「リーマン＝スティルチェス積分」の版間の差分

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[[数学]]の[[微分積分学]]周辺分野における'''リーマン＝スティルチェス積分'''（リーマンスティスルチェスせきぶん、{{lang-en-short|''Riemann–Stieltjes integral''}}）は、[[ベルンハルト・リーマン]]と[[トーマス・スティルチェス]]に名を因む、[[リーマン積分]]の一般化である。

== 定義 ==

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が満たされるようにできることを言う。

この一般化は、一般化リーマンスティルチェス積分が閉区間 [''a'', ''b''] の分割全体の成す[[有向集合]]上の[[{{ill|ムーア＝スミス極限]]|en|Moore–Smith limit}}として得られることを示すものになっている {{harv|McShane|1952}}。{{harvtxt|Hildebrandt|1938}}はこれを'''{{ill|ポラール＝ムーア＝スティルチェス積分''' {{lang|en|(Pollard–Moore–Stieltjes integral)}} と呼んでいる。

=== ダルブー＝スティルチェス積分 ===

リーマン＝スティルチェス積分は[[{{ill|ダルブー積分]]|en|Darboux integral}}の適当な一般化（ダルブー＝スティルチェス積分）としてもきちんと扱うことができる。分割 ''P'' に対して、函数 ''f'' の函数 ''g'' に関する上ダルブー（＝スティルチェス）和

:<math>U(P,f,g) = \sum_{i=0}^{n-1} M_i(g(x_{i+1})-g(x_i))\quad (M_i := \sup_{x_i\le x\le x_{i+1}}f(x))</math>

およびおよび下ダルブー（＝スティルチェス）和

:<math>L(P,f,g) = \sum_{i=0}^{n-1} m_i(g(x_{i+1})-g(x_i))\quad(m_i := \inf_{x_i\le x\le x_{i+1}}f(x))</math>

を考え、これらのそれぞれ下限および上限をそれぞれダルブー＝スティルチェス上積分および下積分と呼べば

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このようにダルブー＝スティルチェス積分とリーマン＝スティルチェス積分は双方がともに定義されるとき一致するので、ダルブー＝スティルチェス積分によって（すなわち過剰和と不足和が一致するときのダルブー＝スティルチェス和として）リーマン＝スティルチェス積分を定義することがある<ref>例えば、{{harv|rudin}}。</ref>。

''f'' が有界、''g'' が非減少のとき、''f'', ''g'' が不連続点を共有しないならば、''f'' の ''g'' に関するふたつのスティルチェス積分は存在して一致する。そうでないとき、一般にリーマン＝スティルチェス可積分ならばダルブー＝スティルチェス可積分だが、ダルブー＝スティスチェス積分が存在しても必ずしもリーマン＝スティルチェス可積分であるとは限らない<ref>{{harv|Haaser|Sullivan|p=260}}（[httphttps://books.google.co.jp/books?id=JypBdruvTjYC&pg=260&ved=0CDgQuwUwAQ#v=onepage google books]）</ref>。

== 性質およびリーマン積分との関係 ==

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{{integral}}

{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:りいまんすているちえすせきふん}}

[[Category:積分法]]

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[[Category:数学に関する記事]]

[[Category:人名を冠した数式]]

[[Category:数学のエポニム]]