Principio di indeterminazione di Heisenberg: differenze tra le versioni
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[[File:Heisenberg 10.jpg|thumb|[[Werner Karl Heisenberg]] nel 1927, anno in cui pubblicò il suo articolo sul principio di indeterminazione.]]
In [[meccanica quantistica]], il '''principio d'indeterminazione di Heisenberg'''<ref group="Nota">Heisenberg utilizzò raramente il sostantivo «principio» [W. Heisenberg, 1930]. Le dizioni da lui più usate furono ''Ungenauikeitsrelationen'' (relazioni d'inesattezza), ''Unsicherheitrelationen'' (relazioni d'incertezza) e ''Unbestimmtheitsrelazionen'' (relazioni d'indeterminazione) [D. Lindley, 2008].<br/>
Solo nel 2013, 86 anni dopo l'articolo originale di Heisenberg del 1927, si è trovato il modo di ricavare le sue relazioni d'indeterminazione dai [[postulati della meccanica quantistica]]. È stato infatti dimostrato [P. Busch, P. Lahti, R. F. Werner, 2013] che per misure simultanee (sezione [[#Altre disuguaglianze di Heisenberg|Altre disuguaglianze di Heisenberg]]) di posizione ''q'' e quantità di moto ''p'' deve valere la disuguaglianza
:<math> \epsilon_{q} \cdot \epsilon_{p} \, \ge \, \hbar/2. </math>
Anche se non si tratta quindi di un principio, per ragioni storiche si continua a indicarlo come tale.</ref><ref name="Heisenberg 1930">{{cita libro|autore=W. Heisenberg |anno=Stuttgart 1930 |titolo=Physikalische Prinzipien der Quantentheorie|editore=Hirzel|lingua=de}} Traduzione inglese: {{cita libro|titolo=The Physical Principles of Quantum Mechanics |anno= New York 1930 |editore=Dover Publications}}
Traduzione italiana di M. Ageno: {{cita libro|titolo=I principi fisici della teoria dei quanti |url=https://archive.org/details/iprincipifisicid0000heis |anno= Torino 1948<sup>1</sup> 2016<sup>4</sup>|editore= Einaudi, Bollati Boringhieri}}</ref><ref>{{cita libro|autore=D. Lindley|titolo=Uncertainty - Einstein, Heisenberg, Bohr, and the Struggle for the Soul of Science |url=https://archive.org/details/uncertaintyeinst00lind|anno= New York 2007 |editore=Doubleday}} Traduzione italiana di S. Frediani: {{cita libro|titolo=Incertezza - Einstein, Heisenberg, Bohr e il principio d'indeterminazione| anno= Torino 2008|editore=[[Giulio Einaudi Editore|Einaudi]]}}</ref><ref name="BLW 2013">{{cita pubblicazione|autore= P. Busch, P. Lahti, R. F. Werner |titolo = Proof of Heisenberg's Error-Disturbance Relation| rivista = Physical Review Letters |volume= 111 |anno=2013|numero=16|arxiv = 1306.1565 |bibcode = 2013PhRvL.111p0405B}}</ref> stabilisce i limiti nella [[misurazione]]<ref group="Nota">Secondo l'[[interpretazione di Copenaghen]] della meccanica quantistica «una misurazione, in generale, non rivela un valore preesistente di una proprietà misurata. Al contrario, l’esito di una misura viene in essere attraverso l’atto di misura stesso, una manifestazione congiunta dello stato soggetto alla misurazione e dell’apparato misuratore» ([[David Mermin|David Nathaniel Mermin]], 1993).<br/>
Anche se successivamente prevalse la tesi che l'indeterminismo quantistico rifletta una caratteristica intrinseca della natura, ci furono occasioni, quali le lezioni tenute all'università di Chicago nel 1929, in cui Heisenberg sostenne che sia la nostra conoscenza del mondo microscopico a essere indeterminata: «Le relazioni di indeterminazione riguardano il grado di esattezza raggiungibile nella conoscenza dei valori assunti simultaneamente dalle diverse grandezze che intervengono nella teoria dei quanti...» (Werner Karl Heisenberg, 1930)</ref><ref name="Heisenberg 1930"/><ref>{{cita pubblicazione|nome=D. N.|cognome=Mermin|wkautore=David Mermin|anno=1993|titolo=Hidden variables and the two theorems of John Bell|rivista=Reviews of Modern Physics|volume=65|pp=803-815}}</ref> dei valori di [[grandezza fisica|grandezze fisiche]] coniugate<ref group="Nota" name="coniugate">In meccanica quantistica si dicono canonicamente coniugate o semplicemente coniugate due [[osservabile|osservabili]] <math>A</math> e <math>B</math> associate agli [[operatore autoaggiunto|operatori autoaggiunti]] <math>\hat A</math> e <math>\hat B</math> che non commutano
:<math>\left[\hat A, \hat B \, \right] = \hat A \hat B - \hat B \hat A \neq 0</math>
e il cui commutatore vale
:<math>\left[\hat A, \hat B \, \right] = \hat A \hat B - \hat B \hat A = i \, \hbar</math>.
Le osservabili coniugate sono un sottoinsieme proprio di quelle incompatibili (vedi Nota 4).</ref> o, nelle formulazioni più recenti e generali, incompatibili<ref group="Nota" name="incompatibili">In meccanica quantistica si dicono incompatibili [D. J. Griffiths, 2005] due [[Osservabile|osservabili]] <math>A</math> e <math>B</math> associate agli [[Operatore autoaggiunto|operatori autoaggiunti]] <math>\hat A</math> e <math>\hat B</math> che non [[Proprietà commutativa|commutano]] fra loro:
:<math>\left[\hat A, \hat B \, \right] = \hat A \hat B - \hat B \hat A \neq 0</math>.</ref><ref name="Griffiths p.118">D. J. Griffiths, ''Introduzione alla meccanica quantistica'', C.E.A., Milano 2005, p. 118.</ref> in un [[sistema fisico]].
Nella formulazione più nota, è espresso dalla relazione
:<math>\Delta x \cdot \Delta p_x \, \ge \, \frac{\hbar}{2} </math>
fra il prodotto dell<nowiki>'</nowiki>incertezza (errore) sulla [[posizione]] (<math>\Delta x</math>) e dell<nowiki>'</nowiki>indeterminazione (disturbo) sulla [[quantità di moto]] (<math>\Delta p_x</math>) di una particella, dove <math>\hbar</math> è la [[costante di Planck ridotta]]. Ad esempio, una volta nota la posizione <math>x</math> di una particella con una certa precisione o incertezza fissata <math>\Delta x</math> diversa da zero, questa [[disuguaglianza]] implica che è possibile conoscere la sua quantità di moto <math>p_x</math> solo con una indeterminazione non inferiore al limite <math>\hbar/2\Delta x</math>; limite che sarà tanto più grande quanto più piccola è l'incertezza <math>\Delta x</math>, senza che sia possibile quindi misurare esattamente la quantità di moto e la corrispondente velocità della particella.
Enunciato nel 1927 da [[Werner Karl Heisenberg]]<ref name="Heisenberg 1927">{{cita pubblicazione|nome=W.|cognome=Heisenberg|anno=1927|titolo=Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik|rivista=Zeitschrift für Physik|volume=43|numero=4|pp=172-178|titolotradotto=Sul contenuto intuitivo della cinematica e della meccanica nella teoria quantistica}} Traduzione italiana di S. Boffi: S. Boffi, ''Il principio di indeterminazione'', Università degli studi di Pavia, Pavia 1990, pp. 45-74, ISBN 8885159036, on-line: www2.pv.infn.it/~boffi/Werner.pdf</ref> e successivamente confermato da innumerevoli esperimenti, rappresenta un concetto cardine della meccanica quantistica, che ha sancito una radicale rottura rispetto alle leggi della [[meccanica classica]].
== Introduzione ==
{{Citazione|Nell'ambito della realtà le cui condizioni sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono quindi a una completa determinazione di ciò che accade nello spazio e nel tempo; l'accadere [...] è piuttosto rimesso al gioco del caso.|Werner Karl Heisenberg,<ref group="Nota">Si tratta di un manoscritto del 1942, pubblicato solo nel 1984 col titolo ''Ordnung der Wirklichkeit'' [''Ordinamento della realtà''], nell'ambito delle opere complete di W. Heisenberg. Traduzione italiana di G. Gembillo e G. Gregorio, p. 128, 1991.</ref><ref>{{cita libro|autore=W. Heisenber|titolo=Indeterminazione e realtà|anno= Napoli 1991 |editore=Guida|ISBN= 88-7835-101-6|traduttore=G. Gembillo, G. Gregorio}}</ref> 1942}}
I [[postulati della meccanica quantistica]], così come i dettagli del processo di misura, stabiliscono una serie di relazioni e disuguaglianze d'indeterminazione<ref name="Sen2014">{{cita web|url =
Poiché il principio d'indeterminazione esprime l'impossibilità di determinare con precisione ''a priori'' illimitata i valori di ''due variabili incompatibili'', l'osservatore dovrà scegliere quale misura privilegiare e disporre gli [[strumenti di misura]] di conseguenza. Si noti che il principio d'indeterminazione non si applica a tutte le possibili coppie di osservabili. Ad esempio è sempre possibile, in linea di principio, misurare [[posizione]] e [[carica elettrica]] con [[precisione]] arbitraria. In maniera analoga, mentre il principio d'indeterminazione si applica alla misura di <math>x</math> e della componente <math>p_x</math> della [[quantità di moto]] lungo <math>x</math>, questo non si applica alla misura di <math>x</math> e di <math>p_{y}</math> (dato che <math> \left[ \hat x, \, \hat p_y \right] = \hat x \, \hat p_y - \hat p_y \, \hat x \,=\, 0 </math>). Infine, tale principio non pone invece vincoli alla misura di una singola grandezza (come ad esempio l'energia - vedi Sezione [[Principio d'indeterminazione di Heisenberg#Relazioni d'indeterminazione energia/tempo|''Relazioni d'indeterminazione energia/tempo'']]), che può essere determinata con precisione arbitraria.
Il ruolo del principio d'indeterminazione nella fisica moderna e nei fondamenti della meccanica quantistica è stato oggetto di un lungo dibattito.<ref name="Uffink2016 sez.2.4">{{cita web|url=https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/qt-uncertainty/|titolo=The Uncertainty Principle {{!}} The Stanford Encyclopedia of Philosophy|autore=J. Hilgevoord|coautore=J. Uffink|anno = 2016|editore=Paragrafo 2.4: ''Uncertainty relations or uncertainty principle ?'', The Stanford Encyclopedia of Philosophy|accesso=16 giugno 2020}}</ref> In senso stretto, le relazioni d'indeterminazione sono ricavate come conseguenza dei postulati della meccanica quantistica. Secondo un certo punto di vista, l'importanza della scoperta di Heisenberg è quindi principalmente storica, rilevante più che altro per aver messo in evidenza le proprietà di una teoria completamente diversa dalla [[fisica classica]].<ref group="Nota">«''Vorrei mettere il principio di indeterminazione nel suo contesto storico: quando furono concepite per la prima volta le idee rivoluzionarie della fisica quantistica, si tentava di capirle in termini di idee antiquate (come ad esempio, la luce che si propaga in linee rette). Ma a un certo punto le vecchie idee cominciarono a fallire e quindi un avvertimento fu sviluppato per dire, in effetti, "Le vecchie idee non sono buone quando...". Se invece si rimuovono le vecchie idee e si usano invece le idee che sto spiegando in queste lezioni - aggiungere frecce [cammini] per tutti i modi in cui un evento può accadere - non c'è bisogno del principio di indeterminazione!''» <br/>
([[Richard Feynman|Richard Phillips Feynman]], 1985)</ref><ref>{{cita libro|autore=R. P. Feynman|titolo=QED: The Strange Theory of Light and Matter|anno= London 1985|pagine=55-56|editore=Penguin Books |isbn=978-0-691-08388-9}}</ref> Tuttavia, secondo una diversa visuale, nella sua forma più generale di ''indeterminismo quantico'' il principio d'indeterminazione resta un principio d'assoluta generalità, che, al pari del [[principio di relatività]], risulta fondamento della fisica moderna.<ref name="Uffink2016 sez.2.4"/>
== Relazioni d'indeterminazione di Heisenberg ==
=== L'esperimento mentale col microscopio ===
[[File:Heisenberg gamma ray microscope lens.svg|thumb| L'[[esperimento mentale]] del microscopio proposto da Heisenberg nel suo articolo del 1927.
La relazione d'indeterminazione posizione/momento viene ricavata da leggi ottiche e dall'effetto Compton d'interazione tra un fotone <math>\gamma</math> e un elettrone inizialmente fermo.]]
Nell'articolo<ref name="Heisenberg 1927"/> del 1927, la relazione d'indeterminazione ''posizione/quantità di moto'' viene ricavata, mediante l'[[esperimento mentale]] del microscopio, da leggi ottiche e dall'[[effetto Compton]] d'interazione tra un [[fotone]] energetico <math>\gamma</math> e un [[elettrone]] inizialmente fermo. Il fotone (verde) arriva da sinistra (asse <math>X</math>), urta l'elettrone (blu) che si muoverà e ne viene a sua volta deviato, entrando nel microscopio (fotone rosso) con una lunghezza d'onda <math>\lambda'</math> maggiore di quella <math>\lambda</math> del fotone verde incidente ([[effetto Compton]]: <math>\lambda' > \lambda</math>).
La lente del microscopio ha un'accettanza angolare <math>\theta</math> e la [[risoluzione angolare|risoluzione ottica]] <math>\Delta x</math> con cui il microscopio "vede" l'elettrone vale:
:<math>\Delta x \, \simeq \, \frac{\lambda'}{2 \, sin \theta}</math>.
Il fotone entra nel microscopio con un angolo ''indeterminato'', ma certamente compreso tra <math>+\theta</math> e <math>-\theta</math> (è questa l'unica informazione disponibile sulla direzione del fotone).
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in cui si è fatto uso della [[Ipotesi di de Broglie|relazione di de Broglie]]
:<math> p \,=\, \frac{h}{\lambda}</math>.
Per la conservazione della quantità di moto lungo l'asse <math>X</math>, <math>\Delta p_x</math> è anche
:<math>\Delta x \cdot \Delta p_x \,\simeq\, \frac{\lambda'}{2 \, sin \theta} \, \, \frac{h}{\lambda'} \,2 \, sin \theta \,\simeq\, h</math>.
Questa relazione, ancora semi-quantitativa, venne presto riformulata nei termini
:<math>\Delta x \cdot \Delta p_x \, \ge \, \frac{\hbar}{2} </math>
utilizzando il limite inferiore <math>\hbar/2</math> calcolato da Kennard a partire dalle [[deviazione standard|deviazioni standard]] <math>\sigma_x</math> e <math>\sigma_p</math> (vedi [[#Disuguaglianza di Kennard|''Disuguaglianza di Kennard'']]).
