Geodetica: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], e più precisamente in [[geometria differenziale]], una '''geodetica''' è la [[curva (matematica)|curva]] più breve che congiunge due punti di uno spazio. Lo spazio in questione può essere una [[superficie (matematica)|superficie]], una più generale [[varietà riemanniana]], o un ancor più generale [[spazio metrico]]. Ad esempio, nel piano le geodetiche sono le linee rette, su una sfera sono gli [[cerchio massimo|archi di cerchio massimo]]. Il concetto di geodetica è intimamente correlato a quello di [[metrica riemanniana]], che è connesso con il concetto di [[distanza (matematica)|distanza]].

In matematica, le geodetiche hanno un ruolo fondamentale nello studio delle superfici (ad esempio, quella terrestre), e delle [[varietà (geometria)|varietà]] astratte aventi [[dimensione]] 3 o maggiore. Sono importanti per descrivere alcune [[geometria non euclidea|geometrie non euclidee]], come la [[geometria iperbolica]]. In [[fisica]], le geodetiche ricoprono un ruolo importante nello studio dei moti dei corpi in presenza di campi gravitazionali, dal momento che la [[relatività generale]] interpreta la [[forza gravitazionale]] come una deformazione dello [[spazio-tempo]] [[Quadrimensionalità|quadridimensionale]].

In [[fisica]], le geodetiche ricoprono un ruolo importante nello studio dei moti dei corpi in presenza di campi gravitazionali, dal momento che la [[relatività generale]] interpreta la [[forza gravitazionale]] come una deformazione dello [[spazio-tempo]] [[Quadrimensionalità|quadridimensionale]].

== Introduzione ==

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== Varietà (pseudo)-riemanniana ==

Una [[varietà riemanniana]] o [[varietà pseudoriemanniana|pseudoriemanniana]] è in particolare uno [[spazio metrico]], e quindi la nozione di geodetica è definita<ref>Viene qui usata la definizione in cui aal secondo membro può apparire una costante moltiplicativa: questa definizione è più utile in una varietà.</ref>.

=== Minimizzare lunghezza o energia ===

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L'esistenza e unicità derivano dal fatto che una geodetica è soluzione di un particolare [[problema di Cauchy]] del secondo ordine.

Se il vettore <math>v</math> è moltiplicato per uno scalare, la geodetica corrispondente è anch'essa riscalata (e invertita, se lo scalare è negativo). Si può quindi dire che, come nella [[geometria piana]], per ogni punto e per ogni direzione esiste un'unica geodetica completa passante per il punto e orientata lungo laquella data direzione. Secondo questa linea, viene definita la [[mappa esponenziale]].

=== Completezza ===

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Secondo la [[relatività ristretta]], un corpo non soggetto a forze esterne si muove di moto traslatorio rettilineo uniforme. Ciò è anche il principio di relatività [[Galileo Galilei|galileiana]], cui Einstein aggiunse un'informazione: è valido soltanto in assenza di campo gravitazionale (ciò che caratterizza le regioni dello spazio-tempo in cui vale la relatività ristretta).

In un sistema di riferimento collocato in una regione dello spazio-tempo in cui vale la relatività ristretta (in assenza di campo gravitazionale), l'equazione che descrive un [[Moto rettilineo|moto rettilineo uniforme]] è una geodetica.

Poiché la geodetica è definita indipendentemente dal [[sistema di coordinate]], e quindi anche l'equazione della geodetica, tale legge vale per un sistema di riferimento arbitrario. Per generalizzare, abbiamo dovuto anticipare che relatività ristretta significa assenza di campo gravitazionale. L'equazione del moto del punto materiale diventa:

Per generalizzare, abbiamo dovuto anticipare che relatività ristretta significa assenza di campo gravitazionale. L'equazione del moto del punto materiale diventa:

:<math>\frac{d^2x^{\tau}}{ds^2} + \Gamma^{\tau}{}_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds} = 0</math>.<ref>Nell'originale il simbolo di Christoffel è così indicato: <math>\Gamma^{\tau}{}_{\mu \nu}=\{\begin{smallmatrix} \tau\\ \mu\nu \end{smallmatrix}\}</math></ref>

Imporre che il generico [[simbolo di Christoffel]], un ente matematico, sia collegato all'intensità del campo gravitazionale, è un'interpretazione fisica, che Einstein basa su un [[esperimento mentale]] e un ragionamento discorsivo ma che si dimostra rigorosamente.

