Momento angolare: differenze tra le versioni

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[[ImmagineFile:Momento angolareBehoudImpulsmoment.jpgogv|thumb|Momentoupright=0.9|Esempio di funzionamento del momento angolare]]

Il '''momento angolare''' (dal [[lingua latina|latino]] ''momentum'': movimento, impulso o, in senso traslato, efficacia, influenza<ref>[https://www.treccani.it/vocabolario/ricerca/Momento-angolare/]Vocabolario Treccani</ref>), o, più propriamente, il '''momento della quantità di moto''', è una [[grandezza fisica]] di tipo [[grandezza vettoriale|vettoriale]] che rappresenta la quantità che si conserva se un [[sistema fisico]] è [[Invarianza (fisica)|invariante]] sotto [[rotazione|rotazioni spaziali]]. Costituisce l'equivalente per le rotazioni della [[quantità di moto]] per le traslazioni.<ref name="ReferenceA">{{Cita|Parodi Ostili Mochi, 2006|p. 359}}.</ref>

Più in generale, nelle formulazioni della meccanica discendenti da un [[principio variazionale]] il momento angolare è definito, in termini del [[teorema di Noether]], come la quantità conservata risultante dall'invarianza dell'[[azione (fisica)|azione]] rispetto alle rotazioni tridimensionali. Questa formulazione è più adatta per estendere il concetto di momento angolare ad altri enti, quali ad esempio il [[campo elettromagnetico]].

:<math>\vec L = \vec r(t) \times \vec p(t)</math>

Il momento angolare è uno [[pseudovettore]], non uno scalare come l'[[Azione (fisica)|azione]].<ref name="ReferenceA"/> Per questo motivo la sua unità di misura nel [[Sistema internazionale di unità di misura|Sistema internazionale]] (SI) è espressa in <math>kg \cdot m^2 \cdot s^{-1}</math> (kilogrammo per metro quadro su secondo), non in [[joule]] per [[secondo]], anche se le due unità hanno le stesse [[Analisi dimensionale|dimensioni]] fisiche.<ref>{{cita|Mazzoldi Nigro Voci, 2010|p. 85}}.</ref> Una grandezza correlata al momento angolare è il [[momento angolare specifico]] <math>\mathbf h</math> , il quale rappresenta il momento angolare per unità di [[Massa (fisica)|massa]], ovvero il momento della [[velocità]].

se il polo ''O'' è in moto con velocità <math>\vec v_O</math>, allora il momento angolare varia nel tempo:

== Definizione ==

[[File:Momento angolare.jpg|thumb|Momento angolare (<math>\vec L</math>) di un punto materiale di massa <math>m</math>. Nell'immagine sono indicati il vettore posizione (<math>\vec r</math>) e la velocità (<math>\vec v</math>)]]

Nella [[meccanica newtoniana]] il momento angolare <math>\mathbf L</math> rispetto ad un polo <math>O</math> di un [[punto materiale]] è definito come il [[prodotto vettoriale]] tra il [[vettore (fisica)|vettore]] che esprime la posizione <math>\mathbf r</math> del punto rispetto a <math>O</math> e il vettore [[quantità di moto]] <math>\mathbf p</math>:<ref>{{cita |Mazzoldi Nigro Voci, 2010|p. 83}}.</ref>

:<math>\mathbf L_O = \mathbf r \times \mathbf p = \mathbf r \times m\mathbf v</math>

Il [[modulo (algebra)|modulo]] di <math>\mathbf L_O</math> è quindi definito da:<ref>{{Cita|Rosati, 1990|p. 207}}.</ref>

:<math>\|\mathbf L_O\| = \|\mathbf r\|\cdot\|\mathbf p\|\sin{\theta} = \mathbf p \cdot \mathbf b = m\mathbf v \cdot \mathbf b </math>

La direzione di <math>\mathbf L_O</math> è perpendicolare al piano definito da <math>\mathbf p</math> e da <math>\mathbf r</math> e il verso è quello di un osservatore che vede [[rotazione|ruotare]] <math>\mathbf p</math> in senso antiorario. Il vettore <math>\mathbf b = \mathbf{r}\sin{\theta}</math>, che rappresenta la distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace <math>\mathbf p</math>, è detto ''braccio'' di <math>\mathbf p</math>.

si ottiene:

Se <math>\mathbf p</math> e <math>\mathbf r</math> sono tra loro perpendicolari, si ha che <math>\sin \theta = 1</math>, pertanto il momento angolare è massimo. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono [[zero|nulli]], oppure se <math>\mathbf p</math> è parallelo ad <math>\mathbf r</math>, in tal caso infatti <math>\sin \theta = 0</math>.