La disuguaglianza ''posizione/
In molti testi divulgativi e talvolta anche universitari viene affermato che l'indeterminazione di Heisenberg fa riferimento a misure simultanee. Heisenberg le cita nel sommario dell'articolo originale: «''grandezze canonicamente coniugate possono essere determinate simultaneamente solo con una imprecisione caratteristica''».<ref name="Heisenberg 1927"/> Nel resto del suo lavoro non menziona misure o procedimenti simultanei, ma si limita a parlare di grandezze fisiche e delle incertezze con cui possono essere conosciute. Fu invece [[Niels Bohr|Bohr]] ad introdurre <nowiki>l'</nowiki>''impossibilità'' di misure simultanee, che però andrebbe riferita alla [[Principio di complementarità|complementarità]] e non all'indeterminazione di Heisenberg: «''Bohr ha criticato Heisenberg per il suo suggerimento che queste relazioni fossero dovute solo a cambi discontinui che avvengono durante il processo di misura e indicò che le incertezze nell'esperimento non emergevano esclusivamente dalla discontinuità (esistenza del quanto d'azione), ma anche dal fatto che posizione e momento dell'elettrone non possono essere simultaneamente definite nell'esperimento del microscopio ('aggiunta alle bozze' in Heisenberg<ref name="Heisenberg 1927"/>), e che noi dobbiamo considerare sia la teoria corpuscolare sia la teoria ondulatoria.''»<ref name="Sen pag.204">{{cita web|url = http://www.currentscience.ac.in/Volumes/107/02/0203.pdf | autore= D. Sen|titolo=The uncertainty relations in quantum mechanics|rivista = Current Science | volume = 107| numero = 2| anno = 2014| pagina = 204}}</ref> In seguito lo stesso Heisenberg sostenne invece la simultaneità delle due misurazioni. Nelle lezioni tenute all'università di Chicago nel 1929 affermò che
«''Le relazioni di indeterminazione riguardano il grado di esattezza raggiungibile nella conoscenza dei valori assunti simultaneamente dalle diverse grandezze che intervengono nella teoria dei quanti...''».<ref name="Heisenberg 1930"/> Ma, facendo un'analisi critica, H. Margenau ha evidenziato<ref>{{Cita pubblicazione|cognome= Margenau|nome=H. |titolo= Measurements in quantum mechanics|rivista=Annals of Physics| anno=1963|volume=23|pp=469-485}}</ref> nel 1963 che le relazioni d'indeterminazione di Heisenberg per misurazioni simultanee di variabili dinamiche canonicamente coniugate non sono riconducibili ad alcuna interpretazione significativa nell'ambito della meccanica quantistica usuale.<ref name="Sen pag.204"/> La misura simultanea d'osservabili incompatibili è stata realizzata sperimentalmente<ref name="simultanee">{{cita pubblicazione|autore= S. Hacohen-Gourgy, L. S. Martin, E. Flurin, V. V. Ramasesh, K. B. Whaley, I. Siddiq |titolo = Dynamics of simultaneously measured non-commuting observables |rivista = Nature |volume= 538 |anno=2016 |pp= 491-494 ||arxiv = https://arxiv.org/pdf/1608.06652.pdf}}</ref> per la prima volta nel 2016. Dettagli sul significato di tali misure e sulla differenza con le misurazioni in successione tipiche dell'indeterminazione di Heisenberg sono forniti nella [[#Altre disuguaglianze di Heisenberg|sezione successiva]].
=== Altre disuguaglianze di Heisenberg ===
Nell'articolo<ref name="Heisenberg 1927"/> del 1927, Heisenberg introdusse tre relazioni d'indeterminazione (posizione <math>x</math> / quantità di moto <math>p_x</math> - tempo <math>t</math> / energia <math>E</math> - angolo <math>\theta</math> / azione <math>A</math>) ritenendole sostanzialmente equivalenti, perché tutte basate sul commutatore canonico
:<math>\left[\hat x, \, \hat p_x \right] = \left[\hat t, \, \hat H \right] = \left[\hat \theta, \, \hat A \, \right] = i \, \hbar</math>
dove <math>\hat H</math> è l'[[operatore hamiltoniano]], associato all'energia totale del sistema quantistico.
Ma, mentre <math>x</math> e <math>p_x</math> sono variabili continue, in meccanica quantistica l'azione risulta spesso discreta, in quanto soggetta alla condizione di quantizzazione di [[Formula di Wilson-Sommerfeld|Wilson-Sommerfeld]] <math>A = n \, h</math>. L'indeterminazione ''azione/angolo'' non è quindi equivalente a quella ''posizione/quantità di moto'' (per una trattazione più approfondita su questo argomento, si veda <ref>S. Boffi, ''Il principio di indeterminazione'', Università degli studi di Pavia, Pavia 1990, pp. 79-80, ISBN 8885159036, on-line: www2.pv.infn.it/~boffi/Werner.pdf</ref>). Lo stesso avviene - per ragioni diverse - anche per l'indeterminazione ''energia/tempo''. In meccanica quantistica non relativistica, come in meccanica classica, il tempo <math>t</math> svolge un ruolo privilegiato: è il parametro d'evoluzione delle grandezze fisiche, ''non'' una grandezza fisica esso stesso. Non è quindi possibile associarvi alcun operatore autoaggiunto <math>\hat t,</math> che caratterizzarebbe un'osservabile quantica (vedi Sezione [[Principio d'indeterminazione di Heisenberg#Relazioni d'indeterminazione energia/tempo|''Relazioni d'indeterminazione energia/tempo'']]).
Se si indica con <math>\Delta A</math> l{{'}}''errore'' sulla misura dell'osservabile <math>A</math> e con <math>\Delta B</math> il ''disturbo'' prodotto dalla precedente misura di <math>A</math> su una successiva misura della variabile ''coniugata''<ref group="Nota" name="coniugate"/> <math>B,</math> l'indeterminazione di Heisenberg generalizzata è
:<math>\Delta A \cdot \Delta B \, \ge \, \frac{\hbar}{2} </math>.
Utilizzando una notazione più moderna (inizialmente introdotta da J. von Neumann<ref>{{cita libro|autore=J. von Neumann |anno=Berlin 1932 |titolo=Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik|editore=Springer-Verlag|lingua=de}} Traduzione italiana di G. Boniolo: {{cita libro|titolo=I fondamenti matematici della meccanica quantistica |anno= Padova 1998 |editore=il poligrafo}}</ref> e poi generalizzata da M.
Ozawa<ref name="Sen p.209">{{cita web|url = http://www.currentscience.ac.in/Volumes/107/02/0203.pdf | autore= D. Sen|titolo=The uncertainty relations in quantum mechanics|rivista = Current Science | volume = 107| numero = 2| anno = 2014| pagina = 209}}</ref>), se indichiamo invece con <math>\epsilon_A</math> l{{'}}''errore'' sulla misura dell'osservabile <math>A</math> e con <math>\eta_B</math> il ''disturbo'' prodotto dalla precedente misura di <math>A</math> su una successiva misura della variabile ''coniugata''<ref group="Nota" name="coniugate"/> <math>B,</math> l'indeterminazione di Heisenberg per ''misure successive'' (prima <math>A,</math> poi <math>B</math>) <ref group="Nota">Una misura quantistica proiettiva (o di von Neumann) dell'osservabile <math>A</math> provoca il ''[[collasso della funzione d'onda]]'' <math>\psi \to \phi_A</math> che lascerà la particella in un autostato <math>\phi_A</math> della variabile <math>A</math>. Quindi una successiva misura dell'osservabile <math>B</math> non potrà coincidere con un autovalore di <math>B</math> (ad incertezza nulla), ma sarà necessariamente affetta da un'incertezza <math>\Delta B \neq 0</math>.</ref> diventa
:<math> \epsilon_{A} \cdot \eta_{B} \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \right| \, = \, \frac{\hbar}{2} </math>
con
:<math>\left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \,\equiv\, \left \langle \psi \left| \, \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \, \right| \psi \right\rangle \,=\, i \, \hbar \,
\left \langle \psi | \psi \right\rangle \,=\, i \, \hbar </math>
valore d'aspettazione del commutatore <math>\left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] = i \, \hbar,</math> identico per qualsiasi funzione d'onda <math>\psi</math> del sistema quantistico.
Usando lo stesso formalismo, è possibile descrivere un'altra situazione fisica,<ref name="Sen p.209"/> talvolta confusa con la precedente, ovvero il caso di ''misurazioni simultanee'' (<math>A</math> e <math>B</math> contemporaneamente) di grandezze ''incompatibili'':<ref group="Nota" name="incompatibili"/><ref name="Griffiths p.118"/>
:<math> \epsilon_{A} \cdot \epsilon_{B} \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \right|</math>
dove stavolta, essendo <math>A</math> e <math>B</math> incompatibili, più genericamente vale
:<math>\left[\hat A, \hat B \, \right] \neq 0</math>.
Due misure simultanee su <math>A</math> e <math>B</math> sono necessariamente<ref>{{cita pubblicazione|autore= Busch P.| titolo = "No Information Without Disturbance": Quantum Limitations of Measurement}} in {{cita libro|autore= Christian J., Myrvold W. (a cura di)| titolo=Quantum Reality, Relativistic Causality, and Closing the Epistemic Circle: An International Conference in Honour of Abner Shimony | anno= Berlin 2008 |editore=Springer-Verlag |pagine= 229-256}}</ref> ''weak'' (deboli) o ''unsharp'' (smussate).<ref>A. Peres, ''Quantum Theory: Concepts and Methods'', Kluwer, Dordrecht 1995, pp. 387-390.</ref> Ciascuna estrae quindi solo parzialmente l'informazione disponibile sul sistema.<ref group="Nota">Se la misura fosse invece quella proiettiva (''sharp'' o ''strong'') prevista da von Neumann, si estrarrebbe completamente l'informazione relativa o all'osservabile <math>A</math>, o alla <math>B</math> ma - per la [[Principio di complementarità|complementarità]] di Bohr - non sarebbe possibile la ''contemporanea'' misura dell'altra osservabile.</ref> La misura simultanea d'osservabili incompatibili è stata realizzata sperimentalmente<ref name="simultanee"/> solo nel 2016.
In termini più generali, quando due grandezze fisiche, dette [[osservabile|osservabili fisiche]], dello stesso sistema non possono essere [[Misurazione|misurate]] entrambe con misure proiettive (''sharp'' o ''strong'') sono dette ''complementari''. Esempi di coppie di osservabili complementari sono le componenti dei vettori di [[spin]] (o del [[momento angolare]]), la posizione e la velocità in una [[Direzione (vettore)|direzione]]. Osservabili complementari hanno necessariamente commutatore non nullo, e risultano pertanto anche incompatibili. In tal senso l'indeterminazione è connessa (in modo tuttora non chiaro<ref group="Nota">«''I principi di complementarità ed indeterminazione non sono né logicamente del tutto indipendenti, né conseguenze logiche l'uno dell'altro.''» (Paul Busch, 2006)</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= P. Busch |titolo = Complementarity and Uncertainty in Mach-Zehnder Interferometry and beyond |rivista = Physics Reports |volume= 435 |anno=2006 |pagine=1-31}}</ref>) al [[principio di complementarità]]. Secondo Bohr, il tipico esempio di complementarità è dato dal [[dualismo onda-particella|dualismo onda/particella]]: lo stesso tipo di [[particelle subatomiche|particella subatomica]] (''elettrone'', ad esempio) può esibire ''alternativamente'' proprietà ''ondulatorie oppure corpuscolari'', a seconda che lo strumento di misura utilizzato sia in grado di rilevare onde o particelle. Successivamente si è compreso e sperimentalmente dimostrato che i sistemi quantistici possono talvolta manifestare ''simultaneamente'' proprietà ''sia ondulatorie sia corpuscolari''. Si tratta della ''dualità onda/particella'', espressa dalle disuguaglianze di Greenberger/ Yasin<ref name=yasin>{{cita pubblicazione|autore= D. M. Greenberger, A. Yasin |titolo = Simultaneous wave and particle knowledge in a neutron interferometer| rivista = Physics Letters |volume= A 128|anno=1988|numero=8|pagine=391–394| doi= 10.1016/0375-9601(88)90114-4 |bibcode= 1988PhLA..128..391G }}</ref> e di Berthold-Georg Englert<ref name=englert>{{cita pubblicazione|autore= B.-G. Englert |titolo = Fringe visibility and which-way information: An inequality | rivista = Physical Review Letters |volume= 77|anno=1996|numero=11|pagine=2154–2157| doi=10.1103/PhysRevLett.77.2154 |bibcode = 1996PhRvL..77.2154E}}</ref>, che generalizza il concetto originale di [[dualismo onda-particella|dualismo onda/particella]].
=== Indeterminazione e non commutatività ===
Nella formulazione hamiltoniana della [[meccanica quantistica]], le variabili fisiche sono rappresentate da [[operatore autoaggiunto|operatori autoaggiunti]],<ref group="Nota">Gli operatori autoaggiunti hanno spettro degli autovalori associati nel campo dei numeri reali. Siccome gli operatori quantistici rappresentano osservabili fisiche misurabili, l'esito delle misure deve essere un numero reale; caratteristica garantita appunto dalla scelta di operatori autoaggiunti.</ref> come <math>\hat x</math> (''posizione'' della particella) e <math> \hat p_{x} = -i \, \hbar \frac{d}{dx} </math> (componente del ''momento lineare'' della particella lungo <math>x</math>).
Questi due operatori non [[Proprietà commutativa|commutano]], come si vede calcolando i prodotti <math>x \, (d/dx)</math> e <math>(d/dx) \, x</math> su una [[funzione d'onda]] monodimensionale <math>\psi(x)</math> :
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In generale, due grandezze [[osservabile|osservabili]] <math>A</math> e <math>B</math>, corrispondenti ad [[operatore autoaggiunto|operatori autoaggiunti]] <math>{\hat A}</math> e <math>{\hat B}</math> che ''non'' commutano, sono dette ''incompatibili''.<ref name="Griffiths p.118"/>
In particolare, se il [[Commutatore (matematica)|commutatore]] vale <math>i \hbar</math>, le corrispondenti osservabili incompatibili (<math>x</math> e <math>p_x</math>, ad esempio) sono anche ''canonicamente coniugate''.
[[Paul Dirac
Grönewold dimostrò (teorema di Grönewold-Van Hove) nel 1946 che tale corrispondenza non ha invece validità generale, ma che esiste una correlazione sistematica tra i commutatori quantistici e una versione modificata delle parentesi di Poisson, le parentesi di Moyal [H. J. Grönewold, 1946].</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore=P. A. M. Dirac |titolo=The fundamental equations of quantum mechanics|rivista=Proceedings of the Royal Society|numero=A109|anno=1925| pp=642-653|doi =10.1098/rspa.1925.0150}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore=H. J. Grönewold|titolo=On the Principles of elementary quantum mechanics| rivista=Physica|volume=12|anno= 1946|pp= 405-460|doi=10.1016/S0031-8914(46)80059-4}}</ref>
Il principio d'indeterminazione di Heisenberg riguarda osservabili ''incompatibili e coniugate'', il cui [[Commutatore (matematica)|commutatore]] è del tipo <math>\left[\hat A, \hat B \right] = i \hbar.</math>
Nel caso dei momenti angolari atomici dell'idrogeno, E. U. Condon<ref>{{cita pubblicazione|autore= E. U. Condon|titolo=Remarks on uncertainty principles|rivista = Science |numero=69| anno = 1929| pp = 573-574}}</ref> nel 1929 produsse tre esempi d'apparente violazione della relazione d'indeterminazione di Heisenberg<ref group="Nota">Sostanzialmente, se lo stato del sistema atomico coincide con un autostato di <math>L_z</math> con autovalore 0, in quello stato la relazione d'indeterminazione <math>(\Delta L_x)(\Delta L_y) = (\hbar/2) \, L_z</math> diventa <math>(\Delta L_x)(\Delta L_y) = 0</math>,
== Relazioni d'indeterminazione statistiche ==
Mentre le indeterminazioni <math>\Delta x</math> e <math>\Delta p_{x}</math> del microscopio di Heisenberg si riferiscono a misurazioni successive d'osservabili incompatibili e coniugate, l'introduzione delle [[deviazione standard|deviazioni standard]] <math>\sigma_x</math> e <math>\sigma_{p}</math> nella relazione di Heisenberg e nella disuguaglianza di Kennard (o delle analoghe <math>\sigma_A</math> e <math>\sigma_B</math> per Robertson e Schrödinger) è connessa alla loro natura statistica. Si tratta di una proprietà intrinseca degli enti quantistici, che si manifesta nella [[trasformata di Fourier]] della loro funzione d'onda (Vedi la Sottosezione [[#Indeterminazione debole e forte|''Indeterminazione debole e forte'']]).
