Modello di Debye: differenze tra le versioni

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In [[meccanica statistica]] ed in [[fisica dello stato solido]], il '''modello di Debye''' è un modello sviluppato da [[Peter Debye]] nel [[1912]]<ref>P. Debye, '{{collegamento interrotto|1=[http://gallica.bnf.fr/scripts/get_page.exe?O=15342&E=809&N=51&CD=1&F=PDF Zur Theorie der spezifischen Warmen] |data=marzo 2018 |bot=InternetArchiveBot }}', ''Annalen der Physik'' 39(4), p. 789 (1912)</ref> per stimare il contributo dei [[fonone|fononi]] al [[calore specifico]] in un [[solido]]. Tale modello tratta le vibrazioni di un [[reticolo cristallino]] come [[fonone|fononi]] in una scatola, in contrasto con il [[modello di Einstein]], che tratta il solido come degli oscillatori isolati non interagenti con la stessa frequenza di risonanza.

Il modello di Debye predice correttamente la dipendenza a bassa temperatura del calore specifico molare, che risulta proporzionale a <math>T^3</math>. Tale modello coincide ad alta temperatura con il modello classico di [[Legge di Dulong Petit|Dulong-Petit]]. A temperatura intermedia, a causa delle ipotesi semplicistiche sulla distribuzione dei fononi, non rispetta perfettamente i risultati sperimentali.

== Trattazione matematica ==

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Il modello di Debye tratta le vibrazioni atomiche come [[fonone|fononi]] in una scatola, e la maggior parte dei ragionamenti sono identici.

Si consideri un cubo di lato <math>L\ </math>, nel caso di una [[particella in una scatola]] i modi risonanti dentro la scatola, considerando solo quelli allineati con un asse, hanno [[lunghezza d'onda]] data da:

:<math>\lambda_n = {2L\over n}</math>

dove <math>n\ </math> è un intero. L'energia di un fonone vale

:<math>E_n\ =h\nu_n</math>

dove <math>h\ </math> è la [[costante di Planck]] e <math>\nu_n</math> è la [[frequenza]] dei fononi. Facendo l'approssimazione che la frequenza sia inversamente proporzionale alla lunghezza d'onda, si ha:

:<math>E_n=h\nu_n={hc_s\over\lambda_n}={hc_sn\over 2L}</math>

in cui <math>c_s\ </math> è la [[velocità del suono]] nel solido.

Tale relazione in tre dimensioni diviene:

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dove <math>\bar{N}(E_n)\ </math> è il numero di fononi con energia <math>E_n\ </math>.

Cioè l'energia totale è eguale alla somma dell'energia moltiplicata per il numero dei fononi

con quella quell'energia (in una dimensione). In tre dimensioni si ha:

:<math>U = \sum_{n_x}\sum_{n_y}\sum_{n_z}E_n\,\bar{N}(E_n)</math>

In questo punto il modello di Debye e la legge di corpo nero differiscono. Al contrario della radiazione elettromagnetica in una scatola, vi è un numero finito di stati energetici dei Fononi in quanto i fononi non possono avere energia infinita.

<!--La figura sotto mostra un fonone trasverso.-->

<!--[[ImmagineFile:debye_limit.jpg]]-->

<!-- La loro frequenza è legata al mezzo di propagazione il reticolo cristallino. -->

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:<math>\lambda_{\rm min} = {2L \over \sqrt[3]{N}}</math>

A differenza dei fotoni vi è un massimo numero <math>n</math> di nodi:

:<math>n_{\rm max} = \sqrt[3]{N}</math>

Tale numero pone un limite alla Energiaall'energia totale del solido:

:<math>U = \sum_{n_x}^{\sqrt[3]{N}}\sum_{n_y}^{\sqrt[3]{N}}\sum_{n_z}^{\sqrt[3]{N}}E_n\,\bar{N}(E_n)</math>

Alla [[sommatoria]] si preferisce sostituire un [[integrale]], rendendo continua la funzione discreta:

