Teorema di Taylor: differenze tra le versioni

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Il '''teorema di Taylor''', in [[analisi matematica]], è un [[teorema]] che fornisce una sequenza di approssimazioni di una [[funzione differenziabile]] attorno ad un dato punto mediante i polinomi di Taylor, i cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto.

I polinomi sono tra le funzioni più semplici da utilizzare; molte funzioni possono essere approssimate con polinomi, in modo che tale approssimazione sia "abbastanza" precisa. Il teorema di Taylor spiega in che senso si può ottenere una tale approssimazione utilizzando il polinomio di [[Brook Taylor|Taylor]]. In particolare, la formula di Taylor con il resto di Lagrange si può considerare un'estensione del [[Teoremateorema di Lagrange]]: infatti ad una [[funzione differenziabile]] in un intervallo <math>(a,x) \subset \mathbb{R}</math>, e prolungabile con continuità agli estremi, si può applicare il teorema di Lagrange:

:<math>\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f^{ \prime }(\xi),</math>

dove <math>\xi \in (a,x)</math>. Da questa si ottiene:

:<math>f(x) = f(a) + f^{ \prime }(\xi) (x-a)\quad,</math>

che è un caso particolare della formula di Taylor con il resto di Lagrange.

==Formula di Taylor per funzioni di una variabile==

Consideriamo un intervallo <math>(a,b) \subset \mathbb R</math> ed un punto <math>x_0 \in (a,b)</math>. Sia <math>f \colon (a,b) \to \R</math> derivabile <math>n - 1</math> volte nell'intervallo <math>(a,b)</math>, con <math>n \ge 1</math>, e supponiamo che la derivata <math>n</math>-esima <math>f^{(n)}</math> sia continuaesista nel punto <math>x_0</math>. Allora, definitodefiniamo il '''polinomio di Taylor''' di grado <math>n</math> come

:<math>\operatorname{T}_n(f,x) = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+ { {f^{\prime \prime}(x_0)}\over{2!}}(x-x_0)^2 + ... \ldots + {{f^{(n)}(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n = \sum_{k=0}^n {{f^{(k)}(x_0)}\over k!}(x-x_0)^k </math>

si ha che

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ove <math>R_n(x)</math> è un [[o piccolo|infinitesimo di ordine superiore]] a <math>(x-x_0)^n </math> cioè:

:<math>\lim_{x \to x_0}{R_n(x)\over(x-x_0)^n} = 0.</math>

Il resto <math>R_n(x)</math> si può esprimere in varie forme, che possono risultare più o meno utili a seconda della necessità.

== Resto di Peano ==

Il resto nella '''forma di [[Giuseppe Peano|Peano]]''' è indicato semplicemente con la notazione di [[o piccolo]]:

:<math>R_n(x) = \operatorname o\left((x-x_ox_0)^{n}\right).</math>

Nel caso particolare <math>n = 1</math>, la formula di Taylor con il resto di Peano diventa:

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Essa esprime un'approssimazione della funzione <math>f</math>, derivabile nel punto <math>x_0</math>, mediante il polinomio di Taylor

:<math>\operatorname T_1(f,x) = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0).</math>

Il grafico di <math>\operatorname T_1(f,x) </math> è la retta tangente al grafico di <math>f </math> nel punto di coordinate <math>(x_0, \, f(x_0)) </math>. L'approssimazione suddetta è, in generale, migliore rispetto a quella ottenibile a partire dalla sola [[Funzione continua|continuità]], che si può esprimere come

:<math>f(x) = f(x_0) + \operatorname o(1).</math>

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La formula di Taylor con il resto di Peano risulta particolarmente utile nel calcolo di [[limite di una funzione|limiti]] di funzioni.

=== Dimostrazione ===

Sia <math>f \colon [x_0, b) \to \R</math> [[derivata|derivabile]] <math>n</math> volte in <math>x_0</math>, vogliamo dimostrare che

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Dunque abbiamo che

:<math>o( h^n ) =f(x)- \sum_{k=0}^n {{f^{(k)}(x_0)}\over k!} \, h^k</math>

e per definizione di o-piccolo (dove usiamo la convenzione <math>f^{(0)}(x_0) = f(x_0) </math> per la "derivata di ordine zero" di <math>f</math>). Questo equivale a

:<math>\lim_{h \to 0} {{1}\over{h^n}}\left[f(x_0+h)-f(x_0)-f^{ \prime }(x_0)h-\dots-f^{(n)}(x_0){{h^n}\over{n!}}\right] = 0. \qquad (1)</math>

