Azione (fisica): differenze tra le versioni

Versione delle 16:17, 28 giu 2017

Versione attuale delle 14:43, 16 mar 2025

(28 versioni intermedie di 17 utenti non mostrate)

Riga 1:

In [[fisica]], in particolare nella [[meccanica hamiltoniana]] e [[meccanica lagrangiana|lagrangiana]], l''''azione''' è una [[grandezza scalarefisica|grandezza]] che hacaratterizza in generale lo stato e l'evoluzione di un [[sistema dinamico|sistema]], permettendo di studiarne il moto. È una [[grandezza scalare]] con le [[Analisi dimensionale|dimensioni]] di una un'energia per un tempo, e matematicamente è definita come un [[funzionale]] che agisce sullo [[spazio delle configurazionifasi]] e restituisce [[numeri reali]].

Nel caso si consideri un'azione che sia [[Principio di località|locale]], essa deve essere definita attraverso un [[integrale]]. In generale, lo spazio delle configurazionifasi non deve essere necessariamente uno [[spazio funzionale]], in quanto si possono trattare oggetti come le [[Geometria|geometrie]] [[Commutatività|non commutative]].

Si tratta di uno strumento che permette di studiare il moto di un [[sistema dinamico]] ed è utilizzato in [[meccanica classica]], nell'[[elettromagnetismo]], nella [[meccanica relativistica]] e nella [[meccanica quantistica]] (in tal caso si parla di [[integrale sui cammini]]).

==Storia==

Il concetto di ''azione'' è stato introdotto da [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|Maupertuis]] per [[sistemi scleronomi]] nel [[1746]]. Secondo la sua definizione, in un sistema di <math> n </math> coordinate generiche <math> q_i </math>, intendendo l'integrale dell'[[energia cinetica]] <math>T</math> tra due istanti <math>t_1</math> e <math>t_2</math> dell'evoluzione temporale del sistema:

: <math> \mathcal{P} A= \int_{t_1}^{t_2} 2 \,cdot T(x\mathbf{q}(t),\dot\mathbf{xq}(t),t) \ \mathrm dt</math>,

Questa quantità viene chiamata ''azione ridotta'' in quanto funzionale applicato al percorso seguito da un sistema fisico che non considera la dipendenza dal parametro temporale <math>t</math>. Nei sistemi scleronomi l'energia cinetica è pari alla metà dell'[[integrale di Hamilton]], quindi l'azione ridotta è esprimibile come integrale di cammino:

:<math>\mathcal A{P} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf p \cdot \mathbf \dot q \ \mathrm dt = \int_{q_1}^{q_2} \mathbf{p} \cdot \mathrm d\mathbf{q} </math>

dove <math>\mathbf{p} </math> è la [[coordinate generalizzate|quantità di moto generalizzata]]. Il [[principio di Maupertuis]] stabilisce che lungo l'effettiva traiettoria seguita dal sistema questo funzionale è stazionario.

Riga 18:

Eulero, nelle sue Riflessioni su alcune leggi generali della natura del 1748, definisce ''sforzo'' come l'opposto dell'integrale dell'energia potenziale:

: <math> \mathcal E=-\int_{t_1}^{t_2} VU(x\mathbf{q}(t),t) \ \mathrm dt </math>

Hamilton, alla luce della recente [[meccanica lagrangiana|trattazione lagrangiana]] della [[meccanica analitica]], unificò le due definizioni precedenti in una più generale che tenesse conto di entrambi i contributi, e che portasse alle medesime conclusioni della [[meccanica newtoniana]]. Egli definì l'azione nel seguente modo:

: <math> \mathcal {S} = \frac {1 }{2 }\mathcal A{P} + \mathcal {E} </math>.

==Definizione==

In fisica esistono diverse definizioni di azione.<ref>Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3</ref><ref name="Analytical Mechanics 2008">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0</ref> Solitamente si fa corrispondere all'azione un [[integrale]] rispetto al tempo ed eventualmente rispetto ad un insieme di variabili spaziali, e talvolta l'integrale viene effettuato lungo la curva percorsa dal sistema considerato nello spazio delle configurazioni. In [[meccanica lagrangiana]] ed [[meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]] è solitamente definita come l'integrale nel tempo di una funzione caratteristica del sistema meccanico considerato, la [[lagrangianaLagrangiana]], valutato tra gli istanti iniziali e finali dell'evoluzione temporale del sistema tra due posizioni.

