Matematica della relatività generale: differenze tra le versioni

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{{F|fisica|settembre 2024}}

{{Correggere|fisica|ottobre 2014|Traduzione letterale dall'inglese. Varie frasi sono da riformulare (o cancellare) e alcuni termini da correggere}}

La '''matematica della relatività generale''' sicomprende riferisce a variele strutture e le tecniche [[matematicaMatematica|matematiche]] necessarie utilizzateper nellolo studio e nellala formulazione della teoria della [[relatività generale]] di [[Albert Einstein]]. I principali strumenti usatiutilizzati in questa [[Geometria|teoria]] [[geometria|geometrica]] della [[gravitazione]] sono i [[campoCampo tensoriale|campi tensoriali]], definiti in base asu una [[Varietà pseudo-riemanniana#Varietà lorentziana|varietà lorentziana]] che rappresenta lo [[spazio-tempospaziotempo]].Questa Questoteoria articolosi èbasa unasu descrizioneconcetti avanzati come il principio di [[covarianza generale]], dellache matematicastabilisce che le leggi della fisica devono avere la stessa forma in tutti i [[Sistema di coordinate|sistemi di riferimento]]. La relatività generale utilizza il linguaggio dei [[Tensore|tensori]] per descrivere la curvatura dello spaziotempo e le interazioni gravitazionali.

== Il principio di covarianza generale e l'utilizzo dei tensori ==

:''N.B. - Gli articoli sulla relatività generale che usano tensori useranno la [[notazione astratta degli indici]]''.

Il principio di [[covarianza generale]] è uno dei fondamenti nello sviluppo della [[relatività generale]] e stabilisce che le leggi della [[fisica]] devono mantenere la stessa forma matematica in tutti i [[Sistema di riferimento|sistemi di riferimento]]. Sebbene l'espressione, ''covarianza generale'', sia stata utilizzata nella prima formulazione della relatività generale, oggi si preferisce il termine covarianza del [[diffeomorfismo]]. Anche se quest'ultima non rappresenta l'aspetto centrale della relatività generale e ci sono ancora controversie riguardo al suo ruolo nella teoria, la proprietà di invarianza delle leggi fisiche implicata nel principio, insieme al carattere essenzialmente geometrico della teoria, che fa uso di [[geometria non euclidea]], ha portato alla formulazione della relatività generale attraverso il linguaggio matematico dei [[Tensore|tensori]]. La covarianza del diffeomorfismo implica che le equazioni fisiche devono essere valide indipendentemente dal sistema di coordinate utilizzato, riflettendo così la natura intrinsecamente geometrica dello spaziotempo. Questo approccio ha permesso di unificare la descrizione della [[gravità]] con la geometria, dando origine a una teoria che non solo descrive le interazioni gravitazionali, ma lo fa in modo tale da essere valida in qualsiasi contesto, sia esso [[Inerzia|inerziale]] o non inerziale.

== Spazio-tempoSpaziotempo come varietà differenziale ==

== Perché i tensori? ==

Il principio di [[covarianza generale]] stabilisce che le leggi della [[fisica]] hanno la stessa forma matematica in tutti i [[sistema di riferimento|sistemi di riferimento]] e fu uno dei principi cardini nello sviluppo della relatività generale. Il termine "covarianza generale" venne utilizzato nella prima formulazione della relatività generale, anche se attualmente molti preferiscono il termine [[covarianza generale|covarianza del diffeomorfismo]]. Sebbene la ''covarianza del diffeomorfismo non sia l'aspetto caratterizzante la relatività generale'' [[#note 1|<sup id=ref 1>[1]</sup>]], e sebbene permangano controversie relative al suo ruolo nella teoria stessa, la proprietà di invarianza delle leggi fisiche implicate nel principio unita al fatto che la teoria è essenzialmente geometrica nella sua formulazione (facendo uso delle [[geometria non-euclidea|geometrie non-euclidea]]) fece sì che la relatività generale venisse formulata usando il linguaggio matematico dei [[tensore|tensori]]. Questo sarà discusso ulteriormente sotto.

== Spazio-tempo come varietà ==

{{vedi anche|Spazio-tempo|Topologia dello spazio-tempo}}

La maggior parte degli approcci moderni alla matematica della [[relatività generale]] inizianoinizia formalizzandocon illa formalizzazione del concetto di [[varietàVarietà (geometria)|varietà]]. PiùIn precisamenteparticolare, la descrizione geometrica della [[gravitazione]] avviene in una [[Varietà pseudo-riemanniana#Varietà lorentziana|varietà lorentziana]] quadri-dimensionalequadridimensionale, che è uniforme (''smooth''), e [[spazioSpazio connesso|connessa.]].

Il fondamento logico per la scelta di una varietà come struttura matematica fondamentale èrisiede quellonella sua capacità di riflettere le desiderate proprietà fisiche desiderate. Ad esempio, nellaNella teoria delle varietà, ogni punto è contenutoassociato ina un [[Atlante (topologia)|grafico di coordinate]] (in alcun modo univoco) e può essere pensatointerpretato come una rappresentazione dello "spazio-tempo locale" intornoattorno all'[[osservazioneOsservazione|osservatore]] (rappresentato dal punto stesso). Il principio di [[Covarianza di Lorentz#Covarianza di Lorentz locale|Covarianzacovarianza di Lorentz locale]], il quale stabilisce che le leggi della [[relatività speciale]] si conservinoconservano a livello locale suin ogni punto dello [[Spaziotempo|spazio-tempo,]]. Questo conferisce un ulteriore sostegnosupporto alla scelta di una struttura di varietà per larappresentare rappresentazione dellolo spazio-tempo, dato chepoiché, a livello locale intornoattorno a un punto su una varietà generale, la regione "sembra", o si approssimaavvicina molto vicinabene allo [[Spaziotempo di Minkowski|spazio di Minkowski]] (che è un modello bidimensionale dello spazio-tempo, piattocon una dimensione per lo spazio e una per il tempo). Un'importante questione nella relatività generale è la possibilità di dichiarare che due spazi-tempi sono "equivalenti", almeno a livello locale. Questo problema ha radici nella teoria delle varietà, dove si determina se due [[Riemann|varietà di Riemann]] della stessa dimensione siano localmente [[Isometrica|isometriche]], ovvero "localmente identiche". Questa problematica è stata affrontata e il suo adattamento alla relatività generale è noto come [[algoritmo di Cartan-Karlhede]]. A partire da ogni punto di una varietà, è possibile costruire gli [[Spazio tangente|spazi tangenti]] e [[Spazio cotangente|cotangenti]] alla varietà stessa.

Il concetto di grafici didelle coordinate come "osservatori locali chein possanogrado di eseguire misurazioni nelle loro vicinanze" rendecattura bene ancheefficacemente il senso fisico, indella quantosituazione. questoQuesto èapproccio rappresenta il modo in cui si raccolgono in realtà i dati fisici -vengono raccolti a livello locale. PerIn problemicontesti [[Cosmologia (astronomia)|cosmologici]], un grafico di coordinate può essereestendersi piuttostosu grandescale considerevoli. La distinzione tra strutture locali e globali è fondamentale, poiché le misurazioni in fisica sono tipicamente effettuate in regioni relativamente piccole dello spazio-tempo. Questa è una delle ragioni principali per cui si studia la struttura locale dello spazio-tempo nella [[relatività generale]]. Tuttavia, la determinazione della struttura globale dello spazio-tempo rimane cruciale, specialmente nei problemi cosmologici.

Un 'importante problemaquestione nella relatività generale è direla possibilità di dichiarare quandoche due spazi-tempi sonosiano "gli stessiequivalenti", almeno a livello locale. Questo problema haaffonda le sue radici nella teoria delladelle varietà, dove si determinaanalizza se due [[Riemann|varietà riemannianedi Riemann]] della stessa dimensione siano [[Isometria (geometria riemanniana)|localmente isometriche]], ovvero ("localmente le stesseidentiche"). Quest'ultimoQuesto problema è stato risoltoaffrontato e il suo adattamento per laalla relatività generale è chiamatonoto come [[algoritmo di Cartan-Karlhede]]. Questo algoritmo fornisce un metodo sistematico per confrontare le strutture locali degli spazi-tempi, contribuendo così a una comprensione più profonda delle loro proprietà geometriche e fisiche.

