Stimatore: differenze tra le versioni

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In [[statistica]] uno '''stimatore''' (puntuale) è una funzione che associa ad ogni possibile [[Campione (statistica)|campione]] un valore del parametro da stimare. È una funzione di un campione di dati estratti casualmente da una [[Popolazione statistica|popolazione]].

Il valore assunto dallo stimatore in corrispondenza adi un particolare campione è detto ''stima''.

Uno stimatore puntuale è dunque una [[variabile casuale]] funzione del campione, a valori nello spazio parametrico (ossia nell'insieme dei possibili valori del parametro).

== Proprietà desiderabili per uno stimatore ==

In generale, non si dispone di un criterio per determinare quale stimatore per una data quantità sia il ''migliore''. Nell'ambito della statistica classica, ad ogni modotuttavia, è stata proposta una serie di proprietà considerate desiderabili per uno stimatore.

In primo luogo, un ''buono'' stimatore dovrebbe fornire stime che si ''avvicinano'' al valore del parametro da stimare, ossia l'errore che commettiamo assumendo che il valore del parametro sia eguale alla stima dev'essere ''piccolo''. Non conoscendo il valore del parametro non siamo in grado di quantificare l'errore commesso per una particolare stima, possiamo però quantificare lo scostamento medio tra la variabile casuale ''stimatore'' e il parametro. La bontà di uno stimatore è infatti valutata sulla base di proprietà quali la [[correttezza (statistica)|correttezza]], la correttezza asintotica, la [[consistenza (statistica)|consistenza]] e l'[[efficienza (statistica)|efficienza]] che sono legate a tale scostamento medio.

La bontà di uno stimatore è infatti valutata sulla base di proprietà quali la [[correttezza (statistica)|correttezza]], la correttezza asintotica, la [[consistenza (statistica)|consistenza]] e l'[[efficienza (statistica)|efficienza]] che sono legate a tale scostamento medio.

In termini più precisi, se con <math>\mu</math> indichiamo il parametro da stimare e con <math>\hat{\mu}(Y)</math> lo stimatore, funzione del campione <math>Y,</math> possiamo calcolare il [[valore atteso]] dello scostamento tra stimatore e parametro, detta distorsione (anche detta, con termine [[lingua inglese|inglese]], ''[[bias (statistica)|bias]]''):

::<math>\textrm{E}\left[\hat{\mu}(Y)\right]-\mu</math>

e l'errore quadratico medio

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== Esempio ==

Siamo interessati a conoscere la statura media della popolazione residente femminile italiana adulta (con ciò intendendo le persone di età maggiore di 18 anni). La popolazione è pertanto l'insieme degli <math>N</math> individui di genere femminile residenti in Italia aventi età maggiore di 18 anni. Se <math>x_1,\ldots,x_N</math> sono le loro altezze, il parametro da stimare è <math>\ \mu=\textrm{E}[x_i]</math>.

La popolazione è pertanto l'insieme degli N individui di genere femminile residenti in Italia aventi età maggiore di 18 anni. Se <math>x_1,\ldots,x_N</math> sono le loro altezze, il parametro da stimare è <math>\ \mu=\textrm{E}[x_i]</math>.

Non potendo osservare l'intera popolazione non conosciamo il valore di <math>\mu</math>, quindi per inferire su tale valore osserviamo un sottoinsieme di 1000 unità dalla popolazione (campione) scelte in modo che ciascun individuo nella popolazione abbia la stessa probabilità di essere incluso nel campione. Per ciascuna unità del campione misuriamo l'altezza, ottenendo così la sequenza <math>y_1,\ldots,y_{1000}</math>.

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