa]] con unità sul campo <math> K </math>: in particolare formano un [[anello (algebra)|anello]] e uno [[spazio vettoriale]] su <math> K .</math>. L'elemento identità di questa algebra è la [[funzione identità|trasformazione identità]] di <math> V .</math>.

Un endomorfismo [[biiezione|biiettivo]] di <math> V </math> viene chiamato [[automorfismo]] di <math> V .</math>. La composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di <math> V </math> forma un [[gruppo (matematica)|gruppo]], il [[gruppo generale lineare]] di <math> V ,</math>, chiamato <math>\mathrm{Aut}( V )</math> o <math>\mathrm{GL}( V ).</math>.

Se la dimensione di <math> V </math> è finita basterà che <math>f</math> sia [[funzione iniettiva|iniettiva]] per poter affermare che sia anche [[funzione suriettiva|suriettiva]] (per il [[teorema della dimensione]]). Inoltre l'isomorfismo

:<math> \textrm{EndoEnd}(V)\to M(n) </math>

fra gli endomorfismi e le [[matrice quadrata|matrici quadrate]] <math> n\times n </math> descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di <math> V </math> è isomorfo al [[gruppo lineare generale]] <math>\mathrm{GL}( n,K )</math> di tutte le matrici <math> n\times n </math> invertibili a valori in <math> K.</math>.

==Pull-Back di funzioni ed applicazione trasposta==

{{vedi anche|Pull-back}}

Siano <math>A,</math>, <math>B</math> e <math>C</math> insiemi e siano <math>F(A,C)</math> e <math>F(B,C)</math> le famiglie di funzioni da <math>A</math> in <math>C</math> e da <math>B</math> in <math>C</math> rispettivamente. Ogni <math>\phi :\colon A \to B</math> determina univocamente una corrispondenza <math>\phi^* :\colon F(B,C) \to F(A,C)</math> chiamata ''pull-back'' tramite <math>\phi,</math>, che manda <math>F</math> in <math> F \circ \phi.</math>.

Se nello specifico si considerano <math>A=V</math> e <math>B=W</math> due [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] su un [[campo (matematica)|campo]] <math>K=C</math> e anziché prendere interamente <math>F(V,K)</math> e <math>F(W,K)</math> si considerano gli [[spazio duale|spazi duali]] <math>V^*</math> e <math>W^*</math> si ha che ad ogni trasformazione lineare <math>\phi :\colon V \to W</math> si può associare l'opportuna [[Restrizione di una funzione|restrizione]] del pull-back tramite <math>\phi</math>, ovvero la funzione <math>\phi^* :\colon W^*\to V^*</math> che prende il nome di ''trasposta'' di <math>\phi.</math>.

Segue direttamente da come sono definite le operazioni in <math>V^*</math> e <math>W^*</math> che <math>\phi^*</math> è a sua volta lineare. Con un semplice calcolo si vede che fissate delle [[Base (algebra lineare)|basi]] per <math>V</math> e <math>W</math> e le rispettive duali in <math>V^*</math> e <math>W^*,</math>, la [[matrice di trasformazione]] associata a <math>\phi^*</math> è la [[matrice trasposta|trasposta]] di quella di <math>\phi.</math>.

Segue dalla definizione che un funzionale <math>\lambda \in W^*</math> viene mandato in zero da <math>\phi^*</math> solo se l'immagine di <math>\phi</math> è contenuta nel [[Nucleo (matematica)|nucleo]] di <math>\lambda</math> cioè, indicando con <math>U^\perp</math> il sottospazio dei funzionali che annullano <math>U \subset W</math>, si ha <math>\kermathrm{Ker} (\phi^*) \subseteq (\Im \phi)^\perp</math>. Inoltre dalla stessa definizione si deduce che un funzionale <math>\mu\in V^*</math> è immagine di un funzionale <math>\eta\in W^*</math> (vale a dire <math>\mu=\phi^*(\eta)</math> solo se <math>\eta</math> annulla il nucleo di <math>\phi</math>, ossia <math>\Im(\phi^*)\subseteq(\kermathrm{Ker}\phi)^\perp</math> . Nel caso in cui <math>V</math> e <math>W</math> siano di dimensione finita si deduce dal teorema della dimensione e dalle relazioni <math>\dim~V=\kermathrm{Ker}\phi+(\kermathrm{Ker}\phi)^\perp</math> e <math>\dim~W^*=\dim~W=\Im\phi+(\Im\phi)^\perp</math> che le due inclusioni precedenti sono a tutti gli effetti uguaglianze.

== Esempi ==

<ul>

<li> La moltiplicazione <math> f(v) = av ,</math>, in qualsiasi spazio vettoriale su <math> K ,</math>, per una costante fissata <math> a \in K.</math>.

<li> Una [[rotazione (matematica)|rotazione]] del [[Piano (geometria)|piano]] euclideo rispetto all'origine di un angolo fissato.

<li> Una [[riflessione (matematica)|riflessione]] del piano euclideo rispetto ad una retta passante per l'origine.

<li> La [[proiezione (geometria)|proiezione]] di uno spazio vettoriale <math>V</math> decomposto in [[somma diretta]]:

:<math> V = U\oplus W </math>

su uno dei due [[sottospazio vettoriale|sottospazi]] <math>U</math> o <math>W.</math>.

<li> Una [[matrice]] <math> A </math> di tipo <math> m\times n</math> con valori [[numero reale|reali]] definisce una trasformazione lineare:

:<math> L_A:\colon \R^n\to\R^m, \qquad L_A(v) = Av ,</math>

dove <math> Av </math> è il [[prodotto fra matrici|prodotto]] di <math> A </math> e <math>v .</math>. Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.

<li> L'[[integrale]] di una [[funzione (matematica)|funzione]] reale su un [[intervallo (matematica)|intervallo]] definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale delle [[funzione continua|funzioni continue]] definite sull'intervallo nello spazio vettoriale <math>\R.</math>.

<li> La [[derivata]] definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale di tutte le [[funzione derivabile|funzioni derivabili]] in qualche intervallo aperto di <math>\R</math> nello spazio di tutte le funzioni.

<li> Lo spazio <math>\CComplex</math> dei [[numero complesso|numeri complessi]] ha una struttura di [[spazio vettoriale complesso]] di dimensione 1, e anche di spazio vettoriale reale di dimensione 2. La coniugazione

:<math> f:\colon \mathbb C\to \mathbb C, \qquad f(z) = \bar z </math>

è una mappa <math>\R</math>-lineare ma non <math>\CComplex</math>-lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.

</ul>

==Note==

<references />

== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}

* {{cita libro | cognome= Hoffman| nome= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| url= https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|isbn= 0-13-536821-9|cid =kunze}}

== Voci correlate ==

{{Div col}}

* [[Autovettore e autovalore]]

* [[Combinazione lineare]]

Riga 156:

* [[Trasformazione affine]]

* [[Spazio duale]]

{{Div col end}}

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sulla|v_preposizione=sulle|v_etichetta=applicazioni lineari|b_preposizione=sulle|b_etichetta=applicazioni lineari}}

{{Wikilibro|Algebra lineare}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{springerEOM|titolo=Linear function|autore= L.D. Kudryavtsev }}

* {{en}} http://www.falstad.com/matrix/

{{Algebra lineare}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}