=== Distinzione fra struttura locale e globale ===

Un' importante distinzione in fisica è la differenza tra strutture locali e globali. Le misurazioni in fisica sono effettuate in una regione relativamente piccola dello spazio-tempo e questo è uno dei motivi per studiare la [[struttura dello spazio-tempo locale|struttura locale dello spazio-tempo]] nella relatività generale, laddove la determinazione della [[topologia dello spazio-tempo|struttura dello spazio-tempo globale]] è importante, specialmente nei problemi cosmologici.

Un importante problema nella relatività generale è dire quando due spazi-tempi sono "gli stessi", almeno a livello locale. Questo problema ha le sue radici nella teoria della varietà dove si determina se due varietà riemanniane della stessa dimensione siano [[Isometria (geometria riemanniana)|localmente isometriche]] ("localmente le stesse"). Quest'ultimo problema è stato risolto e il suo adattamento per la relatività generale è chiamato [[algoritmo di Cartan-Karlhede]].

== Tensori nella relatività generale ==

{{vedi anche|Tensore|Tensore (definizione intrinseca)}}

_{(Viene usata la [[notazione astratta degli indici]].)}

Una delle conseguenze profonde della teoria della relatività fu l'abolizione del [[sistemi di riferimento priviligiati|sistema di riferimento privilegiato]]. La descrizione dei fenomeni fisici non dovrebbero dipendere da chi esegue la misurazione - un sistema di riferimento dovrebbe essere buono come qualunque altro. La relatività ristretta ha dimostrato che nessun [[sistema di riferimento inerziale]] sia preferenziale rispetto a un altro purché essi siano inerziali. La relatività generale ha successivamente eliminato anche il privilegio dei sistemi inerziali rispetto a quelli non inerziali, affermando definitivamente che qualunque sistema di riferimento (inerziale e non) sia identico allo scopo di dare una descrizione della natura.

Una delle conseguenze profonde dellaNella teoria della relatività, funon l'abolizioneesiste delun [[sistemi di riferimento priviligiati|sistema di riferimento privilegiato]]. La descrizione dei fenomeni fisici nonpuò dovrebberoavvenire dipendererispetto daa chi esegue la misurazione - unqualsiasi sistema di riferimento dovrebbe essere buono come qualunque altro. LaNella relatività ristretta ha dimostrato che, nessun [[sistema di riferimento inerziale]] siaè preferenzialeconsiderato privilegiato rispetto aad altri sistemi inerziali; tuttavia, questi ultimi godono di un altrocerto purchéprivilegio essirispetto sianoai [[Sistema di riferimento non inerziale|sistemi non inerziali]]. LaCon la relatività generale, ha successivamenteviene eliminato anche il privilegio dei sistemi inerziali rispetto a quelli non inerziali, affermando definitivamente che qualunque sistema di riferimento, sia esso (inerziale eo non) siainerziale, identicoè alloadeguato scopoper didescrivere darequalsiasi una descrizione dellafenomeno naturafisico.

Ogni osservatore può effettuare misurazioni, e l'esattala quantità numerica esatta ottenuta dipende esclusivamente dal [[sistema di coordinate]] utilizzato. CiòQuesto ha suggeritoportato un modo dia formulare la relatività utilizzandoattraverso "strutture invarianti", ovvero concetti che rimangono indipendenti dal sistema di coordinate usato (rappresentatoscelto dall'osservatore). La struttura matematica più adatta aper questo scopo è il [[tensore]]. PerAd esempio, durante la misurazione del [[campo elettrico]] e [[Campo magnetico|magnetico]] prodottigenerati da una [[Carica elettrica|carica]] in accelerazione, i valori dei campi dipenderannovariano dala seconda del sistema di coordinate usato,utilizzato. maTuttavia, i campi esistono indipendentemente dai loro valori specifici e possono perciòquindi essere rappresentati dal [[Tensore elettromagnetico|tensore di campo elettromagnetico]].

Matematicamente, i tensori sono [[Trasformazione lineare|operatori lineari]] generalizzati, -noti [[Mappa (matematica)|mappe]]come [[Applicazione multilineare|mappe multilineari]]. ComeVengono tali,studiati attraverso i concetti di dell'[[algebra lineare]] sono impiegati nello studio dei tensori.

Ogni osservatore può effettuare misurazioni e l'esatta quantità numerica ottenuta dipende esclusivamente dal [[sistema di coordinate]] utilizzato. Ciò ha suggerito un modo di formulare la relatività utilizzando "strutture invarianti", ovvero indipendenti dal sistema di coordinate usato (rappresentato dall'osservatore). La struttura matematica più adatta a questo scopo è il tensore. Per esempio, durante la misurazione del campo elettrico e magnetico prodotti da una carica in accelerazione, i valori dei campi dipenderanno dal sistema di coordinate usato, ma i campi esistono indipendentemente dai loro valori e possono perciò essere rappresentati dal [[Tensore elettromagnetico|tensore di campo elettromagnetico]].

A partire da ogni punto <math>\, p</math> di una [[varietà algebrica|varietà]], si possono costruire gli [[spazio tangente|spazi tangenti]] e [[spazio cotangente|cotangenti]] alla varietà. I [[spazio vettoriale|vettori]], (talvolta riferiti comechiamati [[Covarianza e controvarianza|vettori controvarianti]]), sono definiti come elementi dello spazio tangente, ementre i [[spazio duale|covettori]], (talvoltaspesso definitiindicati [[Covarianza e controvarianza|vettori covarianti]], ma più comunemente [[spazio duale|vettori duali]] o [[Forma differenziale|uniuno-formiforme]]), sonoappartengono elementi delloallo spazio cotangente, che è [[Spazio duale|duale]] rispetto allo spazio tangente.

Matematicamente, i tensori sono [[Trasformazione lineare|operatori lineari]] generalizzati - [[Mappa (matematica)|mappe]] [[Applicazione multilineare|multilineari]]. Come tali, i concetti di [[algebra lineare]] sono impiegati nello studio dei tensori.

Nel punto <math>\, p</math>, questi duegli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] tangente e cotangente possono essere utilizzati per costruire tensori di tipo <math>\, (r,s)</math>, iQuesti qualitensori sono mappe multilineari di valore reale che agisconooperano sulla [[somma diretta]] di <math>\, r</math> copie dello spazio cotangente e con <math>\, s</math> copie dello spazio tangente. L'insieme di tutte queste mappe multilineari forma uno spazio vettoriale, dettonoto come spazio prodotto tensoriale di tipo <math>\, (r,s)</math> in <math>\, p</math> e denotato da <math>\, (T_p)^r{}_sM</math>. Se lo spazio tangente è n-dimensionale, si può dimostrare che <math>\dim (T_p)^r{}_sM = n^{r+s}</math>.

A partire da ogni punto <math>\, p</math> di una [[varietà algebrica|varietà]], si possono costruire gli [[spazio tangente|spazi tangenti]] e [[spazio cotangente|cotangenti]] alla varietà. I [[spazio vettoriale|vettori]] (talvolta riferiti come [[Covarianza e controvarianza|vettori controvarianti]]) sono definiti come elementi dello spazio tangente e i [[spazio duale|covettori]] (talvolta definiti [[Covarianza e controvarianza|vettori covarianti]], ma più comunemente [[spazio duale|vettori duali]] o [[Forma differenziale|uni-formi]]) sono elementi dello spazio cotangente.

Questo significa che la dimensione dello spazio prodotto tensoriale dipende dal numero di copie degli spazi tangente e cotangente utilizzati nella costruzione del tensore. In altre parole, l'operazione di costruzione dei tensori permette di combinare le informazioni geometriche fornite dagli spazi tangente e cotangente, creando una struttura matematica complessa e ricca di significato.

