Funzione trigonometrica inversa: differenze tra le versioni

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!Codominio

|-

| [[arcoseno]] || <math>y = \arcsin(x)</math> || <math>x = \sin(y)</math>||<math> \left[−1-1; +1\right] </math>|| −π/<math>-\frac{\pi}{2}\leq ≤ ''y''\leq ≤ π\frac{\pi}{2}</2math>

|-

| [[arcocoseno]] || <math>y = \arccos(x)</math>|| <math>x = \cos(y)</math>|| <math> \left[−1-1; +1\right] </math> || <math>0 ≤\leq ''y'' ≤\leq π\pi</math>

|-

| [[arcotangente]] || <math>y = \arctan(x)</math>|| <math>x = \tan(y)</math>|| '''<math>\mathbb {R}</math>''' || −π/<math>-\frac{\pi}{2 }< ''y'' < π/\frac{\pi}{2}</math>

|-

| [[arcocosecante]] || <math>y = \arccsc(x)</math>|| <math>x = \operatorname{coseccsc}(y) , y = \arcsin\left(\frac{1/}{x}\right)</math>

| <math>\left(-\infty; -1\right] \cup \left[1; +\infty\right)</math> || <math>-\frac{\pi}{2}\leq y < 0 \vee 0<y\leq\frac{\pi}{2}</math>

| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(−∞; −1] e [1; ∞)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || −π/2 ≤ ''y'' < 0, o<br /> 0 < ''y'' ≤ π/2

|-

| [[arcosecante]] || <math>y = \arcsec(x)</math>|| <math>x = \sec(y) , y = \arccos\left(\frac{1/}{x}\right)</math>

| <math>\left(-\infty; -1\right] \cup \left[1; +\infty\right)</math> || <math>0 \leq y < \frac{\pi}{2} \vee \frac{\pi}{2}<y\leq \pi</math>

| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(−∞; −1] e [1; ∞)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || 0 ≤ ''y'' < π/2, o<br /> π/2 < ''y'' ≤ π

|-

| [[arcocotangente]] || <math>y = \arccot(x)</math>||<math>x = \cot(y) , y = \arctan\left(\frac{1/}{x}\right)</math>|| '''<math>\mathbb {R}</math>'''

| <math> 0 < ''y'' < π\pi </math>

|-

|}

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Analogamente al seno ed al coseno, le funzioni trigonometriche inverse si possono in alternativa definire in termini di serie infinite.

:<math>

\arcsin z = z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots</math> = \sum_{n=0}^\infty {2n\choose n} \frac {z^{2n+1}} {4^{n}(2n+1)}

<!-- linea bianca lasciata per leggibilità -->

::::<math>= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}

\ , \quad \left| z \right| < 1

</math>

<!-- linea bianca lasciata per leggibilità -->

:<math>

&\arccos z = & \frac {\pi} {2} - (\arcsin z = \frac {\pi} {2} - \left[z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots )\right]= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty {2n\choose n} \frac {z^{2n+1}} {4^{n}(2n+1)}

\begin{matrix}

\arccos z & = & \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\ \\

& = & \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\

& = & \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}

\end{matrix}

\ , \quad \left| z \right| < 1

Riga 55 ⟶ 48:

:<math>

\arctan z & = & z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\ infty \\frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}

\begin{matrix}

\arctan z & = & z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\ \\

& = & \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}

\end{matrix}

\ , \quad \left| z \right| < 1

</math>

Riga 65 ⟶ 55:

:<math>

&\arccsc z = & \arcsin\left(\frac {\pi1} {2z}\right)= - (z^\frac{-1}{z} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z1} {3z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z1} {5z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac {z1} {7z^{-7}} {7} + \cdots ) = \sum_{n=0}^\infty {2n\choose n} \frac {1} {4^{n}(2n+1)z^{2n+1}}

\begin{matrix}

\arccsc z & = & \arcsin\left(z^{-1}\right) \\ \\

& = & z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\

& = & \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}\end{matrix}

\ , \quad \left| z \right| > 1

</math>

Riga 75 ⟶ 62:

:<math>

&\arcsec =z & = \arccos\left(\frac{1}{z^}\right) = \frac {\pi} {2} - \left[\frac{1}{z} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z1} {3z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z1} {5z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{1} {z7z^{-7}} + \cdots \right]= \frac {7\pi} +{2} - \cdotssum_{n=0}^\infty {2n\choose n} \frac {1} {4^{n}(2n+1)z^{2n+1}}

\begin{matrix}

\arcsec z & = & \arccos\left(z^{-1}\right) \\ \\

& = & \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\

& = & \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)}

\end{matrix}

\ , \quad \left| z \right| > 1

</math>

Riga 86 ⟶ 69:

:<math>

&\arccot z = \arctan \left(\frac{1}{x}\right) = & \frac {\pi} {2} - (\left[ z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots )\right] = \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}

\begin{matrix}

\arccot z & = & \frac {\pi} {2} - \arctan z \\ \\

& = & \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\ \\

& = & \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}

\end{matrix}

\ , \quad \left| z \right| < 1

</math>

Riga 175 ⟶ 154:

== Semplificazione somme ==

È possibile combinare la [[addizione|somma]] o [[sottrazione|differenza]] di due funzioni trigonometriche inverse in un'[[Espressione aritmeticamatematica|espressione]] dove la funzione trigonometrica compare una sola volta:

È possibile combinare la [[addizione|somma]] o [[sottrazione|differenza]] di due funzioni trigonometriche inverse in un'[[Espressione aritmetica|espressione]] dove la funzione trigonometrica compare una sola volta:

:<math>

Riga 204 ⟶ 182:

\displaystyle{\rm arctan}\left({x_1 \pm x_2 \over \; 1 \mp x_1 x_2\;}\right) & \pm x_1x_2<1 \\

\displaystyle{\rm sgn}\left(x_1\right)\,{\displaystyle\,\pi\; \over 2} \qquad & \pm x_1x_2=1 \\

\displaystyle{\rm arctan}\left({x_1 \pm x_2 \over \; 1 \mp x_1 x_2\;}\right) + {\rm segnosgn}\left(x_1\right)\,\pi & \pm x_1x_2>1 \\

\end{cases}

</math>

== Altri progetti ==

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==Collegamenti esterni==