Retta: differenze tra le versioni
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{{F|geometria|marzo 2024}}
[[File:Retta.svg|thumb|Tipica rappresentazione di una retta come un segmento con estremi tratteggiati.]]
La '''retta''' o '''linea retta''' è uno dei tre [[enti geometrici fondamentali]] della [[geometria euclidea]]. Viene definita da [[Euclide]] nei suoi ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' come un [[concetto primitivo]]. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola [[dimensione]].
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, e inoltre contiene infiniti punti, cioè è [[infinito (matematica)|infinita]]. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'[[alfabeto latino]] (solitamente con la ''r'').
== Definizione geometrica ==
La retta è il secondo ente fondamentale della [[geometria]]; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la [[lunghezza]].
[[File:Rette parallele perpendicolari.png|thumb|upright=1.3|Esempio di rette complanari, di cui 2 parallele ed una incidente e perpendicolare a entrambe le altre due.]]
Una retta può ''giacere'' (cioè essere contenuta) nel [[Piano (geometria)|piano]] o nello [[spazio euclideo|spazio]] tridimensionale.
Due rette nel piano possono essere:
* ''[[Incidenza (geometria)|Incidenti]]'' se hanno un unico punto in comune.
** Un caso particolare di rette incidenti si ha quando le due rette formano nel punto di intersezione quattro [[Angolo retto|angoli retti]], in tal caso sono dette ''[[Perpendicolarità|perpendicolari]]''
* ''[[Parallelismo (geometria)|Parallele]]'' se non si intersecano o se hanno tutti i punti in comune; in questo caso sono coincidenti. Due rette parallele nel piano mantengono sempre la stessa distanza tra di loro (questa caratteristica, tipica della [[geometria euclidea]], non è verificata per esempio nella [[geometria iperbolica]], dove due rette parallele possono divergere).
Due rette nello spazio possono essere:
* ''
* ''
Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. La distanza tra questi due piani equivale alla distanza tra le due rette.
== Retta nel piano cartesiano ==
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: <math>ax + by + c = 0</math>
dove i coefficienti <math> a </math>, <math> b </math> e <math> c </math> sono dei [[numeri reali]] fissati, con <math> a </math> e <math> b </math> non contemporaneamente nulli.
Se <math> b\neq 0 </math> oppure <math> a\neq 0 </math>, è possibile descrivere la stessa retta in ''forma esplicita'' rispettivamente in una delle due forme seguenti:
: <math>y = mx + q</math> oppure <math>x =
dove <math> m </math> si chiama ''[[coefficiente angolare]]'' e quantifica la pendenza della retta. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto <math>q</math> rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle <math>y</math> (''ordinata all'origine'' o ''[[intercetta]]''), nella seconda il termine noto <math>q'</math> rappresenta l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle <math>x</math>.
== Retta nello spazio euclideo tridimensionale ==
Nello [[spazio euclideo]] tridimensionale, una retta può essere descritta tramite ''equazioni cartesiane'' come luogo di intersezione di due [[Piano (geometria)|piani]] non paralleli:
:<math>\left\{ \begin{matrix}ax+by+cz+d=0 \\
a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{matrix} \right.
</math>
In questo caso le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro <math>t</math> ed è sempre possibile ricavare un insieme di ''equazioni parametriche'' per la retta:
:<math>\left\{ \begin{matrix}x=x_o+lt \\
y=y_o+mt \\
z=z_o+nt \end{matrix} \right.
</math>
dove il [[Vettore (matematica)|vettore]] <math>{\mathbf v}=l{\mathbf i}+m{\mathbf j}+n{\mathbf k}</math> è un vettore parallelo alla retta e il punto <math>P(x_0,y_0,z_0)</math> è un punto appartenente alla retta.
Se <math>l,m,n</math> sono tutti diversi da zero è possibile ricavare le cosiddette ''equazioni simmetriche'' della retta:
:<math>
\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}
</math>
Sia le equazioni cartesiane che le equazioni parametriche della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.
== Retta in uno spazio euclideo n-dimensionale ==
Nello [[spazio euclideo]]
:<math>r = \{ \mathbf{x}_0 + t \mathbf{v}\ |\ t \in \mathbb{R}\}</math>
dove <math>\mathbf{x}_0</math> e <math>\mathbf{v}</math> sono due [[
Questa definizione di retta nello spazio di dimensione
== Distanza tra rette ==
Si definisce come distanza tra due rette <math>r</math> e <math>r'</math> la distanza minima tra due punti <math>P \in r</math> e <math>P' \in r'</math>.
Tale distanza è ovviamente nulla nel caso di due rette che si intersecano. Per esaminare i restanti due casi ([[rette parallele]] e [[rette sghembe|sghembe]]) verrà utilizzata la rappresentazione parametrica, che permette una trattazione unitaria per tutte le dimensioni. Siano dunque date due rette <math>\mathbf{r}</math> e <math>\mathbf{r'}</math> di equazioni parametriche rispettivamente:
:<math>\mathbf{r}=\mathbf{a}+\mathbf{b}t \qquad e \qquad \mathbf{r'}=\mathbf{c}+\mathbf{d}t'</math>
dove <math>\mathbf{b}</math> e <math>\mathbf{d}</math> sono i loro vettori direzionali e <math>\mathbf{a}</math> e <math>\mathbf{c}</math> i vettori associati al punto <math>T</math> della retta <math>\mathbf{r}</math> e al punto <math>T'</math> della retta <math>\mathbf{r'}</math>, relativamente alla terna cartesiana <math>\mathbf{\mathit{XYZ}}</math>.