Nel punto <math>\, p</math>, questi due [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] possono essere utilizzati per costruire tensori di tipo <math>\, (r,s)</math>, i quali sono mappe multilineari di valore reale che agiscono sulla [[somma diretta]] di <math>\, r</math> copie dello spazio cotangente con <math>\, s</math> copie dello spazio tangente. L'insieme di tutte queste mappe multilineari forma uno spazio vettoriale, detto spazio prodotto tensoriale di tipo <math>\, (r,s)</math> in <math>\, p</math> e denotato da <math>\, (T_p)^r{}_sM</math>. Se lo spazio tangente è n-dimensionale, si può dimostrare che <math>\dim (T_p)^r{}_sM = n^{r+s}</math>.

Nella letteratura della [[relatività generale]], per convenzione si utilizza la sintassi componente per i tensori.

Un tensore di tipo <math>(r,s)</math> può essere scritto come

<!-- NOTE: PNG MODE is being forced ON PURPOSE here. This equation does not come out right otherwise. -->

<math> T \;\! = \;\! {T^{a_1 \ldots a_r}}_{{b_1} \ldots {b_s}} \frac {\partial} {\partial x^{a_1}} \otimes \ldots \otimes \frac {\partial} {\partial x^{a_r}} \otimes dx^{b_1} \otimes \ldots \otimes dx^{b_s} </math>

dove <math>\;\!\frac {\partial} {\partial x^{a_i}}</math> è una base per lo spazio tangente ''i''-esimo<!--reads better with a dash--> e <math>\;\!dx^{b_j}</math> una base per lo spazio cotangente ''j''-esimo.

Dato che lo [[spazio-tempo]] si presume quadri-dimensionale, ogni indice su un tensore può essere uno dei quattro valori. Quindi, il numero totale di elementi che un tensore possiede è pari a 4^''R'', dove R è la somma dei numeri di indici covarianti e controvarianti sul tensore (un numero chiamato [[Tensore#Rango del tensore|rango]] del tensore).

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{{vedi anche|Tensore antisimmetrico|Tensore simmetrico}}

Alcune [[Grandezza fisica|grandezze fisiche]] sono rappresentate da tensori aventiche alcunepresentano componenti non indipendenti. ImportantiEsempi esempisignificativi di tali tensori di questo tipo sono i tensori simmetrici e antisimmetrici. I tensori antisimmetrici, in particolare, sono comunemente usatiutilizzati per rappresentare rotazioni, (per esempio,come il [[tensore di vorticità]]).

In un generico tensore di rango R in 4quattro dimensioni avente 4^''R'' componenti. Tuttavia, il'imposizione di vincoli sul tensore come simmetria o antisimmetria riduconoriduce il numero di componenti distinte. PerAd esempio, un tensore simmetrico <math>T</math> di rango 2 soddisfa ''T<submath>T_{ab</sub>'' }= ''T_{T_{ba}</submath>'' e possiede 10 componenti indipendenti,. laddoveAl contrario, un tensore antisimmetricoanitisimmetrico (obliquo-simmetrico) <math>P</math> di rango due soddisfa ''P<submath>P_{ab}'' }= -''P<sub>P_{ba}</submath>'' ed ha 6 componenti indipendenti. Per i ranghi maggiorisuperiori dia 2, è necessario identificare le coppie di indici simmetricoche orappresentano antisimmetricosimmetria devonoo essere esplicitamente identificateantisimmetria.

Per ranghi superiori a 2, è necessario identificare esplicitamente le coppie di indici che presentano simmetria o antisimmetria.I tensori antisimmetrici di rango 2 giocanorivestono ruoliun importantiruolo fondamentale nella teoria della relatività. L'insieme di tutti questi tensori -, spesso chiamatidenominati [[Multivettore#Bivettori|bivettori]] -, forma uno spazio vettoriale di dimensione 6, talvoltacomunemente dettochiamato spazio bivettoriale. Questo spazio è cruciale per descrivere fenomeni fisici complessi e le loro interazioni all'interno del contesto relativistico.

=== Tensore metrico ===

{{vedi anche|Tensore metrico}}

IlNella relatività generale, il tensore metrico è un oggetto centrale nella relatività generale che descrive la geometria locale dello spazio-tempo. Esso può essere ottenuto ad (ondeesempio risolvererisolvendo l'[[equazione di campo di Einstein]]). Usando l'[[Approssimazione per i campi gravitazionali deboli|approssimazione del campo debole]], lail metricatensore metrico può anche essere pensatainterprestato come rappresentanteuna ilrappresentazione "del [[potenziale gravitazionale"]].

Il tensore metrico è un tensore simmetrico utilizzatoche persvolge un ruolo cruciale nel [[Innalzamento e abbassamento degli indici|sollevare e abbassare gli indici]]<nowiki/> dei tensori, eoltre a generare le [[connessione (matematica)|connessioni]] usate per costruire le equazioni del moto delle [[geodetica|geodetiche]] e il [[tensore di Riemann|tensore di curvatura di Riemann]].

Un modo opportuno per esprimere il tensore metrico è attraverso l'[[elemento di linea]]:

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<math>ds^2 = g_{ab} \, dx^a \, dx^b</math>

QuestoQuesta modo di esprimere la metricaespressione è stata utilizzatautilzzata dai pionieri della [[geometria differenziale]] ed è equivalente alla notazione:

<math>g = g_{ab} \, dx^a \otimes dx^b</math>

Il tensore metrico è comunementefrequentemente scrittorappresentato come una matrice <math>4 per 4\times4</math>. A causaGrazie dellaalla simmetria della metrica, questa matrice èrisluta [[Matrice simmetrica|simmetrica]] e ha solo 10 componenti indipendenti.Questo aspetto è fondamentale per comprendere le proprietà geometriche e fisiche dello spazio-tempo nella relatività generale.

=== Invarianti ===

Uno degli aspetti centrali della relatività generale è il concetto di invarianza delle leggi fisiche. Questa invarianza può essere descritta in moltivari modi, perad esempio, inattraverso termini dila [[covarianzaCovarianza di Lorentz#covarianza di Lorentz locale|covarianza di Lorentz locale]], il [[principioPrincipio di relatività|principio generale di relatività]] o [[principiola di covarianza|covarianza deldei diffeomorfismo[[Diffeomorfismo|diffeomorfismi.]].

Una descrizione più esplicita può essere datafornita attraverso l'uso dei tensori. La caratteristica cruciale dei tensori, che si rivela crucialeutilizzatautilizzata in questo approccio, è il fatto che (una volta datadefinita la metrica) l'operazione di contrarrecontrazione un tensore di rango ''R'' su tutti gli indici ''R'' fornisceproduce un numero - un "invariante" - che è indipendente dal [[atlanteAtlante (topologia)|graficosistema di coordinatecoordinat]]<nowiki/>e usatoutilizzato per eseguire la contrazione. Fisicamente, questo significa che l'invariante calcolato da ciascun osservatore avrà lo stesso valore, suggerendo un qualchesignificato suo significatointrinsecamente indipendente. Alcuni invarianti importanti nella relatività comprendono:

* Lo [[scalare di Ricci]]: <math>R \, = R^{ab}g_{ab}</math>

* Lo [[scalare di Kretschmann]]: <math>K \, = R^{abcd}R_{abcd}</math>

Altri esempi di invarianti nella relatività includonocomprendono le [[Classificazione dei campi elettromagnetici#Interpretazione fisica|invarianti elettromagnetiche]] e varie altre [[invariante di curvatura (relatività generale)|invarianti di curvatura]]; alcune di queste ultime trovano applicazione nello studio dell'[[entropia gravitazionale]] e nell'[[ipotesi di curvatura di Weyl]].

