Operatore di Laplace: differenze tra le versioni

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In [[matematica]] e [[fisica]], in particolare nel [[calcolo differenziale]] [[calcolo vettoriale|vettoriale]], l<nowiki>'</nowiki>'''operatore di Laplace''' o '''laplaciano''', il cui nome è dovuto a [[Pierre Simon Laplace]], è un [[operatore differenziale]] scalare del secondo ordine: esso può, in termini moderni e generali, essere definito come la [[divergenza]] del [[gradiente]] di una [[funzione (matematica)|funzione]] in uno [[spazio euclideo]]., ed è solitamente rappresentato dai simboli <math>\nabla\cdot\nabla</math>, <math>\nabla^2</math>, o <math>\Delta</math>.

Si tratta di un [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|operatore ellittico]], che in [[coordinate cartesiane]] èrisulta definito comeessere la [[addizione|somma]] delle [[derivata parziale|derivate parziali]] seconde non miste rispetto alle coordinate. L'operatore di Laplace può operare da due fino ad ''n'' dimensioni e può essere applicato sia a campi scalari, sia a campi vettoriali. (in quest'ultimo caso esso è applicato alle varie componenti del campo vettoriale).

Le funzioni [[classe C di una funzione|di classe]] <math>C^2</math> che annullano il laplaciano, ovvero che soddisfano l'[[equazione di Laplace]], sono le [[funzione armonica|funzioni armoniche]].

L'operatore di Laplace viene generalizzato a spazi non euclidei, dove si presenta anche nella forma, ad esempio, di [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|operatore ellittico]], [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica|iperbolico]]. In particolare, nello [[spaziotempo di Minkowski]] l'operatore di Laplace-Beltrami diventa l'[[operatore di d'Alembert]].

Il laplaciano viene impiegato, ad esempio, per [[modello matematico|modellaredescrivere]] la [[equazione delle onde|propagazione ondosa]] ed [[equazione del calore|il flusso del calore]], comparendo nell'[[equazione di Helmholtz]]. Riveste un ruolo centrale anche in [[elettrostatica]], dove è utilizzato nell'[[equazione di Laplace]] e nell'[[equazione di Poisson]]. In [[meccanica quantistica]] rappresenta l'osservabile energia cinetica ed è presente nell'[[equazione di Schrödinger]]. In [[idraulica]] viene utilizzato per ricavare l'espressione della [[cadente piezometrica]] in funzione delle caratteristiche di una corrente intubata nel [[regime laminare]]. Infine, l'operatore di Laplace si trova al centro della [[teoria di Hodge]] e dei risultati della [[coomologia di De Rham]].

== Definizione ==

Il modo più significativo per denotare l'operatore di Laplace si avvale dell'operatore differenziale vettoriale [[nabla]] elevato al quadrato, abbreviato con <math>\nabla^2</math>. Data una funzione <math>f</math> in uno [[spazio euclideo]], l'operatore di Laplace applicato a <math>f</math> è la [[divergenza]] <math>\nabla\cdot</math> del [[gradiente]] <math>\nabla f</math> di <math>f</math>:

:<math>\nabla^2 f(\mathbf{x}) = \nabla\!\cdot\!\nabla f(\mathbf{x})</math>

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dove l'ultima deriva dallo scrivere:

:<math>\nabla = \left ( \frac{\partial}{\partial x_1} , \dotscdots , \frac{\partial}{\partial x_n} \right )</math>

L'operatore di Laplace in [[coordinate cartesiane]], in uno spazio di dimensione ''n'', è dato da:

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Il laplaciano può essere generalizzato ad un operatore ellittico definito su una [[varietà riemanniana]] e chiamato operatore di Laplace–Beltrami, mentre l'[[operatore di d'Alembert]] si generalizza ad un [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica|operatore iperbolico]] definito su una [[varietà pseudo-riemanniana]]. L'operatore di Laplace–Beltrami applicato ad una funzione è la traccia della relativa [[matrice hessiana]]:

:<math>\DeltaDelta_2 f = \mathrm{tr}(H(f))</math>

dove la traccia è calcolata rispetto all'inversa del [[tensore metrico]]. Questo operatore può essere anche generalizzato al caso di [[tensore|campi tensoriali]] con una formula simile.

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Un'altra possibile generalizzazione dell'operatore di Laplace su varietà pseudo-riemanniane fa uso della [[derivata esterna]], attraverso la quale il laplaciano assume la forma:

:<math> \DeltaDelta_2 f = d^* d f</math>

dove <math>d^*</math> è il [[duale di Hodge|codifferenziale]]. Si nota che rispetto alla definizione data in precedenza c'è la differenza di segno.

In generale, il laplaciano è esteso alle [[forma differenziale|forme differenziali]] <math>\alpha</math> per mezzo dell{{'}}''operatore di Laplace–de Rham'':

:<math>\DeltaDelta_2 \alpha = d^* d\alpha + dd^*\alpha</math>

che si relaziona all'operatore di Laplace–Beltrami attraverso l'[[identità di Weitzenböck]].

