Instabilità fluidodinamica: differenze tra le versioni

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L'obiettivo centrale di un'analisi di stabilità è, dunque, stabilire se un dato flusso [[regime laminare|laminare]] è stabile o instabile e, nel secondo caso, analizzare come esso è soggetto a rottura evolvendo verso uno stato [[Turbolenza|turbolento]] o un altro (spesso più complesso) stato [[regime laminare|laminare]].
 
La teoria e i metodi della stabilità fluidodinamica riguardano in generale lo studio della risposta di un flusso laminare a disturbi di piccola o moderatamente piccola ampiezza. È opportuno osservare che le problematiche della stabilità in fluidodinamica hanno molto in comune con quelle di altri settori scientifici quali l'elettromagnetismo, la [[magnetoidrodinamica]], la fisica dei plasmi, l'oceanografia, l'astrofisica, l'elasticità. In campo aerospaziale di rilievo è l'applicazione all'interazione aerodinamica di superfici con flussi esterni allo scopo di minimizzare la resistenza d'[[attrito]] e, più in generale, effettuare una strategia di controllo del flusso.
I concetti di base della stabilità fluidodinamica sono stati fissati e le metodologie d'indagine sono state sviluppate a partire dalla seconda metà del diciannovesimo secolo grazie ai contributi di [[Hermann von Helmholtz|Helmholtz]], [[William Thomson|Kelvin]], [[John William Strutt Rayleigh|Rayleigh]], [[Osborne Reynolds|Reynolds]].
 
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== Esempi ==
 
Esempi di instabilità già studiati sono l'[[instabilità di Rayleigh-Taylor]], l'[[instabilità di Kelvin-Helmholtz]], l'[[instabilità di Jeans|instabilità gravitazionale]], l'[[instabilità di Rayleigh-Plateau|instabilità capillare]], ecc.
* [[Instabilità di Rayleigh-Taylor]] (due fluidi con densità diversa)
* [[instabilità di Kelvin-Helmholtz]] (due fluidi con velocità diversa)
* [[instabilità di Jeans|instabilità gravitazionale]] (collasso dovuto alla gravità stessa del fluido)
* [[instabilità di Rayleigh-Plateau|instabilità capillare]] (fluido con tensione superficiale)
* [[Instabilità di Saffman-Taylor]] (due fluidi con viscosità diversa)
* [[Convezione doppio-diffusiva|Instabilità doppio-diffusiva]] (due fluidi con temperatura e salinità diversa)
 
== Analisi spaziale e temporale ==
In un'analisi temporale, si studia l'evoluzione nel tempo di una perturbazione iniziale: se questa decresce fino ad annullarsi (o comunque se la sua ampiezza rimane costante), la configurazione è stabile; se invece l'ampiezza della perturbazione cresce nel tempo, fino a tendere all'infinito, il sistema è instabile. In casi semplici, la perturbazione può essere considerata come un'[[Onda (fisica)|onda]], di lunghezza λ e di [[numero d'onda]] k = 2π/λ.
In un'analisi spaziale, invece, si vuole studiare l'evoluzione spaziale di un disturbo imposto al sistema da una fonte collocata in una determinata posizione; anche in questo caso, se a valle del disturbo la perturbazione cresce fino all'infinito, il sistema è instabile, se invece decresce e viene riassorbita dal sistema, la situazione è di stabilità. Anche in questo caso, in alcune configurazioni più semplici, il disturbo imposto può essere studiato in forma [[seno (matematica)|sinusoidale]], con una pulsazione pari a ω e un periodo pari a T = 2π/ω
I vantaggi di poter studiare perturbazioni in forma d'onda sinusoidale sono evidenti: l'analisi può essere condotta in tutta generalità, introducendo nel sistema perturbazioni proporzionali a <bigspan style="font-size: 120%;"><math>\exp{ i(kx-wt)}</math></bigspan>. Una volta stabilità la stabilità rispetto ad ogni singola onda di numero k, si può valutare la stabilità davanti ad ogni generica perturbazione semplicemente espandendo quest'ultima in [[serie di Fourier]], o operando una [[trasformata di Fourier]] che la riconduca a perturbazioni sinusoidali.
 
== La relazione di dispersione ==
Restando nel caso più semplice in cui le perturbazioni possono essere espresse come proporzionali a <bigspan style="font-size: 120%;"><math>\exp{ i(kx-wt)}</math></bigspan>, e limitando la spiegazione al caso di un'analisi temporale, il fine dello studio dell'instabilità fluidodinamica consiste nello stabilire se una perturbazione diverge o no nel tempo. Questo significa trovare, per ogni perturbazione possibile, ovvero per ogni numero d'onda k possibile, il corrispondente valore di ω. Nel caso di un'analisi temporale, k è un [[numero reale]], mentre w è un [[numero complesso]]. La relazione che lega k a ω=ω(k) è detta relazione di dispersione, e viene trovata tramite la risoluzione delle equazioneequazioni che governano la dinamica del moto perturbato.
Per ogni k, si presentano allora tre possibile casi:
* se il corrispondente ω(k) è un numero reale (cioè se la sua parte immaginaria è nulla), allora l'ampiezza della perturbazione è costante nel tempo, e il sistema è stabile.
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* se il corrispondente ω(k) ha una parte immaginaria negativa, l'ampiezza della perturbazione cresce e il sistema diventa instabile.
 
Più generalmente, la relazione di dispersione può essere scritta come <bigspan style="font-size: 120%;"><math>D(k,w,R)=0</math></bigspan>
dove R rappresenta un insieme di parametri geometrici e dinamici da cui la stabilità dipende.
 
== Bibliografia ==
[[Subrahmanyan Chandrasekhar|S. Chandrasekhar]], ''Hydrodynamic and hydromagnetic stability'', Dover Press, New York 1981
 
[[Categoria:Fluidodinamica]]