=== Classificazioni dei tensori ===

La classificazione dei tensori è un problema puramente matematico., Nellama nella relatività generale, tuttavia, alcuni tensori aventicon un'interpretazione fisica possono essere classificatiraggruppati nellein diverse forme delche tensorecorrispondono dia solito corrispondenti ad alcunispecifici fenomeni fisici. Esempi significativi di classificazioni del tensore utili nelnella relatività generale comprendonoincludono la [[classificazione di Segre]] del [[Tensore energia impulsomomento|tensore energia-momento]] e la [[classificazione di Petrov]] del [[tensore di Weyl]]. CiQuesti sonoapprocci consentono di identificare e analizzare le proprietà fisiche dei tensori in relazione a situazioni concrete.Esistono vari metodi per classificare questi tensori, alcuni dei quali usanosi basano su invarianti tensoriali, offrendo così strumenti matematici per comprendere meglio le interazioni fisiche descritte dalla relatività generale.

== Campi tensoriali nella relatività generale ==

{{vedi anche|Campo tensoriale}}

I campi tensoriali su una varietà sono [[Atlante (topologia)|cartestrutture matematiche]] che unisconoassociano un tensore ada ogni punto della [[varietàVarietà (matematica)|varietà]]. Questa nozione può essere resa più precisa, introducendo il concetto di [[fibrato]], che, nel presente contesto significaattuale, raccogliereimplica insiemela raccolta di tutti i tensori in tutti i punti della varietà, così da "legarlilegandoli" tutti in un unico grande oggetto chiamato [[fascio tensoriale]]. Un campo tensoriale è dunquequindi definito come una mappa della varietà per ilal fascio tensoriale, essendo ogni punto <math>p</math> associato ad un tensore in <math>p</math>.

La nozione di campo tensoriale è di primariafondamentale importanza nella relatività generale. PerAd esempio, la geometria intornoattorno a una [[stella]] è descritta da un tensore metrico in ogni punto, in modo che ad ogni punto dello spazio-tempoil vengaquale datofornisce il valore della metrica necessario per risolveredeterminare i percorsi didelle particelle materiali nello spazio-tempo. Un altro esempio significativo è rappresentato dai valori dei campi elettrici e magnetici, (datidescritti dal [[tensore [[elettromagnetismo|elettromagnetico]]), e ladalla metrica in ogni punto attorno a un [[buco nero]] concarico, caricache ondeconsente determinaredi calcolare il moto di una particella carica inall'interno di tale campo.

I campi vettoriali sono campi tensoriali di un unico [[rango controvariante]]. INella relativià, i campi vettoriali importantirivestono nellaun'importanza [[teoriafondamentale della relatività|relatività]]e comprendono la [[Quadrivelocità|quadri-velocità]], <math>U^a = \dot{x}^a</math>, che èrappresenta la distanza coordinata percorsa in coordinate spaziali per unità di tempo proprio, la [[quadriaccelerazione|quadri-accelerazione]] <math>A^a = \ddot{x}^a</math> e la [[Quadricorrente|quadri-corrente]] <math>\, J^a</math> che descrivedescrivono la [[densità di carica]] e la densità di corrente. Altri campi tensoriali fisicamentedi importantirilevanza fisica nella relatività comprendono i seguentiincludono:

* [[tensore energia impulso]] <math> \, T^{ab}</math>, un tensore simmetrico di rango due che descrive la densità di energia e il flusso di impulso.

* [[Tensore di Faraday|tensore del campo elettromagnetico]] <math> \, F^{ab}</math>, un tensore antisimmetrico di rango due, che rappresenta le componenti del campo magnetico ed elettrico.

Sebbene lail parolatermine "tensore" si riferisca ada un oggetto definito in un punto specifico, è prassi comuneconsuetudine riferirsi ai campi tensoriali su uno spazio-tempo (o asu una regione di esso) propriosemplicemente come "tensori".

In ogni punto di uno [[spazio-tempo]] sudotato cui unadi metrica vieneè definita,possibile esprimere la metrica può essere ridotta nella forma di Minkowski usando la [[Teorema di Sylvester|legge di inerzia di Sylvester]].

== Derivate tensoriali ==

Prima dell'avvento della relatività generale, i cambiamenti nei processi fisici erano generalmente definitidescritti dalleattraverso [[derivataDerivata parziale|derivate parziali]], percome esempio,nel nellacaso descrizione dei mutamenti neidelle [[campoequazioni elettromagnetico|campidi elettromagneticiMaxwell]] (vediche governano i [[equazioniCampo dielettromagnetico|campi Maxwellelettromagnetici]]). Anche nella [[relatività ristretta]], lale derivataderivate parzialeparziali èsono ancorasufficienti sufficiente aper definiredescrivere tali modifichevariazioni. Tuttavia, nella relatività generale, si è constatatoemerso che devonoè esserenecessario utilizzateutilizzare derivate che siano anche tensori. LeQueste derivate hannopresentano alcune caratteristiche comuni, tra cui quellela capacità di essere derivatecalcolate lungo le [[curva integrale|curve integrali]] dei campi vettoriali.

Il problema nella definizione delle derivate su [[varietàVarietà (matematica)|varietà]] che non sono piatte èrisiede chenell'assenza non vi èdi un modometodo naturale per confrontare vettori in punti differenti. ÈPertanto, richiestaè necessaria una struttura aggiuntiva su una varietà generale per definire correttamente le derivate. SottoDi sonoseguito vengono descritte due importanti tipi di derivate che possono essere definite imponendo in ogni caso una struttura supplementare sulla varietà.

=== Connessioni affini ===

{{vedi anche|Connessione affine}}

La curvatura di unodello [[spazio-tempo]] può essere caratterizzatadescritta prendendoattraverso un vettore in qualche punto eil [[trasporto parallelo|trasportandolo parallelamente]] di un vettore lungo una [[curva (matematica)|curva]]in sullo spazio-tempoesso. Una connessione affine è una regola che descrivestabilisce come muovere in modo legittimo un vettore lungo unaquesta curva sulla varietà senza mutarnealterarne la direzione.

Per definizione, una connessione affine è una mappa bilinearebilinearee <math>\Gamma(TM)\times\Gamma(TM) \rightarrow \Gamma(TM)</math>, dove <math>\,\Gamma(TM)</math> èrappresenta unolo spazio di tutti i campi vettoriali sullo spazio-tempo. Questa mappa bilineare puòè esserecaratterizzata descritta in termini dida un insieme di ''coefficienti di connessione'' (noti anche come [[Simbolo di Christoffel|simboli di Christoffel]]), specificandoche cosaspecificano accadeil allecomportamento delle componenti dei vettori di base sottodurante il trasporto parallelo infinitesimale:

<math>\nabla _{e_i} e_j = \Gamma ^k _{ji} e_k</math>

Nonostante il loro aspetto allettante, i '''''coefficienti di connessione''' non sono i componenti di un tensore'''''.

È importante sottolineare che, pur nella loro apparente semplicità, i coefficienti di connessione presentano caratteristiche distintive. In particolare, in ogni punto dello spazio-tempo esistono tre coefficienti di connessione indipendenti. Una connessione è definita simmetrica se i coefficienti soddisfano la condizione Γ''ikj''=Γ''kij''. Inoltre, per ogni curva e per due punti ''A'' e ''B'' su questa curva, una connessione affine consente di mappare vettori dallo spazio tangente in ''A'' a vettori nello spazio tangente in ''B''. Questo processo avviene attraverso un'equazione differenziale che calcola il vettore tangente alla curva nel punto considerato. Questa distinzione tra coefficienti di connessione e componenti tensoriali è fondamentale per comprendere le proprietà geometriche e fisiche dello spazio-tempo.

In generale, ci sono coefficienti di connessione D³ indipendenti in ogni punto dello spazio-tempo. La connessione è chiamata ''simmetrica'' se <math>\Gamma^k_{ji} = \Gamma^k_{ij}</math>. Una connessione simmetrica ha i coefficienti D²(D+1)/2.

In generale, ci sono coefficienti di connessione D³ coefficienti di connessione indipendenti in ogni punto dello spazio-tempo. La connessione è chiamata ''simmetrica'' se soddisfa la condizione: <math>\Gamma^k_{ji} = \Gamma^k_{ij}</math>. Una connessione simmetrica ha i coefficienti D<supmath>\frac{D^2</sup>(D+1)/}{2}</math>.