La dimostriamo per [[Principio d'induzione|induzione]]. Per <math>n=1\quad</math> la relazione è facilmente verificabile; infatti se esiste <math>f^{ \prime }(x_0)\quad</math> la relazione coincide con la [[differenziabilità|condizione di differenziabilità]] per una funzione di una variabile, ovvero:

:<math>\lim_{h \to 0} {{f(x_0+h)-f(x_0)-f^{ \prime }(x_0)h}\over{h}}= 0 .</math>

Supponiamola vera per <math>n-1</math> e dimostriamola per <math>n </math>. Il rapporto che compare nella <math>(1)\quad</math> si presenta nella forma indeterminata <math>{{0}\over{0}}</math> per <math>h\to 0\quad</math>; osserviamo inoltre che sia il denominatore sia la sua derivata prima <math>n h^{n - 1}</math>, per <math>h > 0</math> non assumono mai un valore nullo.

Sono dunque soddisfatte le ipotesi per applicare il [[regola di de l'Hôpital|teorema di de l'Hôpital]], e allora il limite nella <math>(1) </math> viene a coincidere con:

:<math>\lim_{h \to 0} {{f^{ \prime }(x_0+h)-f^{ \prime }(x_0)-f^{ \prime \prime }(x_0)h-\dots-f^{(n)}(x_0){{h^{n-1}}\over{(n-1)!}}}\over{ n h^{n-1}}}, \qquad (2)</math>

nel caso quest'ultimo limite esista. Nelle nostre ipotesi la funzione <math>g(x) = f^{ \prime }(x)\quad</math>, che è definita in un intorno destro di <math>x_0\quad,</math>, è derivabile <math>n-1</math> volte in <math>x_0\quad</math> e quindi, osservando che

nel caso quest'ultimo limite esista.

Nelle nostre ipotesi la funzione <math>g(x) = f^{ \prime }(x)\quad</math>, che è definita in un intorno destro di <math>x_0\quad</math>, è derivabile <math>n-1</math> volte in <math>x_0\quad</math> e quindi, osservando che

:<math>f^{(k)}(x_0) = g^{ (k - 1) }(x_0), \quad k = 1, \dots, n,</math>

per l'ipotesi induttiva applicata alla funzione <math>g(x),</math> segue che il limite nella <math>(2)\quad</math> è zero, ossia (data l'eguaglianza dei limiti per la regola di de l'Hôpital):

:<math> f(x_0 + h) - f(x_0) - f^{ \prime }(x_0) h - \dots - f^{(n)}(x_0) \frac{h^n}{n!} =\operatorname o(h^n) ,</math>

il che dimostra il passo induttivo, e con esso la tesi. [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]

== Resto di Lagrange ==

Il resto nella '''forma di [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]''' afferma che, se la funzione è derivabile <math>n</math> volte in un intorno di <math>x_0</math> (si richiede che sia derivabile almeno <math>n-1</math> volte in un intorno del tipo <math>[x_0, x)</math>, più un'altra volta in <math>(x_0, x)</math> per qualche <math>x</math>) esiste <math>\xi</math> compreso tra <math>x_0</math> e <math>x</math> tale che

:<math> R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1},.</math>

Questa formula permette di interpretare il teorema di Taylor come una generalizzazione del [[teorema di Lagrange]].

=== Dimostrazione ===

Il teorema si dimostra per [[principio di induzione|induzione]].

La base induttiva è fatta per <math> n=10</math>:

:<math>R_1R_0=f(x)-T_1T_0(f,x)=f(x)-f(x_0)-=f'(\zeta)(x-x_0)</math> vero per il [[teorema di Lagrange]].

\Rightarrow f(x)-f(x_0)=f'(\zeta)(x-x_0)</math> vero per il [[teorema di Lagrange]].

Il passo induttivo è fatto considerando il teorema vero per <math>n-1</math> e dimostrandolo, con questo, per <math>n</math>.

Ponendo

Ponendo <math>F(c)=f(c)-T_{n-1}(f,c)=f(c)-\left(f(x_0)+f'(x_0)(c-x_0)+ ... +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(c-x_0)^{n-1}\right)</math>

Ponendo :<math>F(c)=f(c)-T_{n-1}(f,c)=f(c)-\left(f(x_0)+f'(x_0)(c-x_0)+ ...\ldots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(c-x_0)^{n-1}\right),</math>

e

e <math>G(c)=(c-x_0)^{n}</math>

con :<math>x<G(c<)=(c-x_0)^{n+1},</math>

con <math>x<c<x_0,</math> allora esiste <math>x_1 \in (x,x_0)</math> tale che <math> F'(x_1)(G(x)-G(x_0))=G'(x_1)(F(x)-F(x_0))</math> per il [[teorema di Cauchy (analisi matematica)|teorema di Cauchy]].