La differente notazione è quindi legata al diverso significato di queste disuguaglianze rispetto a quelle del microscopio di Heisenberg, come sarà discusso nella Sezione [[#Indeterminazione operazionale e intrinseca|''Indeterminazione operazionale e intrinseca'']]. Le derivazioni di Bohr, pur non facendo ricorso alle [[deviazione standard|deviazioni standard]], sono più simili a quelle statistiche di Kennard, Robertson e Schrödinger che non alle disuguaglianze di Heisenberg, che implicano due misurazioni quantistiche successive.
=== Derivazione di Bohr ===
Nel 1928 [[Niels Bohr]] ricavò le indeterminazioni posizione/quantità di moto ed energia/tempo in modo differente,<ref name="bohr1928">{{cita pubblicazione|nome=N.|cognome=Bohr|anno=1928|titolo=The quantum postulate and the recent development of atomic theory|rivista=Nature|volume=121|pp=580-590}}</ref> partendo dalle relazioni di dispersione di [[Jean Baptiste Joseph Fourier|Fourier]], note in ottica dal primo quarto del XIX secolo.
Il [[numero d'onda]] <math>\bar{\nu}</math>, ovvero il numero di oscillazioni di un'[[Onda (fisica)|onda]] nell'unità di lunghezza, corrisponde al reciproco della [[lunghezza d'onda]]:
:<math>
In condizioni ottimali, la caratterizzazione spaziale di un'onda è data dalla I relazione di dispersione di Fourier:
:<math> \Delta x \cdot \Delta \bar{\nu} \, \simeq \, 1 </math>.
Applicando la [[Ipotesi di de Broglie|relazione]] di [[Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie|De Broglie]] per il dualismo onda/particella nel caso monodimensionale:
:<math> \lambda \,=\, \frac{h}{p_x}</math>
si ricava immediatamente
:<math> \bar{\nu} \,=\, \frac{1}{\lambda} \,=\, \frac{p_x}{h}</math>
da cui
:<math> \Delta \bar{\nu} \,=\, \frac{\Delta p_x}{h}</math>
che, sostituita nella I relazione di dispersione di Fourier, fornisce la relazione d'indeterminazione ''posizione/quantità di moto'':
:<math> \Delta x \cdot \Delta p_x \, \simeq \, h </math>.
Sempre in condizioni ottimali, la caratterizzazione temporale di un'onda è fornita dalla II relazione di dispersione di Fourier:
:<math>
Dalla relazione di [[Max Planck|Planck]]/[[Albert Einstein|Einstein]] per l'energia
:<math>
si ottiene
:<math> \Delta \nu \,=\, \frac{\Delta E}{h}</math>
che, sostituita nella II relazione di dispersione di Fourier, fornisce la relazione d'indeterminazione ''energia/tempo'':
:<math> \Delta E \cdot \Delta t \, \simeq \, h </math>.
Bohr non condivise mai l'interpretazione di Heisenberg, secondo cui le relazioni d'indeterminazione sono dovute al disturbo inevitabilmente associato al processo quantistico di
misurazione. Sostenne invece che sono espressione del principio di complementarità,<ref name="Uffink2016 sez.3.2">{{cita web|url=https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/qt-uncertainty/|titolo=The Uncertainty Principle {{!}} The Stanford Encyclopedia of Philosophy |autore=J. Hilgevoord |coautore=J. Uffink |anno = 2016 |editore=Paragrafo 3.2: ''Bohr’s view on the uncertainty relations'', The Stanford Encyclopedia of Philosophy |accesso=16 giugno 2020}}</ref> da lui enunciato al [[Congresso internazionale dei fisici del 1927]] e pubblicato nel suo articolo<ref name="bohr1928"/> del 1928.
=== Relazione di Heisenberg ===
Nel secondo paragrafo del suo articolo del 1927 Heisenberg introdusse anche l'indeterminazione statistica,<ref name="Heisenberg 1927"/> partendo da un'onda gaussiana per la posizione, e facendone la trasformata di Fourier nello spazio delle quantità di moto. Ottenne, per questo caso particolare, la relazione<ref group="Nota">La notazione usata nel secondo paragrafo dell'articolo resta quella del microscopio, trattato nel primo paragrafo: <math>\Delta x</math> e <math>\Delta p_x</math>. Ma leggendo il testo, è evidente che Heisenberg fa riferimento alle deviazioni standard <math>\sigma_x</math> e <math>\sigma_p</math> del pacchetto gaussiano.</ref>
:<math>\sigma_x \cdot \sigma_p \, \simeq \, \hbar</math>
Si tratta di un risultato che vale solo nel caso gaussiano: «L'articolo di Heisenberg<ref name="Heisenberg 1927"/> [...] fornisce un'analisi incisiva della fisica del principio d'indeterminazione, ma contiene scarsa precisione matematica. Questa lacuna, tuttavia, fu presto colmata da Kennard<ref name="Kennard">{{cita pubblicazione|nome= E. H.|cognome= Kennard|titolo=Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen |titolotradotto=Sulla meccanica quantistica di tipi semplici di moto|rivista=Zeitschrift für Physik|volume=44|numero=4|anno=1927|pp=326-352|lingua= de| DOI=10.1007/BF01391200}}</ref> e Weyl<ref>{{cita libro|autore= E. Weyl |titolo = Gruppentheorie und Quantenmechanik |titolotradotto= Teoria dei gruppi e meccanica quantistica |editore= S. Hirzel|anno= Leipzig 1928|lingua=de}} Traduzione inglese rivista: {{cita libro|titolo=The Theory of Groups and Quantum Mechanics| anno= London 1931|editore= Methuen}} Ristampa: {{cita libro| anno= New York 1950|editore= Dover}}</ref> (che, nell'Appendice I, attribuisce il credito del risultato a Pauli).»<ref>{{Cita web|url=http://library.isical.ac.in:8080/jspui/bitstream/10263/4095/1/Binder1.pdf|titolo=The uncertainty principle: A mathematical survey|autore=Gerald B. Folland, Alladi Sitaram|data=1997|p=209}}</ref>
A causa di un errore interpretativo, Heisenberg assunse si trattasse della medesima indeterminazione analizzata nel caso del microscopio (vedi Sezione [[#L'esperimento mentale col microscopio|L'esperimento mentale col microscopio]]). La differenza tra i due casi fu compresa da [[Karl Popper]]<ref name= popper1934>K. Popper, ''Logik der Forschung'', Springer-Verlag, Berlin 1934. Traduzione italiana: ''Logica della scoperta scientifica - Il carattere autocorrettivo della scienza'', Einaudi, Torino 1970.</ref> solo verso la metà degli anni '30 del Novecento (vedi Sezione [[#Indeterminazione operazionale e intrinseca|Indeterminazione operazionale e intrinseca]]).
=== Disuguaglianza di Kennard ===
L'indeterminazione ''posizione/quantità di moto'', nella formulazione introdotta<ref name="Kennard"/> da [[Earle Hesse Kennard]] sempre nel 1927, assume la forma di una [[disuguaglianza]] del prodotto tra la [[deviazione standard]] <math>\sigma_x</math> della [[vettore posizione|posizione]] <math>x</math> e quella <math>\sigma_{p}</math> della [[quantità di moto]] <math>p</math> di una [[Particella (fisica)|particella]]:
:<math>\sigma_x \cdot \sigma_p \, \geq \, \frac{\hbar}{2}</math>.
La dimostrazione parte dalla definizione delle [[deviazione standard|deviazioni standard]] <math>\sigma_x</math> e <math>\sigma_p</math> ed utilizza la [[disuguaglianza di Cauchy-Schwarz]]. L'unica ipotesi fisica assunta nella dimostrazione è che le funzioni di partenza <math>\phi(x)</math> e <math>\varphi(p)</math> - una la [[trasformata di Fourier]] dell'altra - rappresentino rispettivamente la funzione d'onda della posizione e del momento di una particella quantistica.
==== Pacchetto d'onde gaussiano ====
Un esempio tipico è <nowiki>l'</nowiki>''evoluzione spontanea'' di un pacchetto d'onde gaussiano<ref>S. Boffi, ''Da Laplace a Heisenberg - Un'introduzione alla meccanica quantistica e alle sue applicazioni'', P.U.P., Pavia 2010<math>^3</math>, pp. 182-186.</ref> - associato ad una particella di massa <math>m</math> - centrato nell'origine (<math>x_o = 0</math>) e descritto dalla [[funzione gaussiana]]
:<math> \psi(x, t) \, = \, \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma_x(t)}} \,\, e^{-(1/4) \, [x/\sigma_x(t)]^2 \,+\, i k_o x} </math>
con <math>\sigma_x</math> deviazione standard della posizione e <math>k_o</math> numero d'onda angolare costante.<br/>
Anche la densità di probabilità ha le stesse caratteristiche funzionali del pacchetto d'onde:
:<math> \rho(x, t) \,=\, |\psi(x, t)|^2 \, = \, \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma_x(t)} \,\, e^{-(1/2) \, [x/\sigma_x(t)]^2}. </math>
L'ampiezza del pacchetto d'onde aumenta nel tempo. Quindi il ''pacchetto si disperde'' e risulterà definito spazialmente con minor precisione:
:<math> \sigma_x(t) \,=\, \frac{1}{2 \sigma_k} \,\, \sqrt{1 + \left( \frac{t}{t_d} \right)^2} </math>
con <math>\sigma_k</math> deviazione standard del numero d'onda angolare e <math>t_d</math> tempo caratteristico di diffusione che dipende da <math>\sigma_k</math> e dalla massa <math>m</math> della particella associata al pacchetto d'onde:
:<math>t_d \,=\, \frac{m}{2 \, \hbar \, \sigma_k^2}.</math>
Nell'istante iniziale (<math>t = 0</math>) il pacchetto d'onde ha la dispersione minima:
:<math>\sigma_x(0) \cdot \sigma_k\,=\, \frac{1}{2}</math>
che permette di riscrivere la relazione per <math>\sigma_x(t)</math> evidenziandone la dipendenza da <math>\sigma_x(0):</math>
:<math> \sigma_x(t) \,=\, \sigma_x(0) \,\, \sqrt{1 + \left( \frac{t}{t_d} \right)^2}. </math>
Asintoticamente (per <math>t \gg t_d</math> e quindi <math>(t/t_d)^2 \gg 1</math>) l'aumento della deviazione standard <math>\sigma_x(t)</math> risulta lineare col tempo <math>t:</math>
:<math>\sigma_x(t) \, \simeq \, \frac{\sigma_x(0)}{t_d} \,\, t \,=\, \frac{\hbar \, \sigma_k}{m} \,\, t. </math>
Tenuto conto che <math>p_x = \hbar \, k</math> e quindi <math>\sigma_p = \hbar \, \sigma_k</math>, la dispersione minima (<math>t = 0</math>) del pacchetto d'onde diventa ora
:<math>\sigma_x(0) \cdot \sigma_p \,=\, \frac{\hbar}{2}</math>
mentre per tutti i tempi successivi (<math>t > 0</math>) si ottiene una dispersione maggiore:
:<math>\sigma_x(t) \cdot \sigma_p \,>\, \frac{\hbar}{2}.</math>
La relazione valida per ogni valore non negativo di <math>t</math> coincide con la relazione d'indeterminazione di Kennard:
:<math>\sigma_x \cdot \sigma_p \, \geq \, \frac{\hbar}{2}</math>.
=== Disuguaglianza di Robertson ===
La relazione d'indeterminazione dimostrata da Kennard per l'indeterminazione ''posizione/quantità di moto'' venne estesa nel 1929 da [[Howard Percy Robertson]]<ref name="Robertson">{{Cita pubblicazione|cognome=Robertson|nome=H. P.|titolo=The Uncertainty Principle|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1929-07-01_34_1/page/n163|rivista=Phys. Rev.|anno=1929|volume=34|pp=163-164|doi = 10.1103/PhysRev.34.163 }}</ref> al caso di due generiche variabili incompatibili, facendo uso delle [[deviazione standard|deviazioni standard]] <math>\sigma_A</math> e <math>\sigma_B</math> di due osservabili incompatibili <math>A</math> e <math>B</math> associate a un sistema quantistico:<ref group="Nota">Si possono prendere due insiemi di particelle identiche. Sul primo si misura, per ogni particella, il valore di un'osservabile <math>A</math>, trovando il [[valor medio]] <math>\langle A \, \rangle</math> e la [[deviazione standard]] <math>\sigma_A</math> di quelle misure. Sul secondo insieme si misura, per ogni particella, il valore di un'osservabile incompatibile <math>B</math>, trovando il [[valor medio]] <math>\langle B \, \rangle</math> e la [[deviazione standard]] <math>\sigma_B</math> di quelle misure. Si trova che le due [[Deviazione standard|deviazioni standard]], misurate su insiemi diversi di particelle identiche, obbediscono alla disuguaglianza di Robertson. Chiaramente non c'è stata alcuna interazione tra i due insiemi di particelle; il fatto che tuttavia valga la disuguaglianza di Robertson indica che l'indeterminazione è intrinseca al formalismo della [[meccanica quantistica]] oppure è una proprietà degli enti quantistici [A. Peres, 1995, p. 93].</ref><ref>A. Peres, ''Quantum Theory: Concepts and Methods'', Kluwer, Dordrecht 1995, p. 93.</ref>
:<math>\sigma_A \cdot \sigma_B \geq \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \right|</math>
Il secondo termine contiene il valore d'aspettazione del commutatore <math>\left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right]</math> calcolato per una specifica funzione d'onda <math>\psi</math> del sistema quantistico:
:<math>\left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \equiv \left \langle \psi \left| \, \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \, \right| \psi \right\rangle</math>
Potrebbe quindi accadere che, anche con commutatore ''non nullo'' <math>\left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] = i \, \hat{C} \neq 0</math>, il valore d'aspettazione sia nullo. Infatti
:<math>\left \langle \psi \left| \, \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \, \right| \psi \right\rangle = i \, \left \langle \psi \left| \, \hat{C} \, \right| \psi \right \rangle</math>
dipende dal valore di <math>\hat{C} \, | \psi \rangle</math> che, a seconda della forma dell'operatore <math>\hat{C}</math> e della funzione d'onda <math>\psi</math>, potrebbe essere <math>\hat{C} \, | \psi \rangle = 0</math>.<ref group="Nota">È esattamente quanto succede nelle tre eccezioni di Condon. Lo stato del sistema atomico <math>| \psi_{100} \rangle</math> coincide con un autostato di <math>L_z</math> con autovalore 0. In quello stato, la relazione d'indeterminazione <math>\sigma_{L_x} \cdot \sigma_{L_y} = (\hbar/2) \, | \langle \psi_{100} | L_z | \psi_{100} \rangle |</math> diventa <math>\sigma_{L_x} \cdot \sigma_{L_y} = 0</math>, valore tuttavia compatibile con la disuguaglianza di Robertson.</ref>
==== Dimostrazione ====
Presi gli operatori <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> (associati alle [[grandezza fisica|grandezze osservabili]] A e B) si possono definire gli scarti dalla media come
:<math>\hat{A}_0 = \hat{A} - \left \langle \hat{A} \right \rangle</math>
:<math>\hat{B}_0 = \hat{B} - \left \langle \hat{B} \right \rangle</math>.
