Regressione dei quantili: differenze tra le versioni

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La '''regressione dei quantili'''  (o '''regressione quantile''' o ancora '''regressione quantilica''') è un tipo di  [[Analisi della regressione|analisi di regressione]]  usato in statistica e in econometria. Se il  [[metodo dei minimi quadrati]]  risulta nella stima della  <span>[[Media (statistica)|media]]''  ''della variabile di risposta condizionata ai valori delle variabili indipendenti</span>, la regressione dei quantili mira a stimare [[Mediana (statistica)|mediana]]  condizionata,  o altri  [[Quantile|quantili]]  della variabile dipendente.

La regressione mediana si ottiene minimizzando la somma degli scarti assoluti, mentre per altri quantili <math>\tau \in [0,1]</math>, la [[funzione di perdita]] è  <math>{\displaystyle \rho _{\tau }(y\epsilon) =y \epsilon(\tau -\mathbb {I} _{(y\epsilon < 0)})}</math> dove <math>\epsilon = \hat y-y</math> è il residuo e <math>\mathbb I</math> è la [[funzione indicatrice]].

Per costruzione, la retta (o iperpiano) di regressione si trova al di sopra della proporzione <math>\tau</math> delle osservazioni del campione. Perciò, nel caso della mediana (<math>\tau = 0.5</math>) metà delle osservazioni si troverà sopra alla retta di regressione e metà sotto.

== Storia ==

L'idea di stimare la pendenza della regressione mediana, un importante teorema a proposito della minimizzazione della somma degli scarti assoluti e un algoritmo geometrico per costruire la regressione mediana sono stati proposti nel 1760 da  [[Ruggero Giuseppe Boscovich|Ruđer Josip Bošković]], un prete gesuita di Dubrovnik<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Stephen M.|cognome=Stigler|data=1984-12-01|titolo=Studies in the history of probability and statistics XL Boscovich, Simpson and a 1760 manuscript note on fitting a linear relation|rivista=Biometrika|volume=71|numero=3|pp=615–620615-620|accesso=2017-11-09|doi=10.1093/biomet/71.3.615|url=https://academic.oup.com/biomet/article/71/3/615/258808}}</ref><ref>{{cita|Koenker|p. 4}}.</ref> e sono perciò molto più antichi del metodo dei minimi quadrati<ref name=":0" />.  I calcoli necessari all'analisi della regressione mediana sono però particolarmente ostici per dataset più grandi, se confrontati con quelli del metodo dei minimi quadrati; per cui questo è statadivenuto storicamentemolto menopiù popolare nelladi comunitàquello statisticadei minimi scarti assoluti, finofin alladalla sua formulazione. La grande diffusione dei computer nell'ultima parte del ventesimo secolo ha permesso una nuova popolarità per la regressione dei quantili.

== Confronto con la regressione in media ==

La regressione dei quantili è il metodo da utilizzare se interessa stimare l'intera distribuzione condizionata della variabile di risposta, e non solo il suo [[valore atteso]]. In questo senso, è possibile valutare simultaneamente il comportamento di diversi quantili,. tuttavia ilIl suo primo utilizzo è tuttavia quello della stima della mediana condizionata., Inin questo caso è alternativa alla regressione in media (metodo dei minimi quadrati).

Un vantaggio della regressione mediana è che la stima dei parametri risulta più robusta a valori estremi, esattamente come la mediana lo è rispetto alla media. confrontareConfrontare le stime della regressione mediana con quelle della regressione in media può rivelare se degli [[outlier]] influenzano i risultati.<ref name=":0">{{Cita libro|nome=Fahrmeir,|cognome=L.|titolo=Regression : models, methods and applications|url=https://www.worldcat.org/oclc/843758031|OCLC=843758031|ISBN=9783642343339}}</ref>.

