Problemi irrisolti in matematica: differenze tra le versioni

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La [[storia della matematica|storia della '''matematica''']] è stata sempre segnatacostellata dalla questione dei '''problemi irrisolti''', vale a dire quelle [[congetture]] e domande delle quali, innon ogni epoca,solo non si conosce la soluzionerisposta, ema che sembrano sfide inattaccabili con i mezzi dell'indagine matematica, ladell'epoca in cui sono proposte. La loro soluzione, spessoavvenuta a volte a distanza di secoli, si è spesso dimostrata in grado di schiudere nuovi orizzonti allo sviluppo del pensiero matematico, richiedendo, a volte, l'inquadramento del problema in un contesto matematico diverso da quello della formulazione originaria.

== Storia ==

I ''[[Problema aperto|problemi aperti]]'' hanno sempre rivestito una grande importanza in matematica, contribuendo a segnarne la storia, dal momento che le domande poste in questa categoria di problemi "a volte [...] illuminano sviluppi futuri di questa disciplina"<ref name="C. Procesi"/>. Ma l'efficacia di questa precognizione prospettica è spesso contraddetta da una constatazione che proviene proprio da considerazioni storiche e retrospettive: la [[storia della matematica]], infatti, insegna come la soluzione di problemi aperti sia avvenuta, molto spesso, attraverso approcci e sviluppi inattesi e imprevedibili all'epoca della loro formulazione, o, a volte (come nel caso dell'[[ultimo teorema di Fermat]], nato in un contesto che si potrebbe definire di [[aritmetica]] "[[Eulero|eulerianoeuleriana]]"), attraverso collocazione in un diverso ambito specialistico<ref name="C. Procesi"/>.

Sono numerosi gli esempi di questa inefficacia predittiva sulle future strade intraprese dai progressi del sapere matematico: tra questi, vi sono le soluzionesoluzioni delle note questioni sulla [[duplicazione del cubo]] e sulla [[trisezione dell'angolo]] con [[riga e compasso]], problemi che hanno resistito per millenni prima che si avesse familiarità con nuove tecniche e prima che si individuasse il giusto contesto matematico in cui andava collocata la ricerca della loro soluzione (risolta con un'impossibilità). Quest'ultimo, infatti, risulta essere spesso molto diverso da quello in cui il problema si collocava in origine<ref name="C. Procesi">{{Treccani |matematica-problemi-aperti_(Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica) |autore = [[Claudio Procesi]]|titolo = Matematica: problemi aperti|anno = 2007}}</ref>.

I ''[[Problema aperto|problemi aperti]]'' hanno sempre rivestito una grande importanza in matematica, contribuendo a segnarne la storia, dal momento che le domande poste in questa categoria di problemi "a volte [...] illuminano sviluppi futuri di questa disciplina"<ref name="C. Procesi"/>. Ma l'efficacia di questa precognizione prospettica è spesso contraddetta da una constatazione che proviene proprio da considerazioni storiche e retrospettive: la [[storia della matematica]], infatti, insegna come la soluzione di problemi aperti sia avvenuta, molto spesso, attraverso approcci e sviluppi inattesi e imprevedibili all'epoca della loro formulazione, o, a volte (come nel caso dell'[[ultimo teorema di Fermat]], nato in un contesto che si potrebbe definire "[[Eulero|euleriano]]"), attraverso collocazione in un diverso ambito specialistico<ref name="C. Procesi"/>.

Molto feconda si è mostrata, poi, in alcuni casi, una soluzione di tipo "negativo", attraverso la dimostrazione dell'impossibilità del risultato prospettato dal quesito. Ne sono esempi notevoli i due grandi problemi aperti lasciati in eredità dalla [[matematica greca]]: la [[duplicazione del cubo]] e l'indipendenza del [[quinto postulato di Euclide]] (il cosiddetto "[[assioma]] delle parallele") nell'ambito dello [[Postulati di Euclide|schema di postulati geometrici sistematizzati]] negli ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]'' di [[Euclide]]<ref name="C. Procesi"/>. La soluzione di quest'ultimo ha richiesto la scoperta che esistono le cosiddette [[geometrie non euclidee]], nel quale il quinto postulato non è soddisfatto, che hanno aperto nuove strade allo studio e alla comprensione della matematica, con lo studio delle geometrie in base al loro [[gruppo di simmetria|gruppo di simmetrie]]<ref name="C. Procesi"/>.

Sono numerosi gli esempi di questa inefficacia predittiva sulle future strade intraprese dai progressi del sapere matematico: tra questi, vi sono le soluzione delle note questioni sulla [[duplicazione del cubo]] e sulla [[trisezione dell'angolo]] con [[riga e compasso]], problemi che hanno resistito per millenni prima che si avesse familiarità con nuove tecniche e prima che si individuasse il giusto contesto matematico in cui andava collocata la ricerca della loro soluzione (risolta con un'impossibilità). Quest'ultimo, infatti, risulta essere spesso molto diverso da quello in cui il problema si collocava in origine<ref name="C. Procesi">{{Treccani |matematica-problemi-aperti_(Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica) |autore = [[Claudio Procesi]]|titolo = Matematica: problemi aperti|anno = 2007}}</ref>.