Siccome

Siccome <math>G'(x_1)=n(x_{1}-x_{0})^{n-1}</math>

Siccome :<math>G'(x_1)=(n+1)(x_{1}-x_{0})^{n-1},</math>

<math>F'(x_1)=f'(x_1)-\left(f'(x_0)+ ... +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(n-1)(x_1-x_0)^{n-2}\right) = f'(x_1)-\left(f'(x_0)+ ... +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-2)!}(x_1-x_0)\right)</math>

allora

<math>G(x_0)=(x_{o}-x_{0})^n=0</math>

:<math>F'(x_0x_1)=f'(x_0x_1)-\left(f(x_0)+f'(x_0)(x_{0}-x_{0})+ ...\ldots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x_x_1-x_0)^{0}n-x_{01}\right) = 0 </math>

e :<math>G(cx_0)=(cx_{0}-x_0x_{0})^{n+1}=0,</math>

:<math>F'(x_1x_0)=f'(x_1x_0)-\left(f'(x_0)+ ... +\frac{f^{'(n-1x_0)}(x_0)}x_{(n-1)!0}(n-1)(x_1-x_0)^x_{n-20}\right)+ = f'(x_1)-\left(f'(x_0)+ ...ldots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-2)!}(x_1x_{0}-x_0x_{0})^{n}\right) = 0.</math>

Sostituendo nella formula ricavata dal teorema di Cauchy:

:<math>\left(f'(x_1)-\left(f'(x_0)+ ... \ldots+\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-21)!}(x_{1}-x_{0})^{n-1}\right)\right)(x-x_0)^{n+1} = (n+1)(x_{1}-x_{0})^{n-1}\left(f(x)-\left(f(x_0)+f'(xx_0)(x-x_0)+ ...\ldots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}\right)\right).</math>

Spostando i fattori che moltiplicano gli sviluppi di Taylor si ottiene:

:<math>\frac{\left(f'(x_1)-\left(f'(x_0)+ ... \ldots+\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-21)!}(x_1-x_0)^{n-21}\right)\right)}{(n+1)(x_1-x_0)^{n-1}} = \frac{f(x)-\left(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+ ...\ldots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}\right)}{(x-x_0)^{n+1}}.</math>.

Applicando l'ipotesi induttiva su <math>f',</math> ossia <math>f'(x_1) = T_{n-1}(f',x_1) + R_{n-1}(x_1),</math> esplicitando:

Apllicando l'ipotesi induttiva si ha che:

:<math>f'(x_1)-\left(f'(x_0)+ ... \ldots+\frac{f^{(n-1+1)}(x_0)}{(n-21)!}(x_1-x_0)^{n-21}\right) = \frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n-1)!}(x_1-x_0)^{n-1},</math>

con <math>\zeta \in (x_{0},x)</math>

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quindi sostituendo:

:<math>f(x)-\left(f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+ ... \ldots+\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}\right) = \frac{1}{(n+1)(x_1-x_0)^{n-1}} \cdot \frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n-1)!}(x_1-x_0)^{n-1} \cdot (x-x_0)^{n</math>+1} =

\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x -x_0)^{n+1},</math>

ma il termine a primo membro è proprio <math>R_nR_{n}=f(x)-T_{n}(f,x)</math>, quindi semplificando aal secondo membro si ottiene:

:<math>R_nR_{n}=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</math> con <math>\zeta \in (x_{0},x)</math>. [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]

== Resto di Cauchy ==

Il resto nella '''forma di [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]]''' afferma che esiste <math>\xi</math> compreso tra <math>x</math> e <math>x_0</math> tale che

Riga 146 ⟶ 143:

Questa forma si può generalizzare nel seguente modo: se <math>G(t)</math> è una [[funzione continua]] su <math>[a,x]</math> e differenziabile su <math>(a,x)</math> con derivata non nulla, allora esiste <math>\xi</math> compreso tra <math>x</math> e <math>x_0</math> tale che

:<math> R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n\cdot\frac{G(x)-G(a)}{G^{ \prime }(\xi)},</math>

generalizzando dunque il [[Teorema di Cauchy (analisi matematica)|teorema di Cauchy]].

== Resto integrale ==

Il resto nella '''forma integrale''', che al contrario dei precedenti è valido anche se <math>f</math> [[Funzione di variabile complessa|assume valori complessi]], afferma che se <math>f^{(n)}</math> è [[assolutamente continua]] in <math>[a,x]</math>, allora

:<math> R_n(x) = \int_a^x {\frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, \operatorname dt}.</math>

Questa forma mostra il teorema di Taylor come una generalizzazione del [[teorema fondamentale del calcolo]].