Bisogna ricordare che l'elemento lineare <math>ds</math> (v.relatività generale) misura qualsiasi variazione nello spazio e nel tempo. Se <math>dx</math> è una generica coordinata, il fatto che la derivata seconda rispetto all'elemento lineare è nulla significa che il corpo si muove nello spazio e nel tempo secondo incrementi costanti, che né crescono né diminuiscono.

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Einstein commenta a proposito: «le componenti del campo gravitazionale sono le quantità che caratterizzano lo scostamento del moto rettilineo uniforme». Non bisogna confondere la presenza di una forza gravitazionale (possibile anche in un moto rettilineo) dall'azione di un campo gravitazionale, che richiede una variazione di questa forza. L'equazione contiene le derivate prime delle componenti della gravità.

Mediante una semplice «sostituzione comunque scelta», lo stesso moto del punto materiale libero, osservato da un altro sistema di riferimento, diviene curvilineo non uniforme, con una legge non più dipendente dalla natura fisica del punto materiale che si muove. La legge del moto (rettilineo uniforme quando le componenti sono costanti) cambia radicalmente nelle nuove coordinate. Il moto rettilineo uniforme dipendente dalle proprietà della massa, diviene un moto curvilineo non uniforme indipendente dalle proprietà fisiche dell'oggetto in movimento. Nel caso più generale, quindi, il punto in movimento può essere trattato come una generica [[Massa (fisica)|massa]], in quanto il moto non dipende dal materiale di cui il corpo è fatto, o da altre proprietà chimiche.

L'effetto di un nuovo campo gravitazionale e di un semplice cambio di coordinate, matematicamente sono gli stessi: la distorsione del moto uniforme è visibile all'osservatore e misurabile in entrambi i casi, sebbene nel secondo non ci sia alcuna variazione né del corpo né delle forze a cui è soggetto. Il cambio di coordinate, sebbene muti radicalmente le leggi del moto, porta egualmente a delle conclusioni coerenti e non contraddittorie, ed è perciò una trasformazione tranquillamente praticata se opportuna; dato che la reale presenza di una forza fisica genera le stesse conseguenze teoriche del cambio di coordinate, l'introduzione di una forza apparente è una trasformazione altrettanto lecita. Il risultato, per nulla ovvio, è che il cambio di coordinate, che è una trasformazione che muta una costruzione geometrica e mentale senza toccare la realtà fisica degli oggetti e delle forze in gioco, sortisce gli stessi effetti di una variazione della realtà fisica che si deve descrivere. La nozione di forza apparente estende al [[norma (matematica)|modulo]] del moto ([[velocità]] e [[accelerazione]]) il principio di relatività, che in precedenza faceva dipendere dal sistema di riferimento solamente [[Vettore (matematica)|verso]] e [[direzione (geometria)|direzione]].

Nel caso più generale, quindi, il punto in movimento può essere trattato come una generica [[Massa (fisica)|massa]], in quanto il moto non dipende dal materiale di cui il corpo è fatto, o da altre proprietà chimiche.

In contemporanea, le componenti della matrice diventano funzioni dello spazio-tempo; essendo delle variabili, descrivono un campo gravitazionale.