Lo studio della [[quadratura del cerchio]], invece, ha portato alla distinzione tra [[numeri algebrici]] e [[numeri trascendenti]], che investe sia l'[[algebra astratta]] sia l'[[analisi matematica]], visto che la dimostrazione della trascendenza di [[pi greco]] ha richiedorichiesto strumenti e metodi del [[calcolo infinitesimale]]<ref name="C. Procesi"/>.

Molto feconda si è mostrata, poi, in alcuni casi, una soluzione di tipo "negativo", attraverso la dimostrazione dell'impossibilità del risultato prospettato dal quesito. Ne sono esempi notevoli i due grandi problemi aperti lasciati in eredità dalla [[matematica greca]]: la [[duplicazione del cubo]] e l'indipendenza del [[quinto postulato di Euclide]] (il cosiddetto "assioma delle parallele") nell'ambito dello [[Postulati di Euclide|schema di postulati geometrici sistematizzati]] negli ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]'' di [[Euclide]]<ref name="C. Procesi"/>. La soluzione di quest'ultimo ha richiesto la scoperta che esistono le cosiddette [[geometrie non euclidee]], nel quale il quinto postulato non è soddisfatto, che hanno aperto nuove strade allo studio e alla comprensione della matematica, con lo studio delle geometrie in base al loro [[gruppo di simmetria|gruppo di simmetrie]]<ref name="C. Procesi"/>.

Lo studio della quadratura del cerchio, invece, ha portato alla distinzione tra [[numeri algebrici]] e [[numeri trascendenti]], che investe sia l'[[algebra astratta]] sia l'[[analisi matematica]], visto che la dimostrazione della trascendenza di [[pi greco]] ha richiedo strumenti e metodi del [[calcolo infinitesimale]]<ref name="C. Procesi"/>.

A dispetto della profondità delle questioni soggiacenti, e delle tecniche matematiche che ne permettono la "trattabilità", molti problemi aperti ammettono una formulazione in termini assai elementari e di estrema semplicità, accessibile anche alla comprensione di un profano della materia: esempi di queste formulazioni elementari sono i già citati problemi di costruzione con riga e compasso, a cui si possono aggiungere altri, come la [[congettura di Goldbach]], concernente forme di regolarità nella [[distribuzione dei numeri primi]], oppure il [[teorema dei quattro colori]], o il celebre [[ultimo teorema di Fermat]].

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Proprio per gli effetti che tali problemi possono avere sullo sviluppo futuro dello studio della matematica, a volte si è ritenuta utile la compilazione di liste per individuare questioni giudicate molto significative. Un esempio celebre è quello dei [[problemi di Hilbert]], una lista di 23 questioni irrisolte compilata da [[David Hilbert]] e proposta, nell'estate del [[1900]], alla [[Unione matematica internazionale|comunità matematica internazionale]] riunitasi in occasione del [[Congresso internazionale dei matematici]] di [[Parigi]]. La presenza dei problemi di Hilbert si è riverberata sulla storia della matematica fin oltre il secolo XX.

Altro esempio novecentesco è costituito dai [[Problemi di Landau]] proposti nel 1912 da [[Edmund Landau]]. Celebri sono poi i problemi del cosiddetto ''[[Libro Scozzesescozzese]]'', una raccolta di questioni matematiche e problemi matematici irrisolti (soprattutto nel campo dell'[[analisi funzionale]]) compilata negli [[anni 1930|anni trenta]] del [[Novecento]] durante riunioni conviviali di professori e studenti della celebre [[Scuola matematica di Leopoli]], in [[Polonia]], un cenacolo culturale che annoverava figure di eminenti matematici, come [[Stefan Banach]], [[Stanisław Ulam]], [[Alfred Tarski]], [[Hugo Steinhaus]], [[Stanisław Mazur]], [[Juliusz Paweł Schauder]] e numerosi altri<ref name="B. Myciek, 113">Bożena Myciek, ''Il viaggio sentimentale dei polacchi a Leopopli'', in M. G. Bartolini, G. Brogi Bercoff (a cura di), ''Kiev e Leopoli. Il testo culturale'', 2007, p. 113.</ref>.

=== XXI secolo ===

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=== I problemi della scuola matematica di Leopoli ===

{{vedi anche|Libro Scozzesescozzese}}

[[File:MazurGes.jpg|thumb|upright=1.4|[[Per Enflo]] (a destra) riceve un'[[oca]] viva da [[Stanisław Mazur]], nel [[1972]], premio promesso negli [[anni 1930|anni trenta]] per la soluzione del problema 153 del ''[[Libro Scozzesescozzese]]''.]]