Lo svantaggio principale della regressione dei quantili riguarda la soluzione del problema di minimizzazione: mentre il metodo dei minimi quadrati ha una soluzione in forma chiusa, la regressione dei quantili richiede l'impiego di un metodo di [[programmazione lineare]]. Inoltre gli stimatori degli stessi parametri hanno per la regressione in mediamediana una maggior varianza e una convergenza alla [[distribuzione normale]] più problematica. Non è assolutamente possibile sfruttare la distribuzione esatta degli stimatori con campioni piccoli, come invece è possibile con il metodo dei minimi quadrati se gli errori si distribuiscono normalmente.

La regressione dei quantili ha un'altra importante applicazione se il quantile di interesse è estremo, come <math>0.05</math> o <math>0.95</math>: in questa maniera si possono stimare delle bande di confidenza per la variabile dipendente senza assumere per essa una particolare distribuzione condizionata.

== Proprietà asintotiche ==

Per  <math>\tau\in(0,1)</math>, sotto alcune condizioni di regolarità, <math>\hat{\beta}_{\tau}</math>  è asintoticamente normale:

: <math>\sqrt{n}(\hat{\beta}_{\tau}-\beta_{\tau})\overset{d}{\rightarrow}N(0,\tau(1-\tau)D^{-1}\Omega_{x}D^{-1}),</math>

dove

: <math>D=E(f_{Y}(X\beta)XX^{\prime})</math> e  <math>\Omega_{x}=E(X^{\prime} X) .</math>

Stime dirette della matrice di varianza-covarianza asintotiche non sono sempre soddisfacenti. L'inferenza sui parametri può essere condotta con il [[metodo bootstrap]]<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Masha|cognome=Kocherginsky|data=2005-03-01|titolo=Practical Confidence Intervals for Regression Quantiles|rivista=Journal of Computational and Graphical Statistics|volume=14|numero=1|pp=41–5541-55|accesso=2017-11-09|doi=10.1198/106186005x27563|url=httphttps://dx.doi.org/10.1198/106186005X27563|nome2=Xuming|cognome2=He|nome3=Yunming|cognome3=Mu}}</ref>.

== Proprietà di equivarianza ==

Per qualsiasi  <math>a>0</math> e <math>\tau\in[0,1]</math> vale:

: <math>\hat{\beta}(\tau;aY,X)=a\hat{\beta}(\tau;Y,X),</math>

: <math>\hat{\beta}(\tau;-aY,X)=-a\hat{\beta}(1-\tau;Y,X).</math>

Per qualsiasi <math>\gamma\in {\mathbb R}^{k}</math> e <math>\tau\in[0,1]</math> vale:

: <math>\hat{\beta}(\tau;Y+X\gamma,X)=\hat{\beta}(\tau;Y,X)+\gamma .</math>

Sia  <math>A</math>  una qualsiasi matrice non-singolare  <math>p\times p</math> e <math>\tau\in[0,1] </math>allora vale: allora vale:

: <math>\hat{\beta}(\tau;Y,XA)=A^{-1}\hat{\beta}(\tau;Y,X) .</math>

===Equivarianza rispetto a trasformazioni monotone<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Roger|cognome=Koenker|data=1978-01|titolo=Regression Quantiles|rivista=Econometrica|volume=46|numero=1|p=33|accesso=2018-11-23|doi=10.2307/1913643|url=https://dx.doi.org/10.2307/1913643|nome2=Gilbert|cognome2=Bassett}}</ref>===

=== Invarinaza rispetto a trasformazioni monotone ===

Se  <math>h</math>  è una funzione monotona crescente in <math>{\mathbb R}</math>, vale:

: <math>h(Q_{Y|X}(\tau))\equiv Q_{h(Y)|X}(\tau).</math>

Quest'ultima proprietà non vale per la regressione in media.

==Questa Metodiproprietà bayesianinon vale per la regressione dei quantili ==media.