:<math>\vec M_O = \frac{d\vec L}{dt} + \vec v_O \times \vec p </math>

Poiché il prodotto di due variabili coniugate, ad esempio posizione e impulso, deve essere un'azione, questo ci dice che la variabile coniugata al momento angolare deve essere adimensionale: infatti è l'angolo di rotazione attorno al polo.

=== Momento angolare assiale ===

Si definisce '''momento angolare assiale''' rispetto a un asse <math>\hat z</math> passante per un punto <math>O</math> la componente ortogonale del momento angolare su un particolare asse <math>\hat z</math>, detto asse centrale:

: <math>\mathbf L_{\hat z} := [(\mathbf r \times \mathbf p) \cdot \hat\mathbf z] \hat\mathbf n </math>

dove <math>\hat\mathbf n</math> è un [[versore]], vettore di lunghezza unitaria, che identifica l'asse. Il modulo sarà:

: <math> L_{\hat n} = |\mathbf L_O| \cdot \cos\varphi = |\mathbf r| \cdot |\mathbf p| \sin\vartheta \cos\varphi = (\mathbf p \cdot \mathbf b) \cos\varphi</math>

dove <math>\varphi </math> è l'angolo formato dal vettore momento angolare <math>\mathbf L_O</math> con l'asse <math>\hat n</math>. In pratica è la proiezione ortogonale del momento angolare sull'asse <math>\hat n</math>. Per questo il momento angolare assiale è nullo se l'angolo <math>\varphi = \pi/2 </math> e massimo quando l'asse <math>\hat z </math> coincide con l'asse di <math>\mathbf L_O</math>, in tal caso infatti: <math>\varphi = 0 </math>.

=== Momento angolare per sistemi di punti materiali ===

{{Vedi anche|Primo teorema di König}}

Per [[sistema discreto|sistemi discreti]] il momento angolare totale è definito dalla somma dei singoli momenti angolari:<ref>{{cita|Mazzoldi Nigro Voci, 2010|p. 141}}.</ref>

:<math>\mathbf L = \sum_i \mathbf L_i= \sum_i m_i \mathbf r_i \times \mathbf v_i</math>

dove <math>\mathbf r_i</math> è il vettore posizione del punto i-esimo rispetto all'origine, <math>m_i</math> è la sua massa, e <math>\mathbf v_i</math> è la sua velocità. Sapendo che la massa totale di tutte le particelle è data da:

:<math>m=\sum_i m_i</math>

si ha che il [[centro di massa]] è definito da:

:<math>\mathbf{r}_\text{CM}=\frac{1}{m}\sum_i m_i \mathbf{r}_i</math>

ne consegue che la velocità lineare del centro di massa è:

:<math>\mathbf{v}_\text{CM}=\frac{1}{m}\sum_i m_i \mathbf{v}_i.\,</math>

Se si definiscono <math>\mathbf r'_i</math> il vettore posizione della particella , e <math>\mathbf v'_i</math> la sua velocità rispetto al centro di massa, si ha:

:<math>\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_\text{CM}+\mathbf{r}'_i</math> e <math>\mathbf{v}_i=\mathbf{v}_\text{CM}+\mathbf{v}'_i</math>

si può vedere che:

:<math>\sum_i m_i \mathbf{r}'_i = 0</math>&nbsp;&nbsp; e &nbsp;&nbsp; <math>\sum_i m_i \mathbf{v}'_i = 0</math>

cosicché il momento angolare totale rispetto all'origine è:

:<math>\mathbf{L}=\sum_i \mathbf{r}_i\times m_i \mathbf{v}_i = \left(\mathbf{r}_\text{CM}\times m\mathbf{v}_\text{CM}\right) + \sum_i ( \mathbf{r}'_i\times m_i \mathbf{v}'_i ) = \mathbf{L}_{CM} + \mathbf{L}'_i</math>

Il primo termine è semplicemente il momento angolare del centro di massa. È il medesimo momento angolare che si otterrebbe se ci fosse una sola particella di massa <math>m</math>, posta nel centro di massa, che si muove con velocità <math>\mathbf v</math>. Il secondo termine è il momento angolare delle particelle relativamente al proprio centro di massa.<ref>{{cita |Mazzoldi Nigro Voci, 2010|p. 142}}.</ref>

Nei [[meccanica del continuo|sistemi continui]] si estende in modo naturale la definizione introducendo la [[densità]] <math>\rho</math> e il [[campo (fisica)|campo di velocità]] <math>\mathbf v (\mathbf r)</math>:

:<math>\mathbf L = \int_V \rho\,\mathbf r \times \mathbf v \ \mathrm{d} V </math>

== Legame con il moto rotatorio ==

Se le particelle formano un [[corpo rigido]], il termine che descrive il loro momento angolare rispetto al centro di massa può essere ulteriormente semplificato. In questo caso, infatti, è possibile legare la sua espressione alla descrizione del moto rotatorio, ovvero alla [[velocità angolare]] <math>\boldsymbol\omega </math> e alla [[velocità areolare]] <math>\dot\mathbf A</math>. Se la componente rotatoria è l'unica presente, ovvero nel caso in cui il corpo rigido si muova di [[moto circolare]], è pari al prodotto del [[tensore di inerzia]] <math>\underline\underline\mathbf I </math> e della velocità angolare:

:<math>\mathbf L = \underline\underline\mathbf I \boldsymbol\omega</math>

oppure, analogamente, come il doppio del prodotto tra la massa totale e la velocità areolare:

:<math>\mathbf L = 2m\dot\mathbf A</math>

Lo stesso risultato si ottiene se al sistema di punti materiali discreti esaminato sopra si sostituisce una [[distribuzione continua]] di massa.

== Legame con il momento meccanico ==

{{Vedi anche|Equazioni cardinali della dinamica#Seconda equazione cardinale}}

[[File:Torque animation.gif|frame|right| Relazione tra forza (<math>\mathbf F</math>), [[momento meccanico]] (<math>\boldsymbol\tau</math>), quantità di moto (<math>\mathbf p</math>) e momento angolare (<math>\mathbf L</math>) in un sistema rotante.]]

Per quanto riguarda la dinamica dei sistemi di punti materiali, il momento angolare è una caratteristica fondamentale del moto.<ref name="ReferenceB">{{Cita|Rosati, 1990|p. 222}}.</ref> Infatti se un punto materiale <math>P</math> si muove con quantità di moto: <math>\mathbf{p}=m\mathbf{v}</math>, il momento angolare del punto rispetto a un polo <math>O</math> è dato da:

:<math>\mathbf{L} = \mathbf{r}(t) \times \mathbf{p}(t)</math>

se il polo <math>O</math> è in moto con velocità <math>\mathbf v_O</math>, allora il momento angolare varia nel tempo:

:<math>\frac{\mathrm d\mathbf{L}}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = \frac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm dt}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\frac{\mathrm d\mathbf{p}}{\mathrm dt}</math>

dove:

*<math>\frac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm dt}</math> rappresenta la velocità relativa del punto <math>P</math> rispetto alla velocità di <math>O</math>

*<math>\frac{\mathrm d\mathbf{p}}{\mathrm dt}</math> per il [[Principi della dinamica|secondo principio della dinamica]] rappresenta la forza totale risultante.

Allora da questa relazione si ricava la [[Equazioni cardinali della dinamica|seconda equazione cardinale della dinamica]]:

:<math>\frac{\mathrm d\mathbf{L}}{\mathrm dt} = (\mathbf{v} - \mathbf{v}_O)\times\mathbf{p} + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{v}\times\mathbf{p} - \mathbf{v}_O\times\mathbf{p} + \mathbf{M}_O</math>

essendo <math>\mathbf{v}</math> e <math>\mathbf{p}</math> paralleli, il loro prodotto vettoriale è nullo, dunque si ottiene:

:<math>\mathbf{M}_O = \frac{\mathrm d\mathbf{L}}{\mathrm dt}+\mathbf{v}_O\times\mathbf{p} </math>

dove <math>\mathbf M_O = \mathbf r \times \mathbf F</math> è il [[momento meccanico]]. Nel caso di un [[corpo rigido]] rotante, si può osservare che <math> \mathbf v_O</math> rappresenta la [[velocità tangenziale]] del corpo rotante, pertanto si ha che:

: <math> \frac{\mathrm d\mathbf L}{\mathrm dt} = \mathbf M - \mathbf v_O \times \mathbf p = \mathbf M - \boldsymbol\omega \times \mathbf r \times \mathbf p = \mathbf M - \boldsymbol\omega \times \mathbf L</math>

Nei casi in cui:

* il polo sia fermo

* il polo coincida con il centro di massa

* il polo si muova parallelamente alla traiettoria del centro di massa

allora ci si riconduce alla più familiare:<ref>{{Cita|Rosati, 1990|p. 205}}.</ref>