{{vedi anche|Libro Scozzese}}

I problemi del cosiddetto ''[[Libro Scozzese]]scozzese'' ebbero origine nell'ambito della celebre [[Scuola matematica di Leopoli]], in [[Polonia]], a cui si devono fondamentali sviluppi nell'[[analisi funzionale]] attraverso eminenti figure di matematici, come [[Stefan Banach]], [[Stanisław Ulam]], [[Alfred Tarski]], [[Hugo Steinhaus]], [[Stanisław Mazur]], [[Juliusz Paweł Schauder]], e numerosi altri. Il nome della raccolta deriva da quello del ''[[Caffè scozzese]]'', il locale che fu sede delle riunioni informali di studenti e professori che animarono il celebre sodalizio scientifico.

=== I problemi per il millennio ===

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* [[Classi di complessità P e NP|P contro NP]]

* [[Congettura di Hodge]]

* [[Congettura di Poincaré]] (risolta negli anni '60 per dimensioni superiori a 4; 1982 per il caso quadridimensionale; [[2002]] per il caso in tre dimensioni)

* [[Ipotesi di Riemann]]

* [[Teoria di Yang-Mills]]

* [[Esistenza e regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes|Equazioni di Navier-Stokes]]

* [[Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer]]

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* [[Congettura di Gilbreath]]

* [[Congettura di Goldbach]]

* [[Congettura debole di Goldbach]]

* I valori di <math>g(k)</math> e <math>G(k)</math> nel [[problema di Waring]]

* [[Congettura di Erdős sulle progressioni aritmetiche]]

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* [[Problema di Galois inverso]]

* [[Problema di Burnside|Problema limitato di Burnside]]

* [[Problema del divano]]

* [[Congettura di Polignac]]

* Problema generalizzato dell'[[altezza star]]

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* Esistenza dei [[Numero lievemente abbondante|numeri lievemente abbondanti]]

* Esistenza di infinite [[quadrupla di primi|quadruple di primi]]

* Esistenza di un [[Numero lievemente abbondante|numero quasi perfetto]]

* Esistenza di infiniti [[Numero primo di Sophie Germain|numeri primi di Sophie Germain]]

* Esistenza di un [[numero di Wall-Sun-Sun]]

* Modellizzazione dei ''mergers'' dei [[buco nero|buchi neri]]

* Qual è il più piccolo [[numero di Riesel]]?

* Qual è il più piccolo [[numero di SierpinskiSierpiński]]?

* Ogni [[numero di Fermat]] è [[numero composto|composto]] per <math>n > 4</math>?

* La [[costante di Eulero-Mascheroni]] è [[Numero irrazionale|irrazionale]]?

* Ogni [[gruppo di torsione]] a [[presentazione di un gruppo|presentazione finita]] è [[Gruppo finito|finito]]?

Riga 106 ⟶ 105:

* [[Teorema di de Branges]], [[1984]]

* [[Teorema dei quattro colori]], [[1977]]

* [[Congettura debole di Goldbach]], [[2010]]

== Note ==

<references/>

Riga 118 ⟶ 117:

* Victor Klee, Stan Wagon (1996): ''Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory'', The Mathematical Association of America, ISBN 0883853159

* Florentin Smarandache (2000): ''Definitions, Solved and Unsolved Problems, Conjectures, and Theorems in Number Theory and Geometry'', Amer Research, ISBN 187958574X

* Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava (2018): ''Facile, anzi...difficilissimo!'', Hoepli - Milano, ISBN 978-88-203-8556-9

== Voci correlate ==

*[[Congettura]]

*[[Congetture matematiche]]

*[[Cronologia della matematica]]

*[[Libro Scozzesescozzese]]

*[[Problema aperto]]

*[[Problemi di Hilbert]]

*[[Libro Scozzese]]

*[[Cronologia della matematica]]

*[[Congetture matematiche]]

*[[Problemi per il millennio]]

== CitazioneAltri progetti ==

{{interprogetto}}

''Problems worthy of attack prove their worth by fighting back''

— [[Piet Hein (scrittore)|Piet Hein]] ([[1905]]–[[1996]])

''I problemi che meritano di essere attaccati dimostrano il loro valore contrattaccando.''

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}} Winkelmann, Jörg, "''[https://web.archive.org/web/20050721074634/http://www.math.unibas.ch/~winkel/problem.html Some Mathematical Problems]''". Feb 3, 2004.

* {{en}} {{cita web|url=http://www.geocities.com/ednitou/|titolo=Lista di link ada problemi di matematica irrisolti, premi e studi.|deadurlurlmorto=yessì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20010428044725/http://www.oocitiesgeocities.com/ednitou/|accesso=21 novembre 2005|dataarchivio=28 aprile 2001}}

{{Portale|matematica|storia}}

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[[Categoria:Problemi matematici aperti| ]]

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