Di conseguenza le [[varianza|varianze]] hanno la forma
:<math>\sigma^2(A) = \left \langle \hat{A}_0^2 \right \rangle</math>
:<math>\sigma^2(B) = \left \langle \hat{B}_0^2 \right \rangle</math>.
Il prodotto delle [[varianza|varianze]] può essere riscritto come:
:<math>\sigma^2(A) \cdot \sigma^2(B) = \left \langle \hat{A}_0^2 \right \rangle \left \langle \hat{B}_0^2 \right \rangle \geq \left| \left \langle \hat{A}_0 \hat{B}_0 \right \rangle \right|^2</math>
ovvero la [[disuguaglianza di Cauchy-Schwarz]]. Per procedere riscriviamo <math>\hat{A}_0 \hat{B}_0</math> in funzione del [[Commutatore (matematica)|commutatore]] e dell'[[anticommutatore]]
:<math>\hat{A}_0 \hat{B}_0 = \frac{1}{2} \left [\hat{A}_0, \hat{B}_0 \right ] + \frac{1}{2} \left \{ \hat{A}_0, \hat{B}_0 \right \}</math>
e notiamo che <math>\left [\hat{A}_0, \hat{B}_0 \right ] = \left [\hat{A}, \hat{B} \, \right ]</math> dato che le [[Traslazione (geometria)|traslazioni]] non influenzano i commutatori.
Supponendo di poter scrivere
:<math>\left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] = i \hat{C}</math> (questo è vero, ad esempio, per tutte le coppie di grandezze coniugate, per le quali <math>\hat{C} = \hbar</math>), otteniamo :<math>\sigma^2(A) \cdot \sigma^2(B) = \left( \, \sigma_A \cdot \sigma_B \, \right)^2 \geq \left| \left \langle \frac{i}{2} \hat{C} + \frac{1}{2} \left \{ \hat{A}_0, \hat{B}_0 \right \} \right \rangle \right|^2 \geq \frac{1}{4} \, {\left| \left \langle \hat{C} \right \rangle \right|^2}</math>
ovvero
:<math>\sigma_A \cdot \sigma_B \geq \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \right|</math>
che è la relazione d'indeterminazione statistica nella sua forma più generale.<br />Nel caso particolare dell'indeterminazione fra [[posizione]] e [[quantità di moto]], dato che <math>\left [ \hat{x}, \hat{p}_x \right ] = i \hbar,</math> si riottiene la [[disuguaglianza di Kennard]] <math>\sigma_x \cdot \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}</math>.
=== Disuguaglianza di Schrödinger ===
L'incertezza della misura dovuta all'indeterminazione quantistica è radicalmente diversa dalla [[Correlazione (statistica)|correlazione statistica]]. La disuguaglianza di Robertson implica infatti tra le grandezze osservabili <math>A</math> e <math>B</math> una [[covarianza (probabilità)|covarianza]] <math>\sigma_{AB}</math> e una correlazione <math>\rho_{AB}</math> nulle.
La covarianza statistica tra <math>A</math> e <math>B</math> - esprimibile come la differenza tra il [[valore atteso]] del loro prodotto <math>\mathbb{E}[AB]</math> e il prodotto dei loro valori attesi <math>\mathbb{E}[A] \mathbb{E}[B]</math> - viene in molti casi rappresentata mediante l'[[
:<math> \mathrm{Cov}(A, B) \equiv \sigma_{AB} = \mathbb{E}[AB] - \mathbb{E}[A] \cdot \mathbb{E}[B] = \rho_{AB} \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B </math>.
Riga 142 ⟶ 224:
# Se <math>\ \rho_{AB} < 0</math>, le variabili <math>A</math> e <math>B</math> si dicono ''inversamente correlate'', oppure ''correlate negativamente''.
Stati quantici con correlazione non nulla sono ad esempio gli ''stati coerenti'' e quelli ''strizzati'' (''squeezed'').
Se si ha una correlazione quantistica <math>\left( \left \langle \widehat F \right \rangle \neq 0 \right)</math> tra gli operatori <math>A</math> e <math>B</math>:
:<math>\left \langle \, \widehat F \, \right \rangle \,=\, \left \langle \, \widehat A \widehat B \,+\, \widehat B \widehat A \, \right \rangle - \, 2 \left \langle \, \widehat A \, \right \rangle \left \langle \, \widehat B \, \right \rangle \,=\, \left \langle \left\{ \widehat{A}, \widehat{B} \, \right\} \right \rangle - \, 2 \left \langle \, \widehat A \, \right \rangle \left \langle \, \widehat B \, \right \rangle \, \neq \, 0 </math>
Riga 149 ⟶ 231:
dove <math>\left\{ \widehat{A}, \widehat{B} \, \right\} \equiv \widehat{A}\widehat{B} \, + \, \widehat{B}\widehat{A} </math>
denota l'anti-commutatore tra due operatori, si ottiene una disuguaglianza, introdotta da [[Erwin Schrödinger]]<ref name="Schroedinger">{{cita pubblicazione|nome= E.|cognome= Schrödinger|titolo= Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip
:<math>\sigma_A \cdot \sigma_B \; \geqslant \; {1 \over 2} \; \sqrt{\; \left| \left \langle [\widehat{A}, \widehat{B}\,] \right \rangle \right|^2 \,+\, \left| \, \left \langle \widehat{F} \right \rangle \, \right|^2 } </math>
Riga 159 ⟶ 241:
:<math>\sigma_A \cdot \sigma_B \; \geqslant \; {1 \over 2} \; \left| \left \langle \widehat{F} \right \rangle \right| </math>
sono indipendenti, e contribuiscono in quadratura al prodotto delle due deviazioni standard <math>\sigma_A \cdot \sigma_B </math>.
=== Indeterminazione debole e forte ===
{{Citazione|Una funzione non nulla e la sua trasformata di Fourier non possono essere entrambe nettamente localizzate. Tradotto nel linguaggio della meccanica quantistica ciò significa che i valori di una coppia di osservabili canonicamente coniugate, quali posizione e momento, non possono essere entrambi determinati precisamente in alcuno stato quantico.|Gerald B. Folland, Alladi Sitaram,<ref>{{Cita web|url=https://library.isical.ac.in:8080/jspui/bitstream/10263/4095/1/Binder1.pdf|titolo=The uncertainty principle: A mathematical survey|autore=Gerald B. Folland, Alladi Sitaram|data=1997|p=207}}</ref> 1997}}
[[File:Principio di indeterminazione forte.jpg|alt=|miniatura|Principio d'indeterminazione forte: la curva viola e quella blu hanno la stessa varianza. La curva viola è data dalla somma di due curve che, singolarmente, presentano una varianza molto più piccola di quella della curva complessiva. Nella curva viola, grazie al fatto che le due curve che la compongono sono concentrate su due punti distanti tra loro, si ha una varianza complessiva molto maggiore della somma delle varianze delle curve componenti.]]
Il principio di indeterminazione è anche espressione di proprietà matematiche della [[trasformata di Fourier]] di una funzione:<ref group="Nota">Gli operatori autoaggiunti che rappresentano gli osservabili sono in questo caso operatori di moltiplicazione per una funzione.</ref> il prodotto della [[varianza]] di una funzione e la [[varianza]] della sua [[trasformata di Fourier]] è limitato dal basso. Infatti per ogni <math>f</math> nello [[spazio di Sobolev]] <math>\mathcal S(\R)</math> e per ogni <math>a, \, b \in \R</math> si ha
:<math>\sigma^2(f)\cdot\sigma^2({\tilde f})=\int (x-a)^2 \vert f(x)\vert^2dx\int (\omega-b)^2\vert \tilde f(\omega) \vert^2 d\omega\geq \frac{\Vert f \Vert^4_{L^2}}{16 \pi^2},</math>
dove <math>\tilde f</math>indica la trasformata di Fourier di <math>f</math> e <math>\sigma^2(f)</math>, <math>\sigma^2(\tilde f)</math> sono le varianze rispettivamente di <math>f</math> e <math>\tilde f</math>. Grazie alla densità di <math>\mathcal S(\R)</math> in <math>L^2(\R)</math> ([[Spazio Lp]]) tale proprietà si trasferisce immediatamente agli spazi <math>L^2(\R)</math>.<ref>{{Cita web|url=https://library.isical.ac.in:8080/jspui/bitstream/10263/4095/1/Binder1.pdf|titolo=The uncertainty principle: A mathematical survey|autore=Gerald B. Folland, Alladi Sitaram|data=1997|pp=209-210}}</ref> Tenendo presente che le funzioni d'onda nello spazio delle posizioni e dei momenti sono una la trasformata di Fourier dell'altra, si ha il principio di indeterminazione.
Affrontando la questione con il linguaggio della trasformata di Fourier è possibile dimostrare anche che se una funzione ha [[Funzione a supporto compatto|supporto compatto]] allora la sua trasformata di Fourier non ha supporto compatto e viceversa<ref>{{Cita web|url=https://core.ac.uk/download/pdf/82738388.pdf|titolo=On Fourier Transforms of Functions Supported on Sets of Finite Lebesgue Measure|autore=Michael Benedicks|data=1985|p=180}}</ref> (indeterminazione debole). Questo risultato implica non solo che non è possibile stabilire contemporaneamente il valore di alcune coppie di grandezze, ma addirittura non è possibile individuare due intervalli di valori in cui entrambe ricadano: se si localizza una, si delocalizza l'altra.
Dal principio di indeterminazione segue che se <math>f</math> è molto localizzata allora <math>\tilde f</math> non può essere concentrata attorno ad un punto, ci si potrebbe chiedere allora se <math>\tilde f</math> possa essere concentrata attorno a due o più punti distanti tra loro in modo che la varianza di <math>\tilde f</math> rimanga tale da soddisfare il principio di indeterminazione (vedi figura). In questo modo si saprebbe che le variabili in questione assumono valori attorno ad alcuni punti noti. Sfortunatamente anche questo viola una proprietà della trasformata di Fourier. Infatti si dimostra che, se <math>f \in L^2(\R^n)</math>, detta <math>\alpha \in \Bigl(0,\frac{n}{2}\Bigr)</math>, <math>E \subset \R^n</math>un insieme [[Misura di Lebesgue|misurabile secondo Lebesgue]] ed indicando con <math>\vert E \vert</math> la sua misura allora esiste <math>C_\alpha \in \R</math> costante positiva<ref>{{Cita web|url=https://library.isical.ac.in:8080/jspui/bitstream/10263/4095/1/Binder1.pdf|titolo=The uncertainty principle: A mathematical survey|autore=Gerald B. Folland, Alladi Sitaram|data=1997|p=217}}</ref> tale che:
:<math>\int_{E} \vert \tilde f(\omega)\vert^2 d\omega \leq C_\alpha \vert E \vert^{\frac{2\alpha}{n}} \Vert \vert x \vert^\alpha f \Vert^2_{L^2}.</math>
Una disuguaglianza simile si ha per <math>\alpha \geq \frac{n}{2}</math>. Questo risultato può essere letto come una versione forte (o locale) del principio di indeterminazione.
== Indeterminazione operazionale e intrinseca ==
La condizione di validità della disuguaglianza di Robertson:
:<math>\left \langle \psi \left| \, \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \, \right| \psi \right\rangle \neq 0</math>
non coincide quindi con quella per la validità della disuguaglianza di Heisenberg:
:<math>\left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \neq 0</math>.
Ciò dipende dal fatto che le due disuguaglianze, in apparenza molto simili, sono in effetti profondamente differenti. Mentre Heisenberg si applica nel caso di ''misure successive'' (con incertezze <math>\Delta A</math> e <math>\Delta B</math>) ''delle osservabili'' <math>A</math> e <math>B</math> sullo stesso sistema (''indeterminazione operazionale''), la disuguaglianza di Robertson fa riferimento alla ''distribuzione dei valori'' (con deviazioni standard <math>\sigma_A</math> e <math>\sigma_B</math>) delle osservabili <math>A</math> e <math>B</math> in un [[insieme statistico]] di sistemi quantistici identici (''indeterminazione intrinseca'').
Entrambi i tipi d'indeterminazione furono introdotti da Heisenberg<ref name="Heisenberg 1927"/> nel suo articolo del 1927 (rispettivamente, nel primo e nel secondo paragrafo) ma, a causa di un errore interpretativo, Heisenberg assunse si trattasse della medesima indeterminazione. La differenza tra i due casi:<ref>M. Jammer, ''The philosophy of quantum mechanics'', Wiley, New York 1974, p.80.</ref> <br/>
<math>I_1)</math> interazione/disturbo, che si riferisce all'impossibilità sperimentale (''operazionale'') di specificare con precisione arbitraria i valori di due variabili incompatibili (come <math>x</math> e <math>p_x</math>) effettuando misure successive su un singolo sistema fisico; <br/>
<math>I_2)</math> statistico o di dispersione, per cui il prodotto delle deviazioni standard di due osservabili incompatibili ha un limite inferiore (''intrinseco'') dato da <math>\hbar/2</math>, <br/>
fu compresa da [[Karl Popper]]<ref name=popper1934/> solo nel 1934.
Mentre <math>I_1</math> si riferisce a misure successive di variabili incompatibili effettuate sullo stesso sistema fisico, <math>I_2</math> - che trova la sua espressione matematica compiuta nelle disuguaglianze introdotte da Kennard<ref name="Kennard"/> nel 1927, da Robertson<ref name="Robertson"/> nel 1929 e da Schrödinger<ref name="Schroedinger"/> nel 1930 - si riferisce invece alla dispersione dei risultati di misure di due osservabili incompatibili, effettuate su campioni diversi di sistemi quantistici tutti preparati in modo identico.
Si tratta quindi, come ebbe a dire [[Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie|de Broglie]]<ref>{{cita pubblicazione|nome= L.|cognome= de Broglie|titolo= Sur l'interpretation des relations d'incertitude |titolotradotto=Sull'interpretazione delle relazioni d'incertezza |rivista= Comptes rendus de l'Academie des Sciences |volume=268 |anno=1969 |pp=227-280 |lingua= fr}}</ref> nel 1969, di relazioni d'incertezza pre-misura <math>(I_2)</math> e post-misura <math>(I_1)</math>.
== Relazioni d'indeterminazione universali ==
Le disuguaglianze di Kennard, di Robertson e di Schrödinger riguardano <nowiki>l'</nowiki>''indeterminazione intrinseca'' di osservabili quantistiche, quantificata dalla [[deviazione standard]] <math>\sigma</math>. La disuguaglianza di Heisenberg concerne invece <nowiki>l'</nowiki>''indeterminazione operazionale'', conseguenza dell'atto di misurazione su un ''sistema quantistico'' mediante una ''sonda'' (un altro sistema microscopico) che, interagendo col sistema in esame, inevitabilmente lo disturba.
Si definiscono relazioni d'indeterminazione ''universali'' quelle che danno conto contemporaneamente sia dell'indeterminazione operazionale di Heisenberg:
:<math> \
sia di quella intrinseca di Robertson:
:<math> \sigma_{A} \cdot \sigma_{B} \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \right|</math>.