Per ogni curva <math>\gamma</math> e due punti <math>A=\gamma(0)</math> e <math>B=\gamma(t)</math> su questa curva, una connessione affine dà origine a una mappa di vettori nello spazio tangente in A dentro vettori nello spazio tangente in B:

PerConsideriamo ogniuna curva <math>\gamma</math> e due punti <math>A=\gamma(0)</math> e <math>B=\gamma(t)</math> su questa curva,. unaUna connessione affine dà origine a una mappaconsente di mappare vettori nellodello spazio tangente in A dentroa vettori nello spazio tangente in B, attraverso la seguente relazione:

<math>X(t) \, = \Pi_{0,t,\gamma} X(0)</math>,

Riga 127 ⟶ 128:

<math>\frac{d}{dt} X^i(t) = \nabla_{C(t)} X^i(t) = \Gamma^i_{jk} X^j(t) C^k(t) </math>

con <math>\, C^j(t)</math> essendoche rappresenta il vettore tangente alla curva nel punto <math>\gamma(t)</math>.

UnUna connessione affine importantedi particolare importanza nella relatività generale è la [[Connessione di Levi-Civita]],. cheQuesta connessione è unasimmetrica connessionee simmetricasi ottenutaottiene trasportando parallelamente un vettore tangente lungo una curva pur, mantenendo costante il prodotto interno di tale vettore costante lungo la curva. I coefficienti di connessione cherisultanti, nenoti risultanocome ([[simboli di Christoffel]]), possono essere [[tensore metrico (relatività generale)#Curvatura|calcolati direttamente dalla metrica]]. Per questa ragione, talela tipoConnessione di connessioneLevi-Civita è spesso chiamata ''connessione metrica''.

=== Derivata covariante ===

{{vedi anche|Derivata covariante}}

MettiamoSupponiamo che <math>X</math> sia un punto, <math>\vec A</math> un vettore situato in <math>X</math>, e <math>\vec B</math> un campo vettoriale. Per differenziare <math>\vec B</math> in <math>X</math> lungo la direzione di <math>\vec A</math> in modo fisicamente significativo, è necessario sciegliere una connessione affine appropriata e considerare una curva uniforme parametrizzata <math>\gamma\,(t)</math> che soddisfi le condizioni richieste.

Il concetto di differenziare <math>\vec B</math> in <math>X</math> lungo la direzione di <math>\vec A</math> in un modo fisicamente significativo può essere fatto scegliendo il senso di una connessione affine e una curva uniforme parametrizzata <math>\gamma\,(t)</math> tale che <math>X \,= \gamma(0)</math> e <math>\vec A = {d \over dt}\gamma(0)</math>. La formula

<math>X \,= \gamma(0)</math> e <math>\vec A = {d \over dt}\gamma(0)</math>.

La formula:

<math>\nabla _{\vec A} \vec B(X) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\Pi_{(\varepsilon,0,\gamma)} \vec B(\gamma(\varepsilon)) - \vec B(X)}{\varepsilon} </math>

per unaLa ''derivata covariante di <math>\vec B</math> lungo <math>\vec A</math> associata con la connessione <math>\,\Pi</math>'' finisceproduce perrisultati dareche risultatisono indipendenti dalla scelta della curva e quindi può essere usataconsiderata come una "definizione fisica" di una derivata covariante.

Può essere espressa usando coefficienti di connessione:

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<math>\nabla \vec X = X^a{}_{;b} \frac {\partial} {\partial x^a} \otimes dx^b = (X^a{}_{,b}+\Gamma ^a _{bc}X^c) \frac {\partial} {\partial x^a} \otimes dx^b</math>

UnaLa derivata covariante di ''X'' può così essere vistainterpretata come un [[operatore differenziale]] che agisce su un campo vettoriale, inviandolotrasformandolo ain un tensore di tipo (1.,1) ('ossia "incrementando l'indice covariante perdi 1'"). eQuesta operazione può essere generalizzata per agire sui campi tensoriali di tipo (r,s), inviandoliportandoli aia diventare campi tensoriali di tipo (r, s+1). Le nozioni di trasporto parallelo possono quindi essere definite allo stessoin modo comeanalogo pera ilquanto casoavviene deiper i campi vettoriali. PerÈ importante notare che, per definizione, unala derivata covariante di un [[campo scalare]] ècoincide ugualecon allala sua derivata normale del campo.

Nella letteratura, ci sonoesistono tre metodi comuni per denotare la differenziazione covariante:.

<math> D_a T^{b\dots c}_{d\dots e} = \nabla_a T^{b\dots c}_{d\dots e} = T^{b\dots c}_{d\dots e;a}</math>

Riga 165 ⟶ 169:

<math> \nabla_a (c X^b) \,= c \nabla_a X^b</math>, se c è una costante

Nella relatività generale, ci si riferisce dicomunemente solito aalla "la" derivata covariante, che è quella" associata alla connessione affine di [[Levi-Civita]]. PerQuesta definizione,connessione ha la connessioneproprietà di Levi-Civita mantienepreservare la metrica sottodurante il trasporto parallelo, quindi,il che implica che la derivata covariante dà zero quando agisce sudi un tensore metrico (cosìe come per ildel suo inverso) è zero. In altrialtre terminiparole, si prendepuò considerare il tensore metrico (e il suo inverso) come un fattore che viene portato dentro e fuori delladalla derivata, econsentendo locosì si usa perdi innalzare e abbassare gli indici:

<math>\nabla_a T^b = \nabla_a (T_c g^{bc}) = g^{bc} \nabla_a T_c</math>

=== Derivata di Lie. ===

{{vedi anche|Derivata di Lie|Simmetrie dello spazio-tempo}}

Un'altra derivata tensoriale importante è la [[derivata di Lie]]. Mentre la [[derivata covariante]] richiede una [[connessione affine]] per permettereconsentire il confronto tra vettori in punti diversi, la derivata di Lie usautilizza una congruenza di un [[campo vettoriale]] per ottenereraggiungere lo stesso scopo. Il concetto di [[derivata di Lie|Lie sul ''trascinamento'']] di una funzione lungo una congruenza porta alla definizione della derivata di Lie, dovein cui la funzione trascinata viene confrontata con il valore della funzione originale in un dato punto. La derivata di Lie può essere definita per campi tensoriali di tipo (r,s) e, a questo proposito, può essere vista come una mappa che inviatrasforma un tensore di tipo (r,s) ain un altro tensore didello tipostesso (r,s)tipo.

La derivata di Lie è di solitosolitamente denotata da <math>\mathcal L_X</math>, dove <math>X</math> è il campo vettoriale lungo la cui [[congruenza (relativitàil generale)|congruenza]]quale viene presacalcolata la derivata di Lie.

La derivata di Lie di ogniun [[tensore]] lungo un campo vettoriale può essere espressa attraversoin letermini delle derivate covarianti di quel tensore e del campo vettoriale. (InfattiIn effetti, ''ogni''qualsiasi tipo di derivata funzioneràpuò essere utilizzato, ma la derivata covariante è opportunaparticolarmente perchéutile sipoiché commuta con l'innalzamento e l'abbassamento degli indici). LaInoltre, la derivata di Lie di uno scalare ècorrisponde proprioesattamente laalla [[derivata direzionale:]].

:<math> \mathcal L_X \phi = X^a \nabla_a \phi = X^a \frac{\partial \phi}{ \partial x^a} </math>

Riga 191 ⟶ 195:

</math>

Uno degli usi principali della derivata di Lie nella [[relatività generale]] è nellolo studio delle simmetrie dello spazio-tempo, in cui sonovengono conservati tensori oe altri oggetti geometrici. In particolare, la simmetria di Killing, che rappresenta la (simmetria del tensore metrico sotto il trascinamento di Lie), siè verificafrequentemente moltoosservata spesso nello studionell'analisi dello spazio-tempo. Utilizzando la formula precedenteprecedentemente menzionata, possiamo scrivereesprimere la condizione che deve essere soddisfatta perda un campo vettoriale peraffinché generaregeneri una simmetria di Killing:.

