Bootstrap (statistica): differenze tra le versioni

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== Bootstrap ==

Il '''bootstrap''' è una tecnica [[statistica]] di [[ricampionamento]] con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica. Permette di approssimare media e varianza di uno [[stimatore]], costruire intervalli di confidenza e calcolare [[p-value]] di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.

Nel caso di [[campionamento casuale]] semplice, il funzionamento è il seguente: consideriamo un campione effettivamente osservato di numerosità <math>n</math>, diciamo <math>\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)</math>. Da <math>\mathbf{x}</math> si ricampionano <math>B</math> altri campioni di numerosità costante <math>n</math>, diciamo <math>\mathbf{x}^*_1,\ldots,\mathbf{x}^*_B</math>. Se <math>F</math> è la funzione di ripartizione del [[fenomeno aleatorio]] dal quale è stato campionato <math>\textbf{x}</math>, allora la [[funzione di ripartizione empirica]] <math>\hat{F}</math> è un'approssimazione di <math>F</math>; per cui un ricampionamento da essa approssima un ricampionamento dal modello originale. Per costruzione <math>\hat{F}</math> è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria uniforme su <math>\textbf{x}</math>, dunque di fatto ogni ricampionamento <math>\textbf{x}_k^*</math>, con <math>k=1,\dots,B</math>, è ottenuto scegliendo in modo uniforme con ripetizione <math>n</math> valori da <math>\textbf{x}</math>.

Il bootstrap è una tecnica statistica che permette di stimare parametri (o statistiche). Tale metodo si basa sull'assunto che una stima per essere precisa deve basarsi su un gran numero di dati: non occorre però analizzare tutta la popolazione (analisi impossibile quanto sconveniente) nè estrarre un campione dalla popolazione originale di numerosità grande (spesso operazione costosa, altre improbabile).

Il funzionamento è semplice: a partire da un campione estratto di numerosità pari ad n si ricampionano m campioni di numerosità costante pari ad n; i dati provenienti dal primo campione possono essere estratti più di una volta e ciascun dato ha probabilità pari a 1/n di essere estratto.

T(x*)=θ: dove T è la statistica test in esame. Tale quantità è da calcolare per ogni campione: in questo modo si hanno a disposizione m stime, dalle quali è possibile calcolare la media, la varianza bootstrap.

Partendo quindi da queste quantità stiimate è possibile calcolare intervalli di confidenza, saggiare ipotesi.

Sia <math>T</math> lo stimatore di <math>\theta</math> che ci interessa studiare, diciamo <math>T(\mathbf{x})=\hat{\theta}</math>. Si calcola tale quantità per ogni campione bootstrap, <math>T(\mathbf x^*_1),\ldots,T(\mathbf x^*_B)</math>. In questo modo si hanno a disposizione <math>B</math> stime di <math>\theta</math>, dalle quali è possibile calcolare la [[media (statistica)|media]] bootstrap, la [[varianza]] bootstrap, i percentili bootstrap, ecc. che sono approssimazioni dei corrispondenti valori ignoti e portano informazioni sulla distribuzione di <math>T(\mathbf{x})</math>.

R è un software gratuito statistico all'interno del quale esiste una libreria (nome=boot) che permette di applicare il metodo bootstrap e tutte le sue applicazioni in modo semplice ed immediato.

== Algoritmo bootstrap (per campione semplice) ==

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Dato il campione <math>\textbf{x} =(x_1,\ldots, x_n)</math>:

[http://www.r-project.org/ download R]

* Si simulano <math>B</math> campioni <math>\textbf{x}^{*}_1,\ldots,\textbf{x}^{*}_B</math>, di numerosità <math>n</math> da <math>\hat{F}</math>.

[http://it.wikipedia.org/wiki/R_(software) pagina Wikipedia]

* Si calcolano le <math>B</math> replicazioni corrispondenti ai campioni simulati: <math>\hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_1),\ldots,\hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_B)</math>, dove <math>\hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k) = T(\textbf{x}_k^*).</math>

* Si stima la varianza campionaria come:

::<math>\text{Var}_B(\hat{\theta}) = \frac{1}{B-1}\sum_{k=1}^B \left( \hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k)-\theta^* \right)^2,\quad \text{dove }\theta^* = \frac{1}{B}\sum_{k=1}^B \hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k).</math>

* Si stima la distorsione come:

::<math>\beta = \theta^*-\theta=\frac{1}{B}\sum_{k=1}^{B} \hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k)-\theta.</math>

Partendo quindi da queste quantità stiimatestimate è possibile, anche lavorando in ambito [[Statistica non parametrica|non parametrico]], calcolare [[intervallo di confidenza|intervalli di confidenza]], saggiare [[Ipotesi statistica|ipotesi]], ecc.

== Bibliografia ==

* Efron,Bradley e Tibshirani, Robert, ''An Introduction to the Bootstrap'', New York, Chapman & Hall, 1994, ISBN 9781489945419

* Yen-Chi Chen, ''[https://faculty.washington.edu/yenchic/17Sp_403/Lec5-bootstrap.pdf Lecture on Bootstrap]''

==Voci correlate==

* [[Metodo Monte Carlo]]

* [[Convalida incrociata]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Statistica computazionale]]

[[Categoria:Analisi dei dati]]