=== Disuguaglianza di Ozawa ===
Nel 2003 Masanao Ozawa<ref name="Ozawa2003">{{cita pubblicazione|nome = M. |cognome=Ozawa|titolo=Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement|rivista=Physical Review A|volume=67|anno=2003|doi=10.1103/PhysRevA.67.042105|arxiv = quant-ph/0207121 |bibcode = 2003PhRvA..67d2105O|numero=4 |pagina=42105}}</ref> ha proposto una disuguaglianza universale, che include sia l'indeterminazione intrinseca
:<math> \epsilon_A \cdot \eta_B + \epsilon_A \cdot \sigma_B + \sigma_A \cdot \eta_B \,\ge\, \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \right|</math>
Col tempo, si sono accumulate crescenti evidenze sperimentali<ref name="Erhart">{{cita pubblicazione|autore= J. Erhart, S. Sponar, G. Sulyok, G. Badurek, M. Ozawa, Y. Hasegawa |titolo = Experimental demonstration of a universally valid error-disturbance uncertainty relation in spin measurements |rivista = Nature Physics |volume= 8 |anno=2012 |pagina=185-189| numero=3| doi=10.1038/nphys2194 | arxiv = 1201.1833 | bibcode = 2012NatPh...8..185E}}</ref><ref name="Rozema">{{cita pubblicazione|autore= L. A. Rozema, A. Darabi, D. H. Mahler, A. Hayat, Y. Soudagar, A. M. Steinberg |titolo = Violation of Heisenberg's Measurement-Disturbance Relationship by Weak Measurements |rivista = Physical Review Letters |volume= 109 |anno=2012|doi = 10.1103/PhysRevLett.109.100404 |arxiv = 1208.0034v2|bibcode = 2012PhRvL.109j0404R }}</ref><ref name="Baek">{{cita pubblicazione|autore= S.-Y. Baek, F. Kaneda, M. Ozawa, K. Edamatsu |titolo = Experimental violation and reformulation of the Heisenberg's error-disturbance uncertainty relation |rivista = Scientific Reports |volume= 3 |anno=2013|pagina=2221| doi= 10.1038/srep02221 | url = https://www.nature.com/articles/srep02221 |bibcode = 2013NatSR...3E2221B }}</ref><ref name="Ringbauer">{{cita pubblicazione|autore= M. Ringbauer, D. N. Biggerstaff, M. A. Broome, A. Fedrizzi, C. Branciard, A. G. White |titolo = Experimental Joint Quantum Measurements with Minimum Uncertainty |rivista = Physical Review Letters |volume= 112 |anno=2014|pagina=020401|arxiv = 1308.5688 |bibcode = 2014PhRvL.112b0401R }}</ref> del fatto che l'indeterminazione quantica complessiva di un sistema non può essere spiegata solo dal termine operazionale di Heisenberg, ma richiede la compresenza di tutti e tre gli addendi della disuguaglianza di Ozawa.
La pubblicazione dell'articolo<ref name="BLW 2013"/> di P. Busch, P. Lahti e R. F. Werner (BLW) "''Proof of Heisenberg's Error-Disturbance Relation''" nel 2013 ha provocato una risposta<ref>{{cita web|url=https://arxiv.org/pdf/1308.3540v1.pdf |titolo= M. Ozawa, ''Disproving Heisenberg’s error-disturbance relation'', arXiv:1308.3540 [quant-ph], 2013|accesso=19 aprile 2020}}</ref> - polemica fin dal titolo "''Disproving Heisenberg’s error-disturbance relation''" - da parte di M. Ozawa. La sua tesi è che non esista una relazione d'indeterminazione errore/disturbo sempre valida, e che solo il suo completamento con i termini statistici <math>(\sigma_A \cdot \eta_B)</math> e <math>(\epsilon_A \cdot \sigma_B)</math> fornisca una relazione d'indeterminazione universale. Ozawa sostiene d'aver trovato un errore nella dimostrazione di BLW e di poter fornire contro-esempi di sistemi che violano sistematicamente la sola disuguaglianza di Heisenberg comunque formulata, quindi anche quella proposta da BLW.
A loro volta, BLW hanno replicato con un pre-print<ref>{{cita web |url=https://arxiv.org/pdf/1402.3102v1.pdf |titolo= P. Busch, P. Lahti, R. F. Werner, ''Measurement Uncertainty: Reply to Critics'', arXiv:1402.3102 [quant-ph], 2014|accesso=19 aprile 2020}}</ref> alle argomentazioni di Ozawa. I tre autori sostengono che le quantità definite da Ozawa mediante degli ''operatori di rumore'' (''"noise operators"'', in breve ''"no"'') come errore <math>\epsilon_{no}</math> per la posizione ''q'' e disturbo <math>\eta_{no}</math> per il momento coniugato ''p'' non sono tali. Quindi la disuguaglianza definita da Ozawa
:<math> \epsilon_{no} \cdot \eta_ {no} \,\geqslant\, {\hbar \over 2} </math>
risulta in generale falsa. Di conseguenza, il fatto che dei risultati sperimentali<ref name="Erhart"/><ref name="Rozema"/><ref name="Baek"/><ref name="Ringbauer"/> violino tale disuguaglianza è inevitabile ed insignificante. BLW hanno infine suggerito, in un altro lavoro<ref name="BLW 2014"/> del 2014, una rianalisi dei dati di due esperimenti<ref name="Erhart"/><ref name="Rozema"/> per mostrare come la loro definizione generalizzata ad un generico qubit della relazione errore/disturbo interpreti correttamente i dati sperimentali.
È stato osservato che le definizioni di errore e disturbo di Ozawa e BLW sono profondamente diverse.<ref name="Uffink2016 sez.6.1"/> Quindi il fatto che in alcuni casi la disuguaglianza alla Heisenberg proposta da Ozawa sia violata mentre quella - differente - di BLW sia universalmente valida non crea alcuna contraddizione.<ref name="Uffink2016 sez.6.1"/> Resta da capire quale delle due relazioni esprima meglio il significato fisico dell'indeterminazione errore/disturbo di Heisenberg.
=== Disuguaglianza di Fujikawa ===
Nel 2012 Kazou Fujikawa<ref name="Fujikawa2012">{{Cita pubblicazione|nome = K. |cognome= Fujikawa|titolo = Universally valid Heisenberg uncertainty relation|url = https://archive.org/details/arxiv-1205.1360 |rivista = Physical Review A|volume=85|anno=2012|doi=10.1103/PhysRevA.85.062117|arxiv = 1205.1360 |bibcode = 2012PhRvA..85f2117F|numero=6 }}</ref> ha suggerito un'altra relazione d'indeterminazione universale che, come quella di Ozawa, combina sia l'indeterminazione intrinseca sia quella operazionale, ma è espressa in una forma assai simile a quella originale di Heisenberg. Sommando la disuguaglianza di Robertson con quella di Ozawa, Fujikawa ha ottenuto:
: <math>\epsilon_A \cdot \eta_B \,+\, \epsilon_A \cdot \sigma_B \,+\, \sigma_A \cdot \eta_B \,+\, \sigma_{A} \cdot \sigma_{B} \, \geq \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \right|</math>.
I quattro addendi possono essere riscritti come
: <math>(\epsilon_A + \sigma_A) \cdot (\eta_B + \sigma_B) \, \geq \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \right|</math>.
Definendo:
: <math>\bar \epsilon_A \, \equiv \, (\epsilon_A + \sigma_A)</math>
Riga 196 ⟶ 308:
: <math>\bar \eta_B \, \equiv \, (\eta_B + \sigma_B)</math>
come la ''fluttuazione risultante'' nella misura dell'osservabile incompatibile <math>B</math>, Fujikawa ha ottenuto una relazione formalmente simile a quella di Heisenberg, valida sia per l'indeterminazione operazionale, sia per quella intrinseca:
:<math> \bar \epsilon_A \cdot \bar \eta_B \, \ge \, \left| \left \langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \, \right] \right \rangle \right|</math>.
==
L'indeterminazione ''energia/tempo'' è strutturalmente differente dalle altre. Questa caratteristica non fu immediatamente compresa: nell'articolo<ref name="Heisenberg 1927"/> del 1927, Heisenberg introdusse tre relazioni d'indeterminazione (posizione <math>x</math> / quantità di moto <math>p_x</math> - tempo <math>t</math> / energia <math>E</math> - angolo <math>\theta</math> / azione <math>A</math>) ritenendole sostanzialmente equivalenti, perché tutte basate sul commutatore canonico
:<math>\left[\hat x, \, \hat p_x \right] = \left[\hat t, \, \hat H \right] = \left[\hat \theta, \, \hat A \, \right] = i \, \hbar</math>
dove <math>\hat H</math> è l'[[operatore hamiltoniano]], associato all'energia totale del sistema quantistico.
Ma, mentre <math>x</math> e <math>p_x</math> sono variabili continue, in meccanica quantistica l'azione risulta spesso discreta, in quanto soggetta alla condizione di quantizzazione di [[Formula di Wilson-Sommerfeld|Wilson-Sommerfeld]] <math>A = n \, h</math>. L'indeterminazione ''azione/angolo'' non è quindi equivalente a quella ''posizione/
:<math>\cancel{ \left[\hat t, \, \hat H \right] = i \, \hbar } </math>
e non è quindi possibile esprimere l'indeterminazione temporale intrinseca mediante la disuguaglianza di Robertson
:<math>\cancel{ \sigma_E \cdot \sigma_t \geq \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{t}, \hat{H} \right] \right \rangle \right| } </math>.
Nel 1933 [[Wolfgang Pauli|W. Pauli]] ha dimostrato<ref>{{cita libro|autore=W. Pauli
Anche l'indeterminazione energia/tempo si manifesta in due forme diverse: come indeterminazione operazionale (in caso di misura del sistema) o intrinseca
Riga 218 ⟶ 327:
Secondo l'interpretazione più comune (ma non sempre corretta) dell'indeterminazione energia/tempo operazionale, nella disuguaglianza
:<math> \Delta E \cdot \Delta t \, \geq \, \frac{\hbar}{2} </math>
<math>\Delta t</math> rappresenta il minimo intervallo temporale necessario per effettuare la misura dell'energia <math>E</math> del sistema con precisione <math>\Delta E</math>. Ciò è vero se ''non'' si conosce la forma analitica dell'operatore hamiltoniano <math>\hat H</math> del sistema. Se invece l'hamiltoniano è noto, l'energia <math>E</math>
{{Citazione|Aharonov e Bohm<ref>{{cita pubblicazione|autore= Y. Aharonov, D. Bohm|titolo=Time in the quantum theory and the uncertainty relation for time and energy|rivista=Physical Review|numero=122|anno=1961| pp=1649-1658}}</ref> hanno mostrato che il tempo nella relazione d'indeterminazione è l'intervallo temporale in cui il sistema resta imperturbato, non il tempo durante il quale l'apparato sperimentale è acceso. La meccanica quantistica odierna stabilisce che tutte le osservabili possano essere misurate con accuratezza arbitrariamente buona in un tempo (esterno) arbitrariamente breve, e l'energia non costituisce eccezione.<ref>P. Busch, ''The Time-Energy Uncertainty Relation'' in G. Muga, R. Sala Mayato, Í. Egusquiza (eds.), ''Time in Quantum Mechanics'' - Vol. 1, Springer-Verlag, Heidelberg 2008<math>^2</math>, pp. 73-105.</ref> |Debashis Sen,<ref name="
Se invece si considera <math> \Delta t </math> come la durata di una perturbazione energetica esterna, <math> \Delta E </math> risulta essere la differenza tra due valori esatti <math>\left( E_2 - E_1 \right)</math> dell'energia del sistema, misurati nell'intervallo <math> \Delta t = t_2 - t_1 </math>.
Quanto appena enunciato risulta valido solo in una teoria perturbativa al prim'ordine.<ref>[[Lev Davidovič Landau|L. D. Landau]], [[Evgenij Michajlovič Lifšic|E. M. Lifshitz
=== Indeterminazione temporale intrinseca ===
Riga 236 ⟶ 345:
:<math>\cancel{ \sigma_E \cdot \sigma_t \geq \frac{1}{2} \, \left| \left \langle \left[ \hat{t}, \hat{H} \right] \right \rangle \right| } </math>.
Tuttavia l'[[analisi di Fourier]],
:<math>E = h \, \nu </math>,
permettono di formulare l'indeterminazione energia/tempo intrinseca:
Riga 244 ⟶ 353:
:<math> \sigma_E \cdot \delta t \,\geq\, \frac{\hbar}{2}</math>.
* Leonid Mandelstam e Igor Tamm hanno trovato<ref>{{cita pubblicazione|autore=L. Mandelstam, I. Tamm |titolo=The uncertainty relation between energy and time in non-relativistic quantum mechanics|rivista=Journal of Physics (USSR)|numero=9|anno=1945| pp=249-254}}</ref>
Sia <math>Q(x, p, t)</math> un'osservabile arbitraria. Il calcolo della derivata temporale del valore d'aspettazione <math>\langle Q \rangle</math> porta a concludere che, se vale la disuguaglianza precedente, allora
:<math> \sigma_Q \,=\, \left| \frac{d\langle Q \rangle}{dt} \right| \; \delta t </math>
dove <math>\delta t</math> è l'intervallo di tempo necessario perché il valore d'aspettazione di <math>Q</math> possa variare di una deviazione standard <math>\sigma_Q</math>. Chiaramente la durata di <math>\delta t</math> dipende criticamente dalla scelta dell'osservabile <math>Q</math> che si considera: il cambiamento potrebbe essere rapido per una e lento per un'altra. Ma se <math>\sigma_E</math> è piccolo, allora ''tutte'' le osservabili devono cambiare in modo molto graduale, viceversa se ''una qualunque'' delle osservabili cambia rapidamente, deve essere grande l'indeterminazione <math>\sigma_E</math> dell'energia.<ref>D. J. Griffiths, ''Introduzione alla meccanica quantistica'', C.E.A., Milano 2005, p. 122.</ref>
* Lev Vaidman ha proposto<ref>{{cita pubblicazione|autore=L. Vaidman |titolo=Minimum time for the evolution to an orthogonal quantum state|rivista=American Journal of Physics|numero=60|anno=1992| pp=182-183}}</ref>
:<math>\delta t = \frac{\Delta t}{\pi}</math>
dove <math>\Delta t</math> è il minimo intervallo di tempo necessario perché un sistema con deviazione standard <math>\sigma_E</math> in energia possa evolvere dallo stato iniziale <math>| \, \psi_i \, \rangle</math> ad uno stato <math>| \, \psi_{\perp} \rangle</math> ortogonale al primo:
Riga 256 ⟶ 365:
== Verifiche sperimentali ==
[[File:Gauss and Lorentz lineshapes.png|thumb|right|upright=1.8|Confronto tra la distribuzione [[Distribuzione di Cauchy|lorentziana]] (blu) e quella [[distribuzione gaussiana|gaussiana]] (rosso). In entrambi i casi il massimo è 1.0 e la [[larghezza a metà altezza]] vale <math>\Gamma</math> = w = 2.<ref group="Nota">In [[statistica]] le distribuzioni sono invece normalizzate in modo da avere area unitaria.</ref>]]
[[File:Activity decay.svg|thumb|right|upright=1.8|[[Decadimento esponenziale]] in funzione del tempo. L'asse verticale mostra la percentuale di particelle iniziali (con energia <math>E_2</math>) ancora presenti dopo un tempo <math>t</math>. Dopo un tempo di dimezzamento <math>T_{1/2} = \tau \cdot ln \, 2</math> si ha la sopravvivenza di metà della popolazione iniziale:<br />
Per <math>t = \;\; T_{1/2} \;\;\;\; N = e^{-ln \, 2} = \; 50.0 \; \%. </math><br />
Per <math>t = \;\;\, \tau \;\;\;\;\;\;\;\; N = e^{-1} \;\;\; = \; 36.8 \; \%. </math><br />
Per <math>t = 2 \, \tau \;\;\;\;\;\;\;\; N = e^{-2} \;\;\; = \; 13.5 \; \%. </math><br />
Per <math>t = 3 \, \tau \;\;\;\;\;\;\;\; N = e^{-3} \;\;\; = \;\;\; 5.0 \; \%. </math><br />
Per <math>t = 4 \, \tau \;\;\;\;\;\;\;\; N = e^{-4} \;\;\; = \;\;\; 1.8 \; \%. </math><br />
Per <math>t = 5 \, \tau \;\;\;\;\;\;\;\; N = e^{-5} \;\;\; = \;\;\; 0.7 \; \%. </math> ]]
La disuguaglianza di Kennard, relativa alla preparazione di un sistema quantistico, è stata oggetto di verifica sperimentale a partire dalla fine degli anni '60 del secolo scorso mediante esperimenti di [[diffrazione]] o [[interferenza (fisica)|interferenza]].<ref name="Sen p.212-213">{{cita web|url = http://www.currentscience.ac.in/Volumes/107/02/0203.pdf | autore= D. Sen|titolo=The uncertainty relations in quantum mechanics|rivista = Current Science | volume = 107| numero = 2| anno = 2014| pagina = 212–213}}</ref> L'ampiezza della singola fenditura (diffrazione) o la distanza tra le due fenditure (interferenza) sono state assunte come misure dell'incertezza posizionale <math>\sigma_x</math>. L'indeterminazione sul momento lineare <math>\sigma_{p_x}</math> veniva stimata a partire dalla distribuzione delle particelle rivelate sullo schermo di fondo, derivando dalla distribuzione osservata la deviazione standard <math>\sigma_{p_x}</math>.