Poichè la regressione dei quantili non assume generalmente una distribuzione specifica per gli errori, e dunque una verosimiglianza calcolabile, metodi bayesiani, quali ad esempio i [[Modello gerarchico|modelli gerarchici]], non sono immediatamente applicabili. Per risolvere questo problema si utilizza la distribuzione asimmetrica di Laplace per la stima della verosimiglianza<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Hideo|cognome=Kozumi|data=2011-11-01|titolo=Gibbs sampling methods for Bayesian quantile regression|rivista=Journal of Statistical Computation and Simulation|volume=81|numero=11|pp=1565–1578|accesso=2017-11-09|doi=10.1080/00949655.2010.496117|url=http://dx.doi.org/10.1080/00949655.2010.496117|nome2=Genya|cognome2=Kobayashi}}</ref>, questo perché il [[metodo della massima verosimiglianza]] risulta in questo caso nelle stesse stime della regressione dei quantili. L'inferenza a posteriori, comunque, va interpretata con attenzione, perché la distribuzione utilizzata nella stima non corrisponde, in genere, a quella degli errori. Yang e He<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Yunwen|cognome=Yang|data=2012-04|titolo=Bayesian empirical likelihood for quantile regression|rivista=The Annals of Statistics|volume=40|numero=2|pp=1102–1131|lingua=EN|accesso=2017-11-09|doi=10.1214/12-aos1005|url=https://projecteuclid.org/euclid.aos/1342625463|nome2=Xuming|cognome2=He}}</ref> hanno dimostrato che si può aver un'inferenza a posteriori valida, ammesso però che la distribuzione utilizzata nella stima corrisponde a quella empirica.

==Metodi bayesiani per la regressione dei quantili==

== Note ==

PoichèPoiché la regressione dei quantili non assume generalmente una distribuzione specifica per gli errori, e dunque una verosimiglianza calcolabile, metodi bayesiani, quali ad esempio i [[Modello gerarchico|modelli gerarchici]], non sono immediatamente applicabili. Per risolvere questo problema si utilizza la [[distribuzione asimmetrica di Laplace]] per la stima della verosimiglianza<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Hideo|cognome=Kozumi|data=2011-11-01|titolo=Gibbs sampling methods for Bayesian quantile regression|rivista=Journal of Statistical Computation and Simulation|volume=81|numero=11|pp=1565–15781565-1578|accesso=2017-11-09|doi=10.1080/00949655.2010.496117|url=httphttps://dx.doi.org/10.1080/00949655.2010.496117|nome2=Genya|cognome2=Kobayashi}}</ref>,  questo perché il [[metodo della massima verosimiglianza]] risulta in questo caso nelle stesse stime della regressione dei quantili. L'inferenza a posteriori, comunque, va interpretata con attenzione, perché la distribuzione utilizzata nella stima non corrisponde, in genere, a quella degli errori. Yang e He<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Yunwen|cognome=Yang|data=2012-04|titolo=Bayesian empirical likelihood for quantile regression|rivista=The Annals of Statistics|volume=40|numero=2|pp=1102–11311102-1131|lingua=EN|accesso=2017-11-09|doi=10.1214/12-aos1005|url=https://projecteuclid.org/euclid.aos/1342625463|nome2=Xuming|cognome2=He}}</ref>  hanno dimostrato che si può aver un'inferenza a posteriori valida, ammesso però che la distribuzione utilizzata nella stima corrisponde a quella empirica.

{{References}}

== Bibliografia Note==

<references />

==Bibliografia==

* {{Cita libro|Joshua D.|Angrist|titolo=Mostly harmless econometrics : an empiricist's companion|url=https://www.worldcat.org/oclc/231586808|data=2009|editore=Princeton University Press|pp=269-291|OCLC=231586808|ISBN=9780691120348}}

* {{Cita libro|Roger|Koenker|anno= 2005|titolo=Quantile regression|url=https://www.worldcat.org/oclc/61895919|data=2005|editore=Cambridge University Press|OCLC=61895919|ISBN=0521608279}}

{{portale|statistica}}

[[Categoria:Analisi di regressione]]