:<math> \mathcal L_X g_{ab} = 0</math>

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== Tensore di curvatura di Riemann ==

{{vedi anche|Tensore di Riemann}}Un aspetto cruciale della [[relatività generale]] è il concetto di varietà curva. Un utile modo utile per misurare la curvatura di una varietà è tramiteattraverso un oggetto chiamato [[tensore (curvatura) di Riemann]].

{{vedi anche|Tensore di Riemann}}

Questo tensore misuraquantifica la curvatura tramite l'uso diutilizzando una [[connessione affine]] che prende in considerazioneconsidera l'effetto didel [[trasporto parallelo|trasportare parallelo]] di un vettore tra due punti lungo due curve diverse. La discrepanza tra i risultati diottenuti da questi due percorsi di trasporto parallelo è essenzialmente quantificatamisurata dal [[tensore di Riemann]].

Un aspetto cruciale della [[relatività generale]] è il concetto di varietà curva. Un utile modo per misurare la curvatura di una varietà è tramite un oggetto chiamato tensore (curvatura) di Riemann.

QuestaLa proprietà del tensore di Riemann può essere utilizzata per descrivere come le geodetiche parallele inizialmente parallele divergano. CiòQuesto vienefenomeno è espresso tramite l'equazione di [[deviazione geodetica]] e significaimplica che le [[forze di marea|forze mareali]] sperimentate in un campo gravitazionale sono il risultato della curvatura dello [[spazio-tempo]].

Questo tensore misura la curvatura tramite l'uso di una [[connessione affine]] che prende in considerazione l'effetto di [[trasporto parallelo|trasportare parallelo]] un vettore tra due punti lungo due curve. La discrepanza tra i risultati di questi due percorsi di trasporto parallelo è essenzialmente quantificata dal [[tensore di Riemann]].

.Utilizzando la procedura descritta sopra descritta, il tensore di Riemann è definito come un tensore di tipo (1.,3) e, una volta completamente scrittoesplicitato, contiene esplicitamente i [[Simbolo di Christoffel|simboli di Christoffel]]. Il tensore di Riemann ha 20 componenti indipendenti.; Lala tendenza averso lo zero di tutti questi componenti suin una regione indica che lì lo spazio-tempo è [[Spazio-tempo|piatto]] in quella zona. Dal punto di vista della deviazione geodetica, ciò significa che inizialmente le [[geodeticageodetiche (relatività generale)|geodetiche]]inizialmente parallele in quella regione dello spazio-tempo resterannorimarranno parallele.

Questa proprietà del tensore di Riemann può essere utilizzata per descrivere come le geodetiche parallele inizialmente divergano. Ciò viene espresso tramite l'equazione di [[deviazione geodetica]] e significa che le [[forze di marea|forze mareali]] sperimentate in un campo gravitazionale sono il risultato della curvatura dello [[spazio-tempo]].

Il tensore di Riemann hapossiede una certo numero didiverse proprietà, atalvolta volte riferiteindicate come [[tensoreTensore di Riemann#Simmetrie e identità|simmetrie del tensore di Riemannstesso]]. Di particolare rilevanza per la [[relatività generale]] sono le identità algebriche e differenziali di Bianchi.

Utilizzando la procedura descritta sopra, il tensore di Riemann è definito come un tensore di tipo (1.3) e una volta completamente scritto contiene esplicitamente i [[simboli di Christoffel]]. Il tensore di Riemann ha 20 componenti indipendenti. La tendenza a zero di tutti questi componenti su una regione indica che lì lo spazio-tempo è [[Spazio-tempo|piatto]]. Dal punto di vista della deviazione geodetica, ciò significa che inizialmente le [[geodetica (relatività generale)|geodetiche]] parallele in quella regione dello spazio-tempo resteranno parallele.

La connessione e la curvatura di ogni [[varietà riemanniana]] sono strettamente correlate; la [[teoria didei [[gruppi]] di [[Olonimia|olonomia]], formatiche prendendosi basa sulle mappe lineari definite perattraverso mezzo delil trasporto parallelo intornoattorno a curve sulla varietà, fornisce una descrizione approfondita di questa correlazione.

Il tensore di Riemann ha una certo numero di proprietà a volte riferite come [[tensore di Riemann#Simmetrie e identità|simmetrie del tensore di Riemann]]. Di particolare rilevanza per la [[relatività generale]] sono le identità algebriche e differenziali di Bianchi.

La connessione e la curvatura di ogni [[varietà riemanniana]] sono strettamente correlate; la teoria di [[gruppi di olonomia]], formati prendendo mappe lineari definite per mezzo del trasporto parallelo intorno a curve sulla varietà, fornisce una descrizione di questa correlazione.

== Tensore energia-impulso ==

{{vedi anche|Tensore energia impulso}}

Le sorgenti di un qualsiasi campo gravitazionale, che includono (materia ed energia), sono rappresentatirappresentate nella relatività generale da un tensore simmetrico di tipo (0.,2) chiamatonoto come [[tensoreTensore energia momento|tensore energia-momento]] ed è, strettamente correlato al [[tensore di Ricci]]. Essendo un tensore di secondo rango in quattrouno dimensionispazio quadridimensionale, il tensore energia -momento potrebbepuò essere vistovisualizzato come una matrice 44x4. perTuttavia, 4.non Itutte varile tipiforme ammissibili di matrice ammissibili, detteconosciute come [[Forma canonica di Jordan|forme di Jordan]] non, possono verificarsi, dato chepoiché le [[condizioni energetiche]] chea cui il tensore energia -momento èdeve costrettoconformarsi aescludono soddisfarealcune escludedi certequeste forme.

=== Conservazione dell'energia ===

Nella relatività generale, c'èesiste ununa legge ''locale'' per la conservazione dell'energia-momento, che può essere sinteticamente espressa sinteticamente attraverso l'equazione tensoriale:

<math>T^{ab}{}_{;b} \, =0.</math>

Riga 227 ⟶ 229:

<math>T^{ab}{}_{,b} \, =0.</math>

CiòQuesta espressione indica la [[Wiktionary:regola empirica|regola empirica]] secondo la qualecui le "derivate parziali vannosi alletrasformano derivativein derivate covarianti".

== Equazioni di campo di Einstein ==

{{vedi anche|Equazioni di campo di Einstein|Soluzioni delle equazioni di campo di Einstein}}

Le equazioni di campo di Einstein (ECE) sonocostituiscono il nocciolonucleo della teoria della relatività generale. Le ECEEsse descrivono come massa ed energia, (come rappresentatorappresentate nel [[Tensoretensore energia impulso|tensore stress energia]]), sonosiano correlate alla curvatura dello spazio-tempo, (come rappresentatorappresentata nel [[tensore di Einstein]]). Nella [[notazione astratta deglicon indici]], lale ECE sipossono essere leggescritte come segue:

:<math>G_{ab} + \Lambda g_{ab} = {8 \pi G \over c^4} T_{ab}</math>

Riga 238 ⟶ 240:

dove <math>G_{ab}</math> è il [[tensore di Einstein]], <math>\Lambda</math> è la [[costante cosmologica]], <math>c</math> è la [[velocità della luce]] nel vuoto e <math>G</math> è la [[costante gravitazionale]], che deriva dalla [[legge di gravitazione universale|legge di gravitazione universale di Newton]].