La principale motivazione nel definire il concetto di azione risiede nel [[principio variazionale di Hamilton]],<ref name="Reality, Roger Penrose 2007">The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1</ref> secondo il quale ogni sistema meccanico è caratterizzato dal fatto che la sua [[equazione del moto|evoluzione temporale]] tra due posizioni nello spazio [[Principio di minima azione|minimizza l'azione]]. Nell'ambito del [[calcolo delle variazioni]] tale enunciato si esprime dicendo che l'evoluzione temporale di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazionifasi è un [[Punto critico (matematica)|punto stazionario]] per l'azione, solitamente un punto di minimo, per piccole perturbazioni della traiettoria percorsa. Il principio variazionale permette in questo modo di riformulare le equazioni del moto, in genere [[equazione differenziale|equazioni differenziali]], attraverso un'equivalente [[equazione integrale]].

Se l'azione <math>\mathcal{S}</math> può essere espressa attraverso un operatore integrale nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema, si ha:<ref name="Analytical Mechanics 2008"/>

:<math>\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L \ \mathrm dt</math>

dove l'integrando <math>\mathcal L</math> è la lagrangianaLagrangiana. L'azione ha le dimensioni di un'[[energia]] per [[tempo]], e pertanto è misurata in [[joule]]•[[secondo]].

In un contesto più formale, si consideri una [[varietà differenziabile]] ''n''-dimensionale <math>M</math>, una varietà detta "bersaglio" <math>T</math> e sia <math>\mathcal{C}</math> lo spazio delle configurazioni delle [[funzione liscia|funzioni lisce]] da <math>M</math> a <math>T</math>. In [[meccanica classica]], ad esempio, <math>M</math> è la varietà monodimensionale <math>\mathbb{R}</math> che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il [[fibrato tangente|fibrato cotangente]] dello spazio delle [[coordinate generalizzate|posizioni generalizzate]].

L'azione è un [[funzione scalare|funzionale]] <math>S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}</math> che [[funzione (matematica)|mappa]] su <math>\mathbb{R}</math> (e non su <math>\mathbb{C}</math> per ragioni fisiche). Affinché l'azione sia [[Principio di località|locale]] è necessario imporre ulteriori restrizioni sul funzionale: se <math>\phi\in\mathcal{C}</math> si assume che <math>S(\phi)</math> sia l'[[integrale]] su <math>M</math> della lagrangianaLagrangiana <math>\mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial^2\phi, ...,x)</math>, che è funzione di <math>\phi</math>, delle sue [[derivata|derivate]] e della posizione. Esplicitamente, l'azione è definita nel seguente modo:

:<math>\mathcal S[\phi]\equiv\int_M \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial^2\phi(x), ...,x) \ \mathrm d^nx \qquad \forall\phi\in\mathcal{C}</math>

La maggior parte delle volte si assume che la lagrangianaLagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, poiché conoscendo la posizione e la [[velocità]] di ogni elemento che compone un sistema meccanico è possibile caratterizzarne completamente la dinamica, e prevedere in qualche modo la sua evoluzione.<ref name=def>{{Cita|Landau, Lifshits|Pag. 28|Landau}}.</ref>

===Equazioni variazionali di Eulero-Lagrange===

{{vedi anche|Equazioni variazionali di Eulero-Lagrange}}

Se <math>M</math> è [[insieme compatto|compatto]], le [[condizioni al contorno]] si ottengono specificando il valore di <math>\phi</math> al [[Frontiera (topologia)|frontiera]] di <math>M</math>, altrimenti si ottengono fornendo opportuni limiti per <math>\phi</math> quando <math>x</math> tende all'[[infinito (matematica)|infinito]]. Questo rende possibile ottenere l'insieme delle funzioni <math>\phi</math> tali che tutte le derivate funzionali di <math>S</math> su <math>\phi</math> sono [[zero|nulle]] e <math>\phi</math> soddisfa le condizioni al contorno date. Tale insieme è determinato, considerando le condizioni al contorno, dalle soluzioni [[Soluzione on shell ed off shell|on shell]] delle [[equazioni di Eulero-Lagrange]]:

:<math>\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\phi}= - \partial_\mu

\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0</math>

Il membro sinistro è la [[derivata funzionale]] dell'azione rispetto a <math>\phi</math>.