:<math>U \approx\int_0^{\sqrt[3]{N}}\int_0^{\sqrt[3]{N}}\int_0^{\sqrt[3]{N}} E(n)\,\bar{N}\left[E(n)\right]\,dn_x\, dn_y\, dn_z</math>

Nessuna ipotesi statistica è stata fatta finora: in realtà il numero di fononi con energia <math>E\ </math> è dato da <math>\bar{N}(E)\ </math>. Inoltre, obbedendo i fononi alla

[[statistica di Bose-Einstein]], il numero di fononi con energia compresa tra <math>E\ </math> ed <math>E+dE\ </math> vale in una vibrazione unidimensionale:

:<math>\langle N\rangle_{BE}dE = {dE\over e^{E/kT}-1}</math>

Poiché i fononi hanno tre possibili polarizzazione:polarizzazioni (una longitudinale e due trasversali,) la formula precedente va moltiplicata per <math>3</math>:

:<math>\langle N\rangle_{BE}dE = {3dE\over e^{E/kT}-1}</math>

Sostituendo questa espressione nell'integrale dell'Energiaenergia totale:

:<math>U = \int_0^{\sqrt[3]{N}}\int_0^{\sqrt[3]{N}}\int_0^{\sqrt[3]{N}} E(n)\,{3\over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_x\, dn_y\, dn_z</math>

Il [[calcolo approssimato]] di tale integrale può farsi mediante [[coordinate sferiche]]:

:<math>\ (n_x,n_y,n_z)=(n\cos \theta \cos \phi,n\cos \theta \sin \phi,n\sin \theta )</math>

Estendendo l'integrale invece che ad un cubo a un [[ottante]] di sfera di raggio <math>R_o\ </math>:

:<math>U \approx\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\int_0^{R_o} E(n)\,{3\over e^{E(n)/kT}-1}n^2 \sin\theta\, dn\, d\theta\, d\phi</math>

Il raggio <math>R_o\ </math> della sfera si trova imponendo che il numero di particelle nell'ottante sia pari a quello contenuto

nel cubo; ma il volume del cubo è pari a <math>N\ </math> volte il volume della

[[cella unitaria]]:

:<math>N = {1\over8}{4\over3}\pi R_o^3</math>

Riga 91:

:<math>R_o = \sqrt[3]{6N\over\pi}</math>

L'integrazione su una sfera introduce un 'ulteriore imprecisione nel modello.

L'integrale dell'energia totale diventa:

Riga 101:

:<math>U = {3\pi\over2} kT \left({2LkT\over hc_s}\right)^3\int_0^{hc_sR/2LkT} {x^3\over e^x-1}\, dx</math>

Per semplificare l'espressione, definiamo la [[temperatura di Debye]] <math>T_D</math>, una quantità che ha le dimensioni di una temperatura e dipende dal materiale di cui è fatto il solido.

:<math>T_D\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {hc_sR_o\over2Lk} = {hc_s\over2Lk}\sqrt[3]{6N\over\pi} = {hc_s\over2k}\sqrt[3]{{6\over\pi}{N\over V}}</math>

Riga 109:

:<math>U = 9NkT \left({T\over T_D}\right)^3\int_0^{T_D/T} {x^3\over e^x-1}\, dx = 3NkT D_3 \left({T_D\over T}\right)</math>

dove <math>D_3(x)\ </math> è definita come la terza [[funzioni di Debye|funzione di Debye]].

Differenziando rispetto alla temperatura <math>T\ </math> si ha che, se <math>N</math> è pari alla [[costante di Avogadro]]: <math>(N_A\ )</math>, essendo <math>N_Ak=R\ </math> la [[costante dei gas]], il calore specifico molare vale:<ref>{{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=Springer|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1}}p.237</ref>

:<math> c_v = 9R \left({T\over T_D}\right)^3\int_0^{T_D/T} {x^4 e^x\over\left(e^x-1\right)^2}\, dx</math>

Riga 119:

== Limite a bassa temperatura ==

La temperatura di un solido di Debye è bassa se <math>T \ll T_D\ </math>, in tal caso:<ref name=a>{{Cita libro|titolo=Elementi di struttura della materia|autore=Simone Franchetti, Anedio Ranfagni, Daniela Mugnai|editore=Zanichelli|isbn=88-08-06252-X}} p.357</ref>

:<math> c_v \sim 9R \left({T\over T_D}\right)^3\int_0^{\infty} {x^4 e^x\over \left(e^x-1\right)^2}\, dx</math>

Questo integrale definito può essere calcolato esattamente sfruttando l'uguaglianza <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{\pi ^4}{15}</math>:

:<math> c_v \sim {123\pi^4\over5}R \left({T\over T_D}\right)^3</math>

Nel limite di basse temperature il modello di Debye diventa esatto e fornisce il corretto legame

tra calore specifico e temperatura.

== Limite ad alta temperatura ==

La temperatura di un solido di Debye è alta se <math>T \gg T_D\ </math>,; in tal caso è possibile utilizzare lo [[sviluppo in serie di Taylor]] che permette di scrivere <math>e^x - 1\approx x</math>, e che porta alla seguente espressione:<ref name=a />

essendo <math>e^x - 1\approx x</math> si ha che:

:<math> c_v \sim 9R \left({T\over T_D}\right)^3\int_0^{{T_D\over T}} {x^4 \over x^2}\, dx

Riga 144 ⟶ 143:

molto alta.

== Tabella delle temperature di Debye ==

Sebbene il modello di Debye non sia esatto, esso fornisce una ottima approssimazione per il calore specifico molare di molti cristalli isolanti. In particolare, va tenuto conto che oltre al contributo degli ioni del reticolo (il quale è trattato dalla teoria di Debye) esiste un ulteriore contributo al calore specifico, ed è quello degli [[Elettrone|elettroni]] liberi che varia linearmente con T ([[modello di Sommerfeld]]). Solo negli isolanti si può trascurare il contributo del gas di elettroni al calore specifico, in quanto essi non hanno elettroni liberi. Tale contributo lineare, presente in tutti i metalli, ad alta temperatura è trascurabile, mentre diventa importante a bassa temperatura e diventa comparabile con quello fononico, che ha l'andamento di <math>T^3 </math>. Esisterà sempre una temperatura al di sotto della quale il contributo elettronico diventa dominante su quello fononico (in genere questo avviene per temperature inferiori ad <math>1\ K</math>).

Anche se il modello di Debye non è perfettamente esatto, rimane una ottima approssimazione per il calore specifico molare di molti solidi cristallini isolanti. Infatti solo negli isolanti

si può trascurare il contributo del gas di elettroni al calore specifico. Tale contributo, presente in tutti i metalli, ad alta temperatura è trascurabile, mentre diventa importante a bassa temperatura in quanto varia con la prima potenza di <math>T\ </math>: dipendendo il contributo fononico dalla potenza cubica di <math>T\ </math> esisterà sempre una temperatura

bassa al di sotto della quale il contributo elettronico diventa dominante su quello fononico

(in genere questo avviene per temperature inferiori ad <math>1\ K</math>).

La tabella seguente fornisce un elenco di temperature di Debye per alcunealcuni sostanzeelementi:

{|

Riga 179 ⟶ 175:

| 476 K

|-

|-

| [[Neon]]

| 5,29 K

|

| [[Nichel]]

| 440 K

Riga 196:

| 240 K

|-

| [[Stagno (elemento chimico)|Stagno]] (bianco)

| 195 K

|-

Riga 222:

== Note ==

<references/>

==Bibliografia==

*{{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=Springer|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1}}

*{{Cita libro|titolo=Elementi di struttura della materia|autore=Simone Franchetti, Anedio Ranfagni, Daniela Mugnai|editore=Zanichelli|isbn=88-08-06252-X}}

==Voci correlate==

Riga 229 ⟶ 233:

{{Meccanica statistica}}

{{Portale|meccanica quantistica|termodinamica}}

[[Categoria:Meccanica statistica]]

[[Categoria:Modelli termodinamici]]

[[uk:Температура Дебая]]