=== Distanza tra rette parallele ===
Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Scegliamo il punto di <math>\mathbf{r}</math> segnato dal vettore <math>\mathbf{a}</math>. Ogni punto della retta <math>\mathbf{r'}</math> può essere espresso nella forma <math>\mathbf{c} + t' \mathbf{d}</math>. Se chiamo <math>\mathbf{q}</math> il vettore ortogonale a <math>\mathbf{b}</math> che segna la distanza dall'altra retta, allora per le proprietà del prodotto scalare
:<math>0 = \mathbf{q} \cdot \mathbf{b} = (\mathbf{c} + t' \mathbf{d} - \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}</math>
Ottenuto <math>\mathbf{q}</math> risolvendo la precedente equazione (incognita in <math>t'</math>) è sufficiente calcolare la norma di <math>\mathbf{q}</math> quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza <math>d(r,s)</math> fra due rette parallele <math>r</math> e <math>s</math> si può scrivere come:
[[File:Rette_nello_spazio.jpg|upright=1.8|thumb|Rette sghembe.]]
:<math> d(r,s) = \left | \mathbf{rs} \times \frac{\mathbf{v}}{\left |\mathbf{v} \right |} \right |</math>
dove il vettore <math>\mathbf{v}</math> è un vettore parallelo alle rette e il vettore <math>\mathbf{rs}</math> è il vettore che congiunge un punto <math>R(x_r,y_r,z_r)</math> della retta <math>r</math> e un punto <math>S(x_s,y_s,z_s)</math> della retta <math>s</math> ovvero la distanza fra due rette parallele è data dalla proiezione del vettore <math>\mathbf{rs}</math> nel verso ortogonale alle stesse.
Dimostrazione: dalle formule del [[prodotto vettoriale]], i moduli dei versori sono unitari, resta:
<math>\ \left| \mathbf{rs} \right| \, \mathrm{{sin}} \, \theta</math>
=== Distanza tra rette sghembe ===
Se definiamo <math>\mathbf{q}</math> come il vettore ortogonale a <math>\mathbf{b} \mbox{ e } \mathbf{d}</math>, la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di <math>\mathbf{q}</math>. I tre vettori <math>\mathbf{q}</math>, <math>\mathbf{b}</math> e <math>\mathbf{d}</math> sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore <math>\mathbf{a}-\mathbf{c}</math> lungo le tre componenti. Quindi
:<math>(\mathbf{a}-\mathbf{c})= \frac{(\mathbf{a} - \mathbf{c})\cdot \mathbf{b}}{\| b\|}\frac{\mathbf{b}}{\|b\|} + \frac{(\mathbf{a} - \mathbf{c})\cdot \mathbf{d}}{\| d\|}\frac{\mathbf{d}}{\| d\|} + \frac{(\mathbf{a} - \mathbf{c})\cdot \mathbf{q}}{\| q\|}\frac{\mathbf{q}}{\| q\|}</math>
Molto semplicemente si ricava che
:<math>(\mathbf{a}-\mathbf{c}) - \frac{(\mathbf{a} - \mathbf{c})\cdot \mathbf{b}}{\| b\|}\frac{\mathbf{b}}{\|b\|} - \frac{(\mathbf{a} - \mathbf{c})\cdot \mathbf{d}}{\| d\|}\frac{\mathbf{d}}{\| d\|} = \frac{(\mathbf{a} - \mathbf{c})\cdot \mathbf{q}}{\| q\|}\frac{\mathbf{q}}{\| q\|} = \mathbf{q}</math>
con riferimento all'equazione parametrica la distanza <math>d(r,s)</math> fra due rette sghembe <math>r</math> e <math>s</math> si può scrivere come:
:<math>d(r,s)=\left |\mathbf{rs} \cdot \frac{\mathbf{n}}{\left |\mathbf{n} \right |} \right |</math>
dove il vettore <math>\mathbf{rs}</math> è il vettore che congiunge un punto <math>R(x_r,y_r,z_r)</math> della retta <math>r</math> che ha vettore parallelo <math> \mathbf{vr}</math> e un punto <math>S(x_s,y_s,z_s)</math> della retta <math>s</math> che ha vettore parallelo <math> \mathbf{vs}</math>, il vettore <math>\mathbf{n}</math> è il vettore ortogonale <math>\mathbf{n}=\mathbf{vr} \times \mathbf{vs}</math> ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore <math>\mathbf{rs}</math> nel verso del vettore <math>\mathbf{n}</math>.
Dimostrazione: dalle formule del [[prodotto scalare]] il modulo del versore è unitario, resta : <math> \left |\mathbf {rs} \right | \cos \theta</math>
== Note ==
<references/>
== Voci correlate ==
* [[Semiretta]]
* [[
* [[
* [[Parallelismo (geometria)]]
* [[Retta proiettiva]]
*[[Segmento]]
== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
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[[Categoria:Geometria euclidea]]
[[Categoria:Geometria analitica]]
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