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In [[coordinate polari]] il laplaciano di <math>f</math> è:

:<math> \begin{align}\nabla^2 f &= {1 \over r} {\partial \over \partial r}

\left( r {\partial f \over \partial r} \right)

+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} \\&= {1 \over r} {\partial f \over \partial r}

+ {\partial^2 f \over \partial r^2}

+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}

\end{align}</math>

Un'altra forma del laplaciano in coordinate sferiche è:

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:<math>\nabla^2 = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} \left( \wedge^2 \right)</math>

Dove <math>\wedge^2</math> è chiamatoil ''legendriano'' (da [[Adrien-Marie Legendrelegendriano]])'', ed ècioè la parte angolare del Laplaciano. Questa forma viene utilizzata nella [[meccanica quantistica]] per il calcolo dell'hamiltoniano nel caso della rotazione in tre dimensioni di una particella,; edtale parte angolare è definita come:

:<math> \wedge^2 = \frac1{1 \over \mathrm{sin}^2 \theta} {\partial^2 \over \partial \phi^2} + {1 \over \mathrm{sin} \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \mathrm{sin} \theta {\partial \over \partial \theta} \right) </math>

Questa rappresentazione è particolarmente importante perché consente l'applicazione del metodo della [[separazione delle variabili]] nell'[[equazione differenziale alle derivate parziali]] che si deve calcolareutilizzato per risolvere l'[[equazione di Schrödinger]], per il caso, appunto, di una particella che si muove sulla superficie di una [[sfera]].

===3 dimensioni===

In tre dimensioni e nelle coordinate cartesiane è:

:<math>\nabla^2 \!f =

\dfrac{\partial^2 \!f \over }{\partial x^2 } +

\dfrac{\partial^2 \!f \over }{\partial y^2 } +

\dfrac{\partial^2 \!f \over }{\partial z^2 }

</math>

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e nelle [[coordinate sferiche]] assume la forma:

:<math> \begin{align}\nabla^2 f &= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)

+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2} \\ &=</math> {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}

\end{align}</math>

:<math> = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2} </math>

In [[coordinate curvilinee]] <math>( \xi^1, \xi^2, \xi^3 )</math>, si ha:

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e applicandola poi sulle diverse dimensioni dello spazio ambiente in modo da ottenere la somma delle derivate seconde lungo le diverse coordinate, si ottiene che il valore del laplaciano è simile al valore della media della funzione di campo in quel punto. In sostanza, il laplaciano mostra come varia localmente la funzione nello spazio. Se si scrive:

:<math> \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \fracfrac1\varepsilon\left({\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon} - \frac{f(x)-f(x-\varepsilon)}{\varepsilon}} {\varepsilon}right) </math>

quindi si può scrivere:

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</math>

Questa proprietà diventa molto interessante nel caso del campo elettrostatico dato che l'operatore di Laplace del [[potenziale elettrico]] di un punto nello spazio è la divergenza dell'opposto del campo elettrostatico (ricordando che il laplaciano di un campo scalare è la [[divergenza]] del [[gradiente]] di tale campo):

:<math>\nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla \cdot (-E) </math>

poiché il campo elettrostatico è definito come l'opposto del gradiente del potenziale elettrico. Quindi il laplaciano segnala la variazione della [[densità di carica]] nello spazio.

L'operatore di Laplace risulta molto utile anche nel caso di risoluzioni numeriche di equazioni tramite il [[metodo delle differenze finite]]. Il laplaciano in un punto della griglia sarà nullo solamente se il valore scalare del punto sarà uguale ai valori scalari dei punti vicini. Questo viene utilizzato nei metodi del rilassamento per risolvere un'[[equazione differenziale alle derivate parziali]] come [[equazione di Poisson|quella di Poisson]] o [[equazione di Helmholtz|quella di Helmholtz]] o l'[[equazione della diffusione]].

==Bibliografia==

* {{en}}cita libro|nome=William W.V.D. |cognome=Hodge,|wkautore=William ''Vallance Douglas Hodge|titolo=The theory and application of harmonic integrals'' , |editore=Cambridge University Press (1952)|città=Cambridge|anno=2009|ISBN=978-05-21-35881-1|lingua=en}}

* {{en}}cita Arfken,libro|nome=George GB. ''|cognome=Arfken|titolo=Mathematical Methods for Physicists'', 3rd7th ed. |città=Orlando, FL: |editore=Academic Press, 1985.|anno=2012|ISBN=978-01-23-84654-9|lingua=en}}

* {{en}}cita Krantz, S.libro|nome=Steven G. ''|cognome=Krantz|titolo=Handbook of Complex Variables''|url=https://archive. Boston, MA: org/details/handbookofcomple0000kran|città=Basilea|editore=Birkhäuser,|anno=1999|ISBN=978-14-61-27206-9|lingua=en}} p. &nbsp;16, 1999.

== Voci correlate ==

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== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

*{{MathWorld|Laplacian|Laplacian}}

*{{springerEOM|titolo=Laplace operator|autore= M.A. Shubin}}

{{Controllo di autorità}}