Numero transfinito: differenze tra le versioni

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[[File:Matematiker georg cantor.jpg|thumb|[[Georg Cantor]], scopritore del concetto di numero transfinito]]In [[matematica]] la nozione di '''numero transfinito''' estende la nozione di ''numero'', le [[aritmetica|operazioni aritmetiche]] e la [[relazione d'ordine]] proprie dei [[numero naturale|numeri naturali]] ada una classe più ampia di oggetti che in qualche senso sono "più grandi" degli usuali numeri "finiti". Queste entità sono state introdotte da [[Georg Cantor]] e servono a fornire un importante strumento di lavoro nella [[teoria degli insiemi]] e di riflesso nella matematica.

Come per i numeri finiti vi sono due modi in cui la nozione di numero può essere estesa ai numeri transfiniti: come numeri ordinali e come numeri cardinali. Contrariamente a quanto accade per i numeri finiti, accade che ordinali transfiniti e cardinali transfiniti costituiscono due classi distinte di entità non [[isomorfismo|isomorfe]].

* Il più piccolo [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|numero ordinale]] transfinito è ω.

* Il primo [[numero cardinale]] transfinito è [[Aleph-zero]], <math>\aleph_0</math>, ([[Aleph_(cardinalità)|aleph zero]]) cioè la [[cardinalità]] dell'insieme infinito dei [[numeri interinaturali]] <math>\N</math>.

*Il successivo numero cardinale è [[Aleph-uno]], <math>\aleph_1</math> ([[Aleph_(cardinalità)|aleph uno]]).

L'[[ipotesi del continuo]] afferma che non esistono numeri cardinali intermedi tra Aleph-zero<math>\aleph_0</math> e la cardinalità del continuo <math>\mathfrak{c}</math>, cioè la cardinalità dell'insieme dei [[numeri reali]] <math>\R</math>: questo equivale ad affermare che Aleph-uno<math>\mathfrak{c} esprime= la cardinalità dell'insieme dei numeri reali\aleph_1</math>. Però, grazie agli studi di [[Paul Cohen (matematico)|Paul Cohen]], l'esistenza di un numerico cardinale è stata dimostrata indecidibile.

Sia per il sistema degli ordinali chesia per quello dei cardinali, si può procedere illimitatamente nella introduzione di numeri transfiniti, andando incontro a forme sempre più bizzarre di entità numeriche.

Ricordiamo che [[Georg Cantor]] ha introdotto anche la nozione di [[infinito assoluto]] per poter trattare il più esteso concetto assoluto di "numero grande".

== Voci correlate ==

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*[[Infinitesimale]]

*[[Paul Cohen (matematico)]]

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