Le soluzioni delle [[Equazione di campo di Einstein|Equazioni di Campo di Einstein]] (ECE) sono rappresentate da [[Tensore metrico|tensori metrici.]] che,Poiché essendole ECE sono [[equazioni differenziali non- lineari]] perrelative laalla metrica, sonola spessoloro difficilirisoluzione dapuò risultare risolverecomplessa. CiEsistono sono un certo numero didiverse strategie utilizzate per trovarnetrovare letali soluzioni. PerUna esempio, unadi strategiaqueste èconsiste nell'iniziare con un [[ansatz]] (o ipotesi) dellaper la metrica finale, e perfezionarlaperfezionandolo fino a quandoottenere nonuna siaforma abbastanzasufficientemente specifica da sosteneresupportare un sistema di coordinate, ma ancora abbastanza generale perda produrregenerare un insieme di [[equazioneEquazione differenziale|equazioni differenziali]] simultanee con [[Equazione|incognite]] che possano essere risolterisolvibili. I tensori metrici che si ottengonoottenuti, nei casi in cui le equazioni differenziali che ne derivanorisultanti possano essere risolte esattamente per una distribuzione fisicamente ragionevole di energia-momento, sono chiamatidefiniti [[soluzioni esatte]]. Esempi notevolisignificativi di soluzioni esatte comprendonoincludono la [[soluzione di Schwarzschild]] e la soluzione di [[Metrica di Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker|soluzione di FriedmanFriedmann-Lemaître-Robertson-Walker]].<ref>{{En}} ''L'approssimazione EIH più altri riferimenti (per es. Geroch e Jang, 1975 - 'Motion of a body in general relativity', JMP, Vol. 16 numero 1).''</ref>

== Equazioni geodetiche ==

{{vedi anche|Geodetica}}

Una volta cherisolte le equazioni[[Equazione di campo di Einstein|Equazioni sonodi risolteCampo di Einstein]] (ECE) per ottenere una metrica, restaè danecessario determinare il moto degli oggetti inerziali nello spazio-tempo. Nella relatività generale, si ipotizzaassume che il moto inerziale si verificaavvenga lungo [[Geodetica|geodetiche]] dello spazio-tempo, che possono essere nulle eo di tipo tempo, come parametrizzatoparametrizzate dal [[tempo proprio]]. Le [[geodeticaGeodetica|geodetiche]] sono curve che [[trasportoTrasporto parallelo|trasportano paralleleparallelamente]] il loro proprio vettore tangente <math> \vec U</math>, valesoddisfacendo ala direcondizione, <math>\nabla_ {\vec U} \vec U =0</math>. Questauesta condizione, -nota come l'[[Geodetica|equazione geodetica]] -, può essere scrittaespressa mediante i termini diin un sistema di coordinate, <math>x ^a</math> colcon il vettore tangente <math>U^a= \frac{dx^a}{d \tau}</math>:

<math>\ddot{x}^a + {\Gamma^a}_{bc} \, \dot{x}^b \, \dot{x}^c = 0</math>

dove <math>\dot{} = d/d\tau</math>, ''τ'' parametrizza il [[tempo proprio]] lungo la curva, ed è resa evidenteevidenziando la presenza dei [[simboli di Christoffel]]. Una caratteristica principale della relatività generale è quella di descrivere i percorsi di [[Particella elementare|particelle]] e [[Radiazione|radiazioni]] nei [[Campo gravitazionale|campi gravitazionali]]. Ciò è realizzato dalla [[risoluzioni per le equazioni geodetiche]].

Le ECE riguardano la distribuzione della materia (energia) complessiva pere la curvatura dello [[spazio-tempo]]. laLa loro natura non-linearità portalineare a unpresenta problemasfide nel determinare il moto preciso della materia nello spazio-tempo risultante. PerAd esempio, in un sistema composto da un pianeta orbitantein orbita attorno a una [[stella]], il moto del pianeta è determinato risolvendo le equazioni di campo conche ilconsiderano come tensore energia-momento la somma di quello perdel il [[pianeta]] e ladella stella. Il [[campo gravitazionale]] del pianeta influenzainfluisce lasulla geometria complessiva dello spazio-tempo e, dunquedi ilconseguenza, sul moto degli oggetti. ÈPertanto, quindiè ragionevole supporre che le equazioni di campo possano essere utilizzate per ricavarederivare le equazioni geodetiche.

Una caratteristica principale della relatività generale è quella di determinare i percorsi di particelle e radiazioni nei campi gravitazionali. Ciò è realizzato dalla [[risoluzioni per le equazioni geodetiche]].

Quando il [[Tensore energia momento|tensore energia-momento]] perdi un sistema èrappresenta quello delun ''[[fluido perfetto]]'', essosi può dimostrare, essere dimostrato usandoutilizzando la [[legge di conservazione]] locale per ildel tensore energia-momento in modo, che le equazioni geodetiche sianosono soddisfatte in modo esatto.

Le ECE riguardano la distribuzione della materia (energia) complessiva per la curvatura dello [[spazio-tempo]]. la loro non-linearità porta a un problema nel determinare il moto preciso della materia nello spazio-tempo risultante. Per esempio, in un sistema composto da un pianeta orbitante una [[stella]], il moto del pianeta è determinato risolvendo le equazioni di campo con il tensore energia-momento la somma di quello per il [[pianeta]] e la stella. Il [[campo gravitazionale]] del pianeta influenza la geometria complessiva dello spazio-tempo e dunque il moto degli oggetti. È quindi ragionevole supporre che le equazioni di campo possano essere utilizzate per ricavare le equazioni geodetiche.

Quando il tensore energia-momento per un sistema è quello del ''fluido perfetto'', esso può essere dimostrato usando la legge di conservazione locale per il tensore energia-momento in modo che le equazioni geodetiche siano soddisfatte in modo esatto.

== Formulazione lagrangiana ==

{{vedi anche|Metodi variazionali nella relatività generale}}

Il problema di ricavarederivare le equazioni di moto o le equazioni di campo inper ogniciascuna teoria fisica è consideratodi grande dainteresse per molti ricercatori attraente. UnUno mododei abbastanzametodi universalepiù dicomuni eseguireper taliottenere derivazioniqueste equazioni è quellol'uso di utilizzare le tecniche di [[calcolo variazionale]]; in particolare, essendoi [[Lagrangiana|Lagrangiani]] sono gli oggetti principali usatiimpiegati a questo scopo.

MoltiQuesto consideranoapproccio questoè approccioconsiderato da molti scienziati un modo elegante diper costruire una teoria, mentre per altri rappresenta semplicemente un modometodo formale di esprimerla (di solitoespressione, poiché la costruzioneformulazione lagrangiana èviene eseguitaspesso sviluppata ''dopo'' lola definizione sviluppoiniziale della teoria).

== Tecniche matematiche per l'analisi degli spazio-tempo ==

Dopo aver delineato le strutture matematiche di basefondamentali utilizzate nella formulazione della teoria, adessovengono verrannoqui prese in considerazionepresentate alcune importanti tecniche matematiche impiegate nella ricerca sullo [[Spaziotempo|spazio-tempo]].

=== Campi di sistema ===

{{vedi anche|Campi di sistema nella relatività generale}}

Un '''campo di sistema''' è un insieme [[ortonormalitàOrtogonalità|ortonormale]] di 4 [[campo vettoriale|campi vettoriali]] (1 di tipo tempo, 3 di tipo spazio) definiti su uno [[spazio-tempo]]. Ogni campo di sistema può essere pensato come rappresentante un osservatore nello spazio-tempo che si muove lungo curve integrali del campo vettoriale di tipo tempo. Ogni grandezza tensoriale può essere espressa in termini di campo di sistema, in particolare, il [[tensore metrico (relatività generale)|tensore metrico]] prende una forma particolarmente adatta. Quando si uniscono insieme ai [[Campi di sistema nella relatività generale|campi di co-sistema]], i campi di sistema forniscono un potente strumento per analizzare gli spazio-tempo e interpretare fisicamente i risultati matematici.

=== Campi vettoriali di simmetria ===

{{vedi anche|Simmetrie spazio-temporali}}

Alcune tecniche moderne per l'analisi deglidello spazio-tempo[[spaziotempo]] fannosi moltobasano assegnamentofortemente sull'utilizzo didelle simmetrie spazio-temporalispaziotemporali, che sono infinitamente generate da [[campoCampo vettoriale|campi vettoriali]] (di solito definiti in modo localelocalmente) su uno spazio-tempospaziotempo [particolare]specifico che conserva [solo] alcune delle caratteristiche fondamentali dello spazio-tempospaziotempo. IlI tipocampi più comunevettoriali di talisimmetria ''campipiù vettorialicomuni di simmetria''includono comprendonoi [[campoCampo vettoriale di Killing|campi vettoriali di Killing]], (che conservanopreservano la struttura metrica), e le loro generalizzazioni, noti chiamaticome ''campi vettoriali di Killing generalizzati.''. ITali campi vettoriali di simmetria trovano estesaampia applicazione nello studio delle [[soluzioni esatte soluzioni nella relatività generale]]. eInoltre, l'insieme di tutti questi campi vettoriali di solito forma tipicamente un'[[algebra di Lie]] di dimensione finita-dimensionale.

