Analisi di Fourier: differenze tra le versioni

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{{s|analisi matematica|matematica applicata}}

[[Jean Baptiste Joseph Fourier|Fourier]], nei primi anni dell'[[XIX secolo|ottocento]], riuscì a dimostrare che una qualunque [[funzione continua]] poteva essere vista coma una somma di infinite "opportune" funzioni sinusoidali ([[Seno (trigonometria)|seno]] e [[coseno]]). Grazie a tale scoperta si è potuto scomporre funzioni complicate in una [[serie (matematica)|serie]] di funzioni, che ne rendono l'analisi più semplice.

[[Image:Fourier Series.svg|thumb|upright=0.8|Approssimazione della funzione [[onda quadra]] attraverso i primi quattro termini della corrispondente [[trasformata di Fourier]]

]]

In [[analisi matematica]], l{{'}}'''analisi di Fourier''', nota anche come [[analisi armonica]], è una branca di ricerca che ha preso avvio dalle ricerche di [[Jean Baptiste Joseph Fourier|Fourier]] che, nei primi anni dell'[[XIX secolo|ottocentoOttocento]], riuscì a dimostrare chematematicamente come una qualunque [[funzione continuaperiodica]] poteva essere vistascomposta comain una somma di infinite "opportune" funzioni o componenti [[sinusoide|sinusoidali]] ([[Seno (trigonometria)|seno]] e [[coseno]]). Graziedette a''armoniche''. Da tale scopertaconstatazione sinasce èdunque potutol'idea di scomporre funzioni complicate in una [[serie (matematica)|serie]] di funzioni, chenota necome rendono[[serie di Fourier]], rendendone l'analisi più semplice e vantaggiosa. Dal concetto matematico di serie di Fourier discende anche la nozione di [[trasformata di Fourier]] ed il relativo concetto associato di [[dominio della frequenza]].

== Bibliografia ==

A rigore la funzione da scomporre in serie di Fourier dovrebbe essere periodica, indicando con "T" il valore del periodo. In realtà basta indicare con "T" il campo di studio della funzione.

* {{en}} Elias M. Stein, Guido Weiss (1971): ''Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces'', Princeton University Press, ISBN 069108078X

* {{en}} Levan Zhizhiashvili (1996): ''Trigonometric Fourier Series and their Conjugates'', Kluwer, ISBN 0-7923-4088-4

* {{en}} Audrey Terras (1999): ''Fourier Analysis on Finite Groups and Applications'', Cambridge University Press, ISBN 0-521-45108-6

* {{en}} George Bachman, Lawrence Narici, Edward Beckenstein (2000): ''Fourier and Wavelet Analysis'', Springer, ISBN 0-387-98899-8

* {{en}} Yitzhak Katznelson (2004): ''An introduction to harmonic analysis'', 3rd ed., Cambridge University Press, ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2

== Voci correlate ==

La serie di Fourier di una funzione può essere espressa in diverse forme (rettangolare, complessa e polare), matematicamente equivalenti; la scelta di una particolare forma è fatta per mettere in evidenza determinate caratteristiche della funzione di partenza, oppure per convenienza di calcolo.

* [[Trasformata di Fourier]]

* [[Serie di Fourier]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sull'}}

== FormaCollegamenti rettangolareesterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

Una funzione f(x) si approssima con la serie di Fourier in forma rettangolare nel seguente modo:

<math> f(x)= \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n cos \left( \frac{2 \pi n

x}{T} \right) + b_n sin \left( \frac{2 \pi n x}{T} \right) \right]

</math>

I termini <math>a_n</math> e <math>b_n</math> sono chiamati coefficienti di Fourier e si calcolano così:

<math> a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) cos \left( \frac{2 \pi n x}{T}

\right) dx </math>

<math> b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) sin \left( \frac{2 \pi n x}{T}

\right) dx </math>

== Forma complessa ==

La serie di Fourier in forma complessa di una funzione f(x) è:

<math> f(x)= \sum_{n=-\infty}^\infty \gamma_n e^{ \frac{j2\pi nx}{T}}</math><br>

in cui<br>

<math>\gamma_n \in \mathbb{C}</math><br>

<math>j= \sqrt{-1}</math>

I coefficienti <math>\gamma_n</math> sono calcolati tramite la relazione:

<math>

\gamma_n = \frac{1}{T} \int_0^T f(x) e^{ \frac{-j2\pi nx}{T}}dx

</math>

== Forma polare ==

Un'altra forma in cui è possibile esprimere la serie di Fourier è la polare:

<math>f(x)= A_0 + 2\sum_{n=1}^\infty A_n cos \left ( \frac{2\pi nx}{T} + \theta_k \right)</math>

<br>

I coefficienti <math>A_0</math>, <math>A_n</math> e <math>\theta_k</math> possono essere definiti partendo dai coefficienti <math>\gamma_n</math> della forma complessa:

<br>

<math>A_0=\gamma_0 \,\!</math><br>

<math>A_n=\left | \gamma_n \right | + \left | \gamma_-n \right | \,\!</math><br>

<math>\theta_k=\angle \gamma_n + \angle \gamma_-n \,\!</math>

== Voci correlate ==

* [[matematica]]

* [[funzione (matematica)]]

* [[Trasformata di Fourier]]

{{Controllo di autorità}}

[[Categoria:Matematica]]

* [[{{Portale|matematica]]}}

[[Categoria:MatematicaAnalisi di Fourier| ]]

[[en:Harmonic analysis]]

[[Categoria:Analisi delle serie storiche]]

[[eo:Fourier-a analizo]]

[[es:Análisis armónico]]

[[nl:Fourieranalyse]]

[[pl:Analiza harmoniczna]]