In [[meccanica classica]] la lagrangianaLagrangiana è data dalla somma tra l'[[energia cinetica]] <math>T</math> e il potenziale <math>UV</math> (che coincide con l'energia potenziale V, cambiata di segno) o, analogamente, dalla differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale <math>U</math>. In [[coordinate lagrangiane]] è definita quindi nel seguente modo:

:<math> \mathcal{L} (\dot \mathbf{q}, \mathbf{q}, t) = T (\dot \mathbf{q}, \mathbf{q}, t) +- U (\mathbf{q}, t)</math>

==Invariante di Poincaré==

Un invariante temporale viene definito come una grandezza <math>\mathcal I</math> tale che:<ref>{{Cita|Fitspatrick|pp. 26-27}},{{Cita|Benettin|pp. 89-96}}.</ref>

:<math> \frac {\mathrm d \mathcal I}{\mathrm dt}= 0 </math>

Riga 63:

:<math> \frac {\mathrm d \mathcal I}{\mathrm dt} = - \oint_C \mathrm d \mathcal H = 0 </math>

in quanto da lui adottato nella [[teoria delle orbite]]. Introducendo una variabile periodica <math>s</math> per mettere la curva e l'Hamiltoniana in forma parametrica, sviluppando la [[derivata totale]] dell'hamiltonianaHamiltoniana si ha:

:<math> \oint_C \mathrm d \mathcal H = \oint_{C(s)} \frac {\mathrm d \mathcal H}{\mathrm ds} \mathrm ds = \oint_{C(s)} \left [ \frac {\partial \mathcal H}{\partial p_i} \frac {\partial p_i}{\partial s} + \frac {\partial \mathcal H}{\partial q_i} \frac {\partial q_i}{\partial s} \right ] \, \mathrm ds = 0</math>

Riga 77:

Si dimostra quindi che questo invariante corrisponde all'azione ridotta lungo una traiettoria chiusa <math>C</math> nello spazio delle fasi, ovvero alla circuitazione:

:<math>\mathcal I = \oint_C \mathbf{p} \cdot \mathrm d\mathbf{q} = \oint_C \mathrm d \mathcal AP</math>

semplicemente parametrizzando la curva e le variabili coniugate:

Riga 85:

==Azione classica==

{{vedi anche |Principio variazionale di Hamilton}}

Anche in fisica classica l'azione è definita come un [[funzionale]] ([[integrale]]) <math>\mathcal{S}</math> che agisce su un insieme di funzioni dipendenti dal tempo ed eventualmente dallo spazio, e restituisce uno [[Campo (matematica)|scalare]].<ref name="Reality, Roger Penrose 2007"/><ref>Classical Mechanics, T.W.B. Kibble, European Physics Series, McGraw-Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0</ref> In [[meccanica classica]] un sistema fisico è descritto da <math>Nn</math> [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf q = (q_1,q_2,\dots,q_Nq_n)</math>, ed evolve tra due stati <math>\mathbf q_1(t)= \mathbf q(t_1)</math> e <math>\mathbf q_2(t)= \mathbf q(t_2)</math> nell'intervallo temporale compreso tra gli istanti <math>t_1</math> e <math>t_2</math>.

L'[[integrale]] che definisce l'azione nell'intervallo compreso tra <math>t_1</math> e <math>t_2</math> è dunque il seguente:

Riga 91:

:<math>

\mathcal{S}[\mathbf{q}] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\

\int_{t_1}^{t_2} \mathcal L(\dot\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t)\, \mathrm dt

</math>

dove <math>\mathcal L(\dot\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)</math> denota la [[lagrangiana]]Lagrangiana del sistema.

Il principio variazionale afferma che l'evoluzione del sistema fisico è la soluzione dell'[[calcolo variazionale|equazione variazionale]]:

Riga 100:

:<math>\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \mathbf{q}(t)}=0</math>

In un sistema scleronomo, in particolare, anche l'azione ridotta <math>\mathcal AP</math> sulla [[traiettoria]] di un oggetto è stazionaria, come stabilito dal [[principio di Maupertuis]].