:<math>\mathbf M = \frac{\mathrm d\mathbf L}{\mathrm dt}</math>

Il momento di una forza è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del punto di applicazione della forza, e la forza stessa. Il suo modulo risulta quindi uguale al modulo della forza per il braccio. Si può dimostrare che se il polo è immobile, la derivata rispetto al tempo del momento angolare è uguale al momento delle forze applicate, cosicché se quest'ultimo momento è nullo allora il momento angolare si conserva.<ref name="ReferenceB"/>

== Conservazione del momento angolare ed esempi ==

Il momento angolare è importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che riguardano variabili angolari, inoltre resta fondamentale perché nei [[Sistema isolato|sistemi isolati]], cioè non soggetti a momenti di forze esterne, vale la [[legge di conservazione del momento angolare]].<ref>{{Cita|Rosati, 1990|p. 223}}.</ref>

=== Impulso angolare ===

{{Vedi anche|Urto fra corpi rigidi}}

Viene definito '''impulso angolare''' la variazione del momento angolare di un corpo che viene sottoposto ad un urto con un altro corpo. In altre parole è il momento angolare effettivamente trasmesso al momento dell'urto. Il momento angolare iniziale e finale, utili per calcolare l'impulso angolare, consistono nei momenti della quantità di moto finale e della quantità di moto iniziale.<ref>{{Cita libro|titolo=Meccanica Razionale – Volume 2 – Dinamica (terza edizione)|autore=[[Bruno Finzi]]|editore=Zanichelli - Bologna, 1995}}p.390</ref> Dunque per calcolare l'impulso angolare in genere si usa misurare massa e velocità del corpo prima del contatto e trarre i dati iniziali e ripetere l'operazione dopo il contatto. Sfruttando la seconda equazione cardinale della dinamica di Eulero e la legge della [[cinematica]] di un moto circolare uniforme si ha che:

:<math>\mathbf M=\frac{\mathrm{d}\mathbf L}{\mathrm{d}t}</math>

Integrando rispetto al tempo entrambi i membri si ottiene l'impulso angolare:

:<math>\Delta\mathbf{L}=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf M\,\mathrm{d}t</math>

=== Forze centrali ===

Nello studio dei moti in campi di forze centrali, la conservazione del momento angolare è fondamentale, poiché è legata alla costanza della [[velocità areolare]]. Esempi di questo tipo si riscontrano in meccanica newtoniana, ad esempio nello studio del moto del [[pendolo]], e in [[meccanica celeste]], dove il '''momento angolare orbitale''', definito come il prodotto vettoriale tra la [[Vettori orbitali di stato|posizione]] e la [[Vettori orbitali di stato|quantità di moto]] del corpo orbitante al tempo di riferimento, riveste un ruolo chiave per le [[leggi di Keplero]] e lo studio dei moti dei pianeti, infatti il [[momento angolare orbitale specifico]] rappresenta una ''costante vettoriale'' di moto di un'orbita, cioè si conserva nel tempo.<ref>{{cita|Mazzoldi Nigro Voci, 2010|p. 362}}.</ref>

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{Cita libro|titolo=Fisica Generale|autore=Sergio Rosati|editore=Casa Editrice Ambrosiana|città= Milano|anno= 1990|isbn=88-408-0368-8|cid=Rosati, 1990}}

* {{cita libro|autore=Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci|titolo=Fisica - Volume I (seconda edizione)|anno=2010|editore=EdiSES|città=Napoli|isbn=88-7959-137-1|cid=Mazzoldi Nigro Voci, 2010}}

* {{Cita libro|titolo=L'Evoluzione della Fisica-Volume 1|cognome= Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori|editore=Paravia|anno= 2006|isbn=978-88-395-1609-1|cid=Parodi Ostili Mochi, 2006}}

* {{Cita libro|cognome=Halliday|nome=David|coautori=Robert Resnick|data=1960-2007|titolo=Fundamentals of Physics|anno=1993|url=https://archive.org/details/fundamentalsofph00hall_1|editore=John Wiley & Sons|pp=Chapter 10}}

== Voci correlate ==

* [[Momento meccanico]]

* [[Operatore momento angolare]]

* [[Momento angolare specifico]]

* [[Primo teorema di König]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==

*

*{{Collegamenti esterni}}

* [http://www.treccani.it/export/sites/default/Portale/resources/multimedia/Lezioni_fisica/momentoangolare/LEZIONE.pdf Momento angolare su Treccani.it], novembre 2013

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|meccanica}}

[[Categoria:Grandezze dinamiche]]

[[Categoria:Misure nella meccanica]]