L'effetto di un nuovo campo gravitazionale e di un semplice cambio di coordinate, matematicamente sono gli stessi: la distorsione del moto uniforme è visibile all'osservatore e misurabile in entrambi i casi, sebbene nel secondo non ci sia alcuna variazione né del corpo né delle forze a cui è soggetto. Il cambio di coordinate, sebbene muti radicalmente le leggi del moto, porta egualmente a delle conclusioni coerenti e non contraddittorie, ed è perciò una trasformazione tranquillamente praticata se opportuna; dato che la reale presenza di una forza fisica genera le stesse conseguenze teoriche del cambio di coordinate, l'introduzione di una forza apparente è una trasformazione altrettanto lecita. Il risultato, per nulla ovvio, è che il cambio di coordinate, che è una trasformazione che muta una costruzione geometrica e mentale senza toccare la realtà fisica degli oggetti e delle forze in gioco, sortisce gli stessi effetti di una variazione della realtà fisica che si deve descrivere. La nozione di forza apparente estende al [[norma (matematica)|modulo]] del moto ([[velocità]] e [[accelerazione]]) il principio di relatività, che in precedenza faceva dipendere dal sistema di riferimento solamente [[verso]] e [[direzione (geometria)|direzione]].

In contemporanea, le componenti della matrice diventano funzioni dello spazio-tempo; essendo delle variabili, descrivono un campo gravitazionale.

La deformazione del moto uniforme viene, quindi, interpretato come un effetto della gravitazione, «che occupa una posizione eccezionale nei confronti delle rimanenti forze, e soprattutto delle forze elettromagnetiche, in quanto le 10 funzioni <math>g_{\mu\nu}</math> che rappresentano il campo gravitazionale determinano contemporaneamente le proprietà dello spazio quadridimensionale».

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Quindi, tali componenti sembrano più importanti di ogni altra forza della fisica, mentre la componente temporale appare la più rilevante di queste.

Quando le componenti sono costanti, gli effetti della gravitazione vengono trascurati (ciò non significa affatto che il moto avvenga in assenza di una forza di gravità misurabile). Per dedurre la [[formula di [[Isaac Newton|Newton]], che considera tali effetti, è necessario rilasciare le ipotesi e considerare un sistema di riferimento in cui le componenti variano; per un rilascio graduale, si considerano sistemi in cui variano di piccole quantità, e che all'infinito spaziale tendono ancora ai valori della matrice. «In altre parole stiamo esaminando campi gravitazionali, generati esclusivamente da materia che si trova al finito», come quelli della teoria newtoniana.

Con riferimento all'equazione precedente, tre delle componenti <math>dx^{ \mu} / ds </math> possono assumere qualsiasi valore, raggiungendo qualunque velocità adimensionale <math>\gamma</math>p purché inferiore alla [[velocità della luce]] (ossia <math>\gamma < 1 </math>). Nel sistema di riferimento adottato in tutta la relatività, la velocità è misurata da un numero puro, che vale 1 alla velocità della luce, che è la massima raggiungibile (quindi varia tra 0 e 1). Oltreché per una comodità di calcolo, la velocità è espressa come percentuale della velocità della luce, perché questa l'unica costante il cui valore di velocità resta invariato in qualunque sistema di riferimento.

:<math>\gamma = \sqrt{[dx^{ 1} /dx^{ 4}]^2 + [dx^{ 2} /dx^{ 4}]^2 + [dx^{ 3} /dx^{ 4}]^2]}</math>.

«Qualora ci si limiti al caso che quasi esclusivamente si presenta all'esperienza, in cui <math>\gamma</math> è piccolo rispetto alla velocità della luce», queste tre componenti sono [[Infinitesimo|infinitesimi]] del secondo ordine (hanno esponente pari a 2), trascurabili in prima approssimazione (vengono eliminati dal calcolo).

Nello studio del differenziale si è soliti iniziare dallo studio del differenziale primo. Limitandosi ai termini di ordine più basso, si ottiene inizialmente un'analisi più semplice, che considera meno termini. Adottare il punto di vista della prima approssimazione, significa troncare lo sviluppo al primo ordine (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo).

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* [[Mappa esponenziale]]

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