== Azione relativistica ==

L'approccio hamiltoniano ha il vantaggio di essere facilmente esteso e generalizzato. Per essere [[invarianza di Lorentz|invariante]], l'azione deve dipendere da quantità invarianti. La più semplice di queste quantità è il [[tempo proprio]], indicato con <math> \tau </math>, ovvero il tempo misurato da un orologio in un [[sistema di riferimento]] solidale con la particella. In accordo con la [[relatività ristretta]] si ha che la quantità:

:<math> -(c \, \mathrm d \tau )^2 = - \mathrm ds^2 = -(c \, \mathrm dt)^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2, \ </math>

dove con <math> c </math> si è indicata la [[velocità della luce]] e con <math> \mathrm d \tau = - \mathrm ds / c </math> è la variazione infinitesima del tempo proprio. Per un [[punto materiale]] non soggetto a forze l'azione relativistica è data da<ref>L.D. Landau and E.M. Lifshitz ''The Classical Theory of Fields'' Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25</ref>:

:

:<math>\mathcal S = -mc \int \mathrm ds = -mc^{2} \int \mathrm d \tau .</math>

Riga 117:

==Bibliografia==

* {{Cita libro| autore-capitolo=G. Benettin| capitolo= par. 4.7 Invarianti adiabatici|titolo=[https://www.math.unipd.it/~benettin/links-MA/ma-17_10_25.pdf Appunti per il corso di meccanica analitica]|pp=89-96|cid=Benettin|anno=2017}}

* {{Cita pubblicazione

| autore-capitolo=BenettinFitzpatrick, GR. | capitolo= par. 4.7 Invarianti adiabatici|titolo=[httphttps://www.mathcfa.unipdharvard.itedu/~benettinscranmer/links-MAAy253/ma-14_10_29LecNotes/fitzpatrick_plasma_physics.pdf AppuntiPlasma perphysics]| ilcapitolo= corsopar. di2.7 meccanicaPoincaré analitica]Invariants|pp=8926-9627|cidlingua=Benettinen|annocid=2014Fitspatrick}}

* {{Cita libro | autore=Lev D. Landau | coautoriautore2= Evgenij M. Lifshits| titolo=[[Corso di Fisica Teorica|Fisica teorica 1 - Meccanica]]| data=1976| editore=Editori Riuniti Edizioni Mir| città= Roma| ISBN=88-6473-202-0|cid= Landau}}

* {{Cita pubblicazione

| autore=Fitzpatrick, R. | titolo=[https://www.cfa.harvard.edu/~scranmer/Ay253/LecNotes/fitzpatrick_plasma_physics.pdf Plasma physics]| capitolo= par. 2.7 Poincaré Invariants|pp=26-27|lingua=en|cid=Fitspatrick}}

* {{Cita libro | autore=Lev D. Landau | coautori= Evgenij M. Lifshits| titolo=Fisica teorica 1 - Meccanica| data=1976| editore=Editori Riuniti Edizioni Mir| città= Roma| ISBN=88-6473-202-0|cid= Landau}}

* {{en}}Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover Publications, New York, 1986. ISBN 0-486-65067-7. Il riferimento più citato tra tutti quelli che trattano questo campo.

* {{en}}Moore, "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Simon & Schuster Macmillan, 1996, Volume 2, ISBN 0-02-897359-3, pp.&nbsp;840–842.

Riga 141 ⟶ 140:

*[[Principio di Maupertuis]]

*[[Principio variazionale di Hamilton]]

*[[Teorema di Liouville (meccanica Hamiltonianahamiltoniana)|Teorema di Liouville]]

*[[Teorema di Noether]]

*[[Teoria delle piccole oscillazioni]]

Riga 154 ⟶ 153:

*{{cita web|http://www.emis.de/classics/Hamilton/|Hamilton, ''The mathematical paper'' trascritte e corrette da David R. Wilkins}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|Meccanica}}

[[Categoria:Meccanica razionale]]

[[Categoria:Grandezze energetiche]]