Le prime verifiche della relazione d'indeterminazione operazionale (errore/disturbo) risalgono al 2012.<ref name="Sen p.212-213"/> Tali esperimenti si basano sulla derivazione indiretta del disturbo indotto su componenti dello ''spin'' di neutroni<ref name="Rozema"/> oppure su misure deboli (''weak'') d'ottica quantistica<ref name="Erhart"/><ref name="Baek"/><ref name="Ringbauer"/> per riuscire a caratterizzare direttamente il disturbo provocato su un sistema dall'interazione con un apparato di misura. Tutti questi esperimenti hanno apparentemente confermato che la sola disuguaglianza di Heisenberg ''non'' è sufficiente a giustificare i risultati, e bisogna ricorrere a quella di Ozawa per ottenere un accordo tra previsione teorica e dati sperimentali. Tuttavia Busch, Lahti e Werner (BLW) hanno contestato la validità della relazione universale di Ozawa, e quindi anche la signifivatività degli esperimenti che la confermerebbero (vedi [[#Disuguaglianza di Ozawa|''Disuguaglianza di Ozawa'']]).
Un sistema che ''non'' sia in un autostato dell'energia può decadere da un livello eccitato <math>E_2</math> ad un [[livello energetico]] più basso <math>E_1</math>. Detta <math>\tau</math> la sua [[vita media]], esso ha frequenza di transizione <math>E_2 \to E_1</math> (con <math>E_2 > E_1</math>) per ''decadimento spontaneo'' pari a <math>\lambda \,=\, 1/ \tau</math> e quindi <math>\lambda \cdot dt</math> è la probabilità che, nell'intervallo temporale <math>dt</math>, cambi l'energia del sistema.
La probabilità che, dopo un tempo <math>t</math>, il sistema sia ancora caratterizzato dal valore <math>E_2</math> dell'energia è data da
:<math> {\cal P}(t) \,=\,
dove <math>\Gamma</math> è
Per sistemi instabili la verifica dell'indeterminazione energia/tempo intrinseca si traduce quindi in quella della relazione
:<math> \Gamma \cdot \tau \,=\, \hbar
Misurando l'energia per un insieme statistico di sistemi identici si ottiene sperimentalmente la [[Distribuzione di Cauchy|distribuzione lorentziana]], e da questa si ricava la relativa larghezza a metà altezza. D'altra parte, il [[decadimento esponenziale]] di un insieme statistico di sistemi identici può essere ricostruito contandone i decadimenti per un lungo periodo, ricavando la curva esponenziale e da questa la vita media <math>\tau</math> come tangente alla curva nell'origine. Disponendo dei valori sperimentali di <math>\Gamma</math> e <math>\tau</math> è immediato calcolare che il loro prodotto sia uguale a <math>\hbar</math>. Con questo metodo è stata verificata la relazione d'indeterminazione ''energia/tempo'' intrinseca per numerosi decadimenti [[atomo|atomici]], [[nucleo atomico|nucleari]], di [[mesone|mesoni]] e [[barione|barioni]].
== Dibattito Bohr-Einstein ==
Secondo la diffusa (ma non universalmente accettata) [[interpretazione di Copenaghen]] della meccanica quantistica, un [[sistema]] fisico microscopico ''non'' possiede proprietà oggettive (''anti-realismo'') prima che queste siano misurate mediante un apparato di misura.<ref name="contingenti" group="Nota">Quasi tutte le proprietà misurabili di un sistema risultano quindi essere ''contingenti'' o ''disposizionali''. Fanno eccezione le proprietà che appartengono sempre in modo definito ad una particella elementare: la [[massa (fisica)|massa]], la [[carica elettrica]] e il numero quantico di [[spin]], dette proprietà ''permanenti'' o ''categoriche''.</ref> La meccanica quantistica fornirebbe a priori solo un insieme di probabilità attribuibili al possibile esito di una misura ([[Ontologia|''probabilismo ontologico'']]<ref name = "ontologico" group="Nota">Con questo termine ci si riferisce a probabilità attribuibili intrinsecamente al fenomeno fisico, che sono per definizione ineliminabili.</ref>). Ad esempio, la [[distribuzione di probabilità]] ([[figura d'interferenza]]) prodotta da molti [[elettrone|elettroni]] che passano attraverso una [[Esperimento della doppia fenditura|doppia fenditura]] può essere calcolata usando la meccanica quantistica. Ma, secondo l'interpretazione di Copenaghen, il percorso esatto di un singolo elettrone tra le fenditure e lo schermo non può essere né predetto dalla meccanica quantistica,<ref group="Nota">Invece l'[[interpretazione di Bohm]] della meccanica quantistica prevede delle famiglie di possibili traiettorie, percorse dagli elettroni tra la doppia fenditura e lo schermo. L'insieme di tali traiettorie riproduce sullo schermo la figura d'interferenza [P. R. Holland, 1993, pp.173-190].</ref><ref>P. R. Holland, ''The quantum theory of motion'', Cambridge University Press, Cambridge 1993, pp.173-190.</ref> né determinato sperimentalmente.<ref group="Nota">Un esperimento del 2011 [S. Kocsis et al., 2011] sembra contraddire anche questa previsione dell'interpretazione di Copenaghen.</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= S. Kocsis, B. Braverman, S. Ravets, M. J. Stevens, R. P. Mirin, L. Krister Shalm, A. M. Steinberg|titolo = Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer |rivista = Science |volume= 332 |numero= 6034| anno=2011|pp=1170-1173}}</ref> [[Albert Einstein]] era convinto che tale interpretazione fosse errata, e che a tutte le distribuzioni di probabilità calcolabili mediante la meccanica quantistica dovessero corrispondere eventi deterministici soggiacenti, conoscibili mediante una teoria più completa della meccanica quantistica.
Proprio riferendosi al probabilismo intrinseco all'interpretazione di Copenaghen Einstein affermò, in una lettera a Bohr del 4 dicembre 1926, «''Dio non gioca a dadi con l'Universo''».<ref name="dadi">{{cita web|url=https://it.wikiquote.org/wiki/Dio_non_gioca_a_dadi#cite_note-dadi-1|titolo=Dio non gioca a dadi|accesso=2 maggio 2017}}</ref> Pare che [[Niels Bohr]], principale autore di tale interpretazione, abbia risposto ad Einstein: «''Smettila di dire a Dio cosa fare con i suoi dadi''».<ref name="dadi"/> Nel 1996 [[Stephen Hawking]] commentò la famosa battuta di Einstein alla luce delle conoscenze astrofisiche sulla struttura dell'universo: «''Einstein [...] sbagliò quando disse: «Dio non gioca a dadi». La considerazione dei [[buco nero|buchi neri]] suggerisce infatti non solo che Dio gioca a dadi, ma che a volte ci confonda gettandoli dove non li si può vedere''».<ref>[[Stephen Hawking|S. W. Hawking]], [[Roger Penrose|R. Penrose]], ''The Nature of Space and Time'', Princeton University Press, Princeton 1996.</ref>
La posizione ''realista'' ("esiste una realtà fisica indipendente dal soggetto che la studia") e ''deterministica'' ("le grandezze fisiche hanno sempre valori determinati da un'adeguata teoria fisica") di [[Albert Einstein]] lo rese critico anche nei confronti dell'indeterminismo quantistico. Nel corso del quinto [[Congressi Solvay|congresso Solvay]], tenutosi a [[Bruxelles]] nel 1927, Einstein propose vari [[esperimento mentale|esperimenti mentali]] basati su fenomeni di [[diffrazione]] di una particella mediante una fenditura singola, o d'[[Interferenza (fisica)|interferenza]] prodotta da molte particelle che attraversano una [[Esperimento della doppia fenditura|doppia fenditura]]. L'intenzione di Einstein era sempre quella di provare - in linea di principio - la possibilità di misurare coppie di variabili coniugate (posizione/momento o energia/tempo) meglio di quanto previsto dal limite dell'indeterminazione di Heisenberg. Bohr riuscì a controbattere efficacemente, mostrando che gli esperimenti citati implicavano una variazione inevitabile (disturbo) della variabile coniugata associata a quella misurata, tale che il prodotto dell'errore di misura dell'una col disturbo dell'altra risultava superiore al limite ''h'' previsto da Heisenberg.<ref>N. Bohr, ''Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics'', in [[John Archibald Wheeler|J. A. Wheeler]], H. Z. Zurek (a cura di), ''Quantum Theory and Measurement'', Princeton University Press, Princeton 1983, pp. 19-32.</ref>
Einstein sfidò nuovamente Bohr nel corso del sesto [[Congressi Solvay|congresso Solvay]], tenutosi a [[Parigi]] nel 1930, proponendo il seguente [[esperimento mentale]]: riempiamo una scatola con del materiale radioattivo e agganciamola verticalmente ad una bilancia di precisione a molla. La scatola ha uno sportello, che viene aperto e immediatamente chiuso, permettendo così a un po' di radiazione di uscire. Il meccanismo è azionato da un orologio interno alla scatola, che misura il preciso istante in cui si è aperto e richiuso lo sportello. In questo modo il tempo è noto con precisione. Vogliamo ora misurare con precisione anche la variabile coniugata (l'energia): pesiamo la scatola prima e dopo l'emissione di radiazione, semplicemente leggendo l'indice della bilancia su cui è appesa la scatola. L'equivalenza tra massa ed energia, derivante dalla [[Relatività ristretta|relatività speciale]], ci permetterà di determinare precisamente quanta energia ha lasciato la scatola.
Aggirando in questo modo il limite imposto dalla relazione d'indeterminazione energia/tempo.
Bohr ribatté ad Einstein che egli non aveva tenuto conto di un effetto previsto proprio dalla [[relatività generale]] di Einstein: se l'energia esce, la scatola è più leggera e si solleverà leggermente sulla bilancia a molla che deve sorreggere la scatola per poterne misurare la variazione di massa. Questo cambierà la posizione dell'orologio nel [[campo gravitazionale terrestre]]. Di conseguenza la sua misurazione del tempo sarà diversa rispetto alla posizione precedente, portando a un inevitabile errore nella determinazione dell'intervallo temporale. L'analisi dettagliata del fenomeno, svolta da Bohr, mostra che l'imprecisione della misura è correttamente prevista dalla relazione d'indeterminazione energia/tempo di Heisenberg.<ref>N. Bohr, ''Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics'', in [[John Archibald Wheeler|J. A. Wheeler]], H. Z. Zurek (a cura di), ''Quantum Theory and Measurement'', Princeton University Press, Princeton 1983, pp. 32-38.</ref>
== Rilevanza epistemologica ==
{{Citazione|''Se si accetta che l'interpretazione della meccanica quantistica qui proposta sia corretta già in alcuni punti essenziali, allora dovrebbe essere permesso di affrontare in poche parole le conseguenze di principio. [...] nella formulazione netta del principio di causalità: "se conosciamo in modo preciso il presente, possiamo prevedere il futuro", non è falsa la conclusione, bensì la premessa. In linea di principio noi non possiamo conoscere il presente in tutti i suoi dettagli. [...] siccome tutti gli esperimenti sono soggetti alle leggi della meccanica quantistica e quindi all'equazione <math>\Delta x \cdot \Delta p_x \, \sim \, h</math>, mediante la meccanica quantistica viene stabilita definitivamente la non validità del principio di causalità.''<ref group="Nota" name=causalita>In effetti, le relazioni d'indeterminazione implicano la non validità del ''determinismo'' (come si evince fin dal nome di tali relazioni), ''non'' della ''causalità'' [F. Laudisa, 2002].
