「中点三角形」の版間の差分

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[[File:Medial Triangle.svg|thumb|三角形とその中点三角形（赤い辺のものが中点三角形）]]

'''中点三角形'''（ちゅうてんさんかくけい）、[[英語|英]]:medial triangle, midpoint triangle）または'''補三角形'''<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=山海堂書店 |pages=538 |doi=10.11501/930885}}</ref>、中三角形<ref>{{Cite book|和書 |title=英和数学新字典 |year=1902 |publisher=[[開新堂]] |pages=184,311 |doi=10.11501/826188}}</ref>は、[[三角形]]の3[[辺]]の[[中点]]を[[頂点]]とする三角形である。

== 性質 ==

中点三角形の3辺の長さは元の三角形の半分である。これは[[中点連結定理]]から容易に導かれる。これより、中点三角形と元の三角形は[[図形の相似|相似]]であり、その比は 1:2 であることが分かる。また、相似の中心は[[重心]]（2つの三角形の重心は一致する）である。

元の三角形に対する中点三角形のように、重心を中心に-1/2拡大した図形を、元の図形の「Complement」と言う。図形が点であるなら、そのComplementを[[補点 (三角形)|補点]]という。以下の表もComplementの一例である<ref>{{Cite web |title=Complement |url=https://mathworld.wolfram.com/Complement.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-30 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

=== 元の三角形との対応関係 ===

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|-

||[[垂心]]||外心

|-

|[[ジェルゴンヌ点]]

|[[ミッテンプンクト]]

|-

||[[ナーゲル点]]||内心

|-

||[[ド・ロンシャン点]]||垂心

|-

|[[ブロカール点|第三ブロカール点]]

|[[ブロカール点|ブロカール中点]]

|-

||[[オイラー線]]||オイラー線

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||[[外接円]]||九点円

|-

||[[内接円]]||Spieker円([[:en:Spieker circle|enシュピーカー円]])

|-

|[[シュタイナー楕円|シュタイナーの外接楕円]]

|[[シュタイナーの内接楕円]]

|}

== 座標 ==

[[重心座標]]系で、中点三角形は以下の式で表される<ref>{{Cite web |title=Medial Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/MedialTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-13 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

<math>\begin{bmatrix}

0 & 1 & 1 \\

1 & 0 & 1 \\

1 & 1 & 0 \\

\end{bmatrix}</math>

== 逆補三角形 ==

'''逆補三角形'''<ref name=":0" />（Anticomplementary triangle<ref>{{Cite web |title=Anticomplementary Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/AnticomplementaryTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-13 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>）または'''反中点三角形'''<ref>{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-07-13}}</ref>とは三角形ABCを中点三角形とする三角形である。元の三角形、中点三角形と相似である。英名の「Anticomplementary」は、逆補三角形の頂点が元の三角形のAnticomplement、重心を中心に-2倍に拡大した点（[[補点 (三角形)|逆補点]]）であること（2:1の反転<ref>{{Cite book|和書 |edition=初版 |title=重心座標による幾何学 |publisher=[[現代数学社]] |date=2014 |___location=京都市 |isbn=978-4-7687-0437-0 |editor-first=信 |editor-last=一松 |page=20 |editor-link=一松信}}</ref>）に由来する<ref>{{Cite web |title=Anticomplement |url=https://mathworld.wolfram.com/Anticomplement.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-30 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

逆補三角形は重心座標で以下の式で表される。

<math>\begin{bmatrix}

-1 & 1 & 1 \\

1 & -1 & 1 \\

1 & 1 & -1 \\

\end{bmatrix}</math>

== 脚注 ==

{{reflist}}

{{Elementary-geometry-stub}}