「直角二等辺三角形」の版間の差分

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[[画像:Isosceles Right Triangle.png|class=skin-invert-image|thumb|直角二等辺三角形]]

'''直角二等辺三角形'''（ちょっかくにとうへんさんかくけい、[[英語|英]]: {{en|isosceles right triangle}}）とは、[[二等辺三角形]]の一つで、二等辺三角形の持つ特徴に加え、等しい長さの2辺で構成される1角(頂角)が[[直角三角形]]であるの持つ特徴を併せ持つ[[図形]]である。したがって、[[直角三角形]]の一つでもある。3つの[[角度|角]]のうち2つの角がそれぞれ45°である三角形と定義してもよい。

[[画像:直角二等辺三角形.png|thumb|right|直角は二等辺三角形の一つでもあり、直角三角形の一つでもある。等しい長さの2辺で構成される1角(頂角)が[[直角]]である。

底辺どうしが重なり合うように二つの直角二等辺三角形を並べると[[正方形]]ができる。逆に正方形を対角線で2つに分けるといずれも直角二等辺三角形となっている。

底[[斜辺]]どうしが重なり合うように二つの直角二等辺三角形を並べると[[正方形]]ができる。逆に正方形を対角線で2つに分けるといずれも直角二等辺三角形となっている。

直角二等辺三角形は[[線対称]]な図形であり、[[対称軸]]は頂角の点から対辺（底辺）に下ろした垂線である。頂角は直角なので、垂線によって二等分された角は、45°となる。また、この垂線の長さは、底辺の長さの<math>\frac{1}{2}</math>となる。このことから、この対称軸で直角二等辺三角形を二等分すると、その結果の二つの図形も直角二等辺三角形となることがわかる。

直角二等辺三角形は[[線対称]]な図形であり、[[対称軸]]は頂角の点から対辺（底[[斜辺]]）に下ろした垂線である。頂角は直角なので、垂線によって二等分された角は、45°となる。また、この垂線の長さは、底辺の長さの<math>\frac{1}{2}</math>となる。このことから、この対称軸で直角二等辺三角形を二等分すると、その結果の二つの図形も直角二等辺三角形となることがわかる。したがって、この垂線の長さは、斜辺の長さの<math>\frac{1}{2}</math>となる。

[[三平方の定理]]より、底辺以外の1辺と底辺との比は、<math>1:\sqrt{2}</math>となることがわかる。底辺以外の1辺の長さを<math>{x}</math>とした場合、<math>\frac{x^2}{2}</math>で面積を求めることができる。また、底辺の長さのみが分かっている場合でも、底辺の長さを<math>{x}</math>とし、<math>\frac{x^2}{4}</math>で面積を求めることができる。したがって、直角二等辺三角形の場合、任意の1辺の長さが分かれば、面積を求められることができる。

[[三平方ピタゴラスの定理]]より、底[[隣辺以外]]の1辺の長さと底斜辺との長さの比は、<math>1:\sqrt{2}</math>となることがわかる。底隣辺以外の1辺の長さを<math>{x}</math>とした場合、<math>\frac{x^2}{2}</math>で面積を求めることができる。また、底[[斜辺]]の長さのみが分かっている場合でも、底[[斜辺]]の長さを<math>{xy}</math>とし、<math>\frac{xy^2}{4}</math>で面積を求めることができる。したがって、直角二等辺三角形の場合、任意の1辺の長さが分かれば、面積を求められることができる。

また、底角は45°であるので、t = 45°として[[三角比]]に当てはめた場合、<math>\sin t = \cos t</math>の関係が成り立つ。

また、底角は45°であるので、t = 45°として[[三角比]]に当てはめた場合、<math>\sin t = \cos t</math>の関係が成り立つ。

:<math>\sin t = \cos t\,</math>

である。これはt = 45°の時、[[単位円]]上の動点のX座標とY座標が等しくなることからも分かる。また、このことから、

:<math>\tan t = 1\,</math>

である。

一般的に用いられる[[三角定規]]2枚セットのうち1枚は、直角二等辺三角形である。

== 直角二等辺三角形を利用した正三角形の作図 ==

[[File:TomoyukiMogi Make An Equilateral Triangle.gif|class=skin-invert-image|thumb|right|直角二等辺三角形を利用した正三角形の作図]]

互いに合同な直角二等辺三角形を複数配置することで[[正三角形]]の作図が可能である。

辺の長さが1,1,<math>\sqrt{2}</math>の直角二等辺三角形を用いて一辺の長さが2となる正三角形を作図できる。

底辺の長さが<math>\sqrt{2}</math>で高さが１の[[直角三角形]]の斜辺の長さが<math>\sqrt{3}</math>となることを応用する。

==関連項目==

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* [[二等辺三角形]]

* [[直角三角形]]

* [[三角定規]]

{{多角形}}

[[Category{{DEFAULTSORT:多角形|ちよつかくにとうへんさんかくけい]]}}

[[Category:三角形]]

[[Category:数学に関する記事]]