Questa distinzione non era chiara tra la fine degli anni '20 e i primi anni '30 del Novecento [R. Pettoello, 2014]. [[Max Born]] scrisse in un articolo del 1927 su indeterminazione quantistica e perdita della causalità in modo analogo ad Heisenberg: «''L'impossibilità di misurare esattamente tutti i dati di uno stato impedisce la predeterminazione dello svolgimento successivo. Di conseguenza, il principio di causalità perde, nella sua comune formulazione, ogni senso. Infatti, se è impossibile per principio conoscere tutte le condizioni (cause) di un processo, diventa un modo di dire vuoto che ogni evento ha una causa.''» (Max Born in M. Schlick, 1974). Ma in seguito lo stesso Born cambiò opinione: nella meccanica quantistica «''non è la causalità propriamente detta ad essere eliminata, ma soltanto una sua interpretazione tradizionale che la identifica con il determinismo.''» (Max Born, 1982).</ref><ref name="laudisa">{{cita pubblicazione|autore= F. Laudisa |titolo = La causalità nella fisica del XX secolo: una prospettiva filosofica |rivista = Quaestio - Annuario di storia della metafisica |volume= 2 |anno=2002|pp= 609-634| DOI = 10.1484/J.QUAESTIO.2.300479}}</ref><ref name="pettoello">{{cita pubblicazione|autore= R. Pettoello |titolo = Causalità e realtà nel dibattito sulla meccanica quantistica degli anni ’30 del novecento. Una possibile ricostruzione |rivista = Rivista di storia della filosofia |anno=2014|pp= 83-126| DOI = 10.3280/SF2014-001004}}</ref><ref name="schlick">{{cita pubblicazione|autore=[[Moritz Schlick|M. Schlick]]|anno=1931|titolo=Die Kasualität in der gegenwärtigen Physik [La causalità nella fisica contemporanea]|rivista= Die Naturwissenschaften|volume=19|numero= 7|pp=145-162}} Traduzione italiana: ''La causalità nella fisica contemporanea'', in ''Tra realismo e neo-positivismo'', Il Mulino, Bologna 1974, citazione da Born a pp.55-56.</ref><ref name="born1982">M. Born, ''Filosofia naturale della causalità e del caso'', Boringhieri, Torino 1982, p.129.</ref>|Werner Karl Heisenberg,<ref name="Heisenberg 1927"/> 1927}}
{{Citazione|''Anche se esiste un corpo di leggi matematiche "esatte", queste non esprimono relazioni tra oggetti esistenti nello spazio-tempo; è vero che approssimativamente si può parlare di "onde" e "corpuscoli", ma le due descrizioni hanno la stessa validità. Per converso, la descrizione cinematica di un fenomeno necessita dell'osservazione diretta; ma poiché osservare significa interagire, ciò preclude la validità rigorosa del principio di causalità.''<ref group="Nota" name=causalita/><ref name="laudisa"/><ref name="pettoello"/><ref name="schlick"/><ref name="born1982"/> | Werner Karl Heisenberg,<ref name="Heisenberg 1930"/> 1930}}
Le due citazioni mettono in evidenza la consapevolezza di Heisenberg d'aver dato un contributo fondamentale non solo alla [[fisica]], ma anche alla [[epistemologia]] e alla [[filosofia della scienza]] del [[XX secolo]]. Il principio d'indeterminazione segna la fine della descrizione della realtà fisica
in accordo col ''determinismo meccanicista''<ref name="strumia">{{cita web|url= http://disf.org/determinismo|titolo= Determinismo - II. Determinismo e indeterminismo nelle scienze|accesso=8 giugno 2017}}</ref> (che implica sia il ''[[determinismo]]'' sia la ''predicibilità''), espressa in modo quasi analogo da [[Ruggero Giuseppe Boscovich]] (che scriveva della descrizione dinamica di un insieme di punti materiali) e da [[Pierre Simon Laplace]] nel contesto della [[fisica classica]]:
{{Citazione|''Anche se un tal problema sorpassa il potere dell'intelletto umano, qualsiasi matematico può vedere che il problema è ben definito [...] e che una mente che avesse le capacità necessarie per trattare tale problema in forma appropriata e fosse abbastanza brillante da percepirne le soluzioni [...] tale mente, dico, a partire da un arco continuo descritto in un intervallo di tempo, non importa quanto piccolo, da tutti i punti della materia, potrebbe derivare le leggi della forza [...] Se la legge delle forze fosse conosciuta, così come la posizione, velocità e direzione di tutti i punti in un dato istante, sarebbe possibile per una tale mente prevedere tutti i movimenti successivi che dovranno necessariamente avvenire, e predire tutti i fenomeni che necessariamente seguono da essi.''|[[Ruggero Giuseppe Boscovich]],<ref>R. G. Boscovich, ''Theoria philosophiae naturali'', 1763.</ref> 1763}}
{{Citazione|''Dovremmo considerare lo stato presente dell'universo come l'effetto del suo stato antecedente e la causa del suo stato successivo. Un'intelligenza che conoscesse tutte le forze operanti in natura in un dato istante e le posizioni istantanee di tutti gli oggetti dell'universo, sarebbe in grado di comprendere in un'unica formula i moti dei più grandi corpi e quelli dei più leggeri atomi del mondo, a condizione che il suo intelletto fosse sufficientemente potente da sottoporre ad analisi tutti i dati: per tale intelligenza niente sarebbe incerto, il futuro e il passato sarebbero entrambi presenti ai suoi occhi.''|[[Pierre Simon Laplace]],<ref>P. S. Laplace, ''Essai philosophique sur les probabilités'', 1812.</ref> 1812}}
Il termine ''[[determinismo]]'' fu tuttavia coniato solo nel 1865 dal fisiologo [[Claude Bernard]]. Secondo l'approccio determinista, ad uno stato fisico presente completamente definito corrisponde un unico stato futuro ad esso compatibile, altrettanto definito; a due stati presenti ''molto simili'' corrispondono due stati futuri ''molto simili''.<ref name="dorato">{{cita pubblicazione|autore= [[Mauro Dorato|M. Dorato]] |titolo = Determinismo, libertà e la biblioteca di Babele |rivista = Prometeo - Rivista trimestrale di scienze e storia |volume= 105 |anno=2009|pp= 78-85| ISSN = 0394-1639}}</ref>
Si ha ''predicibilità'' qualora sia sempre possibile predire l'evoluzione dei sistemi fisici a partire dalla conoscenza delle condizioni del sistema ad un dato istante <math>t_o</math> e delle leggi che ne determinano in modo univoco la dinamica. L'esempio tipico è dato dalla [[seconda legge di Newton]]:
:<math>\vec{F} = m \, \vec{a}</math>.
Dalla conoscenza della forza <math>\vec{F}</math> agente sul corpo, della massa <math>m</math> e delle condizioni iniziali (<math>x_o</math>, <math>v_o</math>) è possibile ricavare la [[traiettoria]], ovvero determinare l'insieme continuo dei punti dello spazio in cui il corpo si è trovato in passato (<math>t < t_o</math>), o si troverà in futuro (<math>t > t_o</math>). Il determinismo ''non'' implica necessariamente la predicibilità (anche se non la esclude).<ref name="laudisa"/
L'affermarsi della [[fisica statistica]] nella seconda metà del [[XIX secolo]] diffuse l'uso di metodi statistici, e la consapevolezza che di alcune [[osservabile|osservabili]] si possano di fatto conoscere solo il [[valor medio]] e la [[deviazione standard]], ma non un valore univoco ("esatto" entro i limiti di precisione degli strumenti usati nella misura).
L'ipotetica "mente di Boscovich" o "intelligenza di Laplace" sopra citate non avrebbero bisogno di metodi statistici: potrebbero seguire una ad una le molecole del gas, e per ciascuna calcolarne la traiettoria usando la II legge di Newton.
{{Citazione|''Solo l’impossibilità pratica: 1° di determinare esattamente le condizioni iniziali delle molecole; 2° di seguire col calcolo i fatti molecolari singoli, ci ha indotti a contentarci di “leggi medie” (senza provarne dispiacere, perché esse rappresentano proprio ciò che possiamo realmente osservare coi nostri sensi grossolani, e perché tali leggi hanno ancora una precisione tale da renderci capaci di fare previsioni sufficientemente sicure). Dunque: si continuava a immaginare i fenomeni determinati per via strettamente causale nell’ambito degli atomi e delle molecole prese singolarmente. Ciò costituiva in certo qual modo lo sfondo o base delle leggi statistiche di massa, le uniche, in realtà, accessibili all’esperienza. La massima parte dei fisici riteneva indispensabile, per il mondo fisico, una base strettamente deterministica. Essi erano convinti che il contrario non fosse nemmeno “pensabile”; ammettevano senz’altro che, almeno nel processo elementare, per esempio nell’urto di due atomi, il “risultato finale” fosse contenuto implicitamente, con precisione e piena sicurezza, nelle condizioni iniziali. Si disse e si dice talvolta ancor oggi che una scienza naturale esatta non sarebbe possibile, in alcun caso, su un’altra base; che senza una base strettamente deterministica tutto diventerebbe inconsistente. La nostra “immagine” della natura degenererebbe in un caos e non corrisponderebbe dunque alla natura effettivamente “esistente”, perché questa, tutto sommato, non è un perfetto caos.''|[[Erwin Schrödinger]],<ref>E. Schrödinger, ''My View of the World'', Ox Bow Press, Woodbridge 1983. Traduzione italiana: ''L’immagine del mondo'', Boringhieri, Torino 1987, p.19.</ref> 1931}}
Il lavoro di [[Henri Poincaré]] pubblicato nel 1890 sul [[problema dei tre corpi]] e la stabilità del [[sistema solare]]<ref>{{cita pubblicazione|autore= H. Poincaré |titolo = Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique |titolotradotto= Sul problema dei tre corpi e le equazioni della dinamica|rivista = Acta Mathematica |volume= 13 |anno=1890|
L'avvento della [[meccanica quantistica]] mutò radicalmente la situazione. L'[[equazione di Schrödinger]], formulata da [[Erwin Schrödinger]] nel [[1925]] e pubblicata<ref>{{cita pubblicazione|autore= E. Schrödinger |titolo = Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung) |url= https://archive.org/details/sim_annalen-der-physik_1926_79_3/page/361 |titolotradotto= Quantizzazione come problema agli autovalori (prima comunicazione) |rivista = Annalen der Physik |volume= 79 |anno=1926|pp= 361-376|lingua=de}} ("Derivazione" dell'equazione di Schrödinger per sistemi tempo indipendenti ed autovalori degli atomi idrogenoidi).</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= E. Schrödinger |titolo = Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung) |url= https://archive.org/details/sim_annalen-der-physik_1926_79_6/page/489 |titolotradotto= Quantizzazione come problema agli autovalori (seconda comunicazione) |rivista = Annalen der Physik |volume= 79 |anno=1926|pp= 489-527|lingua=de}} (Nuova derivazione dell'equazione di Schrödinger, oscillatore armonico quantistico, rotore rigido e molecole biatomiche).</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= E. Schrödinger |titolo = Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung) |url= https://archive.org/details/sim_annalen-der-physik_1926_80_12/page/n112 |titolotradotto= Quantizzazione come problema agli autovalori (terza comunicazione) |rivista = Annalen der Physik |volume= 80 |anno=1926|pp= 437-490|lingua=de}} (Teoria delle perturbazioni, applicazione all'effetto Stark).</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= E. Schrödinger |titolo = Quantisierung als Eigenwertproblem (Vierte Mitteilung) |url= https://archive.org/details/sim_annalen-der-physik_1926_81_17/page/n120 |titolotradotto= Quantizzazione come problema agli autovalori (quarta comunicazione) |rivista = Annalen der Physik |volume= 81 |anno=1926|pp= 109-139|lingua=de}} (L'equazione d'onda per sistemi non conservativi, teoria delle perturbazioni per sistemi dipendenti dal tempo, significato fisico della funzione d'onda).</ref> nel [[1926]], è l'equazione fondamentale che determina l'evoluzione temporale dello [[stato quantico]] di un [[Sistema (fisica)|sistema]], come ad esempio una [[particella (fisica)|particella]], un [[atomo]] o una [[molecola]]. Si tratta di un'equazione d'onda [[equazione differenziale alle derivate parziali|differenziale alle derivate parziali]], [[Equazione lineare|lineare]], [[Numeri complessi|complessa]] e non relativistica, che ha come incognita la [[funzione d'onda]] <math>\psi</math>. Tale funzione d'onda fu introdotta basandosi sull'[[ipotesi di de Broglie]], secondo cui alle particelle che costituiscono la materia, come l'[[elettrone]], è associata un'onda fisica caratteristica (onda di materia) che ha la forma di un pacchetto d'onde spazialmente localizzato. [[Erwin Schrödinger]] immaginò inizialmente che il [[Valore assoluto|modulo]] quadro della funzione d'onda <math>\psi</math> associata all'elettrone descrivesse la [[densità di carica]] o la [[peso specifico|densità di massa]] della particella; tale interpretazione fu presto scartata perché il pacchetto d'onde si sparpaglia col passare del tempo, mentre la [[carica elettrica|carica]] e la [[massa (fisica)|massa]] dell'elettrone restano sempre localizzate. Nel 1926 [[Max Born]] interpretò<ref>{{cita pubblicazione|autore= M. Born |titolo = Zur Quantenmechanik der Stossvorgänge (Vorläufige Mitteilung) |titolotradotto= Sulla meccanica quantistica dei processi d'urto (comunicazione preliminare)|rivista = Zeitschrift für Physik |volume= 36 |anno=1926|pp= 863-867|lingua=de}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= M. Born |titolo = Zur Quantenmechanik der Stossvorgänge |titolotradotto= Sulla meccanica quantistica dei processi d'urto |rivista = Zeitschrift für Physik |volume= 38 |anno=1926|pp= 803-827|lingua=de}}</ref> invece <math>|\psi|^2</math> come legata alla [[distribuzione di probabilità]] della posizione dell'elettrone nello spazio:
:<math>{\cal P}(V) = \int_V |\psi|^2 \, dV</math>
indica la probabilità di trovare la particella nel volume spaziale V in un dati istante <math>t_o</math>. L'argomento dell'[[equazione di Schrödinger]] ''non'' è più una grandezza fisica misurabile, come per le equazioni della [[fisica classica]], ma una [[funzione d'onda]] complessa, il cui modulo quadro <math>|\psi|^2</math> viene interpretato come una densità di probabilità. Quindi le probabilità che compaiono in [[meccanica quantistica]] non sono più ''epistemiche'',<ref group="Nota">Ovvero legate solo all'imperfetta conoscenza dei dettagli di un fenomeno fisico, come nel caso dei sistemi a molti corpi studiati in [[meccanica statistica]]. Le probabilità epistemiche sono in linea di principio sostituibili da una completa conoscenza del fenomeno indagato.</ref> ma ''strutturali''.<ref group="Nota">Con questo termine si fa riferimento a delle probabilità inevitabilmente connesse con la struttura formale della teoria, ovvero al suo formalismo matematico. Tali probabilità ''non'' sono necessariamente attribuite al fenomeno fisico, ma piuttosto alla specifica teoria usata per descriverlo. Cambiando l'interpretazione data alla teoria, delle probabilità ''strutturali'' potrebbero diventare ''epistemiche'', come nel caso dell'[[interpretazione di Bohm]].</ref> Se si ritiene poi che l'equazione di Schrödinger con l'interpretazione data da Born alla funzione d'onda <math>\psi</math> descriva la [[Realtà|realtà fisica]] (assunzione del [[Realismo (filosofia)|realismo scientifico]]), allora il probabilismo della [[meccanica quantistica]] risulta essere [[Ontologia|''ontologico'']].<ref name = "ontologico" group="Nota"/>
L'interpretazione di Born entrò successivamente a far parte dell'interpretazione ortodossa della meccanica quantistica, nota come [[interpretazione di Copenaghen]].
L'indeterminismo introdotto dalle disuguaglianze di Heisenberg è legato all'impossibilità di definire il valore delle variabili prima di una misura,<ref name="contingenti" group="Nota"/> che fa mancare una condizione essenziale all'evoluzione deterministica del sistema: la completa definizione dello stato iniziale: «''nella formulazione [...] "se conosciamo in modo preciso il presente, possiamo prevedere il futuro", non è falsa la conclusione, bensì la premessa''» (Heisenberg). Basta infatti riscrivere l'indeterminazione ''posizione/quantità di moto'' nella forma
:<math>\Delta x_o \cdot \Delta v_o \, \ge \, \frac{\hbar}{2m}</math>
per rendersi conto che non si può avere, in linea di principio, conoscenza esatta delle condizioni del sistema ad un dato istante <math>t_o</math>: tanto più si tenta di ridurre l'incertezza sulla variabile <math>x_o</math>, tanto più aumenta l'incertezza su <math>v_o</math> (relazione di [[proporzionalità inversa]] tra le due). Ci si trova nel primo dei due casi possibili d'indeterminismo: ''lo stato presente non è completamente definibile'' oppure a un medesimo stato presente completamente definito possono corrispondere molti stati futuri possibili, uno solo dei quali si realizzerà.<ref name="dorato"/>
Fa eccezione l'[[interpretazione di Bohm]] della meccanica quantistica, che risulta essere deterministica ma, come tutte le altre interpretazioni quantistiche, implica la rinuncia alla ''predicibilità''. In tale interpretazione lo stato iniziale risulta completamente definito: le coordinate delle particelle del sistema nell'istante iniziale t<sub>o</sub> sono considerate essere [[Teorie a variabili nascoste|variabili nascoste]]. L'osservatore non può conoscere i valori precisi di queste variabili (che risultano, appunto ''nascoste'') a causa delle limitazioni imposte alla loro esatta misurazione dall'indeterminazione di Heisenberg. Una particella ha, secondo [[David Bohm|Bohm]], un'onda associata, che evolve secondo l'[[equazione di Schrödinger]]. La particella segue quindi una traiettoria deterministica, guidata dalla propria onda. Tuttavia le previsioni sull'esito dell'evoluzione temporale del sistema rimangono probabilistiche (''impredicibilità'') perché non può essere conosciuto l'esatto valore della posizione iniziale (''variabile nascosta'') della particella, che ne condiziona la successiva evoluzione.