==Formula di Taylor per funzioni di duepiù variabili==

Per funzioni di più variabili, la scrittura completa si fa più pesante e fa uso dei [[multiindice|multiindici]]. Sia <math>f(\mathbf{x}):colon \Omega \subseteq \mathbb{R}^{n} \longrightarrowto \mathbb{R}</math> di classe <math>C^k(\Omega),</math> dove <math>\Omega</math> è un [[insieme aperto]]. Allora in un intorno di <math>\mathbf{xa}\in \Omega</math>:

:<math>\begin{align} &f(\mathbf{x})=\sum_{|\alpha|\leq k}^n\frac{\operatorname D^\alpha f(\mathbf{a})}{\alpha!}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha+\sum_{|\alpha|=k+1}R_{\alpha}(\mathbf{x})(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha</math>, \\

&\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}R_{\alpha}(\mathbf{x})=0.

\end{align}</math>

=== Formula di Taylor in due variabili di ordine 1 ===

Sia <math>f(x_0,y_0)</math> una funzione di classe <math>C^1(\Omega),</math> con <math>\Omega</math> aperto di <math>\R^2.</math> eSi vogliamovuole calcolare il polinomio di Taylor in <math>(x_0,y_0)\in\Omega,</math> allora:

:<math>f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k + R(h,k),</math>

dove <math>h = x - x_0</math> e <math>k = y - y_0</math> ed <math>R(h,k)</math> indica il resto:e <math>R(h,k) = o(\lVert (h,k) \rVert)</math> indica il resto.

Vale comeCome per le funzioni di una variabile che, se le derivate seconde sono limitate da un numero <math>M,</math>, allora l'erroresi equivaleha:

:<math>|R(h,k)| \le M(h^2+k^2).</math>

Da cui segue anche l'espressione del [[differenziale esatto]]

=== Formula di Taylor di ordine 2 ===

:<math>

:<math>df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot dx + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot dy.</math>

\begin{align}

=== Formula di Taylor in due variabili di ordine 2 ===

:<math>\begin{align}

f(x_0+h,y_0+k) &= f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k +\\

&+ \frac {1}{2!} \left[f_{xx} (x_0,y_0) h^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0) hk + f_{yy}(x_0,y_0) k^2\right]+\\

&+ R(h,k),

\end{align}</math>

</math>

dove <math>R(h,k) = o(\lVert (h,k) \rVert^2)</math>.

dove <math>R(h,k) = o(\lVert (h,k) \rVert^2).</math>.

=== Formula di Taylor di ordine 3 ===

=== Formula di Taylor in due variabili di ordine 3 ===

:<math>

:<math>\begin{align}

f(x_0+h,y_0+k) &= f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k +\\

&+\frac {1}{2!} \left[f_{xx}(x_0,y_0) h^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0) hk + f_{yy}(x_0,y_0) k^2\right]+\\

&+ \frac {1}{3!} \left[f_{xxx} (x_0,y_0) h^3 + 3 f_{xxy}(x_0,y_0) h^2 k + 3 f_{xyy}(x_0,y_0)h k^2 + f_{yyy} (x_0,y_0) k^3\right]+\\

&+ R(h,k),

\end{align}</math>

</math>

dove <math>R(h,k) = o(\lVert (h,k) \rVert^3).</math>.

=== Formula di Taylor in due variabili di ordine ''n'' ===

L'ordine <math>n</math>-esimo può essere ricavato svolgendodalla questaseguente [[sommatoria]]:

:<math>\frac {1}{n!} \sum_{l=0}^n {n \choose l} \frac{\partial^n f(x_0x,y_0y) }{\partial x^{n-l} \partial y^l}h|_{(x=x_0,y=y_0)}(x-x_0)^{n-l}k(y-y_0)^l.</math>

L'ordine n-esimo può essere ricavato svolgendo questa sommatoria:

<math>\frac {1}{n!} \sum_{l=0}^n {n \choose l} \frac{\partial^n f(x_0,y_0) }{\partial x^{n-l} \partial y^l}h^{n-l}k^l</math>

== Bibliografia ==

*{{cita libro|titolo = Calculus|url = https://archive.org/details/calculus01apos| nome=Tom M. | cognome=Apostol | wkautore=Tom M. Apostol | editore = [[John Wiley & Sons]] |anno = 1967|lingua=inglese|isbn = 0-471-00005-1}}

==Voci correlate==

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* [[Serie di Taylor]]

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

{{analisi matematica}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}