Linearità (matematica): differenze tra le versioni

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{{NN|matematica|gennaio 2024}}

In [[matematica]], la '''linearità''' è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di [[proporzionalità diretta]].

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:<math> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = \mathbf 0</math>

dove <math>a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathcal K</math> non sono tutti nulli.<ref>Il [[vettore nullo]] <math>\mathbf 0</math> è [[indipendenza lineare|linearmente dipendente]], poiché vale ad esempio la relazione <math>\lambda \mathbf 0 = \mathbf 0</math>.</ref> Se invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per <math>a_1 = \ldots = a_n = 0</math> i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore <math>\mathbf v</math> può essere scritto nel modo seguente:

:<math> \mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n </math>

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=== Sistemi di equazioni ===

{{vedi anche|Sistema di equazioni lineari}}

Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di ''m'' equazioni lineari, ciascuna nelle ''n'' incognite <math>x_1, \cdots, x_n</math>, le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'[[intersezione (insiemistica)|intersezione]] degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una [[matrice]] <math>A</math> di dimensione <math>m \times n</math>, il cui elemento <math>a_{ij}</math> rappresenta il coefficiente dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esima equazione nella ''j''-esima incognita. Se allora <math>\mathbf x</math> è l<nowiki>'</nowiki>''n''-vettore che ha per componenti le incognite, e <math>\mathbf b</math> è l<nowiki>'</nowiki>''m''-vettore dei termini noti, l'intero sistema disi può scrivere:

:<math>A \mathbf x = \mathbf b</math>

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== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}

* {{cita libro | cognome= Hoffman| nome= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| url= https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|isbn= 0-13-536821-9|cid =kunze|lingua= en}}

* {{en}} Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in ''Mathematical Methods for Physicists'', 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.