Le disuguaglianze di Kennard e di Robertson mostrano un ulteriore significato dell'indeterminazione quantistica. Mentre le disuguaglianze di Heisenberg implicano sempre una misura, e il conseguente disturbo da questa provocata su misure dell'osservabile coniugata (''indeterminismo operazionale''), quelle di Kennard e Robertson evidenziano proprietà caratteristiche dei sistemi quantistici (''indeterminismo intrinseco''). L'indeterminazione passa dall'essere un fenomeno inerentemente legato agli strumenti e alle misure, ad essere una peculiarità della meccanica quantistica. È il formalismo matematico della teoria ([[spazi di Hilbert]] a infinite dimensioni) ad implicare l'indeterminismo quantistico, secondo le tesi del ''realismo strutturale''.<ref>{{cita pubblicazione|autore= J. Worrall |titolo = Structural Realism: The Best of Both Worlds ? |rivista =Dialectica|volume= 43 |anno=1989|pp=99-124}}</ref> O in alternativa si tratta di una caratteristica degli enti quantistici ([[fotone|fotoni]], [[particella (fisica)|particelle massive]]), che si differenziano anche per questo ''indeterminismo intrinseco''<ref group="Nota">I caratteristica degli enti quantistici.</ref> dagli enti della [[fisica classica]] ([[onda|onde]] o particelle macroscopiche), come sostiene il ''realismo scientifico''. In entrambi i casi, l'indeterminazione risulta essere una peculiarità fondativa ed essenziale della meccanica quantistica.
Una conseguenza immediata della disuguaglianza scritta sopra è la ''perdita del concetto di traiettoria''<ref group="Nota">II caratteristica degli enti quantistici.</ref> per le particelle atomiche e subatomiche: ''non'' avendo precisa conoscenza delle condizioni iniziali (<math>x_o</math>, <math>v_o</math>), ''non'' è possibile ricavare la [[traiettoria]], ovvero determinare l'insieme continuo dei punti dello spazio in cui la particella si è trovata in passato (<math>t < t_o</math>), o si troverà in futuro (<math>t > t_o</math>).
Questo fatto introduce un'ulteriore differenza fondamentale tra le particelle classiche e quelle quantistiche: particelle identiche classiche sono ''distinguibili'' mentre particelle identiche quantistiche risultano ''indistinguibili''.<ref group="Nota">III caratteristica degli enti quantistici.</ref> L'unico modo di distinguere due particelle identiche che entrino in contatto è infatti la diversa traiettoria che hanno seguito prima dell'urto (<math>t < t_o</math>), e che seguiranno dopo l'urto (<math>t > t_o</math>). A due particelle identiche classiche si applica la II legge di Newton; quindi in linea di principio è sempre possibile ricostruirne le traiettorie, e sapere cosa succede a ciascuna particella dopo l'urto. Ma per due particelle identiche quantistiche ''non'' si ha precisa conoscenza delle condizioni iniziali (<math>x_o</math>, <math>v_o</math>), e quindi ''non'' è possibile ricavare le traiettorie. In mancanza di tale informazione, risulta impossibile stabilire "chi è chi" dopo l'urto, ovvero distinguerle.
Altre proprietà tipicamente quantistiche sono lo [[spin]]<ref group="Nota">IV caratteristica degli enti quantistici.</ref> e l'[[elicità]].<ref group="Nota">V caratteristica degli enti quantistici.</ref> Due particelle che abbiano interagito possono manifestare [[entanglement quantistico]].<ref group="Nota">VI caratteristica degli enti quantistici.</ref>
La classificazione delle [[Particella (fisica)|particelle]] quantistiche è fatta a partire dallo [[spin]], che permette di distinguere due classi di particelle: [[bosone (fisica)|''bosoni'']], con spin [[Numero intero|intero]] (0, 1, 2 Mentre le particelle classiche obbediscono alla [[Distribuzione di Maxwell-Boltzmann|statistica di Maxwell-Boltzmann]], per quelle quantistiche il ''[[teorema spin-statistica]]'' mette in relazione lo [[spin]] di una [[Particella (fisica)|particella]] con la [[Meccanica statistica|statistica]] a cui essa obbedisce. La tesi del teorema afferma che le [[Particella (fisica)|particelle]] a spin [[Numero intero|intero]] (0, 1, 2) seguono la [[statistica di Bose-Einstein]], mentre quelle a spin [[semidispari]] (1/2, 3/2, 5/2) obbediscono alla [[statistica di Fermi-Dirac]]. Il teorema fu enunciato per la prima volta nel [[1939]] da [[Markus Fierz]],<ref>{{cita pubblicazione|autore= M. Fierz |titolo = Über die relativistische Theorie Kräftefreier Teilchen mit Beliebigem Spin |titolotradotto= Sulla teoria relativistica di particelle libere con spin arbitrario |rivista = Helvetica Physica Acta|volume= 12 |anno=1939|pp= 3-37|lingua=de}}</ref> e fu riderivato in maniera più sistematica da [[Wolfgang Pauli]].<ref>{{cita pubblicazione|autore= W. Pauli |titolo = The Connection Between Spin and Statistics |rivista = Physics Review |volume= 58 |anno=1940|pp= 716-722}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|autore= W. Pauli |titolo = The Connection Between Spin and Statistics |rivista = Progress of Theoretical Physics |volume= 5 |anno=1950| numero= 4}}</ref> Argomentazioni di [[teoria quantistica dei campi]] (la richiesta d'invarianza per riflessioni temporali impone una restrizione alle proprietà dell'operatore di campo che corrisponde alla connessione tra spin e statistica delle particelle) furono fornite<ref>{{cita pubblicazione|autore= [[Julian Schwinger|J. Schwinger]] |titolo = The Theory of Quantized Fields. I |rivista = Physics Review |volume= 82 | numero= 6 | anno=1951|pp= 914-927|DOI = 10.1103/PhysRev.82.914}}</ref> da [[Julian Schwinger]] nel [[1951]]. Nel [[1961]] [[Richard Feynman]] ne diede una dimostrazione<ref>R. P. Feynman, ''Quantum Electrodynamics'', Basic Books, New York 1961.</ref> più intuitiva, partendo da presupposti differenti.
Come detto, gli enti quantistici hanno proprietà peculiari profondamente diverse da quelle degli enti della [[fisica classica]] ([[onda|onde]] o particelle macroscopiche):
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[[Image:Dualite.jpg|thumb|upright=1.8|Metafora del cilindro: un solido le cui proiezioni possono produrre le immagini di un cerchio o di un quadrato.]]
# Indeterminismo intrinseco;
# Assenza di traiettoria;
# Particelle identiche sono ''indistinguibili'';
# Sono dotati di [[spin]];
# # Possono manifestare [[entanglement quantistico]];
# Sono [[bosone (fisica)|''bosoni'']] o [[Fermione|''fermioni'']].
Risulta pertanto improprio cercare di classificare ''bosoni'' e ''fermioni'' sulla base di categorie classiche quali [[onda|onde]] o particelle macroscopiche.
Resta da capire come mai quantoni dello stesso tipo (''elettrone'', ad esempio) manifestino ''alternativamente'' proprietà ''corpuscolari oppure ondulatorie'' ([[dualismo onda-particella|dualismo onda/particella]]). Forse aiuta l'intuizione la metafora del cilindro (''quantone''): non è né un cerchio, né un quadrato, ma le sue proiezioni (''visioni classiche'') ci forniscono, a seconda della prospettiva, l'immagine di un cerchio (''onda'') o di un quadrato (''particella macroscopica''). Tuttavia - come detto nella Sezione [[Principio d'indeterminazione di Heisenberg#Altre disuguaglianze di Heisenberg|''Altre disuguaglianze di Heisenberg'']] - i quantoni possono talvolta mostrare ''simultaneamente'' proprietà ''sia corpuscolari sia ondulatorie'' (dualità onda/particella<ref name=yasin/><ref name=englert/>), dimostrando definitivamente che il dominio quantistico non è riconducibile alle categorie dicotomiche classiche di onde o particelle.
== Note ==
;Approfondimenti
<references group="Nota" />
;Fonti
<references/>
== Bibliografia ==
* Sigfrido Boffi, ''Da Laplace a Heisenberg - Un'introduzione alla meccanica quantistica e alle sue applicazioni'', La Goliardica pavese, Pavia 1992<sup>1</sup> 1996<sup>2</sup>, Pavia University Press, Pavia 2010<sup>3</sup>. http://archivio.paviauniversitypress.it/pdf-oa/boffi-laplace-2010-DOL.pdf
* Sigfrido Boffi, ''Onde e particelle in armonia - Alle sorgenti della meccanica quantistica'', Jaca Book, Milano 1991.
* [[Edoardo Boncinelli]], ''Il principio di indeterminazione'', il Mulino, Bologna 2020.
* [[Giovanni Boniolo]] (a cura di), ''Filosofia della fisica'', Bruno Mondadori, Milano 2000.
*
* {{Cita libro|nome=Kristian|cognome=Camilleri|titolo=Heisenberg and the interpretation of quantum mechanics : The physicist as philosopher|url=https://www.worldcat.org/oclc/751804508|accesso=30 novembre 2022|data=2011|editore=Cambridge University Press|OCLC=751804508|ISBN=978-1-107-40351-2}}
* {{Cita libro|nome=Valentina|cognome=Cappelletti|titolo=Dall'ordine alle cose : Saggio su Werner Heisenberg|url=https://www.worldcat.org/oclc/49611304|accesso=30 novembre 2022|data=2001|editore=Jaca Book|OCLC=49611304|ISBN=88-16-40571-6}}
* David C. Cassidy, ''Un'estrema solitudine - La vita e l'opera di Werner Heisenberg'', Bollati Boringhieri, Torino 1996.
* David J. Griffiths, ''Introduzione alla meccanica quantistica'', Casa Editrice Ambrosiana, Milano 2005.
*
* [[Werner Heisenberg]], ''Fisica e oltre - Incontri con i protagonisti 1920 1925'', Boringhieri, Torino 1984.
* {{Cita libro|nome=Werner|cognome=Heisenberg|titolo=Oltre le frontiere della scienza|url=https://www.worldcat.org/oclc/797020397|accesso=30 novembre 2022|data=1984|editore=Editori riuniti|OCLC=797020397|ISBN=88-359-2731-5}}
* {{Cita libro|nome=Werner|cognome=Heisenberg|curatore1=G. Gembillo|titolo=Indeterminazione e realtà|url=https://www.worldcat.org/oclc/801037048|accesso=30 novembre 2022|data=1991|editore=Guida|OCLC=801037048|ISBN=88-7835-101-6}}
* {{Cita libro|nome=Werner|cognome=Heisenberg|curatore1= G. Gembillo| curatore2=E. Giannetto|titolo=Lo sfondo filosofico della fisica moderna|url=https://www.worldcat.org/oclc/797337333|accesso=30 novembre 2022|data=1999|editore=Sellerio|OCLC=797337333|ISBN=88-389-1450-8}}
* {{Cita libro|nome=Werner|cognome=Heisenberg|titolo=Mutamenti nelle basi della scienza|url=https://www.worldcat.org/oclc/955526021|accesso=30 novembre 2022|data=2015|editore=Bollati Boringhieri|OCLC=955526021|ISBN=978-88-339-2673-5}}
* {{Cita pubblicazione|nome=Werner|cognome=Heisenberg|data=1927-03|titolo=Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik|rivista=Zeitschrift für Physik|volume=43|numero=3-4|pp=172-198|lingua=de|accesso=30 novembre 2022|doi=10.1007/BF01397280|url=http://link.springer.com/10.1007/BF01397280}}
** Traduzione inglese: J. A. Wheeler, H. Zurek, ''Quantum Theory and Measurement'' Princeton University Press, Princeton 1983, pp. 62–84.
** Traduzioni italiane:
*** {{Cita libro|nome=Sigfrido|cognome=Boffi|titolo=Il principio di indeterminazione|url=https://www.worldcat.org/oclc/868497620|accesso=30 novembre 2022|data=1990|editore=Università degli studi di Pavia, Dipartimento di Fisica nucleare e teorica|OCLC=868497620|ISBN=88-85159-03-6}}
*** {{Cita libro|nome1=Sigfrido|cognome1=Boffi |nome2=Louis|cognome2=de Broglie |nome3=Werner|cognome3=Heisenberg |nome4=Erwin |cognome4=Schrödinger |titolo=Onde e particelle in armonia : alle sorgenti della meccanica quantistica |url=https://www.worldcat.org/oclc/800559852 |accesso=30 novembre 2022|data=1991|editore=Jaca Book|OCLC=800559852|ISBN=88-16-40282-2}}
*** {{Cita libro|nome=Werner|cognome=Heisenberg|curatore1=G. Gembillo|titolo=Indeterminazione e realtà|url=https://www.worldcat.org/oclc/801037048|accesso=30 novembre 2022|data=1991|editore=Guida|OCLC=801037048|ISBN=88-7835-101-6}}
* {{cita web|url=http://plato.stanford.edu/entries/qt-uncertainty/|titolo=The Uncertainty Principle|autore=J. Hilgevoord|coautore=J. Uffink|anno = 2016}}
* [[Alexandre Kojève]], ''L'idea di determinismo nella fisica classica e nella fisica moderna'', Adelphi, Milano 2018.
* David Lindley, ''Incertezza - Einstein, Heisenberg, Bohr e il principio d'indeterminazione'', Einaudi, Torino 2008.
* G. Muga, R. Sala Mayato, Í. Egusquiza (eds.), ''Time in Quantum Mechanics'' - Vol. 1, Springer-Verlag, Heidelberg 2010<sup>3</sup>.
* G. Muga, A. Ruschhaupt, A. Campo (eds.), ''Time in Quantum Mechanics'' - Vol. 2, Springer-Verlag, Heidelberg 2012<sup>3</sup>.
* Asher Peres, ''Quantum Theory: Concepts and Methods'', Kluwer, Dordrecht 1995.
* {{Cita web|url=https://library.isical.ac.in:8080/jspui/bitstream/10263/4095/1/Binder1.pdf|titolo=The uncertainty principle: A mathematical survey|autore=G. B. Folland, A. Sitaram|data=1997}}
== Voci correlate ==
* [[Determinismo]]
* [[Dualismo onda-particella]]
* [[Indeterminismo]]
* [[Interpretazione di Copenaghen]]
* [[Meccanica quantistica]]
* [[Ontologia (fisica)]]
* [[Postulati della meccanica quantistica]]
== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{cita web|http://
* {{cita web|http://
* {{cita web|http://daarb.narod.ru/tcpr-eng.html|Il principio di determinazione (2005)|lingua=en}}
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[[Categoria:Interpretazioni della meccanica quantistica]]
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