=== Problema di Cauchy ===

{{vedi anche|Problema di Cauchy nella relatività generale}}

Il [[problema di Cauchy]], (talvolta chiamatonoto come '''problema del valore iniziale'''), èconsiste ilnel tentativo di trovare una soluzione per un'[[equazione differenziale]] datea lepartire da condizioni iniziali specifiche. Nel contesto della [[relatività generale]], vuolciò direimplica illa problemaricerca di trovare soluzioni alle equazioni di campo di Einstein, che -formano un sistema di [[equazione differenziale parziale iperbolica|equazioni differenziali parziali iperboliche]], -a fornitipartire alcunida dati iniziali definiti su una un'[[ipersuperficie]]. StudiareLo ilstudio del problema di Cauchy permetteconsente di formulare il concetto di causalità nella relatività generale, cosìe comedi "parametrizzare" le soluzioni delle equazioni di campo. Idealmente, si desideranocerca di ottenere ''soluzioni globali;'' tuttavia, manella dipratica, solitoil lemiglior risultato ottenibile sono spesso ''soluzioni locali'' sono il meglio che si può sperare. In generegenerale, la soluzionerisoluzione di questo problema di valore iniziale richiede la selezionescelta di particolari [[condizioni coordinate]].

=== Formalismo didegli spinori ===

Gli [[spinoreSpinore|spinori]] trovanohanno diverse importantinumerose applicazioni significative nella relatività. Il loro usoutilizzo come metodo per l'analisi dello spazio-tempospaziotempo, chein utilizzaparticolare [[Formalismoattraverso dile Cartan|tetradi]], è importante,di ingrande particolare,importanza nel [[formalismo di Newman-Penrose]].

Un'altra caratteristica interessante degli spinori nella [[relatività generale]] è illa modoloro capacità di condensatoesprimere in cuimodo sintetico alcune equazioni tensoriali possono essere scritte usando il formalismo di spinore. PerAd esempio, nella classificareclassificazione ildel [[tensore di Weyl]], determinandoattraverso ila varideterminazione [[Classificazionedei divari Petrov#Teorema della classificazione|tipi di [[Petrov]], diventa moltonotevolmente più facilesemplice serispetto confrontatoalle conmetodologie latensoriali controparte tensorialetradizionali.

=== Calcolo di Regge ===

{{vedi anche|Calcolo di Regge}}

Il [[calcolo di Regge]] è un formalismo che ''sminuzza''suddivide una [[varietà lorentziana]] dentroin '"grandi blocchi'" discreti, noti come (''chunks'') discreti ([[blocchi simpliciali]] quadri-dimensionali)quadridimensionali''. eIn questo approccio, le lunghezze deldei bordobordi deldei bloccoblocchi sonovengono preseconsiderate come variabili di basefondamentali. Una versione discreta dell'[[azione di Einstein-Hilbert]] èsi ottenutaottiene prendendo in considerazione i cosiddetti '"angoli mancanti'" di questi blocchi,; un angolo mancante zeropari chea nonzero corrisponde a nessunauna situazione priva di curvatura. Questo concetto nuovoinnovativo trova applicazione nei metodi di approssimazione nella [[relatività numerica]] e nella [[gravità quantistica]], usandocon quest'ultima che utilizza una generalizzazione del calcolo di Regge. Questa versione migliora la chiarezza e la coerenza del testo, mantenendo il contenuto tecnico e preciso.

=== Teoremi della singolarità ===

Riga 295:

{{S sezione|fisica}}

Nella relatività generale, emerge un nuovo concetto scorga nel campo della fisica inriguardante meritoil al[[collasso fatto che,gravitazionale]]: in condizioni abbastanzasufficientemente generichegenerali, ilquesto collasso gravitazionalefenomeno risultaporta inevitabilmente inalla unaformazione cosiddettadi una [[singolaritàSingolarità gravitazionale|singolarità]].

=== Relatività numerica ===

{{vedi anche|Relatività numerica}}

La relatività numerica è un sottocampo della relatività generale che cercasi occupa di risolvere le equazioni di Einstein attraversomediante l'uso di metodi numerici. ITecniche come i metodi didelle [[differenzaDifferenza finita|differenze finite]], dell'degli [[Metodo degli elementi finiti|elementoelementi finitofiniti]] e [[metodo pseudo-spettrale|pseudo-spettralespettrali]] sonovengono usatiutilizzate per approssimare lale soluzionesoluzioni per ledelle [[Equazione differenziale alle derivate parziali|equazioni differenziali alle derivate parziali]] che si presentanocoinvolte. Le nuove tecniche sviluppate dallain relativitàquesto numericacampo comprendonoincludono il metodo della ''recisione'' e quelloil metodo della ''puntura'', perche affrontareaffrontano le singolarità che sorgonosi manifestano negli spaziospazi-tempo deldei bucobuchi neroneri. I comuni temi di ricerca più comuni comprendono ilo studio dei buchi neri e ledelle stelle di neutroni.

=== Metodi di perturbazione ===

Riga 306:

{{S sezione|fisica}}

La non-linearità delle [[Equazione di campo di Einstein|equazioni di campo di Einstein]] porta spesso conducono a prendere in considerazioneconsiderare metodi di approssimazione per risolverlirisolverle. PerUn esempio,approccio unsignificativo importantein approccioquesto contesto è la [[Equazioni di campo is Einstein linearizzate|linearizzarelinearizzazione ledelle equazioni di campo]]. A taletal scopofine, trovano ampia applicazione le tecniche mutuatederivate dalla [[Teoria perturbativa (matematica)|teoria delladelle perturbazioneperturbazioni]].

== Note ==

<references />

<div id=note_1>[[#ref 1|^[1]]] La caratteristica determinate (concetto centrale nella fisica) della relatività generale è che materia ed energia causano la curvatura della geometria dello spazio-tempo circostante.

== Fonti ==

:[1] {{cita libro

| autore = Einstein, A.

| titolo = Relativity: The Special and General Theory

| città = New York

| editore = Crown

| anno = 1961

| isbn=0-517-02961-8

| lingua = en

}}

== Bibliografia ==

:[2] {{cita libro

|autore= Misner, Charles

| coautori = Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald

| titolo = Gravitation

| città = San Francisco

| editore = W. H. Freeman

| anno = 1973

| isbn=0-7167-0344-0

| lingua = en

}}

* {{cita libro|autore=[[Albert Einstein]]|titolo=Relativity: The Special and General Theory|url=https://archive.org/details/relativityspecia00eins_0|città=New York|editore=Crown|anno=1961|isbn=0-517-02961-8|lingua=en}}

:[3] {{cita libro

* {{cita libro|autore=Charles Misner|coautori=[[Kip Thorne]] e [[John Archibald Wheeler]]|titolo=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation0000misn_o3a5|città=San Francisco|editore=W. H. Freeman|anno=1973|isbn=0-7167-0344-0|lingua=en}}

| autore = Landau, L.D.

* {{cita libro | cognome1=Landau|nome1=Lev D.|wkautore1=Lev Davidovič Landau|cognome2=Lifshitz|nome2=Evgenij M.|wkautore2=Evgenij Michajlovič Lifšic | titolo = Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition) | url=https://archive.org/details/classicaltheoryo0000land_k6k2| città = Oxford | editore = Pergamon | anno = 1975 | isbn = 0-08-018176-7 | lingua = en}}

| coautori = Lifshitz, E.M.

| titolo = Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition)

| città = Oxford

| editore = Pergamon

| anno = 1975

| isbn = 0-08-018176-7

| lingua = en

}}

{{sottocampiBranche della fisica}}

== Voci correlate ==<!-- see [[wp:NAVHEAD]] -->

{{sottocampi della fisica}}

{{portale|fisica|matematica}}